Bổ túc toán 3

Automata hữu hạn & Biểu thức chính quy Nội dung: • Khái niệm DFA & NFA • Sự tương đương giữa DFA & NFA • Biểu thức chính quy • Các tính chất của tập chính quy Chương 3:... Start 11 0 x P

Automata hữu hạn &

Biểu thức chính quy

Nội dung:

• Khái niệm DFA & NFA

• Sự tương đương giữa DFA & NFA

• Biểu thức chính quy

• Các tính chất của tập chính quy

Chương 3:

Nondeterministic Finite Automata

Biểu thức

chính quy

Start 1

1 0

x Phép chuyển trên nhãn x

Automata hữu hạn đơn định (DFA)

Giải thuật hình thức

• Mục đích: kiểm tra một chuỗi nhập x có thuộc ngôn ngữ

L(M) được chấp nhận bởi automata M.

If (q, c);q in F) then write(q, c);"YES") else write(q, c);"NO");

Automata hữu hạn không đơn định (NFA)

Nhận xét:

• Ứng với một trạng thái và một ký tự nhập, có thể có

không, một hoặc nhiều phép chuyển trạng thái.

• DFA là một trường hợp đặc biệt của NFA

1 0

q 1

q 2

0 1

• Ví dụ: cho automata M (hình vẽ) và xét chuỗi nhập 01001

0

0

1 0

0 1

Định nghĩa NFA

Chú ý: khái niệm δ(q, a) là tập hợp tất cả các trạng thái p

sao cho có phép chuyển từ trạng thái q trên nhãn a

Ví dụ: xét chuỗi nhập w=01001 và NFA đã cho ở trên

• M( {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 2 , q 4 } )

{q4} {q4}

q4

Ø {q4}

q3

{q2} {q2}

q2

{q2} Ø

q1

{q0,q1} {q0,q3}

q0

1 0

Sự tương đương giữa DFA & NFA

Định lý 1: Nếu L là tập được chấp nhận bởi một NFA thì tồn

• F’ là tập hợp các trạng thái của Q’ có chứa ít nhất một

trạng thái kết thúc trong tập F của M

• Hàm chuyển δ’([q 1 , q 2 , , q i ], a) = [p 1 , p 2 , , p j ] nếu và

chỉ nếu δ({q 1 , q 2 , , q i }, a) = {p 1 , p 2 , , p j }

Ví dụ về sự tương đương giữa DFA & NFA

Ví dụ: NFA M ({q 0 , q 1 }, {0, 1}, δ, q 0 , {q 1 }) với hàm chuyển δ(q0,0) = {q0, q1}, δ(q0,1) = {q1}, δ(q1,0) = , δ(q1,1) = {q0, q1}

Ta sẽ xây dựng DFA tương đương M’ (Q’, {0, 1}, δ’, [q 0 ], F’)

NFA với - dịch chuyển (NFA)

Mục đích: mô phỏng hoạt động của NFA

If (q, c);q in F) then write(q, c);"YES") else write(q, c);"NO");

Sự tương đương giữa NFA và NFA

Định lý 2: nếu L được chấp nhận bởi một NFA có -CLOSURE(q)dịch

chuyển thì L cũng được chấp nhận bởi một NFA không có

q1

{q2} {q1, q2}

{q0, q1, q2}

q0

2 1

0 Trạng thái

Inputs δ’

Xây dựng DFA từ NFA()

Ví dụ: xây dựng DFA tương đương với NFA sau:

Ta xây dựng DFA M’= (Q’, Σ, δ’, q0’, F’) tương đương M

• Trạng thái bắt đầu: q0’ ↔ -CLOSURE(q)CLOSURE(q0)

• F’ = { p | trong ký hiệu của p có chứa ít nhất một trạng

thái của F }

Giải thuật xây dựng hàm chuyển δ’

Giải thuật:

T := -CLOSURE CLOSURE (q, c);q 0 ) ; T chưa được đánh dấu ;

Thêm T vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

While Có một trạng thái T của DFA chưa được đánh dấu do

Begin

Đánh dấu T; { xét trạng thái T}

For Với mỗi ký hiệu nhập a do

begin

U:= -CLOSURE closure((T, a))))

If U không có trong tập trạng thái Q’ của DFA then

begin

Thêm U vào tập các trạng thái Q’ của DFA ;

Trạng thái U chưa được đánh dấu;

[T, a] := U;T, a] := U;{[T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA}T, a] là phần tử của bảng chuyển DFA}] là phần tử của] là phần tử của bảng chuyển DFA} bảng chuyển DFA}

end;

end;

End;

• Bảng hàm chuyển

E A

a a

E

E B

D

C B

C

D B

B

C B

A

b a

Ký hiệu nhập Trạng thái

• Ký hiệu bắt đầu: q0’ = A (↔ -CLOSURE(q)CLOSURE(q0) )

• Tập trạng thái kết thúc: F’ = {E} (vì trong E có chứa trạng

thái 10  F)

Xây dựng DFA từ NFA()

Biểu thức chính quy (RE)

Biểu thức chính quy (RE)

Định nghĩa: cho Σ là một bộ chữ cái BTCQ trên Σ là các tập

hợp mà chúng mô tả được định nghĩa đệ quy như sau:

●  là BTCQ ký hiệu cho tập rỗng

●  là BTCQ ký hiệu cho tập {}

● a  Σ, a là BTCQ ký hiệu cho tập {a}

● Nếu r và s là các BTCQ ký hiệu cho các tập hợp R và

Định lý 3: nếu r là BTCQ thì tồn tại một NFA với -CLOSURE(q)dịch

chuyển chấp nhận L(r)

Chứng minh: quy nạp theo số phép toán

• Xét r không có phép toán nào

Sự tương đương giữa NFA và BTCQ

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Định lý 4: Nếu L được chấp nhận bởi một DFA, thì L được

trạng thái i đến trạng thái j mà không đi ngang qua trạng thái nào lớn hơn k)

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

• Ta sẽ chứng minh (quy nạp theo k) bổ đề sau: với mọi

R k

ij đều tồn tại một biểu thức chính quy ký hiệu cho R k

ij

 Giả sử ta có bổ đề trên đúng với k-CLOSURE(q)1, tức là tồn tại BTCQ rk-CLOSURE(q)1

lm sao cho L(rk-CLOSURE(q)1

Sự tương đương giữa DFA và BTCQ

Ví dụ: viết BTCQ cho DFA

(0 + 1)(00)*

0 + 1

0 + 1

r k 32

(0 + 1)(00)*0





r k 31

0*1

1 + 01 1

r k 23

(00)*

 + 00



r k 22

0(00)*

0 0

r k 21

0*1 1

1

r k 13

0(00)*

0 0

r k 12

(00)*





r k 11

Mối liên hệ giữa FA và BTCQ