Giao an

Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân Ch ơng II : ứng dụng của đạo hàm Đ 1: sự đồng biến, nghịch biến của hàm số Tuần dạy : Tiết : Năm học : I. Mục tiêu : 1. Về kiến thức : HS biết cách tìm điểm tới hạn, xét tính đơn điệu của hàm số, tìm điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến. 2. Về kĩ năng: - - 3. Về t duy thái độ: Tích cực xây dựng bài, rèn luyện t duy logíc, cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh : - Giáo án - Bảng phụ và các phiếu học tập, máy chiếu hắt ( Nếu có). - Học sinh xem lại bài cũ chuẩn bị đồ dùng học tập III. Ph ơng pháp dạy học : - Thuyết trình. - Lý thuyết tình huống - Gợi mở và đan xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm. IV. Tiến trình bài học : A. Các tình huống học tập : - Hoạt động 1: - Hoạt động 2: - Hoạt động 3: 1 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân B. Tiến trình lên lớp : Hoạt động của GV Hoạt động của HS A- ổ n định lớp, kiểm tra sĩ số . B- Kiểm tra bài cũ: GV nêu câu hỏi kiểm tra bài cũ. * Nêu định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. * Thế nào là hàm số đơn điệu? C - Giảng bài mới: 1. Nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến. 2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu: GV nêu định lý Lagrăng. HS suy nghĩ và trả lời câu hỏi: * Hàm số y = f(x) gọi là : - Đồng biến trên (a; b) nếu x 1 ; x 2 (a; b), x 1 < x 2 f(x 1 )< f(x 2 ) - Nghịch biến trên (a; b) nếu x 1 ; x 2 (a; b), x 1 < x 2 f(x 1 )> f(x 2 ) * Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu trên (a; b) nếu nó đồng biến hoặc nghịch biến. HS đọc SGK (tr 47, 48). Hoạt động của GV Hoạt động của HS Định lý Lagrăng: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại c (a;b) sao cho: ý nghĩa hình học : GV đặt câu hỏi: Xét cung AB của đồ thị hàm số y = f(x) với A(a; f(a)) , B(b; f(b)). * Tính hệ số góc của cát tuyến AB. * Đẳng thức (*) có ý nghĩa gì ? HS theo dõi, ghi chép và thừa nhận định lý. * Hệ số góc ab afbf = )()( . * Hệ số góc của tiếp tuyến của cung AB tại điểm C(c; f(c)) bằng hệ số góc 2 ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) '( ) (*) f b f a f c b a f b f a f c b a = = Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân GV khẳng định: đó là ý nghĩa hình học của định lý Lagrăng. GV nêu định lý 2. Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b). a) Nếu f'(x)< 0, x (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b). b) Nếu f'(x) > 0, x (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b). GV yêu cầu HS. * Hãy áp dụng định lý Lagrăng để chứng minh định lý 2 (đồng thời dựa vào định nghĩa hàm số đơn điệu). GV nêu và cho HS thừa nhận mở rộng của định lý 2: Định lý 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên (a; b). Nếu f'(x) / 0 (hoặc f'(x [ 0) và đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên (a;b) thì hàm số tăng (hoặc giảm) trên (a;b). của cát tuyến AB. HS theo dõi và ghi chép. * Ta có x 1 , x 2 (a; b), x 1 < x 2 theo định lý Lagrăng c (a; b) sao cho: 2 1 2 1 ( ) ( ) '( ) f x f x f c x x = . a) Nếu f'(x) > 0 trên (a; b) thì f'(c) > 0 nên f(x 2 ) - f(x 1 ) > 0 hàm số đồng biến. b) Tơng tự phần a). HS theo dõi và ghi chép. Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV nêu ví dụ: Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến , nghịch biến của mỗi hàm số sau: a) y = x 3 - 5x 2 + 7x + 2 b) y = 2 5 x x + . c) y = x 3 HS lên bảng giải từng ví dụ. a) y' = 3x 2 - 10x + 7 hàm số đồng biến trên (-;1) và 7 ; 3 + , nghịch biến trên 7 1; 3 . b) ( ) 2 7 ' 0, 5 5 y x x = > + hàm số đồng biến trên (-; -5) và (-5; +). c) y' = 3x 2 0, x 3 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân GV yêu cầu HS từ các ví dụ trên hãy cho biết các điểm nào có thể làm cho đạo hàm đổi dấu? Giáo viên nêu định nghĩa điểm tới hạn. 3) Điểm tới hạn: Định nghĩa: Hàm số y = f(x) xác định trên (a; b), x 0 (a; b). Điểm x 0 gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu f'(x 0 ) = 0 hoặc f'(x 0 ) không xác định. * Ngoài các điểm tới hạn ra còn điểm nào làm cho đạo hàm đổi dấu không? Vì sao? GV khẳng định: Vậy giữa hai điểm tới hạn kề nhau đạo hàm giữ nguyên một dấu. * Hãy đa ra các bớc để tìm các khoảng đơn điệu của một hàm số. hàm số đồng biến trên R. * Các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. HS theo dõi và ghi chép. * Không còn điểm nào. (c/m phản chứng) *Các bớc tìm khoảng đơn điệu: + Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn. + Xét dấu đạo hàm. + Suy ra chiều biến thiên. 4 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân D - Chữa bài tập: Đề bài Hớng dẫn - Đáp số Bài 1 (52). Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: 2 ) 2 3 5a y x x= + 2 ) 4 3b y x x= + 3 2 1 ) 3 8 2 3 c y x x x= + 4 2 ) 2 3d y x x= + Bài 2 (53). Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: 3 1 ) 1 x a y x + = 2 2 ) 1 x x b y x = 1 ) 4 1 1 c y x x = + 2 ) 4 x d y x = + ) lne y x x= 2 ) x g y x e = ) sin .h y x x= + Bài 3 (53). Chứng minh rằng hàm số 2 1 x y x = + đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-; -1) và (1; +). Bài 4 (53). Chứng minh rằng hàm số 2 2y x x= đồng biến trên khoảng (0; 1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2). 5 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân Đ 2: Cực đại - cực tiểu Tuần dạy : Tiết : Năm học : . Mục tiêu : 1. Về kiến thức : Học sinh biết cách áp dụng dấu hiệu I , dấu hiệu II để một hàm số có cực trị: để tìm các điểm cức trị của hàm số, tìm giá trị của tham số để hàm số có cực trị hoặc cực trị thoả mãn điều kiện nào đó. 2. Về kĩ năng: - - 3. Về t duy thái độ: Tích cực xây dựng bài, rèn luyện t duy logíc, cẩn thận, chính xác trong lập luận và tính toán II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh : - Giáo án - Bảng phụ và các phiếu học tập, máy chiếu hắt ( Nếu có). - Học sinh xem lại bài cũ chuẩn bị đồ dùng học tập III. Ph ơng pháp dạy học : - Thuyết trình. - Lý thuyết tình huống - Gợi mở và đan xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm. IV. Tiến trình bài học : A. Các tình huống học tập : - Hoạt động 1: - Hoạt động 2: - Hoạt động 3: 6 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân B. Tiến trình lên lớp : Hoạt động của GV Hoạt động của HS A - ổ n định lớp , kiểm tra sĩ số . B - k iểm tra bài cũ : GV đặt câu hỏi kiểm tra bài cũ. 1) Nêu điều kiện đủ để một hàm số tăng , giảm. 2) Nêu định nghĩa điểm tới hạn và các bớc để xét sự biến thiên của hàm số. áp dụng để xét sự biến thiên của hàm số: y = x 3 - 5x 2 + 7x - 9 c - g iảng bài mới : GV đặt câu hỏi: * Có nhận xét gì về các điểm (1;-6) và 27 194 ; 3 7 của đồ thị hàm số trên ? GV khẳng định đó là các điểm cực đại, cực tiểu và nêu định nghĩa. HS lên bảng trả lời câu hỏi. áp dụng: Ta có y' = 3x 2 - 10x + 7 Bảng biến thiên: HS suy nghĩ và trả lời. Hoạt động của GV Hoạt động của HS 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) và điểm x 0 (a; b). a) Khoảng V( )=(x 0 - ; x 0 + ) , > 0 gọi là lân cận của điểm x 0 . b) Điểm x 0 gọi là điểm cực đại của y = f(x) nếu x V( ) (a; b) của điểm x 0 , ta có: f(x) < f(x 0 ), x x 0 . Ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 , f(x 0 ) gọi là 7 x - 1 7/3 + y' + 0 - 0 + y -6 + - 194 27 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân giá trị cực đại của hàm số, điểm (x 0 ;f(x 0 )) gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. c) Điểm x 0 gọi là điểm cực tiểu của y = f(x) nếu x V( ) (a; b) của điểm x 0 , ta có: f(x) > f(x 0 ), x x 0 . Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 , f(x 0 ) gọi là giá trị cực tiểu của hàm số, điểm (x 0 ; f(x 0 )) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. d) Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị, giá trị của hàm số tại đó gọi là giá trị cực trị. 2) Điều kiện để hàm số có cực trị: Giả thiết hàm số y = f(x) liên tục trên (a ; b) và x 0 (a ; b). GV nêu định lý Fecma. Định lý Fecma: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì: f'(x 0 ) = 0. GV đặt các câu hỏi. * Điều kiện để hàm số có đạo hàm tại x 0 ? * Nêu cách tính f'(x 0 - ) và f'(x 0 + )? * Hãy chứng minh cho trờng hợp x 0 là điểm cực đại, trờng hợp x 0 là điểm cực tiểu chứng minh tơng tự. HS theo dõi và ghi chép. HS theo dõi và ghi chép. * f'(x 0 ) f'(x 0 - ) = f'(x 0 + ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) * ' lim lim ( ) ( ) ' lim lim x o x o x o x o y f x x f x f x x x y f x x f x f x x x + + + + = = + = = * Nếu x 0 là điểm cực đại. Chọn 0 0x đủ nhỏ ta có: f(x 0 +x) < f(x 0 ). Hoạt động của GV Hoạt động của HS ý nghĩa hình học của định lý Fecma : GV đặt câu hỏi. * Khi f'(x 0 ) = 0 thì tiếp tuyến của đồ thị y=f(x) tại điểm x 0 có tính chất gì? Suy ra ý nghĩa hình + Với x > 0 ( ) 0 0 ' 0 y f x x + < + Với x < 0 ( ) 0 0 ' 0 y f x x > Do f'(x 0 ) f'(x 0 - ) = f'(x 0 + ) = 0. Vậy f'(x 0 ) = 0. * Tiếp tuyến tại x 0 song song với trục 8 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân học của định lý Fecma. GV nhận xét: phát biểu trên và cả SGK là cha chính xác vì tiếp tuyến đó có thể trùng Ox. * Sửa lại nh thế nào? * Khi f'(x 0 ) = 0 thì x 0 gọi là điểm gì? Từ đó hãy chứng minh hệ quả. Hệ quả: Mọi điểm cực trị của hàm số y=f(x) đều là điểm tới hạn. * Điều ngợc lại có đúng không? Cho phản ví dụ. *Có nhận xét gì về dấu của đạo hàm của hàm số y= x 3 và hàm số y = x 3 -5x 2 +7x+9? * Từ nhận xét trên hãy đa ra dấu hiệu để biết điểm x 0 là cực đại hay cực tiểu. GV chính xác hoá. 3) Dấu hiệu để hàm số có cực trị : a) Dấu hiệu I (định lý I): Giả sử y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). hoành Tiếp tuyến tại điểm cực trị song song với trục hoành. * Tiếp tuyến tại x 0 song song hoặc trùng với trục hoành. * x 0 gọi là điểm tới hạn. Chứng minh: Giả sử x 0 là điểm cực trị. + Nếu không f'(x 0 ) x 0 là điểm tới hạn. + Nếu f'(x 0 ) thì theo đlý Fecma f'(x 0 ) = 0 x 0 là điểm tới hạn. * Không phải mọi điểm tới hạn đều là điểm cực trị. VD: y = x 3 có x 0 = 0 là điểm tới hạn nhng lhông là điểm cực trị. * Đạo hàm của hàm số y = x 3 không đổi dấu. Đạo hàm của hàm số y = x 3 - 5x 2 + 7x+ 9 thì đổi dấu hai lần. * (HS trả lời) Hoạt động của GV Hoạt động của HS + Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x x x f x x x x > < + thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số y = f(x). + Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ' 0, ; ' 0, ; f x x x x f x x x x < > + thì x 0 là một điểm cực tiểu của hàm số y = f(x). GV yêu cầu HS đa ra quy tắc để xét cực trị dựa vào dấu hiệu I. HS theo dõi, ghi chép và chứng minh dựa vào định lý Fecma. * Quy tắc I: + Tính f'(x). 9 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân b) Dấu hiệu II (định lý II): Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp hai tại x 0 và f'(x 0 ) = 0, f''(x 0 ) 0 thì x 0 là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa: + Nếu f''(x 0 ) > 0 thì x 0 là điểm cực tiểu. + Nếu f''(x 0 ) < 0 thì x 0 là điểm cực đại. GV yêu cầu HS đa ra quy tắc để tìm cực trị dựa vào dấu hiệu II. GV nêu ví dụ. VD1. (Bài 2.a - SGK - tr60) Tìm các cực trị của hàm số y = x 4 - 2x 2 +1. VD2. (Bài 2.b - SGK - tr60) Tìm các cực trị của hàm số y = sin2x - x. + Tìm các điểm tới hạn. + Xét dấu f'(x). + Từ bảng biến thiên cực trị. HS theo dõi và ghi chép. * Quy tắc II: + Tính f'(x), tìm nghiệm phơng trình f'(x) = 0. + Tính f''(x). + Xét dấu f''(x) tại các nghiệm của phơng trình f'(x) = 0 để suy ra cực trị. HS suy nghĩ và giải từng ví dụ. ĐS: x = -4 là điểm cực đại; x = 1 là các điểm cực tiểu. ĐS: 2 6 x k = + là các điểm cực tiểu ; 2 6 x k = + là các điểm cực đại. 10 [...]... f(x) và ( C'): y = g(x) y = f ( x) hoành độ giao điểm là y = g ( x) nghiệm của phơng trình: f(x) =g(x) GV nêu ví dụ 1 HS tự giải ví dụ 1 Ví dụ 1: Biện luận theo m số giao điểm của đồ Đáp số: x +1 thị các hàm số y = và y = 2 x + m Nếu m 7 thì có 2 giao x 1 điểm Nếu -1 < m < 7 thì không có giao điểm GV chính xác hóa Nếu m = -1, m = 7 thì có 1 giao điểm Hoạt động của GV Hoạt động của HS... khác nhận xét f(x) = g(x) dựa vào số giao điểm của hai đồ thị y = f(x) và y = g(x) Nêu phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=f(x) tại điểm M(x0; f(x0)) C - Giảng bài mới: 1 Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đờng 34 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân GV yêu cầu HS: HS suy nghĩ và trả lời Nêu cách tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ: C ( ): y... 2 lim y = lim y = 2 nên đồ thị nhận x đt y= 2 làm tiệm cận ngang x + y GV hớng dẫn HS vẽ đồ thị + Bảng biến thiên: x- 2 + y' y 2 O I 2 2 x * Đồ thị: + - 2 30 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân 3 + Giao điểm với Ox: ;0 2 3 + Giao điểm với Oy: 0; 2 Hoạt động của GV Hoạt động của HS GV hớng dẫn HS cách chứng minh giao điểm I(2;2) của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm... thiên: x y' - 1 + + + + y - + - 1 2 -1 O 3 x -2 33 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân Đ7 Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số Tuần dạy : Năm học : I Mục tiêu : 1 Về kiến thức : HS biết cách giải một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số nh: tìm giao điểm của hai đồ thị, viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Từ đó biết cách giải và biện luận bằng đồ thị số nghiệm... + 0 b) Tiệm cận ngang: GV nêu định lý (SGK - tr72) Định lý: Nếu lim f ( x ) = y0 thì đờng thẳng d có phx HS theo dõi và ghi chép ơng trình y = y0 là một tiệm cận của đồ thị (C) 22 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân Ta gọi đờng thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của đồ HS tự đọc chứng minh trong SGK thị (C) GV nêu ví dụ HS suy nghĩ và giải ví dụ Ví dụ: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm... thị không có + tiệm cận ngang 1 Do y = x + nên x 1 1 GV hớng dẫn HS dựa vào bảng biến thiên lim ( y x ) = lim = 0 đờng thẳng y x x x 1 để vẽ đồ thị của hàm số đã cho y = x là tiệm cân xiên của đồ thị + Bảng biến thiên: x- + 0 y 3 0 - 1 - -1 - * Đồ thị: I O -1 1 -1 0 2 + + - + y' + 3 + Giao điểm với Oy: (0;-1) 2 x 3 7 + Đi qua các điểm 3; , 1; 2 2 + Đồ thị nhận giao điểm I(1; 1) của hai... * Đồ thị: - Đồ thị nhận Oy làm trục đôí xứng - Giao điểm với Oy: (0;2) - Đi qua các điểm: ( 2; 10) 2 1 -1 O 1 x 29 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân x4 3 Ví dụ 2: Khảo sát hàm số y = x 2 + 4 2 HS tự tiến hành khảo sát GV chính xác hoá (đặc biệt là cách vẽ đồ thị) * Bảng tóm tắt sự khảo sát hàm số trùng ph- HS tự đọc SGK ơng : (SGK - trang 88) 3 Một số hàm số phân thức: a Hàm số y... tiệm cận ngang của đồ thị hàm số Giải: 2x2 1 y = f ( x) = 2 x 3x + 2 Ta có: lim f ( x ) = 2 x Vậy đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là đờng thẳng: y = 2 GV nêu chú ý (SGK - t72) Chú ý: Nếu xlim f ( x ) = y0 (hay xlim f ( x ) = y0 ) thì đ+ ờng thẳng x = y0 là tiệm cận ngang bên phải (hay HS theo dõi và ghi chép bên trái) của đồ thị hàm số y = f(x) c) Tiệm cận xiên: GV nêu định lý (SGK - tr73) Định... 0 0 + + + -4 - Ta có y'' = 6x + 6, y'' = 0 x = -1 x - -1 + y'' 0 + Đồ thị lồi điểm lõm uốn (-1;-2) 27 Giáo án : Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân * Vẽ đồ thị * Vẽ đồ thị: - Tìm giao điểm với các trục tọa độ - Giao điểm với trục Ox là (-2; 0) và (1; 0), với trục Oy là (0; -4) Hoạt động của GV Hoạt động của HS - Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn... Giải tích 12 Lê Chí Hùng TTGDTX Thọ Xuân Đ5: tiệm cận Tuần dạy: Tiết : Năm học: I Mục tiêu : 1 Về kiến thức : Học sinh nắm vững định nghĩa nhánh vô cực và các loại tiệm cận (tiệm cận đứng, tiệm cận ngang, tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số Từ đó biết cách xét nhánh vô cực và tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số 2 Về kĩ năng: 3 Về t duy thái độ: Tích cực xây dựng bài, rèn luyện t duy logíc, cẩn thận, chính . III. Ph ơng pháp dạy học : - Thuyết trình. - Lý thuyết tình huống - Gợi mở và an xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm. IV. Tiến trình bài học : A. Các. III. Ph ơng pháp dạy học : - Thuyết trình. - Lý thuyết tình huống - Gợi mở và an xen hoạt động học tập cá nhân hoặc nhóm. IV. Tiến trình bài học : A. Các