NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Đậu Thị Huế NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Đậu Thị Huế NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số : 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn này, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người tận tình bảo hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giảng viên khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tận tình dạy bảo cho trình học tập khoa Xin cảm ơn cán Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học viên khác học tập nghiên cứu hiệu Cuối cùng, xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Tp Hồ Chí Minh, tháng năm 2013 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138 MỞ ĐẦU Mối quan hệ tính chất nhóm tối đại nhóm hữu hạn cấu trúc nhóm nghiên cứu rộng rãi Tính chuẩn tắc nhóm nhóm hữu hạn đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu nhóm hữu hạn Ta biết nhóm hữu hạn G lũy linh nhóm tối đại G chuẩn tắc G Định lý tiếng B Huppert nhóm hữu hạn G siêu giải nhóm tối đại G có số nguyên tố G Gần đây, có nhiều kết nghiên cứu nhóm hữu hạn thú vị, chẳng hạn: G nhóm giải nhóm tối đại M c-chuẩn tắc G Ngoài ra, nhóm c-chuẩn tắc có nhiều ứng dụng khác việc nghiên cứu cấu trúc nhóm hữu hạn Đó lý chọn đề tài để tìm hiểu Nội dung luận văn dựa báo [9], trình bày số kết nhóm c-chuẩn tắc tính chất nó, đưa vài tính chất tương tự nhóm chuẩn tắc cho nhóm c-chuẩn tắc nhóm hữu hạn Đồng thời, nghiên cứu tính chất nhóm c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải nhóm siêu giải được, tổng quát số định lý tiếng việc dùng khái niệm c-chuẩn tắc Luận văn gồm chương: CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày lại khái niệm, chứng minh lại số định lý, bổ đề để dùng luận văn CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG Chương trình bày khái niệm nhóm c-chuẩn tắc số tính chất Sau nghiên cứu tính chất nhóm c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải nhóm siêu giải Tổng quát định lý Srinivasan cách thay điều kiện chuẩn tắc điều kiện yếu c-chuẩn tắc luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 of 138 BẢNG KÝ HIỆU Hx Nhóm liên hợp với H NG ( H ) Chuẩn hóa tử H G CG ( H ) Tâm hóa tử H G Z (G ) Tâm G H ≤G, H p Vô lý Vậy N G ( P ) = G Hay P  G Bằng phương pháp quy nạp theo G ta có G P nhóm giải P p-nhóm nên P giải Vậy G nhóm giải 39 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi41 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi42 of 138 Ta chứng minh G nhóm siêu giải phương pháp quy nạp theo G Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G M N nhóm tối đại G N M nhóm tối đại G N ≤ M Ta có G N : M N = G : M số nguyên tố Theo giả thiết quy nạp, G N nhóm siêu giải Nếu tồn K nhóm chuẩn tắc tối tiểu khác G, K ≠ N Vì G K , G N nhóm siêu giải nên G K  N nhóm siêu giải Mặt khác, K  N = Vậy G nhóm siêu giải Nếu N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Vì G nhóm giải hữu hạn nên N p-nhóm Aben G Do N nhóm chuẩn tắc lũy linh G Suy N ≤ F ( G ) Nếu tồn q ước nguyên tố F ( G ) , q ≠ p Gọi Q q-nhóm Sylow F(G) Do tính lũy linh F(G) nên Q q-nhóm Sylow F(G) Suy Q    char F ( G ) Mà F ( G )  G nên Q  G Vậy G có q-nhóm chuẩn tắc, tồn q-nhóm chuẩn tắc tối tiểu G, mâu thuẫn Vậy F(G) p-nhóm Nếu N ≤/ Φ ( G ) tồn nhóm tối đại M G cho N ≤/ M Do đó, G = MN Rõ ràng M  N  N , M  N  M Vậy M  N  G Do tính tối tiểu N nên M  N = Suy N = G : M số nguyên tố Do N nhóm cyclic Vậy G nhóm siêu giải Nếu N ≤ Φ ( G ) G Φ (G ) G ) (  N  Φ (G )   N   nhóm siêu giải Theo ĐỊNH LÝ 1.8.14 G nhóm siêu giải (2) Theo (1), G nhóm siêu giải F 40 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi42 of 138 sc = ∅ luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi43 of 138 Vậy G nhóm siêu giải G = S s ( G ) (3) Vì nhóm thương nhóm siêu giải nhóm siêu giải nên G nhóm siêu giải G N nhóm siêu giải Ngược lại, G N nhóm siêu giải M ∈F s Khi đó, M N nhóm tối đại G N Do đó, G : M = G N : M N số nguyên tố Vậy theo (1), G nhóm siêu giải Bổ đề 2.2.5 Cho G nhóm hữu hạn Nếu N nhóm chuẩn tắc nhóm G M nhóm ( ) tối đại G cho N ≤ M η G N : M N = η ( G : M ) Chứng minh Giả sử (X N) ( N) Y thương G N , X nhóm tối tiểu thỏa ( X N )( M N ) = G N Theo định nghĩa, η (G N : M N ) = X Y Giả sử H ≤ X nhóm tối tiểu tập phần bù chuẩn tắc M G Khi đó, HN ≤ X , HN  G ( HN ) M = G Do tính tối tiểu X ta có HN = X Mặt khác, N ≤ Y nên HY = X Gọi H K thương G với H  Y ≤ K Khi η ( G : M ) = H K Vì Y ≤ KY < X ( ) KY  G nên KY = Y K = H  Y Suy H K = X Y Hay η G N : M N = η ( G : M ) 2.3 Một số kết Ta biết "Một nhóm hữu hạn nhóm lũy linh nhóm tối đại nhóm chuẩn tắc" Sau ta xét định lý tương tự nhóm chuẩn tắc cho nhóm c-chuẩn tắc nhóm hữu hạn Định lý 2.3.1 41 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi43 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi44 of 138 Cho G nhóm hữu hạn Khi G nhóm giải nhóm tối đại G nhóm c-chuẩn tắc G Chứng minh Giả sử G nhóm giải M nhóm tối đại G Nếu M G ≠ G M nhóm có cấp nhỏ cấp G Do đó, phương pháp quy nạp G theo cấp G M M nhóm c-chuẩn tắc G M Theo BỔ ĐỀ 2.2.1 (4) M G G nhóm c-chuẩn tắc G Nếu M G = Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G N nhóm aben N ≤/ M Khi G = NM N  M = 1= M G Vậy theo định nghĩa, M nhóm c-chuẩn tắc G Ngược lại, giả sử nhóm tối đại G nhóm c-chuẩn tắc G G nhóm giải Gọi G nhóm có cấp nhỏ mà nhóm tối đại M nhóm c-chuẩn tắc G G không nhóm giải Nếu G nhóm đơn theo BỔ ĐỀ 2.2.1 (2), G c-đơn Do M = Vậy G nhóm có nhóm tầm thường G nên G nhóm cyclic cấp nguyên tố Điều mâu thuẫn với giả thiết G không giải Vậy G nhóm đơn Gọi K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Thật vậy, giả sử K1 K2 hai nhóm chuẩn tắc tối tiểu khác G Khi giả thiết định lý cho G K , G K nên G K , G K nhóm giải Do 2 G K 1K nhóm giải Mà K  K = nên G giải Điều mâu thuẫn Vậy K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Nếu K ≤ M với nhóm tối đại M G K ≤ Φ ( G ) Vì G K nhóm giải K ≤ Φ ( G ) nên G Φ (G ) G ) (  K  Φ (G )   K   nhóm giải Mặt khác, Φ ( G ) nhóm 42 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi44 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi45 of 138 giải Vậy G nhóm giải Điều mâu thuẫn Do đó, tồn nhóm tối đại M G cho K ≤/ M Khi đó, M G = Thật vậy, M G ≠ M G nhóm chuẩn tắc G nên K ≤ M G ≤ M Điều mâu thuẫn với K ≤/ M Vì K ≤/ M nên G = KM M nhóm c-chuẩn tắc G nên tồn nhóm chuẩn Do đó, N ≠ Vì vậy, K ≤ N tắc N G cho G = MN M  N ≤ M G = : M K Vậy, K = N N G = = K  M = Suy ra, Với nhóm chuẩn tắc tối đại L G mà LG = KL = G Mặt khác, L nhóm c-chuẩn tắc G nên lập luận tương tự ta có K  L = Gọi P p-nhóm Sylow K, giả sử P < K Vì P ≠ 1, P < K , K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G nên P nhóm chuẩn tắc G Do đó, Q = N G ( P ) nhóm thực G Vậy tồn nhóm tối đại R G cho Q ≤ R Theo bổ đề Frattini, G = K Q Do đó, = G KQ = KR Từ suy K ≤/ R nên RG = Vậy K  R = Ta có: P ≤ K  Q ≤ K  R = Điều mâu thuẫn Vậy nên K = P p-nhóm Do đó, K giải Rõ ràng, G K thỏa điều kiện định lý G K có cấp nhỏ G nên G K giải Từ ta có G giải Điều mâu thuẫn với cách chọn G Định lý 2.3.2 Cho G nhóm hữu hạn M nhóm tối đại G Khi M nhóm cchuẩn tắc G η ( G : M ) = G : M Chứng minh Giả sử M nhóm c-chuẩn tắc G Ta chứng minh η ( G : M ) = G : M phương pháp quy nạp theo cấp G Nếu M G ≠ G M nhóm có cấp nhỏ cấp G G Vì M nhóm c-chuẩn tắc G nên M M nhóm c-chuẩn tắc G M Do đó, G G 43 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi45 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi46 of 138 η  G M : M M  = G M : M M G G  G G  Theo BỔ ĐỀ 2.2.5  G :M :M = η ( G : M ) η  G= G:M  = M M MG MG G G   Nếu M G = M nhóm c-chuẩn tắc G nên theo định nghĩa tồn nhóm MN G, M  N ≤= M G Do vậy, N ≠ Giả sử tồn chuẩn tắc N G cho = = N G = : M K Suy nhóm chuẩn tắc K G cho ≠ K ≤ N K  M = Do đó, N = K Vì N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Theo định nghĩa số chuẩn tắc, η ( G : M=) N = G:M Ngược lại, giả sử η ( G : M ) = G : M Nếu G nhóm đơn η ( G : M ) = G Theo giả thiết, η ( G : M ) = G : M Suy ra, G = G : M Do đó, M = Vậy M nhóm c-chuẩn tắc G Giả sử G nhóm đơn Nếu M G ≠ G M nhóm có cấp nhỏ G nên G quy nạp theo cấp G, ta có M M nhóm c-chuẩn tắc G M Do đó, M G G nhóm c-chuẩn tắc G Nếu M G = , gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G MN = G η ( G : M ) = N Theo giả thiết, η ( G : M ) = G : M Từ suy ra, G : M = N Vậy M  N = 1= M G nên theo định nghĩa, M nhóm c-chuẩn tắc G Hệ 2.3.3 Cho G nhóm hữu hạn Khi G nhóm giải η ( G : M ) = G : M với nhóm tối đại M G Chứng minh Theo ĐỊNH LÝ 2.3.1, G nhóm giải nhóm tối đại M G nhóm c-chuẩn tắc G Theo ĐỊNH LÝ 2.3.2, nhóm tối đại M G nhóm 44 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi46 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi47 of 138 c-chuẩn tắc G η ( G : M ) = G : M Vậy G nhóm giải η ( G : M ) = G : M với nhóm tối đại M G Định lý 2.3.4 Cho G nhóm hữu hạn Khi G nhóm giải tồn G nhóm tối đại M giải được, c-chuẩn tắc Chứng minh Giả sử G nhóm giải Khi theo ĐỊNH LÝ 2.3.1 nhóm tối đại M G nhóm c-chuẩn tắc G Hơn nữa, nhóm nhóm giải nhóm giải nên M nhóm tối đại giải được, c-chuẩn tắc G Ngược lại, giả sử định lý sai Gọi G phản ví dụ có cấp nhỏ Gọi M nhóm tối đại giải được, c-chuẩn tắc G Khi đó, M G = Thật vậy, giả sử M G ≠ G M nhóm có cấp nhỏ G Mặt khác, G M MG nhóm tối đại giải c-chuẩn tắc G M Do đó, G M nhóm giải G G Hơn nữa, M G nhóm nhóm giải M nên M G giải Vậy G giải Điều mâu thuẫn Vậy M G = G nhóm đơn Thật vậy, G nhóm đơn G nhóm c-đơn, M = Vậy G nhóm nên G nhóm cyclic Do đó, G nhóm giải Điều mâu thuẫn Gọi K nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Vì M G = nên K ≤/ M Do đó, = G KM = , M  K M nhóm c-chuẩn tắc G nên tồn N nhóm chuẩn tắc G cho G = NM M  N ≤ M G = Gọi L nhóm chuẩn tắc tối tiểu M Đặt K1 = CK ( L ) = {k ∈ K l −1 } kl = k , ∀l ∈ L 45 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi47 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi48 of 138 Với g ∈ M , k ∈ K1 , l ∈ L, ta có: −1 −1 −1 −1 lgkg l g ( g −1lg ) k ( g −1l −= g ) g −1 g ( l1kl= gkg −1 , l1 ∈ L = )g Vậy gkg −1 ∈ K1 Do K1 M-bất biến Vì M nhóm tối đại G nên K có hai nhóm M-bất biến K Nếu K1 = K L  KM = G Điều mâu thuẫn với M G = Vậy K1 = Ta có ( L , K ) = Thật vậy, ( L , K ) ≠ , giả sử L = pα P p-nhóm Sylow LK chứa L Khi P  K nhóm chuẩn tắc không tầm thường P nên Z ( P )  K ≠ Mặt khác, Z ( P )  K ≤ CK ( L ) = 1, mâu thuẫn Vậy ( L , K ) = Với số nguyên tố q ước K , tồn q-nhóm Sylow L-bất biến Q K −1 −1 −1 −1 g Qgl g= l1 Ql1 g g −1Qg Do đó, g −1Qg q-nhóm Sylow Với g ∈ M , l ∈ L ta có l= L-bất biến K Do tính Q ta có g −1Qg = Q Suy Q nhóm Sylow M-bất biến K Mặt khác, K có hai nhóm M-bất biến K nên Q = K Vậy K q-nhóm, K giải Vì G K K nhóm giải nên G giải được, mâu thuẫn Nói cách khác, không tồn phản ví dụ Vậy định lý Định lý 2.3.5 Cho G nhóm hữu hạn p ước nguyên tố lớn G Nếu M c-chuẩn tắc G với nhóm tối đại không lũy linh M ∈F pc Chứng minh Giả sử định lý sai G phản ví dụ có cấp nhỏ 46 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi48 of 138 G nhóm p-giải luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi49 of 138 Khi đó, F pc ≠ ∅ Thật vậy, F pc = ∅ theo BỔ ĐỀ 2.2.2 (3), G = S p (G ) p- đóng Do tồn p-nhóm Sylow P cho P  G Vậy G nhóm p-giải được, mâu thuẫn M nhóm c-chuẩn tắc G với M ∈F nhóm tối đại M ∈F pc pc Thật vậy, ta chứng minh không lũy linh Giả sử tồn M ∈ F pc cho M lũy linh Vì G không giải nên theo ĐỊNH LÝ 1.6.18 M ≠ với M 2-nhóm Sylow M Nếu M 2-nhóm p = G 2-nhóm, G nhóm 2-giải Điều vô lý Vậy G không giải M 2′ ≠ ≠ M M 2′ 2'-nhóm Hall M Theo ĐỊNH LÝ 1.8.13 M 2′ nhóm chuẩn tắc G Rõ ràng G M thỏa mãn giả 2′ thiết G Do cách chọn G, ta có G M nhóm p-giải Hơn nữa, M 2′ nhóm giải 2′ Vậy G nhóm p-giải được, mâu thuẫn Giả sử G nhóm đơn Vì F pc ≠ ∅ nên tồn M ∈F pc Do M nhóm c-chuẩn tắc G nhóm đơn nên G nhóm c-đơn Suy M = Vậy G nhóm có hai nhóm tầm thường Do G nhóm cyclic Vậy G nhóm p-giải được, mâu thuẫn Vậy G nhóm đơn Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Khi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G Nếu p ước N hay N p-nhóm N nhóm p-giải Mặt khác, G N thỏa điều kiện định lý có cấp nhỏ cấp G nên G N nhóm p-giải Vậy G nhóm p-giải được, mâu thuẫn Vậy p N Gọi P p-nhóm Sylow G Đặt N p = P  N N p p-nhóm Sylow N N ≠ N p Rõ ràng, N p  N G ( P ) 47 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi49 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi50 of 138 Theo bổ đề Frattini, G = NN G ( N p ) Vì ≠ N p ≠ N nên N p nhóm chuẩn tắc G Do đó, N G ( N p ) nhóm thực G Vì tồn nhóm tối đại M G cho N G ( P ) ≤ N G ( N p ) ≤ M Vậy M ∈F p Nếu N ≤ = M G NN G ( N p ) ≤ M , mâu thuẫn Do N ≤/ M Vì M G = Nếu G : M = q số nguyên tố q < p Theo định lý Sylow, tất p-nhóm Sylow G liên hợp với P G nên G : N G ( P ) ≡ 1( mod p ) Vì P ≤ N G ( P ) ≤ M nên P p-nhóm Sylow M Lập luận tương tự ta có M : N G ( P ) ≡ 1( mod p ) Suy G : M ≡ 1( mod p ) Do đó, q ≡ 1( mod p ) Hay q > p Điều mâu thuẫn với giả thiết p ước nguyên tố lớn G Vậy G : M hợp số Do M ∈ F pc Hay M nhóm c-chuẩn tắc G Theo định nghĩa, tồn nhóm chuẩn tắc K G cho N  M ≤ K  M ≤ MG = = Np G = : M p Điều mâu thuẫn với p N Do P ≤ M nên G : M p = Mặt khác Nói cách khác, không tồn phản ví dụ Vậy định lý 2.4 Ứng dụng Chúng ta biết tiêu chuẩn nhóm siêu giải định lý tiếng S.Srinivasan Trong phần khái quát định lý cách thay điều kiện "chuẩn tắc" điều kiện yếu "c-chuẩn tắc" mà kết định lý Định lý 2.4.1 Cho G nhóm hữu hạn, P nhóm Sylow G Nếu P1 nhóm c-chuẩn tắc G với nhóm tối đại P1 P G nhóm siêu giải Chứng minh Giả sử định lý sai, ta lấy phản ví dụ nhóm G có cấp nhỏ Khi đó: (1) Tồn p ∈ π ( G ) cho O p ( G ) ≠ Thật vậy, gọi p1 ước nguyên tố bé G Nếu O p1 ( G ) ≠ , ta có điều cần chứng minh Nếu O p1 ( G ) = 1, gọi P p1 nhóm 48 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi50 of 138 luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi51 of 138 Sylow G Nếu P nhóm cyclic G có p1-phần bù chuẩn tắc K Rõ ràng K thỏa mãn giả thiết định lý nên theo cách chọn G ta có K nhóm siêu giải Do tồn p ∈ π ( G ) cho ≠ O p ( K ) ≤ O p ( G ) Nếu P không cyclic tồn nhóm tối đại P1 P Theo giả thiết P1 nhóm c-chuẩn tắc G Khi tồn nhóm Giả sử G = p1α1 p2α pnα n chuẩn tắc K G cho G = P1 K P1  K ≤ ( P1 )G ≤ O p1 ( G ) = Khi đó= K G = p1 p2α pnα n , p1 ước nguyên tố nhỏ K Vì p1 nhóm P1 K nhóm cyclic nên K có p1-phần bù chuẩn tắc K1 mà đồng thời p1-phần bù chuẩn tắc G Lập luận tương tự ta có tồn p ∈ π ( G ) cho ≠ Op ( K ) ≤ Op ( G ) (2) Theo (1) tồn p ∈ π ( G ) cho O p ( G ) ≠ Gọi N nhóm chuẩn tắc tối tiểu G cho N ≤ O p ( G ) Do O p ( G ) p-nhóm nên lũy linh, O p ( G ) nhóm giải Suy N p-nhóm Aben sơ cấp Ta chứng minh G N nhóm siêu giải cách G N thỏa mãn giả thiết G Giả sử P p-nhóm Sylow G cho N ≤ P Nếu N=P ta có điều phải chứng minh Nếu N