Một số mô hình toán tài chính ứng dụng vào thị trường chứng khoán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI LÊ KHÁNH PHƯƠNG HỒNG MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN TÀI CHÍNH ỨNG DỤNG VÀO THỊ TRƯỜNG CHỨNG KHOÁN LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGÀNH: TOÁN CÔNG NGHỆ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS TỐNG ĐÌNH QUỲ HÀ NỘI – 2010 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Tống Đình Quỳ, người thầy tận tình hướng dẫn, bảo giúp đỡ trình tìm hiểu, lựa chọn thực đề tài Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy cô Khoa Toán tin ứng dụng, bạn Học viên lớp Toán Công nghệ K3 động viên giúp đỡ suốt thời gian học tập Tôi xin trân trọng cảm ơn động viên, khích lệ tạo điều kiện đồng nghiệp Chi nhánh Ngân hàng Đầu tư Phát triển Nam Hà Nội để hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thân gia đình cổ vũ, khích lệ, giúp thêm cố gắng để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 22 tháng 04 năm 2010 Học viên: Lê Khánh Phương Hồng -1- MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất tổng quát 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục .4 1.2 Quá trình Wiener 1.3 Martingale 1.3.1 Kỳ vọng có điều kiện 1.3.2 Martingale với thời gian rời rạc 1.3.3 Martingale với thời gian liên tục 1.3.3.1 Thời điểm Markov – thời điểm dừng 1.3.3.2 Martingale với thời gian liên tục 1.4 Tích phân ngẫu nhiên Ito 11 1.4.1 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên .11 1.4.2 Tính toán Ito 14 CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN VÀ GIAO DỊCH QUYỀN CHỌN .20 2.1 Khái niệm quyền chọn phân loại 20 2.2 Giá quyền chọn nhận vào lúc đáo hạn 22 2.3 Các yếu tố ảnh hưởng đến giá quyền chọn cổ phiếu 26 2.4 Mục đích giao dịch quyền chọn 27 2.5 Một số chiến lược kinh doanh hợp đồng quyền chọn .28 2.6 Bài toán tính giá hợp lý quyền chọn 30 CHƯƠNG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MÔ HÌNH NHỊ THỨC 31 3.1 Vấn đề định giá bảo hộ quyền tài .31 3.2 Mô hình thị trường quyền lựa chọn rời rạc 33 3.2.1 Các hoạt động tài .33 3.2.2 Các chiến lược đầu tư 34 3.2.3 Chiến lược chấp nhận lợi 34 3.2.4 Các phép biến đổi martingale thị trường tài 35 3.2.5 Thị trường tài lành mạnh 35 3.2.6 Thị trường đầy đủ định giá quyền chọn 35 a) Thị trường đầy đủ 35 b) Định giá .36 3.2.7 Tiếp cận quyền lựa chọn loại châu Mỹ 36 3.3 Mô hình Cox-Ross-Rubinstein 38 3.4 Mô hình quyền chọn nhị phân bước 44 3.5 Mô hình nhị phân hai bước 48 3.6 Quyền chọn mua kiểu Mỹ 51 CHƯƠNG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MÔ HÌNH BLACK-SCHOLES 53 -2- 4.1 Mô hình Black-Scholes 53 4.1.1.Các chiến lược tự điều chỉnh tài .53 4.1.2 Biến đổi độ đo xác suất định lý biểu diễn martingale 54 4.1.3 Định giá đảm bảo yêu cầu tài quyền lựa chọn mô hình Black-Scholes 56 a) Độ đo xác suất martingale 56 b) Định giá .56 c) Đảm bảo yêu cầu tài quyền lựa chọn mua bán 59 4.1.4 Quyền lựa chọn loại châu Mỹ mô hình Black-Scholes 61 4.2 Mô hình Black – Scholes ứng dụng thực tế 64 4.2.1.Giả định biến động giá cổ phiếu .64 4.2.2 Lợi nhuận kỳ vọng độ bất ổn .66 a) Lợi nhuận kỳ vọng 66 b) Độ bất ổn .67 c) Ước lượng độ bất ổn từ liệu khứ 67 4.2.3 Giả định mô hình Black-Scholes .69 4.2.4 Công thức định giá 71 4.2.5 Định giá trung lập rủi ro 73 4.2.6 Quyền chọn kiểu Châu Âu 75 4.2.7 Quyền chọn mua kiểu Mỹ 76 CHƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH GIÁ QUYỀN CHỌN 78 5.1 Công cụ sử dụng 78 5.2 Kết chạy chương trình 78 5.2.1 Theo công thức Black-Scholes 78 5.2.2 Theo phương pháp nhị phân mô hình Cox-Ross-Rubinstein 79 5.3 So sánh kết hai mô hình .81 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 -3- LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần ngành tài thực trở thành ngành “công nghiệp” then chốt có tác dụng điều chỉnh thúc đẩy hoạt động ngành kinh tế trở thành nơi hội tụ ý tưởng xuất phát từ lĩnh vực tri thức ứng dụng thực tế khác Hiện chứng kiến cộng tác chặt chẽ nhà toán học, nhà kinh tế nhà tài việc ứng dụng thành tựu toán học đại vào việc nghiên cứu mô hình kinh tế, phân tích thấu hiểu quy luật chi phối hoạt động kinh tế Đặc biệt 20 năm gần đây, ngành tài thu hút ý nhà toán học tài lĩnh vực lý thuyết xác suất phương trình đạo hàm riêng, sau công trình Định giá quyền chọn cam kết công ty (Pricing of options and corporate liabilities) Black-Scholes (1973) công bố Ở Việt Nam, trình hội nhập, tài có nhiều thành tựu việc đời thị trường chứng khoán, thị trường có tổ chức với hàng hóa cao cấp, đòi hỏi nhà quản lý phải có hiểu biết sâu sắc hoạt động, quy luật chi phối thị trường Toán tài công cụ thiếu để chuyên gia kinh tế tài nắm vững điều hành hữu hiệu hoạt động thị trường Trong nội dung luận văn này, muốn đề cập đến vấn đề quyền chọn (OPTION) thị trường chứng khoán: nội dung quyền chọn mô hình toán để định giá quyền chọn Trong luận văn, đề cập đến hai mô hình mô hình định giá quyền chọn với thời gian rời rạc mô hình Black –Scholes Nội dung luận văn sau: Chương 1: Trình bày vấn đề toán liên quan đến trình ngẫu nhiên như: trình Wiener, martingale, tích phân ngẫu nhiên Ito, vi phân ngẫu nhiên,… Đây công cụ toán quan trọng để từ ta xây dựng mô hình toán để định giá quyền chọn Chương 2: Trình bày khái niệm giao dịch quyền chọn giao dịch quyền chọn thị trường chứng khoán toán định giá quyền chọn thị trường Chương 3: Trình bày cụ thể mô hình định giá quyền chọn với thời gian rời rạc theo hướng tiếp cận xây dựng mô hình toán áp dụng thực tế -1- Chương 4: Trình bày cụ thể mô hình định giá quyền chọn Black-Scholes theo hướng tiếp cận mô hình toán áp dụng thực tế Chương 5: Xây dựng chương trình tính giá hợp lý quyền chọn theo mô hình đưa -2- CHƯƠNG QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN VÀ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN Quá trình ngẫu nhiên mô hình toán học nhiều toán thực tiễn xuất khoa học công nghệ Nó mô tả tiến hoá theo thời gian hệ thống chịu tác động nhân tố ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên xem hàm ngẫu nhiên mô tả hàm ngẫu nhiên thường thông qua phương trình vi phân ngẫu nhiên Tính toán ngẫu nhiên (Stochastic calculus) phục vụ đắc lực đóng vai trò then chốt nghiên cứu hàm ngẫu nhiên nói chung phương trình vi phân ngẫu nhiên nói riêng Quá trình Markov, trình dừng trình Martingale ba lớp trình ngẫu nhiên quan trọng lý thuyết ứng dụng Một số vấn đề chọn lọc tính toán ngẫu nhiên bao gồm: trình Wiener, tích phân Ito phương trình vi phân ngẫu nhiên trình bày luận văn để phục vụ cho mục đính định giá quyền chọn phần sau luận văn 1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Không gian xác suất tổng quát Một không gian xác suất tổng quát (Ω, A , P) bao gồm thành phần: (i) Ω tập khác rỗng, gọi không gian mẫu, bao gồm tất khả xảy biến ngẫu nhiên (bao gồm tất biến cố bản) (ii) họ A tập Ω với tính chất sau: ∅, Ω ∈ A Nếu A ∈ A phần bù A A ∈ A Nếu A1 , A2 , ∈ A ∞ ∪ A ∈A i i =1 Khi A gọi σ -đại số Ω Chú ý: tiên đề 1, 2, A1 , A2 , ∈ A ∞ ∩ A ∈A i i =1 (iii) P độ đo xác suất (Ω, A ) hàm P : A → [0,1] có tính chất sau: P (Ω) = Nếu { A1 , A2 , } dãy biến cố cho Ai Aj = ∅, ∀i ≠ j ∞  ∞ P  ∪ Ai  = ∑ P( Ai )  i =1  i =1 -3- P hàm gán tập A ∈ A với số P ( A) ∈ [0,1] , biểu diễn xác suất xảy biến ngẫu nhiên nằm A Bộ ba (Ω, A , P) gọi không gian xác suất sở 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục Cho không gian xác suất sở (Ω, A , P) Một ánh xạ X : Ω → » n cho: X −1 ( B ) = {ω : X (ω ) ∈ B} ∈ A , ∀B ∈ B n với B n σ -đại số Borel » n , gọi biến ngẫu nhiên (hoặc vectơ ngẫu nhiên n chiều) Ta nói X A -đo Một họ ( X t )t∈» gọi trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục + ( X t ) vectơ ngẫu nhiên n chiều ( n = 1, 2, ) Trên thực tế, t hiểu biến thời gian Chú ý: - Với ω ∈ Ω ta xét hàm xác định » + → » n cho t X t (ω ) Hàm gọi quỹ đạo trình ngẫu nhiên - Một trình coi ánh xạ từ » + × Ω → » n Quá trình ( X t (ω ) )t∈» gọi đo ánh xạ B (» + ) × A đo được, + nghĩa là: {(t , ω ) : X t (ω ) ∈ B} ∈ B ( » + ) × A , ∀B ∈ B n Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian xác suất (Ω, A , P) Họ σ -đại số A {Ft }t ≥0 gọi lọc Ft ⊂ Fs , ∀s > t Họ Ft xem thông tin có thời điểm t Họ {Ft }t ≥0 gọi lọc đầy đủ Ft chứa biến cố A A có xác suất không ( P ( A ) = ) Ta giả thiết họ {Ft }t ≥0 họ đầy đủ, điều để đảm bảo X=Y với xác suất hầu chắn X Ft đo được, Y Ft đo Bộ lọc {Ft }t ≥0 với Ft = σ ( X s , s ≤ t ) σ -đại số cảm sinh biến ngẫu nhiên X s với s ≤ t thường thay lọc {Ft x } ; Ft x σ -đại số cảm t ≥0 sinh Ft họ N - tập A có xác suất không Bộ lọc {Ft x }t ≥0 gọi lọc tự nhiên trình ( X t )t ≥0 -4- Rõ ràng X t Ft x đo {Ft x }t ≥0 lọc đầy đủ 1.2 Quá trình Wiener Định nghĩa 1.2.1: Quá trình (Wt ), t ≥ gọi trình Wiener có tính chất sau: (i) W0 = (ii) Với s, t ∈ » Wt -Ws đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) có phân phối chuẩn với kỳ vọng phương sai t − s (iii) Wt trình gia số độc lập, tức với t1 < t2 < < tn ĐLNN Wt2 − Wt1 , Wt3 − Wt2 , , Wtn − Wtn −1 độc lập (iv) Wt có quỹ đạo liên tục Từ định nghĩa Wt có phân bố chuẩn N(0,t), ta suy hàm trung bình m(t ) = EWt =0 hàm tự tương quan r (t , s ) phụ thuộc vào t − s nên Wt trình dừng Do ta áp dụng định lý giới hạn cho tổng ĐLNN độc lập phân bố vào việc nghiên cứu độ lớn thăng giáng quỹ đạo trình Wiener Luật mạnh số lớn khẳng định với xác suất ta có: Wt =0 t →∞ t lim Cấp xác thăng giáng quỹ đạo trình Wiener cho luật loga lặp Luật loga lặp khẳng định với hầu hết quỹ đạo ta có: limsup t →∞ Wt =1 2t log log t Và liminf t →∞ Wt = −1 2t log log t Bổ đề 1.2.1: Nếu (Wt ) trình Wiener trình sau: (i) − Wt (ii) cWt c c ≠ (iii) Wt + s -Ws ; s cố định , t ≤ trình Wiener -5- Bổ đề 1.2.2 Giả sử a = t0 < t1 < < tn = b phân hoạch đoạn [ a, b ] Ký hiệu δ n = max(ti +1 − ti ) Khi tổng n −1 Sn = ∑ (Wti +1 − Wti ) = b − a t =0 hội tụ bình phương trung bình tới b − a δ → Nếu δ n hội tụ tới đủ nhanh cho ∑ δ n < ∞ tổng hội tụ đến b − a với n xác suất 1.3 Martingale 1.3.1 Kỳ vọng có điều kiện Cho không gian xác suất (Ω, A , P) Ta biết khái niệm xác suất có điều kiện P ( A | B ) định nghĩa xác suất A tính điều kiện B xảy Ta có công thức sau: P( A | B) = P( AB) P( B) Nếu X ĐLNN khả tích ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện E ( X | B ) xác định công thức sau: E ( X | B) = XdP P ( B ) ∫B ∞ Giả sử ( Bn )n =1 phân hoạch đếm Ω F σ - đại số trường sinh phân hoạch Ta định nghĩa kỳ vọng có điều kiện E ( X | F ) công thức sau: ∞ E ( X | F ) = ∑ E ( X | Bn )I Bn n =1 Trong đó, I B hàm tiêu n Như vậy, E ( X | F ) ĐLNN F -đo Bn ta có E ( X | F ) = E ( X | Bn ) = XdP P( Bn ) B∫n từ suy E ( X | F ) ĐLNN F -đo thoả mãn hệ thức: ∫ E ( X | F )dP = ∫ XdP B B Tính chất dùng làm định nghĩa kỳ vọng có điều kiện σ trường -6- 19 21 1.02353 0.02326 20 22 1.01149 0.01143 Trong ví dụ này: ∑ ui = 0.09531 ∑ ui = 0.00333 Ta tính độ lệch chuẩn lợi nhuận ngày là: 0.00333 0.95312 − = 0.0123 19 380 Giả định năm có 252 ngày giao dịch, τ = 252 , liệu cho phép ước lượng độ bất ổn bình quân năm 0.0123 252 = 0.195 Như vậy, độ bất ổn ước tính 19,5% năm Sai số chuẩn tính sau: 0.195 = 0.031 * 20 Tức 3% năm Những phân tích mô tả thực với giả thiết cổ phiếu xem xét không trả cổ tức Việc phân tích điều chỉnh để tương thích trường hợp cổ phiếu có trả cổ tức Lợi nhuận ui thu khoảng thời gian theo dõi có ngày trả cổ tức là: ui = ln Si + D Si −1 Trong D lượng cổ tức toán Lợi nhuận thu khoảng thời gian theo dõi khác là: ui = ln Si Si −1 Thuế yếu tố quan trọng cần xem xét xác định lợi nhuận thu từ cổ phiếu xung quanh ngày giao dịch không hưởng cổ tức Do vậy, tốt ta loại riêng liệu khoảng quan sát có ngày giao dịch hưởng cổ tức 4.2.3 Giả định mô hình Black-Scholes Black Scholes xây dựng mô hình định giá quyền chọn đưa giả định sau: Giá cổ phiếu biến động theo đồ thị loga chuẩn với số µ: tỉ suất lợi nhuận kỳ vọng cổ phiếu σ: độ bất ổn giá cổ phiếu; Mọi giao dịch bỏ qua chi phí thuế Giá tất chứng khoán chia nhỏ vô hạn; Cổ phiếu không trả cổ tức thời gian quyền chọn có hiệu lực; Không tồn hội kinh doanh chênh lệch giá (arbitrage) phi rủi ro; Hoạt động giao dịch chứng khoán diễn liên tục; Nhà đầu tư vay cho vay mức lãi suất phi rủi ro; Lãi suất phi rủi ro ngắn hạn, r, số - 69 - Trên sở mô hình Black Scholes, nhiều nhà nghiên cứu phân tích giảm nhẹ dần ràng buộc số giả định Chẳng hạn, mô hình biến đổi từ mô hình Black-Scholes cho phép tính với r σ hàm phụ thuộc vào thời gian, mô hình biến đổi khác cho phép tính trường hợp cổ phiếu có trả cổ tức gian đoạn quyền chọn hiệu lực (mô hình nghiên cứu phần tiếp theo) Phân tích Black-Scholes/Merton Phân tích Black-Scholes/Merton tương tự với phân tích trường hợp kinh doanh chênh lệch giá để định giá quyền chọn giá cổ phiếu biến đổi theo mô hình nhị phân Người ta xây dựng danh mục đầu tư phi rủi ro bao gồm có quyền chọn (với vị định) cổ phiếu sở Khi không tồn hội kinh doanh chênh lệch giá, lợi nhuận thu từ danh mục đầu tư tương đương với lãi suất phi rủi ro r Khi quyền chọn phải đáp ứng phương trình vi phân điều kiện Cơ sở để lập danh mục đầu tư phi rủi ro nguồn gốc chung “tính bất ổn” ảnh hưởng đến giá cổ phiếu giá quyền chọn - biến động giá cổ phiếu Trong khoảng thời gian ngắn, giá quyền chọn mua có tương quan dương tuyệt biến động giá cổ phiếu sở; giá quyền chọn bán có tương quan âm tuyệt đối Trong hai trường hợp, xây dựng danh mục đầu tư hợp lý bao gồm quyền chọn cổ phiếu sở quyền chọn đó, lãi hay lỗ từ cổ phiếu bù đắp lãi hay lỗ từ quyền chọn, giá trị danh mục đầu tư vào cuối giai đoạn dự báo trước cách chắn Giả sử thời điểm mối tương quan mức điều chỉnh δ S nhỏ giá cổ phiếu mức điều chỉnh cộng gộp δ c nhỏ giá quyền chọn mua Châu Âu xác định theo công thức: δ c = 0.4δ S Điều có nghĩa độ dốc đường thẳng thể mối tương quan c S 0.4 (hình 4.3) Hình 4.3: Tương quan c S - 70 - Danh mục đầu tư phi rủi ro bao gồm: 0.4 cổ phiếu trường vị (mua vào 0.4 cổ phiếu); Một quyền chọn mua đoản vị (bán quyền chọn mua) Điểm khác biệt phân tích Black-Scholes/Merton với phân tích theo mô hình nhị phân tính phi rủi ro vị xác lập khoảng thời gian ngắn (Trên lý thuyết, tính phi rủi ro xuất khoảng thời gian mang tính thời điểm) Để trì tính phi rủi ro cần liên tục điều chỉnh tái cân bằngdanh mục đầu tư Chẳng hạn mối tương quan c S thay đổi từ δ c = 0.4δ S thành δ c = 0.5δ S tuần Như cần phải có 0.5 cổ phiếu để bán quyền chọn bán Tuy nhiên lợi nhuận thu từ danh mục đầu tư phi rủi ro thời điểm với lãi suất phi rủi ro Đây sở cho lập luận Black-Scholes/Merton đưa đến mô hình định giá họ 4.2.4 Công thức định giá Công thức tính giá quyền chọn mua bán kiểu Châu Âu Black-Scholes áp dụng với cổ phiếu không trả cổ tức sau: c = SN (d1 ) − Xe − rT N (d ) (4.2.5) − rT p = Xe N (− d ) − SN (− d1 ) (4.2.6) Trong đó:  S σ2  ln( d1 = ln( d2 = X )+r + T   σ T  σ2  S ) +r − T X   = d1 − σ T σ T Hàm N(x) hàm tích lũy cho biến phân phối chuẩn Nói cách khác thể xác suất biến phân phối chuẩn φ (0,1) có giá trị nhỏ x (hình 4.4) Hình 4.4: Hàm phân phối tích lũy - 71 - Các biến khác công thức (4.2.5) (4.2.6) là: c p giá quyền chọn bán quyền chọn mua kiểu Châu Âu, S giá cổ phiếu, X giá thực hiện, r lãi suất phi rủi ro, T thời gian lại thời điểm thực thi quyền σ độ bất ổn giá cổ phiếu Do giá quyền chọn mua kiểu Mỹ C giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu c cổ phiếu không trả cổ tức nên công thức (4.2.5) dùng để tính giá quyền chọn kiểu Mỹ Trên lý thuyết, công thức Black-Scholes lãi suất ngắn hạn r số Trên thực tế công thức thường dùng lãi suất r với lãi suất phi rủi ro từ hoạt động đầu tư thực khoảng thời gian T Đặc điểm công thức Black-Scholes Ta xem xét đặc tính công thức Black-Scholes cách xem xét cho biến công thức đến cực trị Khi giá cổ phiếu S lên cao, khả quyền chọn mua thực chắn Quyền chọn giống với hợp đồng kỳ hạn với giá giao X Từ công thức định giá hợp đồng kỳ hạn: f = S − Ke − rT (Trong công thức tính giá trị hợp đồng kỳ hạn f: giá trị hợp đồng; S giá tài sản; K giá giao tài sản thỏa thuận) Khi giá hợp đồng quyền chọn mua là: S − Xe − rT Đây giá quyền chọn mua có từ phương trình (4.2.5): S đạt giá trị lớn d1 d có giá trị lớn, N ( d1 ) N ( d ) có giá trị gần đến Khi giá cổ phiếu S tăng lên cao, giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu p tiệm cận dần đến Diễn giải phù hợp với phương trình (4.2.6) N ( − d1 ) N ( − d ) tiệm cận dần Khi giá cổ phiếu hạ xuống thấp, d1 d lớn âm N ( d1 ) N ( d ) tiệm cận giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu cho phương trình (…) tiệm cận dần Đồng thời N ( − d1 ) N ( − d ) có giá trị dần đến 1, giá quyền chọn bán tính qua phương trình (4.2.5) có giá trị gần đến Xe − rT − S Hàm phân phối chuẩn tích lũy Trong phương trình (4.2.5) (4.2.6), việc tính toán với hàm phân phối chuẩn tích lũy N công đoạn phức tạp Bảng giá trị N có phần phụ lục sách chuyên đề lý thuyết xác suất thống kê Hàm tính theo công thức: N ( x) = − (α1k + α k + α 3k ).N ′ ( x ) với x ≥ N ( x) = − N ( − x) ; với x < - 72 - 1 − x2 Trong đó: k = ; N ′( x) = e 1+α x 2π α = 0.33267;α1 = 0.4361836;α = −0.1201676;α = 0.9372980 Công thức cho ta tính giá trị N(x) xác đến 0.0002 Ví dụ 4.3: Một cổ phiếu có giá 42USD vào thời điểm tháng trước quyền chọn hết hiệu lực,giá thực quyền 40USD, lãi suất phi rủi ro 10% năm độ bất ổn 20% năm Ta có S = 42; X = 40; r = 0.1;σ = 0.2; T = 0.5 d1 = d2 = 42  0.22  ln( ) +  0.1 +  0.5 40   0.2 0.5 42  0.22  ln( ) +  0.1 −  0.5 40   = 0.7693 = 0.6278 = d1 − σ T 0.2 0.5 Xe − rT = 40e−0.1*0.5 = 38.049 Do quyền chọn quyền chọn mua kiểu Châu Âu, giá trị c là: c = SN (d1 ) − Xe − rT N (d ) = 42.N (0.7693) − 38.049 N (0.6278) = 42 * 0.7791 − 38.049 * 0.7349 = 4.76 Nếu quyền chọn bán kiểu Châu Âu, giá p là: p = Xe − rT N (− d ) − SN (− d1 ) = 38.049 * N (−0.6278) − 42 N (−0.7693) = 38.049 * 0.2651 − 42 * 0.2209 = 0.81 Giá cổ phiếu phải tăng thêm 2.76 USD để quyền chọn mua hòa vốn Tương tự giá cổ phiếu phải giảm 2.81 USD để quyền chọn bán hòa vốn 4.2.5 Định giá trung lập rủi ro Có kết quan trọng rút từ việc định giá hợp đồng phái sinh, nhà nghiên cứu thường gọi định giá trung lập rủi ro Nguyên lý kết luận là: Bất kỳ chứng khoán phụ thuộc vào loại chứng khoán giao dịch khác định giá sở áp dụng giả định nhà đầu tư trung lập rủi ro Cần lưu ý với định giá chứng khoán phái sinh đưa vào áp dụng giả định nhà đầu tư trung lập rủi ro Giả định có nghĩa hình thức rủi ro liên quan đến nhà đầu tư ảnh hưởng đến giá trị quyền chọn cổ phiếu giá trị viết dạng hàm với biến giá cổ phiếu sở Điều giải thích phương trình (4.2.5) (4.2.6) biến µ Định giá trung lập rủi ro công cụ quan trọng môi trường rủi ro trung lập ta có hai kết sau: Lợi nhuận kỳ vọng từ tất chứng khoán mức lợi suất phi rủi ro - 73 - Lợi suất phi rủi ro tỉ suất chiết khấu áp dụng phù hợp cho dòng tiền dự kiến tương lai Quyền chọn hợp đồng phái sinh khác có khả toán vào thời điểm định tương lai định giá sử dụng kỹ thuật định giá trung lập rủi ro Quy trình định giá theo bước sau: Giả định tỉ suất lợi nhuận kỳ vọng tài sản sở lợi suất phi rủi ro (tức r = µ ) Tính toán khoản tiền toán kỳ vọng từ quyền chọn thời điểm thực Chiết khấu khoản toán kỳ vọng lợi suất phi rủi ro Độ bất ổn (Rủi ro) Trong mô hình định giá Black-Scholes, tham số ghi nhận trực tiếp độ bất ổn giá cổ phiếu Ở phần trước giới thiệu cách ước lượng độ bất ổn từ liệu khứ Ngoài phương pháp giới thiệu trên, người ta thường dựa độ bất ổn quyền chọn hết hiệu lực có liên quan (cùng loại tài sản sở chẳng hạn) để ước lượng độ bất ổn quyền chọn Độ bất ổn quyền chọn hết hiệu lực ước lượng ngược lại sở giá tài sản sở, giá thực hiện, giá quyền chọn lợi suất Sau ước lượng độ bất ổn số hợp đồng quyền chọn (phái sinh nói chung) có liên quan, người ta gán cho giá trị tìm trọng số lấy bình quân trọng số giá trị Cách gán trọng số tìm hiểu nhiều nghiên cứu [Manaster], [Lantane], [Whaley] Xem xét nguyên nhân gây độ bất ổn quyền chọn Một số nhà nghiên cứu cho độ bất ổn quyền chọn bắt nguồn từ thông tin phát sinh ngẫu nhiên thu nhập tương lai từ cổ phiếu Những nhà phân tích khác lại giữ ý kiến cho nguồn gốc gây độ bất ổn chủ yếu hoạt động giao dịch Do nhiều người đặt câu hỏi liệu độ bất ổn chứng khoán sở giao dịch mở cửa có giữ nguyên đóng cửa [Fama] [French] tiến hành kiểm định thống kê câu hỏi Họ tiến hành thu thập số liệu giá đóng cửa sau ngày giao dịch khoảng thời gian dài tiến hành tính: Độ sai lệch lợi nhuận cổ phiếu thu từ lúc đóng cửa phiên với mức lợi nhuận từ cổ phiếu thời điểm đóng cửa phiên với điều kiện ngày nghỉ giao dịch xen Độ sai lệch thu nhập từ cổ phiếu đóng cửa phiên giao dịch ngày thứ đóng cửa ngày thứ Nếu số ngày giao dịch số ngày không giao dịch độ sai lệch tình thứ phải lớn gấp khoảng lần so với tình thứ Fama nhận thấy số 22% French tìm số tương tự, ông tính sai lệch tình thứ lớn tình thứ 19% - 74 - Kết độ bất ổn giá cổ phiếu ngày có giao dịch lớn nhiều so với không giao dịch Như giả định truyền thống nguồn gốc độ bất ổn xuất từ thông tin phải điều chỉnh thành thông tin cổ phiếu xuất thời gian diễn giao dịch Tuy nhiên số phân tích khác giá sản phẩm nông nghiệp, loại hàng hóa chịu ảnh hưởng nhiều từ yếu tố thời tiết, kết cho chúng có đặc tính giống giá cổ phiếu, độ bất ổn chúng thời gian có giao dịch tăng cao nhiều không giao dịch Người ta cho thông tin thời tiết có khả xuất vào ngày (không liên quan đến đặc tính giao dịch) Kết luận hợp lý rút độ bất ổn chịu ảnh hưởng lớn từ hoạt động giao dịch Thông qua đánh giá này, nhà phân tích cho tính toán độ bất ổn dùng tham số độ bất ổn mô hình định giá từ liệu khứ nên bỏ qua liệu ngày không diễn giao dịch Chẳng hạn công thức tính độ bất ổn bình quân năm tính sở độ bất ổn bình quân ngày diễn giao dịch năm qua công thứ: bất ổn bình quân năm=bất ổn bình quân ngày * songay với số ngày: số ngày diễn giao dịch năm Đây cách tiếp cận sử dụng xử lý với số liệu bảng (4.1) Số ngày có giao dịch năm thường 252 Cổ tức Giả định đặt từ đầu cổ phiếu không trả cổ tức thời gian quyền chọn hiệu lực Tuy nhiên rõ ràng điều lúc thực tế Ta mở rộng giả định cách giả định cổ tức cổ phiếu toán thời gian quyền chọn hiệu lực dự tính cách chắn Thời gian tồn quyền chọn thường tháng giả định có sở Ngày thích hợp để tiến hành định giá quyền chọn ngày giao dịch không trả cổ tức Vào ngày giá cổ phiếu giảm xuống lượng cổ tức Hiệu ứng sinh từ tượng giám giá quyền chọn mua tăng giá quyền chọn bán 4.2.6 Quyền chọn kiểu Châu Âu Có thể tiến hành phân tích quyền chọn kiểu Châu Âu trường hợp cách giả định giá cổ phiếu bao gồm thành phần: phần rủi ro sử dụng để toán cổ tức dự tính cho người nắm giữ toàn thời gian tồn quyền chọn phần lại có rủi ro Phần không rủi ro thời điểm giá trị tất khoản cổ tức toán thời gian quyền chọn có hiệu lực chiết khấu từ thời điểm ngày giao dịch không hưởng cổ tức lãi suất phi rủi ro Mô hình Black-Scholes xác S đặt với phần rủi ro giá cổ phiếu Xét phương diện sử dụng, mô hình Black-Scholes đưa vào áp dụng với - 75 - giá cổ phiếu trừ khoảng giá trị tất cổ tức toán thời gian tồn quyền chọn với lãi suất chiết khấu lãi suất phi rủi ro Tất nhiên cần lưu ý xem xét đến cổ tức ngày giao dịch không hưởng cổ tức nằm khoảng thời gian quyền chọn hiệu lực Ví dụ 4.4: Xem xét quyền chọn mua kiểu Châu Âu cổ phiếu với ngày giao dịch không hưởng cổ tức vào tháng sau Cổ tức toán lần dự tính 0.5$ Giá cổ phiếu thời điểm 40$, giá thực 40$, độ bất ổn giá cổ phiếu 30%/năm lãi suất phi rủi ro 9%/năm Thời gian hết hiệu lực quyền chọn tháng Giá trị khoản cổ tức toán là: 0.5e −0.09* 12 + 0.5e −0.09* 12 = 0.9741 Giá quyền chọn tính sử dụng công thức Black-Scholes với S = 39.0259, X = 40; r = 0.09;σ = 0.3; T = 0.5 Áp dụng mô hình ta tính giá quyền chọn mua 3.67$ Với cách tính này, σ mô hình độ bất ổn thành phần rủi ro giá cổ phiếu độ bất ổn toàn giá cổ phiếu Trên thực tế người ta thường giả định hai độ bất ổn tương đương Tuy nhiên xét phương diện lý thuyết độ bất ổn thành phần rủi ro giá xấp xỉ gấp S lần độ bất ổn giá cổ phiếu, D giá trị ( S − D) khoản cổ tức toán S giá cổ phiếu 4.2.7 Quyền chọn mua kiểu Mỹ Nghiên cứu cho thấy với quyền chọn bán kiểu Mỹ không nên thực sớm trước thời điểm hết hiệu lực cổ phiếu sở không trả cổ tức Khi cổ phiếu có trả cổ tức, thời điểm tối ưu để thực lại trước ngày giao dịch không hưởng cổ tức Lý việc cổ tức trả làm cho giá quyền mua giá cổ phiếu giảm giá trị Nếu cổ tức lớn vừa đủ quyền chọn có lãi vừa đủ người nắm giữ tiếp tục trì quyền khoảng thời gian lại để tránh tác động bất lợi từ cổ tức Trên thực tế, quyền chọn mua thường thực trước ngày giao dịch không trả cổ tức cuối Dưới ta phân tích phép xấp xỉ Fisher Black đưa để định giá quyền chọn mua kiểu Mỹ với cổ phiếu có trả cổ tức PHÉP XẤP XỈ CỦA BLACK Phép xấp xỉ Black bao gồm việc tính toán giá quyền chọn kiểu Châu Âu: Một quyền chọn có kỳ hạn với quyền chọn kiểu Mỹ; Một quyền chọn đáo hạn trước ngày giao dịch không hưởng cổ tức cuối thời gian quyền chọn có hiệu lực Giá thực hiện, giá ban đầu cổ phiếu, lãi suất phi rủi ro độ bất ổn giống hoàn toàn với quyền chọn xem xét Giá quyền chọn kiểu Mỹ - 76 - với giá quyền chọn Châu Âu có giá cao - 77 - CHƯƠNG CHƯƠNG TRÌNH TÍNH GIÁ QUYỀN CHỌN 5.1 Công cụ sử dụng Trong khuôn khổ Luận văn áp dụng công cụ MATLAB để tiến hành tính giá trị quyền lựa chọn loại châu Âu đơn giản (còn gọi vanilla option: quyền chọn đơn giản đặc biệt) với thời gian đáo hạn không xác định trước thông qua số phương pháp sau: Theo công thức tính giá trị quyền chọn mô hình Black –Scholes trình bày chương luận văn Theo mô hình nhị phân (binomial tree) phần trình bày chương Luận văn 5.2 Kết chạy chương trình 5.2.1 Theo công thức Black-Scholes Price Strike Rate Giá cổ phiếu Giá thực quyền chọn vào thời điểm đáo hạn Tỷ giá lãi suất phi rủi ro thị trường $50 $60 4% Time Thời gian đáo hạn hợp đồng quyền chọn (tính theo năm) Volatility Độ bất ổn giá cổ phiếu 24 tháng 30% Ta xây dựng hàm tính giá quyền chọn mua chọn bán theo công thức Black – Scholes sau: [Call, Put] = blsprice(50, 60, 0.04, 24/12, 0.30) Call = 6.4109 Put = 11.7979 Kết chạy chương trình: - 78 - 5.2.2 Theo phương pháp nhị phân mô hình Cox-Ross-Rubinstein Thời hạn hợp đồng năm ta tính toán giá trị nút cho nhị phân bước Bước 1: Trước hết tính giá cổ phiếu nhị phân bốn bước Vẫn với ví dụ Giá cổ phiếu Giá thực quyền chọn $50 $60 Tỷ giá lãi suất phi rủi ro thị trường 4% Thời gian đáo hạn hợp đồng quyền chọn (tính theo năm) 24 tháng Độ bất ổn giá cổ phiếu (sigma) 30% Số bước - 79 - Bước 2: Tính giá quyền chọn nhị phân bốn bước - 80 - 5.3 So sánh kết hai mô hình Ta thấy giá trị tính theo mô hình Cox-Ross-Rubinstein gần với giá trị tính theo mô hình Black – Scholes Nếu ta tăng số bước nhị phân kết gần với giá trị mô hình Black – Scholes - 81 - KẾT LUẬN Trong luận văn tìm hiểu khái niệm quyền chọn chứng khoán, công cụ tài phổ biến thị trường chứng khoán nước mẻ thị trường chứng khoán Việt Nam; nghiên cứu hai mô hình toán học để định giá quyền chọn, là: mô hình định giá quyền chọn nhị thức mô hình định giá quyền chọn Black – Scholes Đồng thời dùng phần mềm MATLAB để định giá quyền chọn chứng khoán dựa hai công thức trình bày Hai mô hình mà nghiên cứu có ưu điểm tính đơn giản việc tính giá trị quyền chọn áp dụng vào thực tế Như công thức định giá quyền chọn theo mô hình Black – Scholes ta thấy giá hợp lý không phụ thuộc vào tỷ suất lợi nhuận cổ phiếu µ Mô hình số hạn chế sau: lãi suất ngân hàng số thời gian hợp đồng quyền chọn (nhưng thực tế thay đổi theo thời gian, chí ngẫu nhiên), σ µ số (nhưng thực tế chúng thay đổi theo thời gian), chiến lược giả định tự điều chỉnh tài mà chưa tính đến tiêu dùng cổ tức, chưa tính đến phí giao dịch (transaction cost),… Do vậy, mô hình dSt = St ( µ dt + σ dWt ) giá cổ phiếu chưa hoàn toàn phù hợp với thực tiễn, Black nhận xét, người ta chấp nhận nó, coi xấp xỉ ban đầu để điều chỉnh mô hình cách hợp lý Do trình độ thời gian có hạn nên luận văn tiếp cận hai mô hình định giá quyền chọn là: mô hình định giá quyền chọn nhị thức mô hình Black –Scholes; áp dụng tính giá trị quyền chọn dựa mô hình nêu trên, chưa sâu vào nghiên cứu mô hình phức tạp hơn, phù hợp với điều kiện phát sinh thực tế Vì vậy, mong nhận nhận xét đóng góp từ thầy cô bạn Trong thời gian tới, mong có hội để nghiên cứu sâu vấn đề định giá quyền chọn với mô hình phức tạp hơn, ứng dụng nhiều thực tế - 82 - TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Văn Hữu/Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học tài chính, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Minh Kiều/Nguyễn Xuân Thành (2006-2007), Phân tích tài chính, Chương trình giảng dạy kinh tế Fulbright niên khóa 2006-2007, giảng 14: hợp đồng quyền chọn [4] Nguyễn Duy Tiến (2000), Các mô hình xác suất ứng dụng, tập III Giải tích ngẫu nhiên, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [5] Trần Hùng Thao (2004), Nhập môn Toán học tài chính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [6] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình Ngẫu nhiên Tính toán ngẫu nhiên, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [7] Quyền chọn quyền chọn thực ứng dụng thị trường tài Việt Nam, Sản phẩm nghiên cứu công ty TNHH Dan Houtte, Vương đối tác [8] Saga Việt Nam, http://www.saga.vn [9] http://empirics.net [10] http://www.hoadley.net/options/calculators.htm [11] http://hilltop.bradley.edu/~arr/bsm/model.html [12] A.D.Ventxel (1987), Giáo trình Lý thuyết trình ngẫu nhiên, Nhà xuất “Mir” [13] Alain Bensoussan, Qiang Zhang (2009), Handbook of Numerical Analysis, Volume XV: Special Volume: Mathematical Modeling and Numerical Methods in Finance, [14] André Farber (2002), The Binomial Option Pricing Model [15] Black F, Scholes M (1973), The Pricing of options and corporate liabilities, The Journal of Political Economy, Vol 81, No.3, pp 637-654 [16] Cox J C., Ross S A., Rubinstein M (1979), Option Pricing: A Simplified approach, The Journal of Financial Economics, 7.,pp 229-263 [17] Mayeda Reyes – Kattar (2007), Pricing Derivatives Securities using MATLAB [18] Steven Shreve (1997), Stochastic calculus and Finance, Carnegie Mellon University - 83 - ... chọn thị trường hàng hoá, quyền chọn thị trường tài quyền chọn thị trường ngoại hối Trong nội dung luận văn này, đề cập đến quyền chọn thị trường tài chính, cụ thể Quyền chọn thị trường chứng khoán. .. chọn thị trường chứng khoán toán định giá quyền chọn thị trường Chương 3: Trình bày cụ thể mô hình định giá quyền chọn với thời gian rời rạc theo hướng tiếp cận xây dựng mô hình toán áp dụng. .. từ lĩnh vực tri thức ứng dụng thực tế khác Hiện chứng kiến cộng tác chặt chẽ nhà toán học, nhà kinh tế nhà tài việc ứng dụng thành tựu toán học đại vào việc nghiên cứu mô hình kinh tế, phân tích