Một số nguyên lý cơ bản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ HỒNG PHƯỢNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN VŨ THỊ HỒNG PHƯỢNG MỘT SỐ NGUYÊN LÝ CƠ BẢN Chuyên ngành: Đại số KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Thạc Sĩ: Dương Thị Luyến Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Lời cảm ơn Lời nói đầu NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1 1.2 Nguyên lý Dirichlet 1.1.1 Nguyên lý Dirichlet 1.1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng 1.1.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp 1.1.4 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp mở rộng Một số dạng toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 1.2.1 Áp dụng nguyên lý Dirichlet vào số học 1.2.2 Áp dụng nguyên lý Dirichlet vào hình học 18 NGUYÊN LÝ ĐẾM 2.1 2.2 26 Nguyên lý đếm 26 2.1.1 Nguyên lý cộng 26 2.1.2 Nguyên lý nhân 28 Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 2.2.1 30 Chỉnh hợp 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 GVHD: Th.S Dương Thị Luyến 2.2.2 Hoán vị 33 2.2.3 Tổ hợp 36 Một số dạng toán nguyên lý đếm 38 2.3.1 Bài toán đếm số 39 2.3.2 Một số toán phân chia, xếp vật 44 2.3.3 Bài toán đếm số phương án liên quan đến hình học NGUYÊN LÝ QUY NẠP 47 51 3.1 Cơ sở lý thuyết 51 3.2 Bài tập vận dụng 54 3.2.1 Bài toán chia hết 54 3.2.2 Chứng minh đẳng thức, tính tổng 56 3.2.3 Chứng minh bất đẳng thức 60 3.2.4 Trong số toán hình học 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Thị Hồng Phượng 67 K39C Sư phạm Toán LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Đại số thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo - Thạc sĩ Dương Thị Luyến, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Hồng Phượng LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu, tìm tòi em, hoàn thành sở kiến thức học tham khảo tài liệu bảo, hướng dẫn thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn tận tình cô giáo - Thạc sĩ Dương Thị Luyến Em cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài "Một số nguyên lý bản" trùng lặp với khóa luận Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Vũ Thị Hồng Phượng LỜI NÓI ĐẦU Theo thời gian toán học ngày phát triển Trong nhà trường, môn toán có vị trí quan trọng Để học tốt môn toán song song việc nắm vững lý thuyết cần phải luyện tập, thực hành thường xuyên Bài tập môn toán đa dạng phong phú, người thực gặp khó khăn việc tìm lời giải cho toán Do em bắt đầu vào học tập nghiên cứu số phương pháp giải toán hữu ích dựa ứng dụng số nguyên lý đại số nguyên lý Dirichlet, số nguyên lý cho toán đếm, nguyên lý quy nạp Với lý nêu trên, em chọn đề tài "Một số nguyên lý bản" để làm khóa luận tốt nghiệp Các nguyên lý đơn giản, việc vận dụng tình cụ thể thật không đơn giản Khóa luận chia làm ba chương sau đây: • Chương 1: Nguyên lý Dirichlet Gồm phần là: nội dung nguyên lý; số dạng tập vận dụng • Chương 2: Nguyên lý đếm Gồm phần là: Hai nguyên lý đếm nguyên lý cộng nguyên lý nhân; phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; hệ thống tập vận dụng Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến • Chương 3: Nguyên lý quy nạp Ở chương gồm phần chính: sở lý thuyết phần tiên đề quy nạp, phần thứ hai vận dụng nguyên lý vào giải toán " Một số nguyên lý bản" đề tài hay hấp dẫn Tuy nhiên, thời gian khả có hạn nên khóa luận em không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô khoa Toán, thầy cô hội đồng phản biện bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Vũ Thị Hồng Phượng K39C Sư phạm Toán Chương NGUYÊN LÝ DIRICHLET 1.1 Nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet phát biểu vào năm 1834 Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) nhà toán học người Đức gốc Pháp 1.1.1 Nguyên lý Dirichlet Nguyên lý Dirichlet gọi "nguyên lý chuồng bồ câu" " nguyên lý ngăn kéo "hoặc" nguyên lý nhốt thỏ vào lồng" Nếu đem nhốt m thỏ vào n lồng, với m > n có lồng nhốt không hai thỏ Hoặc là, đem xếp m đồ vật vào n ô ngăn kéo, với m > n phải có ô ngăn kéo chứa không hai đồ vật Chứng minh Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng Giả sử lồng nhốt hai thỏ trở lên, cho dù lồng có nhốt thỏ tổng số thỏ bị nhốt n Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến thỏ, tổng số thỏ m (m > n) Điều vô lý Vậy phải có lồng nhốt từ hai thỏ trở lên 1.1.2 Nguyên lý Dirichlet mở rộng Nếu nhốt n thỏ vào m lồng (m 2) tồn lồng có chứa n+m−1 [ ] thỏ Trong kí hiệu [α] phần nguyên α m Chứng minh Ta chứng minh nguyên lý Dirichlet mở rộng theo phương pháp chứng minh phản chứng sau: n+m−1 Giả sử trái lại lồng thỏ không chứa đến [ ]= m n−1 ] + thỏ, số thỏ lồng nhỏ [ m n−1 [ ] m n−1 Khi đó, tổng số thỏ m lồng không vượt [ ].m n−1 m Vô lý có n thỏ theo giả thiết Tức giả sử sai Vậy nhốt n n+m−1 ] thỏ vào m (m 2)thì tồn lồng có chứa [ m thỏ Nhận xét 1.1.1 Nguyên lý Dirichlet thực chất định lý tập hợp Chúng ta có phát biểu khác nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp sau 1.1.3 Nguyên lý Dirichlet dạng tập hợp Cho A B hai tập hợp khác rỗng có số phần tử hữu hạn, số lượng phần tử A lớn số lượng phần tử B Nếu với quy tắc đó, phần tử A cho tương ứng với phần tử B Vũ Thị Hồng Phượng K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2 GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Bài tập vận dụng Như biết, lượng lớn tập hay chứng minh định lý toán học sử dụng phương pháp quy nạp để giải vấn đề Nguyên lý quy nạp vận dụng không việc giải toán đại số, số học mà việc giải toán hình học tổ hợp Ta xét ví dụ minh họa sau để thấy rõ 3.2.1 Bài toán chia hết Bài Chứng minh ∀n ∈ N∗ , an = n3 + 3n2 + 5n (1) chia hết cho Lời giải: Nhận xét: Một tổng chia hết cho số số hạng tổng chia hết cho số Ta vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học ak+1 tổng đa thức k Vậy để chứng minh ak+1 chia hết cho ta triển khai kết hợp giả thiết quy nạp, viết lại ak+1 dạng tổng số hạng chia hết cho Với n = ta có: a1 = Giả sử (1) với n = k, k ≥ 1, tức ak = k + 3k + 5k Ta phải chứng minh (1) với n = k + 1, nghĩa là: ak+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1) + 5(k + 1) Thật vậy: ak+1 = k + 3k + 3k + + 3k + 6k + + 5k + = k + 3k + 5k + 3k + 9k + .3 Vũ Thị Hồng Phượng 54 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Vậy (1) với n = k + 1, nên với n ∈ N∗ Bài Chứng minh ∀n ≥ 2, ta có: Sn = (n + 1)(n + 2) (n + n) 2n (2) Lời giải: Ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp trường hợp Khi n = 2, ta có S2 = (2 + 1)(2 + 2) 22 Giả sử (2) với n = k(k ≥ 2), tức Sk = (k + 1)(k + 2) (k + k) 2k Ta phải chứng minh (2) với n = k + 1, nghĩa là: Sk+1 = (k + + 1)(k + + 2) (k + k + + 1) 2k+1 = (k + 2)(k + 3) (k + k + 2) = (k + 2)(k + 3) (k + k)(k + k + 1)(k + k + 2) = [(k + 1)(k + 2)(k + 3) (k + k)] 2.(k + k + 1) 2k+1 k .2 Vậy (2) với n = k + 1, nên (2) ∀n ≥ Bài Chứng minh rằng: an = 33n+1 − 26n − 27 676, ∀n ≥ 1(3) Phân tích: Vận dụng phép chứng minh quy nạp toán học, để chứng minh ak+1 , ta sử dụng kĩ thuật thêm bớt, đưa 27 làm thừa số chung, nhóm số hạng để cho nhóm chia hết cho 676 làm ta sử dụng giả thiết quy nạp tiến đến kết thúc lời giải Lời giải: Với n = ta có: a1 = 33.1+3 − 26 − 27 = 676 676, ∀n ≥ Giả sử (3) với n = k tức ak = 33k+3 − 26k − 27 676 Ta Vũ Thị Hồng Phượng 55 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến chứng minh (3) với n = k + Thật ta có: ak+1 = 33(k+1)+3 − 26(k + 1) − 27 = 27(33k+3 − 26k − 27) + 676k + 676 Vậy (3) 676 676 với n = k + Vậy nên (3) với n ≥ 3.2.2 Chứng minh đẳng thức, tính tổng Đẳng thức liên quan đến số tự nhiên phong phú, tìm công thức chứng minh công thức theo biến số tự nhiên đa dạng Ta xét số toán minh họa sau: Bài Chứng minh với n ∈ N∗ ta có: 1 2n − 1 (1) + + + + n = 2n Lời giải: 21 − 1 + Xét với n = ta có VT= , VP= = =⇒ VT=VP 2 Vậy (1) với n = + Giả sử (1) với n = k(k ≥ 1), ta có: 2k − 1 1 + + + + k = (1∗ ) k 2 (giả thiết quy nạp) + Phải chứng minh (1) với n = k + 1, tức phải chứng minh 1 1 2k+1 − + + + + k + k+1 = (1∗∗ ) k+1 2 Vũ Thị Hồng Phượng 56 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Ta có 1 1 2k − 1 VT= (1 ) = + + + + k + k+1 = + (theo(1∗ )) k k+1 2 2 2(2k − 1) + 2.2k − 2k+1 − = = = 2.2k 2.2k 2k+1 = VP(1∗∗ ) ∗∗ Vậy (1) với n = k + Vậy với n ∈ N∗ ta có 2n − 1 1 + + + + n = (1) 2n Bài Chứng minh với số tự nhiên n ≥ ta có: an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + + a.bn−2 + bn−1 ) (2) Ta chứng minh đẳng thức (2) phương pháp quy nạp Lời giải: Khi n = VT= a2 − b2 , VP= (a − b)(a + b) = a2 − b2 Vậy đẳng thức với n = Giả sử (2) với n = k ≥ 2, tức là: ak − bk = (a − b)(ak−1 + ak−2 b + + a.bk−2 + bk−1 ) Ta cần chứng minh (2) với n = k + 1, tức là: ak+1 − bk+1 = (a − b)(ak + ak−1 b + + a.bk−1 + bk ) Vũ Thị Hồng Phượng 57 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Thật áp dụng giả thiết quy nạp, ta có: ak+1 − bk+1 = ak+1 − ak b + ak b − bk+1 = ak (a − b) + b(ak − bk ) = ak (a − b) + b(a − b)(ak−1 + ak−2 b + + a.bk−2 + bk−1 ) = (a − b)[(ak + b(ak−1 + ak−2 b + + a.bk−2 + bk−1 ))] = (a − b)(ak + ak−1 b + + a.bk−1 + bk ) Vậy (2) với số tự nhiên n ≥ Nhận xét: Trong lời giải ta dùng cách thêm bớt số hạng bước chứng minh trường hợp với n = k + 1,làm ta sử dụng giả thiết quy nạp toán Đây kĩ thuật hay hiệu việc đơn giản hóa lời giải, áp dụng trình giải toán nhiều dạng toán khác ứng với nhiều chuyên đề khác phổ thông Bài Tính tổng sau: S(n) = 12 + 32 + + (2n + 1)2 n số tự nhiên Lời giải: Ta dự đoán công thức tổng S(n) Ta thấy S(n) tổng lũy thừa bậc hai số 1, 3, , (2n + 1), nên ta dự đoán S(n) phải đa thức n có bậc không nhỏ ba Giả sử S(n) = an3 + bn2 + cn + d Vì S(0) = nên d = Lần lượt thay n = 1, n = 2, n = 3, ta hệ Vũ Thị Hồng Phượng 58 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến     a+b+c=9    8a + 4b + 2c = 34       27a + 9b + 3c = 83 11 Giải hệ ta thu a = , b = 4, c = Khi đó, 3 11 (n + 1)(2n + 1)(2n + 3) S(n) = n + 4n2 + n + = (∗) Ta 3 chứng minh công thức (∗) quy nạp theo n 1) Với n = 0, 1, 2, 3, 4, ta dễ dàng kiểm tra (∗) 2) Giả sử (∗) với n = k, ta chứng minh (∗) với (n = k+1) Thật S(k + 1) = 12 + 32 + + (2k + 1)2 + (2k + 3)2 = S(k) + (2k + 3)2 Theo giả thiết quy nạp S(k) = (k + 1)(2k + 1)(2k + 3) Suy (k + 1)(2k + 1)(2k + 3) + (2k + 3)2 (k + 2)(2k + 3)(2k + 5) = S(k + 1) = Vậy công thức (∗) với n = k + 1, theo nguyên lý quy nạp toán học (∗) với n Vũ Thị Hồng Phượng 59 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.2.3 GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Chứng minh bất đẳng thức Xét số ví dụ sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học để chứng minh bất đẳng thức cách hiệu Bài Chứng minh rằng: ∀n ≥ ta có 1.3.5 (2n − 1) Vì Vậy bất đẳng thức với n = k + nên với n Và dấu ” = ” xảy n = 4, x1 + x3 = x2 + x4 Nhận xét: Ở toán ta sử dụng phương pháp đánh giá làm trội bất đẳng thức bước n = k + 1, cần lưu ý không nên đánh giá bất đẳng thức lỏng Hướng giải cho lời giải toán thao tác đánh giá, ước lượng giá trị xk+1 = {x1 , x2 , , xk+1 } bước n = k + Bài Chứng minh bất đẳng thức Bec-nu-li Nếu h > 0, với số tự nhiên n ≥ (1 + h)2 > + nh (4) Lời giải: Bước sở: Với n = ta có: (1 + h)2 = + 2h + h2 > + 2h (do h2 > 0) Vậy (4) Bước quy nạp: Giả sử (4) với n+k, tức là: (1+h)k > 1+kh (4∗ ) Ta chứng minh (4) với n = k+1, tức (1+h)k+1 > 1+(k+1)h Vũ Thị Hồng Phượng 62 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Thật vậy: (1 + h)k+1 = (1 + h)(1 + h)k ≥ (1 + h)(1 + kh) = + h(1 + k) + kh2 > + h(k + 1) Vậy (4) với số tự nhiên n ≥ 3.2.4 Trong số toán hình học Nhiều toán hình học giải phương pháp quy nạp toán học, đặc biệt toán hình học tổ hợp Những toán liên quan số lượng điểm, đường thẳng, độ lớn góc, Sau số tập minh họa Bài Chứng minh n đường thẳng khác mặt phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần Lời giải: Ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp để giải toán Bước sở: Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đường thẳng chia mặt phẳng hai phần Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n = k nghĩa với k đường thẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k phần Ta chứng minh mệnh đề với n = k + Ta thấy dựng đường thẳng thứ k + 1, qua điểm cho không trùng với đường thẳng tạo thêm phần mặt phẳng Như số phần mặt phẳng tạo k + đường thẳng khác qua điểm 2k + = 2(k + 1) Theo nguyên lý quy nạp mệnh đề với số tự nhiên n Vũ Thị Hồng Phượng 63 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến khác Vậy toán chứng minh Bài Có thể chia n− giác lồi thành tam giác đường chéo không giao nhau? Lời giải: Nếu n = tam giác đường chéo số tam giác có nghĩa − = Nếu n = rõ ràng tứ giác chia thành hai tam giác:4− = Ta đưa giả thiết số tam giác chia đường chéo không giao Sn = k − tam giác Ta cần chứng minh mệnh đề cho n = k + Dùng phương pháp chứng minh quy nạp Bước sở: Với n = 3; công thức Bước quy nạp: Giả sử công thức với n = k, nghĩa đa giác lồi k cạnh chia thành Sk = k − tam giác Ta cần chứng minh mệnh đề cho n = k + Thật vậy, ta kẻ đường chéo A1 Ak đa giác A1 A2 Ak Ak+1 có (k+) cạnh Vì đa giác A1 A2 Ak chia thành k − tam giác theo giả thiết quy nạp Do có thêm tam giác A1 Ak Ak+1 nên đa giác (k + 1) chia thành Sk+1 = k − Theo nguyên lý quy nạp toán học, đa giác lồi n− cạnh chia đường chéo không giao thành Sn = n − tam giác Bài Cho n hình vuông Chứng minh ta cắt chúng thành số phần tử đề từ phần tử ghép lại thành hình vuông Lời giải: Vũ Thị Hồng Phượng 64 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Khi n = điều khẳng định hiển nhiên Hình 3.1: Ta chứng minh n = khẳng định Gọi độ dài cạnh hai hình vuông A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 tương ứng a1 a2 Giả sử a1 ≥ a2 cạnh hình A1 B1 C1 D1 với độ dài a1 + a2 cạnh a1 ta đặt đoạn A1 M = B1 N = C1 P = D1 Q = cắt hình vuông theo đường M P N Q, ta thấy M P N Q cắt O hình vuông tạo thành góc vuông Các đường chia hình vuông thành bốn phần nhau, hình ghép vào hình vuông A2 B2 C2 D2 Thì hình nhận hình vuông giá trị góc M, N, P, Q bù nhau, góc A, C, B, D vuông AB = BC = CD = DA Giả sử mệnh đề chứng minh với n hình vuông giả sử ta có n + hình vuông V1 , V2 , , Vn , Vn+1 Ta lấy hai hình vuông chẳng hạn Vn Vn+1 chứng minh trên, sau cắt hình vuông ghép vào hình vuông thứ hai ta hình vuông V Do ta có n hình vuông V1 , V2 , , Vn−1 , V theo giả thiết quy nạp cắt phần từ ghép lại thành hình vuông Vũ Thị Hồng Phượng 65 K39C Sư phạm Toán Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Dương Thị Luyến Bài Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n cạnh n(n − 3) Lời giải: Ta chứng minh phương pháp quy nạp Bước sở: Với n = 3, mệnh đề tam giác có 3(3 − 3) =0 đường chéo Bước quy nạp: Giả sử đa giác lồi n = k cạnh có số đường chéo k(k − 3) đường chéo, ta cần chứng minh mệnh đề với đa Sk = (k + 1)(k − 2) giác lồi n = k + cạnh có số đường chéo Sk+1 = Thật vậy, giả sử A1 A2 AkAk+1 đa giác lồi k + cạnh Trong tam giác ta kẻ đường chéo A1 Ak Để đếm hết đường chéo đa giác k cạnh A1 A2 Ak thêm vào số đường chéo đa giác k + cạnh A1 A2 AkAk+1 xuất phát từ đỉnh Ak+1 , cần tính đến đường chéo A1 Ak Như ta có: Sk+1 = Sk + (k − 2) + = Vũ Thị Hồng Phượng 66 (k + 1)(k − 2) K39C Sư phạm Toán KẾT LUẬN Mục đích người làm toán tìm lời giải hay ngắn gọn cho toán, đồng thời tìm thêm nhiều cách giải khác Có nhiều phương pháp để giải toán nhiên việc sử dụng phương pháp để thực tốt đơn giản Hy vọng vấn đề mà em đề cập đề tài giúp ích đáng kể cho em học sinh THPT, đặc biệt học sinh giỏi quan tâm tìm hiểu khía cạnh dạy học toán Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô giáo - Thạc Sĩ Dương Thị Luyến, thầy cô khoa Toán, bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 67 Tài liệu tham khảo [1] Dương Quốc Việt (Chủ biên), Giáo trình đại số sơ cấp, Nxb Đại học Sư phạm [2] Dương Quốc Việt (Chủ biên),Bài tập đại số sơ cấp phần số nguyên lý bản, Nxb Đại học Sư phạm [3] Nguyễn Hữu Điển, Nguyên lý Dirichlet ứng dụng, Nxb Giáo dục [4] Phan Huy Khải, Phương trình nghiệm nguyên, Nxb Giáo dục [5] Phan Huy Khải, Các toán hình học tổ hợp, Nxb Giáo dục [6] Phạm Minh Phương, Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, Nxb Giáo dục [7] Tập san Toán học tuổi trẻ năm [8] Phan Hữu Chân- Nguyễn Tiến Tài, Tập hợp lôgic, số học NXB Giáo dục [9] Trần Văn Hạo(Tổng Chủ Biên)- Vũ Tuấn (Chủ biên), Đại số giải tích 11 NXB Giáo dục 68 ... dụng số nguyên lý đại số nguyên lý Dirichlet, số nguyên lý cho toán đếm, nguyên lý quy nạp Với lý nêu trên, em chọn đề tài "Một số nguyên lý bản" để làm khóa luận tốt nghiệp Các nguyên lý đơn... Một số dạng toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 1.2.1 Áp dụng nguyên lý Dirichlet vào số học 1.2.2 Áp dụng nguyên lý Dirichlet vào hình học 18 NGUYÊN LÝ ĐẾM 2.1 2.2 26 Nguyên lý. .. sau đây: • Chương 1: Nguyên lý Dirichlet Gồm phần là: nội dung nguyên lý; số dạng tập vận dụng • Chương 2: Nguyên lý đếm Gồm phần là: Hai nguyên lý đếm nguyên lý cộng nguyên lý nhân; phần hoán