Phân loại đại số siêu ma trận

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẠNH PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ HẠNH PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN GIANG NAM HÀ NỘI – 2017 Mục lục LỜI MỞ ĐẦU KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một vài khái niệm vành 1.2 Môđun tự 1.3 Môđun xạ ảnh 14 PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN 20 2.1 Nhóm Grothendieck vành 20 2.2 Phân loại đại số siêu ma trận 30 KẾT LUẬN 40 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên, đến khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô tổ Đại số, Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS Trần Giang Nam tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 27 tháng 04 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy cô giáo Khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Trần Giang Nam Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần Tài liệu tham khảo Vì em xin khẳng định đề tài "Phân loại đại số siêu ma trận" trùng lặp với đề tài tác giả khác Hà Nội, ngày 27 tháng 04 năm 2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh LỜI MỞ ĐẦU Vào năm 1976 George Elliott phân loại đại số siêu ma trận (nghĩa hợp đếm đại số ma trận) trường số phức thông qua nhóm Grothendieck chúng Từ Elliott lập chương trình (bây gọi Chương trình Elliott) phân loại đại số toán tử theo bất biến có K-lý thuyết Chương trình nghiên cứu sôi nhiều nhà C*-đại số nhà đại số Trong [3, Chapter 15] Goodearl đưa cách chứng minh kết nói Elliott cho đại số siêu ma trận trường tùy ý Với mục đích tìm hiểu phép chứng minh này, với lòng yêu thích môn Đại số hướng dẫn TS Trần Giang Nam nên chọn "Phân loại đại số siêu ma trận" làm khóa luận tốt nghiệp cho Khóa luận chia làm 02 chương: Chương 1: "Kiến thức chuẩn bị" Chương 2: "Phân loại đại số siêu ma trận" Trong Chương 1, hệ thống lại số kiến thức sở vành, môđun tự môđun xạ ảnh Trong Chương 2, trình bày khái niệm nhóm Grothendieck vành, tính toán số ví dụ nhóm chứng minh định lý phân loại Elliott cho đại số siêu ma trận trường tùy ý Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Hạnh Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, trình bày số kiến thức vành, môđun tự môđun xạ ảnh Chương trình bày dựa tài liệu [1], [2], [3] [5] 1.1 Một vài khái niệm vành Định nghĩa 1.1.1 Cho R tập hợp khác rỗng R gọi vành R trang bị hai phép toán hai ngôi, gọi phép cộng "+" phép nhân ".", thỏa mãn điều kiện sau: i) R với phép cộng nhóm Abel; ii) R với phép nhân vị nhóm; iii) Phép nhân phân phối phép cộng Nhận xét 1.1.2 (1) Phần tử đơn vị phép cộng thường kí hiệu gọi phần tử trung lập Phần tử đơn vị phép nhân thường kí hiệu (2) Một vành R gọi giao hoán R với phép nhân có Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh tính chất giao hoán Định nghĩa 1.1.3 Cho A tập khác rỗng vành R Khi đó, A gọi vành R điều kiện sau thỏa mãn: (i) A chứa phần tử đơn vị R; (ii) Với x, y ∈ A, ta có x - y ∈ A xy ∈ A Định nghĩa 1.1.4 Phần tử e vành R gọi lũy đẳng e2 = e Định nghĩa 1.1.5 (1) Miền nguyên vành giao hoán có đơn vị khác ước (2) Trường miền nguyên phần tử khác khả nghịch Ví dụ 1.1.6 (1) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng phép nhân thông thường vành giao hoán Tập số hữu tỉ Q, tập số thực R tập số phức C với phép toán cộng phép toán nhân số thông thường trường (2) Cho K trường n số nguyên dương Kí hiệu Mn (K) tập ma trận vuông cấp n K Khi Mn (K) với phép cộng phép nhân ma trận thông thường vành Vành giao hoán n = Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh Định nghĩa 1.1.7 Cho A tập khác rỗng vành R Khi đó, A gọi iđêan phải R điều kiện sau thỏa mãn: (i) Với a, b ∈ A, ta có a - b ∈ A; (ii) Với x ∈ R với a ∈ A, ta có ax ∈ A Tương tự, ta có khái niệm iđêan trái R Nếu A vừa iđêan trái vừa iđêan phải R A gọi iđêan R Nếu R vành giao hoán khái niệm iđêan trái iđêan phải trùng Định nghĩa 1.1.8 (1) Cho R vành giao hoán Iđêan sinh n phần tử a1 , , an ∈ R iđêan đây: n (a1 , , an ) = { xi | xi ∈ R, i = 1, , n} i=1 Trong trường hợp {a1 , , an } gọi hệ sinh iđêan (a1 , , an ) (2) Iđêan iđêan sinh phần tử Định nghĩa 1.1.9 Vành miền nguyên iđêan iđêan Ví dụ 1.1.10 (1) Vành số nguyên Z vành (2) Vành đa thức ẩn trường vành Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.2 nguyễn thị hạnh Môđun tự Định nghĩa 1.2.1 Cho R vành M gọi môđun phải R hay R-môđun phải M nhóm Abel viết theo lối cộng với ánh xạ ϕ : M × R −→ M , (x, a) −→ xa thường gọi phép nhân với vô hướng, thỏa mãn điều kiện sau: i) (x + y)a = xa + ya; ii) x(a + b) = xa + xb; iii) x(ab) = (xa)b; iv) x1 = x, với a, b ∈ R với x, y ∈ M Môt cách tương tự, ta định nghĩa R-môđun trái Nếu R vành giao hoán khái niệm môđun phải môđun trái trùng Ví dụ 1.2.2 (1) Mỗi nhóm Abel M Z-môđun với phép nhân với vô hướng xác định sau: Với x ∈ M với n ∈ Z,  n−lần     x + x + ··· + x n > 0,    (−n)−lần xn =   (−x) + (−x) + · · · + (−x) n < 0,     0 n = Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh Định nghĩa 2.1.7 (1) Một nửa nhóm C nhóm Abel G gọi nón ∈ C (2) Một nón C gọi chặt phần tử x ∈ G cho x ∈ C −x ∈ C Định nghĩa 2.1.8 Cho G nhóm Abel Một quan hệ hai " " gọi quan hệ tiền thứ tự G điều kiện sau thỏa mãn: (i) có tính phản xạ bắc cầu; (ii) Với x, y, z ∈ G, x y x + z y +z Nhận xét 2.1.9 (1) Mỗi nón C nhóm Abel G xác định quan hệ tiền thứ tự C G sau: Với x, y ∈ G, x C y y − x ∈ C (2) C thứ tự phận nón C chặt (3) Mỗi quan hệ tiền thứ tự tiền thứ tự C, Abel G quan hệ với C = {x ∈ G | x} Định nghĩa 2.1.10 Một nhóm Abel tiền thứ tự cặp (G, C), G nhóm Abel C nón G Với nhóm Abel tiền thứ tự (G, C), ta kí hiệu G+ := C G := (G,C) Ví dụ 2.1.11 (1) Các nhóm (Z, +), (Q, +), (R, +) với quan 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh hệ thứ tự " " thông thường nhóm Abel tiền thứ tự (2) Cho R vành Khi đó, K0 (R)+ = {[A] | A ∈ P(R)} nón K0 (R) Do đó, K0 (R) nhóm Abel tiền thứ tự Mệnh đề 2.1.12 Cho R vành Khi đó, [A] − [B] [C] − [D] K0 (R) tồn R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh E tồn số nguyên dương n cho A ⊕ D ⊕ E ⊕ Rn ∼ = B ⊕ C ⊕ Rn Chứng minh (⇐) Hiển nhiên (⇒) Giả sử [A] − [B] [C] − [D] K0 (R) Khi đó, [C] − [D] − ([A] − [B]) ∈ K0 (R)+ Do đó, tồn R-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh E cho [C] − [D] − ([A] − [B]) = [E] Ta suy [C] + [B] = [A] + [D] + [E] ⇔ [C ⊕ B] = [A ⊕ D ⊕ E] Áp dụng Bổ đề 2.1.3, tồn số nguyên dương n cho C ⊕ B ⊕ Rn ∼ = A ⊕ D ⊕ E ⊕ Rn Vậy ta có điều cần phải chứng minh 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh Định nghĩa 2.1.13 Cho G nhóm Abel tiền thứ tự Phần tử u ∈ G+ gọi phần tử tách biệt G với x ∈ G, tồn số nguyên dương n cho x nu Ví dụ 2.1.14 (1) Sử dụng thứ tự phận thông thường Z, số nguyên dương phần tử tách biệt Z (2) Cho R vành Khi đó, [R] phần tử tách biệt nhóm Abel tiền thứ tự K0 (R) Chú ý 2.1.15 (1) Nếu u phần tử tách biệt G với x ∈ G có số nguyên dương k cho -ku x ku (2) Nếu có phần tử tách biệt u ∈ G phần tử x ∈ G hiệu hai phần tử G+ Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Giả sử u phần tử tách biệt G x ∈ G Khi đó, tồn số nguyên dương n cho x nu Do nu, nu - x ∈ G+ nu - (nu - x) = x Vậy ta có điều cần phải chứng minh Định nghĩa 2.1.16 (1) Ta sử dụng P để biểu thị phạm trù sau Các vật P tất cặp (G, u), G nhóm Abel tiền thứ tự u phần tử tách biệt G Các đồng cấu P từ (G, u) tới (H, v) tất đồng cấu nhóm đơn điệu (tức bảo toàn thứ tự) f : G −→ H cho f(u) = v (Chú ý đồng cấu nhóm f : G −→ H đơn điệu f (G+ ) ⊆ H + ) 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh (2) Trong P, ta định nghĩa (G, u) ∼ = (H, v) tồn đẳng cấu nhóm f từ G vào H cho f(u) = v f, f −1 đơn điệu (tương đương tồn đẳng cấu nhóm f : G −→ H cho f(u) =v f (G+ ) = H + ) Chú ý 2.1.17 Cho ϕ : R −→ T đồng cấu vành Lưu ý K0 (ϕ) từ K0 (R)+ vào K0 (T )+ K0 (ϕ)([R]) = [T ] Do đó, K0 (ϕ) đồng cấu P từ (K0 (R), [R]) vào (K0 (T ), [T ]) Ví dụ 2.1.18 (1) Cho K trường Khi đó, (K0 (K), [K]) ∼ = (Z, 1) (2) Cho R = Mn (K) Khi (K0 (R), [R]) ∼ = (Z, n) ∼ = (Z.1/n, 1) 2.2 Phân loại đại số siêu ma trận Mục tiêu tiết trình bày định lý phân loại đại số siêu ma trận dựa vào nhóm Grothendieck chúng Định nghĩa 2.2.1 Cho F trường Một F-đại số ma trận F-đại số có dạng Mp(1) (F ) × × Mp(n) (F ) với p(1), , p(n) số nguyên dương Bổ đề 2.2.2 Cho F trường R = Mp(1) (F ) × × Mp(n) (F ) F-đại số ma trận Khi đó, K0 (R) nhóm Abel tự với sở 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh  ···     =  .   0 ···  (i) (i) {[Ei ] | i = 1, n}, Ei = e11 Mp(i) (F ) e11 với i = 1, , n Chứng minh Từ Ví dụ 2.1.4 Ví dụ 2.1.6, ta K0 (Mp(i) (F )) (i) nhóm Abel tự với sở [Ei ] = e11 Mp(i) (F ) Mặt khác, ta có n K0 (R) = K0 (Mp(i) (F )) i=1 Do K0 (F ) nhóm Abel tự với sở {[Ei ] | i = 1, n}, (i) Ei = e11 Mp(i) (F ) Định nghĩa 2.2.3 Cho R đại số trường F Khi đó, R ∞ gọi đại số siêu ma trận R = Ri Ri i=1 F-đại số ma trận Ri ⊆ Ri+1 , i = 1, 2, Ví dụ 2.2.4 Cho F trường Đặt R0 = F R1 = M2 (F ) R2 = M4 (F ) Rn = M2n (F ) Khi Ri đại số ma trận trường F Xét ánh xạ fi : Ri −→ Ri+1 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh  M −→  M 0 M   Với M, M ∈ Ri , ta có  fi (M + M ) =  M +M  0 M +M  = M   + M M 0 M   = fi (M ) + fi (M ),  fi (M.M ) =  M.M  M.M  = M 0 M   . M 0 M   = fi (M )fi (M ) Do fi đồng cấu vành Kiểm tra tính đơn cấu: Cho M ∈ kerfi Ta chứng minh M = Thật vậy, ta có  fi (M ) = ⇔  M 0 M   = 0 0   ⇔ M = Từ đó, ta đồng Ri với Imfi ⊆ Ri+1 Đặt ∞ R= Ri i=0 Khi đó, (1) R F-đại số siêu ma trận ∞ (2) (K0 (Ri ), [Ri ]) ∼ = (Z.1/2i , 1) (K0 (R), [R]) ∼ =( i=0 32 Z.1/2i , 1) Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh Bổ đề 2.2.5 Cho F trường, cho R F-đại số ma trận S F-đại số siêu ma trận Khi đó, mệnh đề sau đúng: (i) Với đồng cấu f : (K0 (R), [R]) −→ (K0 (S), [S]) phạm trù P, tồn đồng cấu F-đại số ϕ : R −→ S cho K0 (ϕ) = f (ii) Cho ϕ, ψ : R −→ S đồng cấu F-đại số Khi đó, K0 (ϕ) = K0 (ψ) tồn tự đẳng cấu θ S cho ϕ = θψ Chứng minh Tồn lũy đẳng trực giao e1 , , en ∈ R cho e1 + + en = ei R ∼ = Mp(i) (F ) với p(i) số nguyên (i) dương Với i = 1, , n, tồn ma trận sở ejk ∈ ei R cấp (i) (i) p(i) × p(i) cho e11 + + ep(i),p(i) = ei Theo Bổ đề 2.2.2, K0 (R) (1) (n) nhóm Abel tự với sở {[e11 R], , [e11 R]} (i) Với i = 1, , n, [ei R] ∈ K0 (R)+ f ([ei R]) ∈ K0 (S)+ nên f ([ei R]) = [Ai ] với Ai S-môđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh Vì [A1 ⊕ ⊕ An ] = [A1 ] + + [An ] = f ([e1 R]) + + f ([en R]) = f ([e1 R] + + [en R]) = f ([R]) = [S] nên A1 ⊕ ⊕ An ∼ = S (do S đại số siêu ma trận) Do đó, tồn lũy đẳng trực giao g1 , , gn ∈ S cho g1 + + gn = gi S ∼ = Ai với i = 1, , n Khi [gi S] = [Ai ] = f ([ei R]) (i) Với i = 1, , n, ta có f ([e11 R]) = [Bi ] Bi S-môđun 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh phải xạ ảnh hữu hạn sinh Vì (i) (i) (i) [p(i)Bi ] = f (p(i)[e11 R]) = f ([e11 R] + + [ep(i),p(i) R]) = f ([ei R]) = [gi S] nên thu p(i)Bi ∼ = gi S Như hệ quả, tồn ma trận sở (i) (i) (i) (i) gjk ∈ gi Sgi cấp p(i) × p(i) cho g11 S ∼ = Bi g11 + + gp(i),p(i) = gi (i) (i) Chú ý [g11 S] = [Bi ] = f ([e11 R]) Với i = 1, , n, có ánh xạ F-đại số đơn trị từ ei R vào gi Sgi (i) (i) biến ejk thành gjk với j, k = 1, , p(i) Như hệ quả, tồn (i) (i) ϕ : R −→ S cho ϕ(ejk ) = gjk với i, j, k Khi đó, ta có (i) (i) (i) (i) K0 (ϕ)([e11 R]) = [ϕ(e11 )S] = [g11 S] = f ([e11 R]) (1) (n) với i = 1, , n Vì K0 (R) sinh [e11 R], , [e11 R] nên ta kết luận K0 (ϕ) = f (ii) (⇐) Giả sử ϕ = θψ với θ tự đẳng cấu S Khi tồn phần tử khả nghịch x ∈ S cho θ(s) = xsx−1 với s ∈ S Cho lũy đẳng e ∈ S Ta có xe = xex−1 xe ∈ θ(e)Se, ex−1 = ex−1 xex−1 ∈ eSθ(e), (xe)(ex−1 ) = θ(e) (ex−1 )(xe) = e Do θ(e)S ∼ = eS K0 (θ)([eS]) = [θ(e)S] = [eS] Ta có K0 (S) sinh {[eS] | e = e2 ∈ S} (do S đại số siêu ma trận) Vì thế, K0 (θ) đồng cấu đồng K0 (S) Do đó, 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh K0 (ϕ) = K0 (θ)K0 (ψ) = K0 (ψ) (i) (i) (i) (i) (⇒) Giả sử K0 (ϕ) = K0 (ψ) Đặt gjk = ϕ(ejk ) hjk = ψ(ejk ) với (i) i, j, k Chú ý gjj lũy đẳng trực giao đôi S n p(i) (i) (i) gjj = 1, tương tự cho hjj cho i=1 j=1 Với i = 1, , n, ta có (i) (i) (i) (i) [g11 S] = K0 (ϕ)([e11 R]) = K0 (ψ)([e11 R]) = [h11 S], (i) (i) (i) (i) g11 S ∼ = h11 S Như hệ quả, tồn phần tử xi ∈ g11 Sh11 (i) (i) (i) (i) yi ∈ h11 Sg11 cho xi yi = g11 yi xi = h11 Đặt n p(i) x= p(i) n (i) (i) gj1 xi h1j (i) y = i=1 j=1 (i) hj1 yi g1j i=1 j=1 Ta có n p(i) p(k) (i) xy = (i) (k) (k) gj1 xi h1j hm1 yk g1m i,k=1 j=1 m=1 n p(i) (i) = (i) (i) (i) gj1 xi h1j hj1 yi g1j i=1 j=1 n p(i) n (i) (i) (i) gj1 g11 g1j = i=1 j=1 p(i) (i) = gjj = i=1 j=1 Tương tự, ta có yx = Như ta có phép tự đẳng cấu θ S cho quy tắc θ(s) = xsy 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh Với i, j, k, ta có n (i) xhjk p(s) (s) = = (s) (i) gt1 xs h1t hjk s=1 t=1 (i) (i) (i) gj1 xi h1j hjk n (i) (i) (i) (s) (i) = gjk gk1 xi h1k p(s) (i) (s) = gjk gt1 xs h1t = gjk x s=1 t=1 (i) (i) (i) (i) (i) Từ θψ(ejk ) = xhjk y = gjk = ϕ(ejk ) Vì ejk sở F-không gian vectơ R nên θψ = ϕ Định lý định lý khóa luận cho thấy đại số siêu ma trận phân loại thông qua nhóm Grothendieck phần tử tách biệt chúng Định lí 2.2.6 Cho R S đại số siêu ma trận trường F Khi (K0 (R), [R]) ∼ = (K0 (S), [S]) R ∼ = S F-đại số Chứng minh (⇐) Hiển nhiên (⇒) Giả sử tồn đẳng cấu f : (K0 (R), [R]) −→ (K0 (S), [S]) P Vì R S đại số siêu ma trận trường F, nên R hợp đại số ma trận R1 ⊆ R2 ⊆ S hợp đại số ma trận S1 ⊆ S2 ⊆ Với n = 1, 2, , giả sử ϕn : Rn −→ R ψn : Sn −→ S đồng cấu nhúng Trước hết ta cần chứng minh hai khẳng định Khẳng định I: Nếu σ : Sk −→ Rn đồng cấu F-đại số cho K0 (ϕn σ) = f −1 K0 (ψk ), tồn số nguyên j > k đồng 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh cấu F-đại số ρ : Rn −→ Sj cho ψj ρσ = ψk K0 (ψj ρ) = f K0 (ϕn ) Chứng minh Khẳng định I Theo Bổ đề 2.2.5, tồn đồng cấu F-đại số ρ : Rn −→ S cho K0 (ρ ) = f K0 (ϕn ) Vì Rn hữu hạn chiều F, nên tồn số nguyên i dương cho ρ (Rn ) ⊆ Si Khi đó, ρ xác định đồng cấu F-đại số ρ” : Rn −→ Si cho ψi ρ” = ρ Ta suy K0 (ψi ρ”) = f K0 (ϕn ) Do đó, ta có K0 (ψi ρ”σ) = f K0 (ϕn )K0 (σ) = f K0 (ϕn σ) = K0 (ψk ) Áp dụng Bổ đề 2.2.5, tồn tự đẳng cấu θ S cho ψk = θψi ρ”σ Lại sử dụng hữu hạn chiều, tồn số nguyên j > k cho θ(Si ) ⊆ Sj Khi θ xác định đồng cấu F-đại số θ : Si −→ Sj cho ψj θ = θψi Đặt ρ = θ ρ” Khi đó, ρ đồng cấu F-đại số từ Rn vào Sj ψj ρσ = ψj θ ρ”σ = θψi ρ”σ = ψk Theo Bổ đề 2.2.5, ta có K0 (ψj ρ) = K0 (ψj θ ρ”) = K0 (θψi ρ”) = K0 (ψi ρ”) = f K0 (ϕn ) Do khẳng định chứng minh Do tính đối xứng, ta thu khẳng định sau Khẳng định II: Nếu ρ : Rn −→ Sk đồng cấu F-đại số cho K0 (ψk ρ) = f K0 (ϕn ), tồn số nguyên m > n đồng cấu F-đại số σ : Sk −→ Rm cho ϕm σρ = ϕn K0 (ϕm σ) = f −1 K0 (ψk ) Bây ta xây dựng số nguyên dương n(1) < n(2) < đồng cấu F-đại số ρk : Rn(k) −→ S cho (a) Với k = 1, 2, , Sk ⊆ ρk (Rn(k) ) K0 (ρk ) = f K0 (ϕn(k) ) 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh (b) Với k = 2, 3, , ρk−1 đơn cấu ρk mở rộng ρk−1 Thật vậy, theo Bổ đề 2.2.5, tồn đồng cấu F-đại số σ : S1 −→ R cho K0 (σ ) = f −1 K0 (ψ1 ) Vì S1 hữu hạn chiều F, nên tồn số nguyên dương n(1) cho σ (S1 ) ⊆ Rn(1) Khi đó, σ xác định đồng cấu F-đại số σ : S1 −→ Rn(1) cho ϕn(1) σ = σ ta ý K0 (ϕn(1) σ) = f −1 K0 (ψ1 ) Theo Khẳng định I, tồn số nguyên j > đồng cấu F-đại số ρ : Rn(1) −→ Sj cho ϕj ρσ = ψ1 K0 (ψj ρ) = f K0 (ϕn(1) ) Khi đó, ρ1 = ψj ρ : Rn(1) −→ S đồng cấu F-đại số thỏa mãn ρ1 σ = ψ1 K0 (ρ1 ) = f K0 (ϕn(1) ) Vì S1 = ψ1 (S1 ) = ρ1 σ(S1 ) ⊆ ρ1 (Rn(1) ), ta thấy (a) thỏa mãn với k = Giả sử số nguyên dương n(1), , n(k) đồng cấu F-đại số ρ1 , , ρk thỏa mãn (a) (b) Vì Rn(k) hữu hạn chiều F, nên tồn số nguyên i k + cho ρk (Rn(k) ) ⊆ Si Khi đó, ρk xác định đồng cấu F-đại số ρ : Rn(k) −→ Si cho ψi ρ = ρk , ta ý K0 (ψi ρ ) = f K0 (ϕn(k) ) Theo Khẳng định II, tồn số nguyên n(k + 1) > n(k) đồng cấu F-đại số σ từ Si vào Rn(k+1) thỏa mãn ϕn(k+1) σρ = ϕn(k) K0 (ϕn(k+1) σ) = f −1 K0 (ψi ) Vì ϕn(k+1) σρ = ϕn(k) nên ρ đơn cấu, từ ρk = ψi ρ đơn cấu Theo khẳng định I, tồn số nguyên j > i đồng cấu F-đại số ρ : Rn(k+1) −→ Sj cho ψj ρσ = ψi K0 (ψj ρ) = f K0 (ϕn(k+1) ) Khi đó, ρk+1 = ψj ρ : Rn(k+1) −→ S đồng cấu F-đại số thỏa mãn K0 (ρk+1 ) = f K0 (ϕn(k+1) ) Vì ρk+1 σ = ψj ρσ = ψi 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học i nguyễn thị hạnh k+ 1, nên ta có Sk+1 = ψi (Sk+1 ) = ρk+1 σ(Sk+1 ) ⊆ ρk+1 σ(Si ) ⊆ ρk+1 (Rn(k+1) ) Cuối cùng, ϕn(k+1) σρ = ϕn(k) ρk+1 σρ = ψi ρ = ρk nên ρk+1 mở rộng ρk Do đó, (a) (b) thỏa mãn với k + Phép quy nạp hoàn thành Vì n(1) < n(2)< n(k) k nên ∪Rn(k) = R Do đó, ρk cảm sinh đơn cấu F-đại số ρ : R −→ S cho ρϕn(k) = ρk với k Khi đó, Sk ⊆ ρk (Rn(k) ) = ρ(Rn(k) ) ⊆ ρ(R) với k Do ρ(R) = S Vậy ρ đẳng cấu Ví dụ 2.2.7 Cho Q trường số hữu tỉ R trường số thực Khi đó, (K0 (Q), [Q]) ∼ = (Z, 1) ∼ = (K0 (R), [R]), Q không đẳng cấu với R 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh KẾT LUẬN Trong khóa luận làm công việc sau: Hệ thống lại kiến thức môđun tự môđun xạ ảnh Trình bày lại định nghĩa nhóm Grothendieck vành tính vài ví dụ nhóm K0 Chứng minh chi tiết định lý phân loại đại số siêu ma trận thông qua nhóm Grothendieck 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Tự Cường, Đại số đại, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2006 [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 1998 [3] Nguyễn Thị Hồng Chuyên, Môđun tự miền nguyên chính, Đại học Huế, Huế, 2009 Tiếng Anh [4] K.R.Goodearl, Von Neumann Regular Rings, Pitman, London, 1979 [5] T.Y.Lam, Lectures on Modules and Rings, Springer, New York, 1999 [6] T.Y.Lam, Serre’s Problem on Projective Modules, Springer, New York, 2006 41 ... 14 PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN 20 2.1 Nhóm Grothendieck vành 20 2.2 Phân loại đại số siêu ma trận 30 KẾT LUẬN 40 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn... S-môđun phải tự 19 Chương PHÂN LOẠI ĐẠI SỐ SIÊU MA TRẬN Trong chương này, trình bày số vấn đề liên quan đến nhóm Grothendieck vành định lý phân loại đại số siêu ma trận dựa vào nhóm Grothendieck... Thị Hạnh Khóa luận tốt nghiệp Đại học nguyễn thị hạnh LỜI MỞ ĐẦU Vào năm 1976 George Elliott phân loại đại số siêu ma trận (nghĩa hợp đếm đại số ma trận) trường số phức thông qua nhóm Grothendieck