skkn ren ki nang giai bai tap toan bang cach lap phuong trinh he phuong trinh

CHUYÊN ĐỀ: RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TẬP TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH I/ Đặt vấn đề: 1/ Lý chọn đề tài: Toán học môn khoa học coi chủ lực, trước hết toán học hình thành cho em tính xác, tính hệ thống, tính khoa học tính logic,… chất lượng dạy học toán nâng cao có nghĩa tiếp cận với kinh tế tri thức khoa học đại, giàu tính nhân văn nhân loại Cùng với đổi chương trình sách giáo khoa, tăng cường sử dụng thiết bị, đổi phương pháp dạy học nói chung đổi phương pháp dạy học toán nói riêng trường THCS tích cực hoá hoạt động học tập, hoạt động tư duy, độc lập sáng tạo học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện hình thành kĩ vận dụng kiến thức cách khoa học, sáng tạo vào thực tiễn Trong chương trình Đại Số 8, Đại Số dạng toán “giải toán cách lập phương trình, hệ phương trình” học sinh THCS việc làm mẻ, đề cho phương trình có sẵn mà đoạn văn mô tả mối quan hệ đại lượng, học sinh phải chuyển đổi mối quan hệ đại lượng mô tả lời văn sang mối quan hệ toán học Hơn nữa, nội dung toán này, hầu hết gắn bó với hoạt động thực tế người, xã hội tự nhiên,… Chính vậy, người thầy không truyền thụ cho học sinh kiến thức sách giáo khoa mà dạy cho học sinh cách giải tập Người thầy hướng dẫn cho học sinh giải toán dạng phải dựa quy tắc chung là: yêu cầu giải toán, quy tắc giải toán cách lập phương trình, phân loại dạng toán, làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình hệ phương trình dễ dàng, bước đặc biệt quan trọng khó khăn với học sinh Qua thực tế giảng dạy nhiều năm Toán thân tự tìm tòi nghiên cứu, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh lớp lớp Nhằm đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải tốt khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời cao chất lượng môn nên thân chọn sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ giải tập toán cách lập phương trình – hệ phương trình” 2/ Mục đích nghiên cứu: Rèn kĩ giải tập toán cách lập phương trình – hệ phương trình 3/ Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu đối tượng học sinh lớp 8A 1, 8A2, 9A1, 9A2 trường THCS An Thạnh 2, năm học 2013 – 2014 Ý tưởng đề tài phong phú, đa dạng, đối tượng nghiên cứu rộng, nên thân nghiên cứu qua bốn phương pháp giải toán cách lập phương trình – hệ phương trình chương trình SGK, SBT toán 8, toán hành 4/ Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 8, toán tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh II/ Giải vấn đề: 1/ Cơ sở lí luận: Một phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào quy tắc chung Nội dung quy tắc gồm bước: - Bước 1: Lập phương trình – hệ phương trình + Chọn ẩn, xác định điều kiện cho ẩn + Dùng ẩn số số liệu biết để biểu thị số liệu có liên quan, dẫn giải phận thành phương trình – hệ phương trình - Bước 2: Giải phương trình – hệ phương trình - Bước 3: Nhận định kết quả, thử lại, trả lời 2/ Thực trạng tình hình dạy học: a/ Đối với học sinh: - Việc giải toán phương trình – hệ phương trình cho sẵn điều khó khăn, khó phải chuyển toán lời văn thành toán giải phương trình – hệ phương trình, học sinh Trường THCS nói chung đặc biệt học sinh Trường THCS An Thạnh nói riêng, đa phần em gia đình khó khăn nên số học sinh phải phụ giúp gia đình Do thời gian học bài, làm tập học sinh chưa nhiều, đặc biệt học sinh dân tộc, việc tiếp thu kiến thức em nhiều hạn chế, quan trọng em lại kiến thức lớp Vì dẫn đến học sinh nắm bắt kiến thức vận dụng số kiến thức vào giải tập khó - Mỗi lần vận dụng bước vào làm tập nhiều học sinh chưa giải được, em chưa nắm vững bước giải toán cách lập phương trình – hệ phương trình - Do kết kiểm tra tiết chương IV Đại Số Đại Số học sinh (Năm học 2013 - 2014) sau: Khối Sĩ số Học lực G K Tb Yếu Trên Tb (%) Dưới Tb (%) 62 13 19 22 42 (64,5%) 20 (35,5%) 49 12 12 18 42 (85,7%) (14,3%) b/ Đối với giáo viên: Từ tình hình thực tế nhà trường, đặc biệt trực tiếp giảng dạy môn toán, thân tự nhận thấy giáo viên đào tạo bản, đạt chuẩn trình độ chuyên môn Do trình độ chuyên môn đồng đều, giáo viên có lòng say mê nghề bám trường, bám lớp, có lòng yêu nghề mến trẻ, có lòng nhiệt huyết cao giảng dạy Người giáo viên cố gắng tìm tòi sáng tạo việc hướng dẫn học sinh giải toán nhiều phương pháp Trong trình giảng dạy giáo viên trọng đến việc khai thác nhiều phương pháp nhằm giúp học sinh phát triển khả tư lôgíc khả diễn đạt xác ý tưởng mình, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực, phát giải vấn đề cách cụ thể, rèn luyện kỹ vào vận dụng thực tiễn, tác động đến tâm tư tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh 3/ Một số biện pháp thực hiện: a/ Biện pháp 1: Lời giải không phạm sai lầm sai sót nhỏ: Để học sinh không mắc sai lầm người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề toán trình giải sai sót kiến thức, kỹ tính Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều kiện cho ẩn đối chiếu với điều kiện ẩn xem có thích hợp không? Ví dụ: Mẫu số phân số lớn tử số đơn vị Nếu tăng tử mẫu thêm đơn vị phân số Tìm phân số ban đầu (Đại số 8) Giải Gọi tử số phân số ban đầu x (điều kiện: x ∈ Z; x ≠ −3 ) Thì mẫu số phân số ban đầu x + Theo đề ta có phương trình: 2( x + 2) x+2 = (*) ĐKXĐ: x + ≠ ⇔ x ≠ −5 x+5 1( x + 5) (*) ⇔ 2( x + 5) = 2( x + 5) ⇒ x + = x + ⇔ x − x = − ⇔ x = (nhận) Suy ra: tử số phân số ban đầu 1, mẫu số phân số ban đầu + = Vậy phân số ban đầu b/ Biện pháp 2: Lời giải toán phải có xác Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ ẩn kiện cho làm bật ý phải tìm Nhờ mối quan hệ đại lượng toán thiết lập phương trình – hệ phương trình, từ tìm giá trị ẩn số Muốn vậy, người giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đâu ẩn? Đâu điều kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ xây dựng cách giải Ví dụ: Một khu đất hình chữ nhật với hai kích thước 4m, biết diện tích khu đất 1200 (m2) Hãy tính chu vi khu đất đó? (Đại số 9) Bài toán hỏi chu vi hình chữ nhật Học sinh thường có ý nghĩ, toán hỏi gọi ẩn Nếu toán gọi chu vi hình chữ nhật ẩn toán khó có lời giải Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh phát triển sâu khả suy diễn Muốn tính chu vi hình chữ nhật ta cần biết chiều dài chiều rộng hình chữ nhật GIẢI Gọi chiều rộng khu đất hình chữ nhật x (m), (điều kiện: x > 0) Thì chiều dài khu đất hình chữ nhật x + (m) Vì diện tích hình chữ nhật 1200m2 Ta có phương trình sau: x(x + 4) = 1200 ⇔ x2 + 4x – 1200 = ⇔ x1 = 30 (nhận) x2 = – 34 (loại) Chiều rộng hình chữ nhật 30 (m) Chiều dài hình chữ nhật 30 + = 34 (m) Vậy chu vi khu đất hình chữ nhật là: (34 + 30)2 = 128 (m) c/ Biện pháp 3: Lời giải phải đầy đủ mang tính toàn diện Giáo viên phải hướng dẫn học sinh không bỏ sót khả năng, chi tiết nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa Ví dụ: Một tam giác có chiều cao cạnh đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm 2dm, diện tích tăng thêm 12dm Tính chiều cao cạnh đáy? (Đại số 8) GIẢI Giáo viên lưu ý cho học sinh công thức tính diện tích tam giác theo chiều cao: S= cạnh đáy x chiều cao Gọi độ dài cạnh đáy x (dm), (điều kiện: x > 0) Thì chiều cao x (dm) Diện tích lúc đầu : Diện tích lúc sau là: ×x × x (dm2) ( x − )  x + ÷ (dm2) 4  Theo đề ta có phương trình sau: 3 ( x − )  x + ÷− x × x = 12 4  x = 15 ⇔ x = 60 ⇔ ⇔ x = 20 (TMĐK) Vậy cạnh đáy có độ dài 20 (dm) Chiều cao có độ dài ×20 = 15 (dm) d/ Biện pháp 4: Lời giải toán phải đơn giản Ví dụ: (Bài toán cổ Việt Nam) Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn Hỏi có gà, chó? (Đại số 8) GIẢI Gọi số gà x (con), (điều kiện: x nguyên dương) Số chó 36 – x (con) Số chân gà 2x (chân) Số chân chó 4(36 – x) (chân) Theo đề ta có phương trình: 2x + 4(36 – x) = 100 ⇔ x = 22 (TMĐK) Vậy số gà 22 (con), số chó 36 – 22 = 14 (con) Với cách giải trên, toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ học sinh e/ Biện pháp 5: Lời giải phải trình bày khoa học Ví dụ: Chiều cao tam giác vuông 9,6m chia cạnh huyền thành đoạn 5,6m Tính độ dài cạnh huyền tam giác (Đại số 9) Trước giải cần kiểm tra kiến thức học sinh để củng cố công thức Cho ∆ABC vuông A có AH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ta có: AH2 = BH.CH GIẢI Gọi độ dài cạnh BH là: x (m) (điều kiện: x > 0) Độ dài cạnh CH là: x + 5,6 (m) Theo đề ta có phương trình: x(x + 5,6) = 9,62 ⇔ x = 7,2 (TMĐK) Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m) f/ Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, nên thử lại Giáo viên cần rèn cho học sinh có thói quen sau giải xong cần thử lại kết tìm hiểu hết nghiệm toán, phương trình bậc hai, hệ phương trình Ví dụ: Một tàu thuỷ chạy khúc sông dài 80km, thời gian 20 phút Tính vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng Biết vận tốc dòng nước 4km/h GIẢI Gọi vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng x (km/h), (điều kiện: x > 0) Vận tốc tàu thuỷ xuôi dòng x + (km/h) Vận tốc tàu thuỷ ngược dòng x – (km/h) Theo ta có phương trình sau: 80 80 25 25 + = (*) (vì 8h 20' = h ) x+4 x−4 3 ĐKXĐ: x ≠ ±4 80.3( x − 4) 80.3( x + 4) 25( x + 4)( x − 4) (*) ⇔ 3( x + 4)( x − 4) + 3( x + 4)( x − 4) = 3( x + 4)( x − 4) ⇒ 240 x − 960 + 240 x + 960 = 25 x − 400 ⇔ ⇔ 5x2 – 96x – 80 = x1= −8 (không thoả mãn) 10 x2 = 20 (nhận) Vậy vận tốc tàu thuỷ nước yên lặng 20 km/h 4/ Phân loại toán giải cách lập phương trình hệ phương trình: a/ Dạng toán chuyển động: - Bài toán: Quãng đường AB dài 270km Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 12km/h nên đến trước ô tô thứ hai 42 phút Tính vận tốc xe.(Đại số 9) GIẢI Trong toán cần hướng dẫn học sinh xác định vận tốc xe, từ xác định thời gian hết quãng đường xe Gọi vận tốc xe thứ x (km/h) (điều kiện: x > 12) Vận tốc xe thứ hai x – 12 (km/h) Theo đề ta có phương trình: 270 270 − = 0,7 (*) (vì 42 phút 0,7 giờ) x − 12 x ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ 12 270 x 270( x − 12) 0, x( x − 12) (*) ⇔ x( x − 12) − x( x − 12) = x( x − 12) ⇒ 270 x − 270 x + 3420 = 0, x − 8, ⇔ 0,7x2 = 3428,4 ⇔ x1 = – 62,3 < (loại) x2 = 74, (nhận) Vậy vận tốc xe thứ 74,3 km/h Vận tốc xe thứ 74,3 – 12 = 62,3 km/h Trong toán này, học sinh cần ghi nhớ công thức: S = v.t b/ Dạng toán liên quan đến số học: - Bài toán: Tìm số có chữ số Biết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị số lớn số ban đầu 180 Và tổng chữ số hàng chục hàng đơn vị GIẢI Gọi chữ số hàng chục số cho x (x ∈ N*, < x ≤ 7) Thì chữ số hàng đơn vị – x Số cho có dạng: x(7 – x) = 10x + – x = 9x + Số có dạng: x0(7 – x) = 100x + – x = 99x + Ta có phương trình: (99x + 7) – (9x + 7) = 180 ⇔ 90x = 180 ⇔ x = (TMĐK) Suy ra: chữ số hàng chục 2, chữ số hàng đơn vị – = Vậy số cho 25 10 Giáo viên lưu ý: Với dạng học sinh phải hiểu mối liên hệ đại lượng, đặc biệt hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,… ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c c/ Dạng toán suất lao động: - Bài toán: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất 400 chi tiết Trong tháng sau, tổ vượt mức 10%, tổ vượt mức 15%, nên hai tổ sản xuất 448 chi tiết máy Tính xem tháng tổ sản xuất chi tiết máy GIẢI Cách 1: Gọi x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu, (0 < x < 400) Tổ sản xuất 400 – x (chi tiết)  Tháng sau tổ sản xuất x + 10% x = 1 +  10  110 x (chi tiết) ÷x = 100  100 Tổ sản xuất được: ( 400 − x ) + 15% ( 400 − x ) = Ta có phương trình: 115 ( 400 − x ) (chi tiết) 100 110 x 115(400 − x ) + = 448 100 100 ⇔ x = 240 (TMĐK) Trả lời: Tháng đầu tổ sản xuất 240 chi tiết máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy Cách 2: Gọi x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu (0 < x < 400) Gọi y số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu (0 < y < 400) Ta có phương trình: x + y = 400 (1) 11 Số chi tiết máy làm tăng tổ là: 10x (chi tiết) 100 Số chi tiết máy làm tăng tổ là: 15y (chi tiết) 100 Số chi tiết máy làm tăng tổ là: 448 – 400 = 48 chi tiết Ta có phương trình: 10x 15y + = 48 (2) 100 100 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình sau:  x + y = 400  10 x 15 y 100 + 100 = 48 Giải hệ ta có: x = 240; y= 160 Trả lời: Tháng đầu tổ sản xuất 240 chi tiết máy, tổ sản xuất 160 chi tiết máy Với loại toán liên quan đến tỉ lệ %, giáo viên cần gợi mở để học sinh hiểu rõ chất nội dung toán để lập phương trình d/ Dạng toán có nội dung Lí, Hoá: - Bài toán: Cho lượng dung dịch chứa 10% muối Nếu pha thêm 200g nước thu dung dịch 6% Hỏi có g dung dịch cho (SGK 8) GIẢI: Gọi khối lượng dung dịch cho x (g), (x > 0) Lượng muối dung dịch là: 10 x x = (g) 100 10 Lượng dung dịch là: x + 200 (g) x Tỉ số muối lượng dung dịch là: 10( x + 200) 12 x Theo ta có phương trình: 10( x + 200) = 100 ⇔ x = 300(TMĐK) Vậy khối lượng dung dịch cho là: 300g Với dạng học sinh phải nắm công thức Vật lý, Hoá học, từ lập phương trình – hệ phương trình 5/ Kết vận dụng: Qua thử nghiệm năm học 2014 – 2015, thấy áp dụng biện pháp học sinh có phần tiến nhiều, tập, kiến thức khắc sâu nhớ vận dụng tương đối Cụ thể qua kiểm tra tiết chương IV Đại Số Đại Số học sinh (Năm học 2014 - 2015) vận dụng phương pháp có kết sau: Khối Sỉ số Học lực G K Tb Yếu Trên Tb(%) Dưới Tb(%) 54 12 16 16 10 44 (81,5%) 10 (18,5%) 57 22 11 18 51(89,5%) 6(10,5%) Mặt khác sử dụng phương pháp này, thấy học sinh yếu yêu thích môn học có ý thức tìm hiểu cách giải khác tập III Kết luận: Trên dạng toán thường gặp chương trình Toán THCS lớp lớp Mỗi dạng toán có đặc điểm khác nhau, việc chia dạng chủ yếu dựa vào lời văn chúng chung bước giải bản, loại phương trình – hệ phương trình em học THCS Sáng kiến kinh nghiệm “rèn kĩ giải tập toán cách lập phương trình – hệ phương trình” nhằm giúp em xây dựng phương trình để gặp dạng em biết cách làm, phát triển khả tư cho em, khơi dậy phát triển khả tự học, nhằm giúp em giải tập toán tốt Tuy nhiên nhiều thiếu sót 13 hạn chế, mong nhận góp ý đồng nghiệp HĐKH Trường để có phương pháp dạy tốt nữa, giúp học sinh tiếp thu nhanh Duyệt HĐKH trường An Thạnh 2, ngày 11 tháng 05 năm 2015 Người thực Nguyễn Hoàng Triệu Duyệt PGD 14 ... đặc biệt học sinh dân tộc, việc tiếp thu ki n thức em nhiều hạn chế, quan trọng em lại ki n thức lớp Vì dẫn đến học sinh nắm bắt ki n thức vận dụng số ki n thức vào giải tập khó - Mỗi lần vận... cho học sinh hiểu đề toán trình giải sai sót ki n thức, kỹ tính Giáo viên phải rèn cho học sinh có thói quen đặt điều ki n cho ẩn đối chiếu với điều ki n ẩn xem có thích hợp không? Ví dụ: Mẫu số... số 9) Trước giải cần ki m tra ki n thức học sinh để củng cố công thức Cho ∆ABC vuông A có AH ⊥ BC ( H ∈ BC ), ta có: AH2 = BH.CH GIẢI Gọi độ dài cạnh BH là: x (m) (điều ki n: x > 0) Độ dài cạnh