Một số mô hình toán tài chính dùng chuỗi thời gian liên tục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - Vũ Thị Chinh MỘT SỐ MÔ HÌNH TOÁN TÀI CHÍNH DÙNG CHUỖI THỜI GIAN LIÊN TỤC DÙNG CHUỖI THỜI GIAN LIÊN TỤC Chuyên ngành: Đảm bảo toán học cho máy tính hệ thống tính toán LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đảm bảo Toán học cho máy tính hệ thống tính toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Tống Đình Quỳ Hà Nội – 2010 Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng I: Tính toán ngẫu nhiên toán tài 1.1 Cơ sở toán tài 1.1.1 Thị trƣờng tài toán học 1.1.2 Cổ phiếu phái sinh 1.1.3 Quyền chọn 1.1.4 Một số khái niệm 10 1.1.5 Nguyên lý đáp ứng thị trƣờng đầy đủ 11 1.1.5 Xác suất rủi ro trung tính 13 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 14 1.2.1 Kỳ vọng có điều kiện 14 1.2.2 Martingale 16 1.2.3 Quá trình Gauss 17 1.3 Tính toán ngẫu nhiên 17 1.3.1 Quá trình Wiener 17 1.3.2 Tích phân Ito 18 1.3.3 Vi phân Ito 19 1.3.4 Công thức Ito 20 Chƣơng II: Mô hình Black – Scholes 21 2.1 Mô hình Black – Scholes 21 2.1.1 Giới thiệu mô hình 21 - 1- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 2.1.2 Quá trình chuyển động Brown hình học 23 2.1.3 Các tham số chuyển động Brown hình học 23 2.2 Công thức Black – Scholes định giá quyền chọn 24 2.2.1 Hợp đồng quyền chọn bán kiểu châu Âu 24 2.2.2 Công thức cặp đôi mua bán 25 2.2.3 Công thức Black – Scholes cho quyền chọn bán châu Âu 26 2.2.4 Quyền chọn mua châu Âu nhị phân 26 2.3 Phƣơng trình đạo hàm riêng Black – Scholes 27 2.3.1 Phƣơng trình 27 2.3.2 Các điều kiện biên phƣơng trình Black – Scholes 29 2.3.3 Giải phƣơng trình Black – Scholes 29 Chƣơng III: Một số phƣơng pháp mô quyền chọn 31 3.1 Lƣợc đồ chung 31 3.2 Định giá quyền chọn kiểu châu Âu 32 3.2.1 Phƣơng pháp Monte Carlo 32 3.2.2 Phƣơng pháp Antithetic Variate 33 3.3 Định giá quyền chọn kiểu Mỹ 35 3.3.1 Nội dung phƣơng pháp 35 3.3.2 Định giá quyền chọn 35 Chƣơng IV: Chƣơng trình mô 37 4.1 Sơ đồ thiết kế lớp 37 4.2 Kết mô 38 KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 - 2- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Danh mục hình vẽ Hình 1.1: Quyền chọn mua Hình 1.2: Quyền chọn bán Hình 4.1: Sơ đồ thiết kế lớp Hình 4.2: Biểu đồ dự báo giá chứng khoán Hình 4.3: Biểu đồ thể dãy giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng so với dãy giá đầu vào Danh mục bảng Bảng 4.1: Kết tính giá quyền chọn Bảng 4.2: Kết dự báo dãy giá chứng khoán Bảng 4.3: Ƣớc lƣợng dãy giá chứng khoán theo mô hình Black – Scholes - 3- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin chân thành cám ơn tập thể cán bộ, giảng viên Trƣờng Đại Học Bách Khoa – Hà Nội ngƣời ngày đêm không quản ngại khó khăn tạo điều kiện tốt để chúng em học tập, khôn lớn trƣởng thành Cám ơn thầy, cô khoa Toán - Tin Ứng dụng tạo điều kiện vật chất nhƣ tinh thần, bảo dìu dắt tận tình suốt thời gian em học Đại học tới học làm luận văn Cao học Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy, cô trƣờng tham gia trực tiếp giảng dạy, truyền đạt lại cho em kiến thức thiết thực, bổ ích khóa học Cao học Em xin cảm ơn tập thể cán Viện Đào tạo sau đại học tạo điều kiện thuận lợi cho em khóa học vừa qua Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Tống Đình Quỳ, thầy giáo hƣớng dẫn tốt nghiệp em Thầy bảo, tận tình hƣớng dẫn giúp đỡ em suốt trình hoàn thành luận văn Thầy thông cảm động viên em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn đến tất bạn lớp học Cao Học, Đảm bảo Toán học cho máy tính hệ thống tính toán khóa 2008 – 2010 ngƣời em học tập, phấn đấu, chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức, … giúp đỡ khóa học vừa qua - 4- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục LỜI NÓI ĐẦU Trong năm gần với sôi động thị trƣờng chứng khoán, toán tài ngày đƣợc phát triển mạnh mẽ đặc biệt quyền chọn – công cụ tài phái sinh phòng ngừa rủi Các mô hình toán học trợ giúp việc định giá quyền chọn cho việc thực thi công cụ cách hiệu thực tế Sự tìm hiểu học viên vấn đề thông qua việc nghiên cứu lý thuyết, mô hình toán học dƣới hƣớng dẫn Thầy giáo Tống Đình Quỳ Trên giới, hợp đồng quyền chọn đƣợc phát triển ứng dụng mạnh mẽ từ Sở Giao dịch quyền chọn Chicago CBOE Mỹ thành lập tháng – 1973 Ở Việt Nam, việc thực công cụ phái sinh để phòng ngừa rủi ro hoạt động kinh doanh chứng khoán chƣa đƣợc phổ biến Tuy nhiên gần xuất số ngân hàng thực quyền chọn hoạt động kinh doanh Do đó, việc tìm hiểu kiến thức quyền chọn để áp dụng rộng rãi nhƣ công cụ phòng ngừa rủi ro cho nhà đầu tƣ có nhiều ý nghĩa thiết thực Nội dung luận văn gồm: Chƣơng 1: Tính toán ngẫu nhiên toán tài Chƣơng 2: Mô hình Black – Scholes Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp mô quyền chọn Chƣơng 4: Chƣơng trình mô - 5- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Chương I: Tính toán ngẫu nhiên toán tài 1.1 Cơ sở toán tài 1.1.1 Thị trường tài toán học Hầu nhƣ nghe nói tới trung tâm giao dịch chứng khoán nhƣ New York, London Tokyo Các báo cáo hoạt động buôn bán thị trƣờng thƣờng xuất trang tờ báo hàng ngày tin tức thời truyền hình buổi tối quốc gia có kinh tế thị trƣờng Có nhiều thị trƣờng tài thị trƣờng có nét đặc trƣng đƣợc xác định thông qua loại hàng hóa tài giao dịch thị trƣờng Các thị trƣờng tài quan trọng gồm: Thị trƣờng cổ phiếu (stock market), Thị trƣờng trái phiếu (bond market), Thị trƣờng tiền tệ (currency market), Thị trƣờng hợp đồng giao sau hợp đồng quyền chọn (future and option market) Hàng hóa mua bán tài sản sở (basic equity) hay đƣợc gọi tài sản nguyên khởi (primitive equity) tài sản tảng (underlying equity) nhƣ: cổ phiếu, trái phiếu hay đơn vị tiền tệ Các loại hàng hóa khác đƣợc gọi phái sinh tài (financial derivative) hay tài sản phụ thuộc (contingent asset, contingent claim) hàng hóa mà giá trị tính đƣợc từ giá trị tài sản sở Phái sinh tài đối tƣợng nghiên cứu quan trọng Toán học tài nhƣ quyền chọn, hợp đồng kỳ hạn Vai trò toán học thị trƣờng tài tìm mối liên hệ giá phái sinh giá tài sản sở 1.1.2 Cổ phiếu phái sinh Cổ phiếu: Khi công ty gọi vốn, số vốn cần gọi đƣợc chia thành nhiều phần nhỏ gọi cổ phần Ngƣời mua cổ phần gọi cổ đông Cổ đông đƣợc cấp giấy chứng nhận sở hữu cổ phần gọi cổ phiếu Chỉ có công ty cổ phần phát hành cổ phiếu Nhƣ vậy, cổ phiếu chứng thƣ chứng minh quyền sở hữu phần cổ đông công ty cổ phần - 6- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Phái sinh chứng khoán (derivatives) công cụ đƣợc phát hành sở tài sản có nhƣ cổ phiếu, trái phiếu cho nhiều mục tiêu khác nhƣ phân tán rủi ro, bảo vệ lợi nhuận tạo lợi nhuận Thị trƣờng phái sinh chứng khoán thị trƣờng phát hành mua, bán chứng từ tài nhƣ quyền mua cổ phiếu, hợp đồng quyền chọn Các công cụ phái sinh phong phú đa dạng, nhìn chung có bốn công cụ gồm: hợp đồng kỳ hạn (forwards), hợp đồng tƣơng lai (futures), quyền chọn (options) hợp đồng hoán đổi (swaps) 1.1.3 Quyền chọn Quyền chọn cho phép đƣợc mua gọi quyền chọn mua (call option), quyền chọn cho phép đƣợc bán gọi quyền chọn bán (put option)  Quyền chọn mua trao cho ngƣời mua (ngƣời nắm giữ) quyền, nhƣng nghĩa vụ, đƣợc mua tài sản sở vào thời điểm hay trƣớc thời điểm tƣơng lai với mức giá xác định  Quyền chọn bán trao cho ngƣời mua (ngƣời nắm giữ) quyền, nhƣng nghĩa vụ, đƣợc bán tài sản sở vào thời điểm hay trƣớc thời điểm tƣơng lai với mức giá xác định Đối với quyền chọn mua, ta có ngƣời mua quyền chọn mua (holder) ngƣời bán quyền chọn mua (writer) Đối với quyền chọn bán, ta có ngƣời mua quyền chọn bán ngƣời bán quyền chọn bán Một cách phân loại khác chia quyền chọn thành quyền chọn kiểu châu Âu (European options) kiểu Mỹ (American options)  Quyền chọn kiểu châu Âu (European options) loại quyền chọn đƣợc thực vào ngày đáo hạn không đƣợc thực trƣớc ngày  Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) loại quyền chọn đƣợc thực vào thời điểm trƣớc thời điểm đáo hạn Gọi đáo hạn, thời điểm đáo hạn, giá thực giá trị thị trƣờng tài sản sở vào lúc mệnh giá quyền chọn vào thời điểm đáo hạn - 7- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Quyền chọn mua Tại thời điểm đáo hạn, thực quyền, ngƣời mua mua tài sản sở với giá Nếu mua thị trƣờng, ngƣời mua trả với giá Biểu đồ Hình 1.1: Quyền chọn mua Trƣờng hợp : thực quyền ngƣời mua mua tài sản sở với Khoản lợi thu đƣợc giá , thị trƣờng phải mua với giá Nhƣ trƣờng hợp này, ngƣời mua quyền chọn mua thực quyền nhận đƣợc giá trị Trƣờng hợp : thực quyền, ngƣời mua mua tài sản sở với giá X, hoàn toàn thị trƣờng để mua với giá Nhƣ trƣờng hợp này, ngƣời mua quyền chọn mua không thực quyền nhận đƣợc giá trị Tóm lại, giá trị nhận đƣợc ngƣời mua quyền chọn mua vào thời điểm đáo hạn giá trị đƣợc biểu diễn đƣờng gấp khúc tô đậm hình Tại thời điểm đáo hạn hay thời điểm quyền chọn hiệu lực, giá tài sản sở lớn giá thực , ta gọi quyền chọn mua có lời (in-the-money); giá tài sản sở nhỏ giá thực , ta gọi quyền chọn mua lời (out-of-the-money); giá tài sản sở giá thực , ta gọi quyền chọn mua hòa tiền (at-the-money) - 8- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Quyền chọn bán Tại thời điểm đáo hạn, thực quyền, ngƣời mua quyền chọn bán bán tài sản sở với giá , bán thị trƣờng, mức giá Biểu đồ Hình 1.2: Quyền chọn bán Trƣờng hợp : thực quyền ngƣời mua quyền chọn bán bán tài sản sở với giá , thị trƣờng bán đƣợc với giá Nhƣ trƣờng hợp này, ngƣời mua quyền chọn bán không thực quyền nhận giá trị Trƣờng hợp : thực quyền, ngƣời mua quyền chọn bán bán tài sản sở với giá , thị trƣờng phải bán với giá Nhƣ trƣờng hợp này, ngƣời mua quyền chọn bán thực quyền nhận đƣợc giá trị Tóm lại, giá trị nhận đƣợc ngƣời mua quyền chọn bán vào thời điểm đáo hạn giá trị đƣợc biểu diễn đƣờng gấp khúc tô đậm hình Đối với quyền chọn bán, vào thời điểm đáo hạn hay thời điểm quyền chọn giá trị, giá tài sản sở lớn giá thực , ta gọi quyền chọn bán lời (out-of-the-money); giá tài sản sở nhỏ giá thực , ta gọi quyền chọn bán có lời (in-the-money); giá tài sản sở giá thực , ta gọi quyền chọn bán hòa tiền (at- the-money) - 9- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Tƣơng tự ta có thuật toán Monte Carlo để ƣớc lƣợng giá trị quyền bán nhƣ sau: For to Mô Tính Tính End For Tính Tính giá quyền chọn Xét sai số ƣớc lƣợng giá trị quyền chọn theo phƣơng pháp Monte Carlo Theo Hull, p.413, ta có sai số ƣớc lƣợng độ lệch chuẩn payoff mẫu, nghĩa sai số giá trị quyền chọn tỷ lệ nghịch với bậc hai kích thƣớc mẫu Do đó, kích thƣớc mẫu lớn độ xác phƣơng pháp cao, nhƣng bù lại chi phí tính toán Tuy nhiên, có số phƣơng pháp rút gọn phƣơng sai nhằm làm giảm thời gian tính toán Một số phƣơng pháp nhƣ đƣợc đề cập phƣơng pháp Antithetic Variate 3.2.2 Phương pháp Antithetic Variate Thuật toán phƣơng pháp Antithetic Variate tƣơng tự nhƣ thuật toán Monte Carlo đƣợc đề cập phần Sự khác hai phƣơng pháp chỗ trƣớc ƣớc lƣợng giá quyền chọn kiểu châu Âu, phƣơng pháp Monte Carlo sinh variate sinh toán dựa giá trị mẫu độc lập , phƣơng pháp antithetic giá trị mẫu đƣợc tính toán dựa kỳ vọng đƣợc tính thông qua - 33- Nếu đƣợc tính Hơn nữa, theo phƣơng pháp Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Thuật toán phƣơng pháp antithetic variate đƣợc thực nhƣ sau: For to Mô Tính Tính Tính Tính Tính End For Tính Tính giá quyền chọn Tƣơng tự ta xây dựng thuật toán tính giá trị quyền chọn bán châu Âu dựa phƣơng pháp antithetic variate nhƣ sau: For to Mô Tính Tính Tính Tính Tính End For Tính Tính giá quyền chọn - 34- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 3.3 Định giá quyền chọn kiểu Mỹ 3.3.1 Nội dung phương pháp Đối với quyền chọn kiểu Mỹ, ngƣời nắm giữ quyền chọn thực quyền thời điểm trƣớc thời điểm đáo hạn Chính mà quyền chọn kiểu Mỹ phổ biến so với kiểu châu Âu Tại thời điểm, việc định giá quyền chọn ta cần xác định xem có nên thực thi quyền chọn hay không giống nhƣ quyền chọn kiểu châu Âu thời điểm đáo hạn Tuy nhiên, không giống với quyền chọn kiểu châu Âu xác định trƣớc điều kiện biên, quyền chọn kiểu Mỹ điều kiện không xác định Do đó, vấn đề định giá quyền chọn kiểu Mỹ đƣợc xem nhƣ vấn đề biên tự phƣơng trình đạo hàm riêng 3.3.2 Định giá quyền chọn Cho payoff thực thi quyền chọn kiểu Mỹ thời điểm Trong trƣờng hợp quyền chọn bán, Ký hiệu giá quyền chọn thời điểm Trƣớc hết ta xét thời điểm đáo hạn Do thời điểm cuối thực thi quyền chọn, payoff Tại thời điểm trƣớc chờ đến thời điểm đáo hạn , ngƣời nắm giữ thực thi quyền chọn Do ngƣời nắm giữ quyền chọn muốn thu đƣợc payoff lớn nhất, giá quyền chọn thời điểm là bƣớc thời gian Sử dụng phƣơng pháp hồi quy, ta có Bài toán đƣợc giải với Hơn nữa, - 35- supermartingale, Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Định tính giá quyền chọn kiểu Mỹ theo phƣơng pháp Monte Carlo ta sử dụng công thức (3.5) Trƣớc hết, sử dụng lƣợc đồ Euler mô quỹ đạo rời rạc Với quỹ đạo với vừa mô phỏng, ta thu đƣợc giá trị quyền chọn kiểu Mỹ Lƣợc đồ tính giá trị quyền chọn kiểu Mỹ: For to Gán For to Mô Tính End For Tính End For Tính giá quyền chọn Thời gian thực thi tốt thời điểm đạt cực đại Trƣờng hợp quyền chọn bán kiểu Mỹ hoàn toàn tƣơng tự quyền chọn mua - 36- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Chương IV: Chương trình mô Chƣơng trình bày số kết tính toán cụ thể giá loại quyền chọn theo phƣơng pháp đƣợc trình bày chƣơng trƣớc Thuật toán đƣợc cài đặt sử dụng ngôn ngữ lập trình hƣớng đối tƣợng Java 4.1 Sơ đồ thiết kế lớp Hình 4.1: Sơ đồ thiết kế lớp Trong đó: Calculation: Lớp thực thi chƣơng trình BlackScholes: Lớp thực thi việc tính toán giá trị quyền chọn WriteExcel: Lớp thực thi việc ghi nội dung kết chƣơng trình tệp excel ReadExcel: Lớp thực thi việc đọc nội dung liệu đầu vào chƣơng trình ImpliedVolatility: Lớp thực thi ƣớc lƣợng độ biến động Gaussian: Lớp thực thi việc tính giá trị hàm phân phối tích lũy Gauss - 37- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục StdRandom: Lớp thực thi việc sinh số ngẫu nhiên theo phân phối chuẩn Gauss 4.2 Kết mô Xét loại cổ phiếu có giá tuân theo mô hình Black – Scholes với tham số nhƣ sau: Thời điểm ban đầu Giá tài sản sở thời điểm ban đầu Giá thực thi thời điểm đáo hạn Lãi suất phi rủi ro Thời gian đáo hạn Độ biến động là: số quỹ đạo Gọi số điểm quỹ đạo Ta thu đƣợc kết thể giá trị quyền chọn mua quyền chọn bán: Tính trực tiếp từ công thức Black – Scholes, Tính theo phƣơng pháp mô Monte Carlo nhƣ sau: BlackScholes call option 10.450584 BlackScholes put option 5.573526 European style call option 10.597692 European style put option 5.5766779 American style call option 10.597618 American style put option 5.6799961 Implied volatility 0.2000014 Bảng 4.1: Kết tính giá quyền chọn Trong đó: Black-Scholes call option: giá quyền chọn mua tính trực tiếp từ công thức Black-Scholes Black-Scholes put option: giá quyền chọn bán tính trực tiếp từ công thức Black-Scholes European style call option: giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu đƣợc tính trực theo phƣơng pháp mô Monte Carlo European style put option: giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu đƣợc tính trực theo phƣơng pháp mô Monte Carlo - 38- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục American style call option: giá quyền chọn mua kiểu Mỹ đƣợc tính trực theo phƣơng pháp mô Monte Carlo American style put option: giá quyền chọn bán kiểu Mỹ đƣợc tính trực theo phƣơng pháp mô Monte Carlo Implied volatility: giá trị mô độ độ biến động Kết dự báo dãy giá cổ phiếu với giá khởi điểm ro , độ biến động Time 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 Predicted_Price 100 100.90962 100.29281 99.656325 100.71042 100.7745 101.86285 101.70493 102.62895 103.30453 105.48349 105.16732 106.76345 108.87047 108.9641 107.43645 109.7636 109.89576 107.63783 109.04574 106.11926 105.11983 106.61293 107.42285 108.6029 108.86045 105.09345 106.00276 106.70677 105.98074 106.4728 107.08511 106.39967 105.88316 , lãi suất phi rủi nhƣ sau: Time 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 Predicted_Price 108.2304 109.05626 109.52969 109.90711 108.32925 109.79262 110.55163 113.24196 113.43218 114.06852 115.83097 115.15548 116.84032 118.20135 115.43447 118.56132 119.26366 116.29214 116.20494 116.78413 117.49587 116.61377 114.48427 119.33717 119.77721 120.21726 120.65731 121.09735 121.5374 121.97744 122.41749 122.85753 123.29758 123.73762 - 39- Time 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 Predicted_Price 117.82586 118.86109 120.86855 120.67447 123.49613 125.65464 127.86606 127.74482 127.79843 127.54699 129.36872 130.87835 128.06689 127.81655 126.50133 125.75563 127.70237 128.94762 127.78486 125.98324 126.7137 126.52463 127.45384 127.99991 126.84855 128.67846 127.91497 128.62891 129.48572 130.12296 127.70643 128.62005 126.25258 122.10515 Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 104.8993 105.18789 103.44464 102.83418 103.7362 104.55855 101.20967 101.30377 103.1335 103.08287 103.92487 104.25234 102.76931 103.48161 103.95562 104.07779 102.41949 102.44308 102.5552 100.97141 103.84991 104.06948 104.83137 102.92661 102.9801 103.00681 102.87744 102.58038 101.98044 103.05335 103.10437 104.18855 106.47899 106.15435 105.87803 109.42228 111.03772 110.45659 111.49685 113.8599 111.08293 113.07642 113.85817 113.88515 112.95702 111.36726 108.8057 108.42141 108.31576 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 124.17767 124.61771 125.05776 125.49781 125.93785 126.3779 126.81794 127.25799 127.69803 128.13808 128.57812 129.01817 129.45822 129.89826 130.33831 130.77835 131.2184 131.65844 132.09849 132.53853 132.97858 133.41863 133.85867 134.29872 134.73876 135.17881 135.61885 136.0589 136.49894 136.93899 137.37903 137.81908 138.25913 138.69917 139.13922 139.57926 140.01931 140.45935 140.8994 141.33944 141.77949 142.21954 142.65958 143.09963 143.53967 143.97972 144.41976 116.42009 116.9988 - 40- 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 122.42589 121.83518 122.84065 121.0775 122.1555 121.52332 123.93405 123.30836 123.88991 122.18208 120.51597 122.76908 121.79492 119.78087 118.18978 116.29014 115.15855 113.60846 112.45456 113.0848 112.89894 112.00043 111.04169 111.37744 112.26789 112.67938 113.92775 112.80166 114.26763 113.8 113.3855 114.1785 115.28387 115.50775 114.02436 112.74174 115.5676 116.73849 114.94142 113.74666 112.06953 112.47274 112.4118 110.57862 111.46818 110.60949 110.14388 110.08153 111.51009 Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 83 108.1061 167 117.85305 251 111.58973 Bảng 4.2: Kết dự báo dãy giá chứng khoán Biểu đồ thể dãy giá chứng khoán: Predicted_Price 140 120 100 80 60 Predicted_Price 40 20 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226 241 Hình 4.2: Biểu đồ dự báo giá chứng khoán Xét trƣờng hợp: dãy giá chứng khoán đầu vào, ta ƣớc lƣợng tham số trung bình mẫu phƣơng sai mẫu Khi đó, ta ƣớc lƣợng dãy giá chứng khoán theo mô hình Black – Scholes dựa tham số trung bình mẫu phƣơng sai mẫu vừa tính đƣợc từ Kết thực ƣớc lƣợng đƣợc đƣa bảng dƣới đây: Time 10 Origin Price 100 101.55 103.38 105.2 106.92 108.64 110.36 112.08 113.8 115.52 117.24 Estimated Price 100 98.526666 98.477028 97.814793 98.803549 97.397604 96.79353 97.027964 97.473639 95.404227 96.137105 - 41- ERR 37.04824 57.154519 57.907506 68.42489 53.04468 75.50085 86.363501 82.061177 74.185277 114.1158 98.994969 Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 118.96 118.84 117 115.15 113.37 112.51 112.39 114.11 116.08 118.04 118.19 118.21 118.76 118.98 119.69 120.71 120.92 121.14 122.21 124.33 120.97 119 117.24 118 118.84 117 118.76 116 119.69 120.71 120 121.14 118 117.78 118.25 117 116.75 116 117.8 115 115.79 117 119.25 118.87 117 120 120.67 122 121.78 94.503723 95.386553 96.734079 93.850943 93.244262 93.573444 93.913746 94.032838 94.203296 95.495953 97.18995 96.351007 98.438219 99.011854 97.835053 101.27737 103.38495 101.86301 102.96133 101.81963 104.92536 104.84191 104.33562 102.93758 106.01773 107.87715 105.67386 104.98369 101.82644 101.24988 100.39915 102.20153 104.25094 105.63162 104.24287 102.06488 102.82445 101.52184 101.84078 102.59264 105.16112 104.1367 105.73783 105.28982 107.22547 106.49983 107.27105 109.62285 110.7285 - 42- 134.16596 114.49372 87.472012 149.7144 164.92889 156.58223 148.18146 145.29622 141.21592 112.16449 79.152628 94.784243 58.499665 50.053822 68.090114 23.129957 7.2996053 17.839806 9.7680879 18.20813 1.3487628 1.5495652 3.0663705 9.9171351 0.0047602 3.2056101 0.1704623 1.2166923 18.150076 23.395057 32.348471 15.094734 3.370106 0.2071221 3.3998139 16.175273 10.642464 20.838161 18.028069 12.208674 0.8567501 3.8026062 0.1217279 0.6350624 1.2967358 0.1706549 1.4026278 12.504156 21.546045 Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 121 121.9 122.78 122.26 119.89 118.7 118.35 117.67 116.87 116 115.35 112 110 111.9 116 119 118.9 117.79 118.9 116.75 117.35 118.34 119.89 118.45 120.67 122.89 120.76 119.75 120.25 120.334 110.75912 111.79588 111.53251 109.27762 111.76402 112.31449 112.70304 114.28268 116.92228 114.73371 115.91077 116.69327 115.43363 115.52086 118.09191 118.20453 119.98908 119.09406 118.88156 118.62246 119.20457 118.65486 120.49265 119.57518 119.53671 118.72471 118.14025 118.92978 119.59215 119.58666 21.831241 32.594398 29.6566 10.181814 32.231642 38.785037 43.775598 67.173603 117.40915 74.770296 96.511848 112.49879 87.364527 89.002945 144.1245 146.84114 193.2755 169.19062 163.70788 157.14464 172.07782 157.95793 207.53062 181.93838 180.90203 159.71868 145.28744 164.94413 182.39642 182.24812 Bảng 4.3: Ƣớc lƣợng dãy giá chứng khoán theo mô hình Black – Scholes Trong đó: Time: bƣớc thời gian Origin Price: dãy giá chứng khoán đầu vào Estimated Price: dãy giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng theo mô hình Black – Scholes ERR: bình phƣơng sai số giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng theo mô hình Black – Scholes - 43- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục Biểu đồ thể dãy giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng so với dãy giá đầu vào: 140 120 100 80 Origin Price 60 Estimated Price 40 20 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 Hình 4.3: Biểu đồ thể dãy giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng so với dãy giá đầu vào Gọi dãy giá đƣợc ƣớc lƣợng, trung bình dãy , cột ERR thể bình phƣơng sai số tƣơng ứng Khi tổng bình phƣơng sai số đƣợc tính nhƣ sau: Nhận xét: Từ bảng kết cho thấy phƣơng pháp tính giá trị quyền chọn cho kết tƣơng tự với số quỹ đạo 10000, số bƣớc quỹ đạo 400 Trong thực tế, số quỹ đạo nhỏ số bƣớc quỹ đạo nhỏ kết thu đƣợc có độ xác không cao Thông thƣờng với số quỹ đạo khoảng 5000, số bƣớc quỹ đạo khoảng 400 kết thu đƣợc tƣơng đối xác Nếu giá chứng khoán tăng giá quyền chọn mua tăng Ngƣợc lại, giá chứng khoán giảm giá quyền chọn mua giảm theo Hay nói - 44- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục cách khác, giá chứng khoán giá quyền chọn mua có quan hệ dƣơng Đối với giá quyền chọn bán, mối quan hệ quan hệ âm Từ biểu đồ đồ 4.3 ta thấy dãy giá chứng khoán đƣợc ƣớc lƣợng biến động ngẫu nhiên, biến động thƣờng nhỏ so với dãy giá thực tế Điều có nghĩa dãy giá chứng khoán biến động tƣơng đối nhỏ mô giá theo mô hình Black – Scholes có độ xác tƣơng đối cao Nếu dãy giá chứng khoán biến động mạnh hay có tính khuynh, mùa việc sử dụng mô hình Black – Scholes trực tiếp thƣờng không mang nhiều ý nghĩa - 45- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu khái niệm tính toán ngẫu nhiên toán tài chính; mô hình Black – Scholes để định giá quyền chọn; phƣơng pháp Monte Carlo mô giá quyền chọn theo mô hình Black – Scholes Luận văn chƣa trọng vào việc vào việc đƣa nghiên cứu hay cải tiến mặt lý thuyết mô hình Black – Scholes song luận văn trình bày số thủ tục để định giá quyền chọn theo công thức Black – Scholes Một số kết luận văn đƣợc tính toán theo phƣơng thức đƣợc cài đặt ngôn ngữ lập trình Java có ƣớc lƣợng tham số độ biến động mô hình Black – Scholes thể xác phƣơng pháp mô Định giá quyền chọn vấn đề mở giá chứng khoán biến động theo nhiều mô hình khác mà mô hình Black – Scholes trƣờng hợp cụ thể Do đó, tƣơng lai tác giả cố gắng tiếp tục nghiên cứu vấn đề để ứng dụng đƣợc thực thị trƣờng chứng khoán Việt Nam Tác giả chân thành cảm ơn PGS.TS Tống Đình Quỳ tận tình hƣớng dẫn giúp học viên hoàn thành luận văn - 46- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: Nguyễn Văn Cƣờng (2004), Mô hình Black – Scholes ứng dụng tài chính, Luận văn thạc sĩ toán học, trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội Đỗ Văn Hiệp (2007), Phương pháp Monte Carlo vấn đề định giá quyền chọn tài chính, Luận văn thạc sĩ khoa học, trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội Nguyễn Minh Kiều, Nguyễn Xuân Thành (2006), “Hợp đồng quyền chọn”, Chương trình giảng dạy kinh tế Fullbright, Bài giảng 14 Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn toán học tài chính, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Tiếng Anh: Nitesh Aidasani Khyami, Option pricing, Java programming and Monte Carlo simulation John C Hull (1997), Options, Futures, and Other Derivatives, Prentice Hall George Marsaglia (2004), “Evaluating the Normal Distribution”, Journal of Statistic Software, July 2004, Volume 11, Issue Ruey S Tsay (2002), Analysis of Financial Time Series, University of Chicago Paul Wilmott (1998), Derivatives: Theory and practice of financial engineering, John Wiley & Sons Ltd, Baffins Lane, Chichester, West Sussex PO19 IUD, England Websites: 10 http://www.cs.princeton.edu/introcs/22library/BlackScholes.java.html 11 http://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform 12 http://www.saga.vn/Taichinh/Congcu/Congcuphaisinh/8672.saga - 47- ... Tính toán ngẫu nhiên toán tài Chƣơng 2: Mô hình Black – Scholes Chƣơng 3: Một số phƣơng pháp mô quyền chọn Chƣơng 4: Chƣơng trình mô - 5- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục. .. 21 2.1 Mô hình Black – Scholes 21 2.1.1 Giới thiệu mô hình 21 - 1- Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục 2.1.2 Quá trình chuyển động Brown hình học .. .Một số mô hình toán tài dùng chuỗi thời gian liên tục MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng I: Tính toán ngẫu nhiên toán tài 1.1 Cơ sở toán tài