Số Phức ôn thi THPT quốc gia

SỐ PHỨC Số phức z = a + bi (a, b R) i2 = (-i)2 = -1 Tập hợp số phức gọi C z + z’ = (a + a’) + i(b + b’) z – z’ = (a – a’) + i(b – b’) z.z’ = (a + bi)(a’ + b’i) = aa’ + (ab’ + a’b)i – bb’ Phép cộng Phép trừ Phép nhân Phép chia ( ) Tính A = (1 + 4i) + (1 + 3i) Tính B = (2 + 3i) – (1 – 2i) Tính C = (3 – 2i)(3 + i) Tính D = Tính E = (1 + 3i) + (3i – 4) – Tính F = Tính G = + 1  i 2 Tính H = + i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 Tính I = + i2 + i3 + … + i2013 10 Tính K = (1 – i)2 11 Tính L = (1 – i)100 12 Tính M = (1 – i)2013 i Chứng minh z2 + z + = z3 = 13 Cho số phức z    14 Tìm phân thực, phần ảo số phức sau: a z = i + (2 - 4i) - (3 - 2i) b z = (1  i)  (2i) Số phức z = z’  { Tìm số phức z thỏa mãn pt Số phức liên hợp ̅ Module số phức |z| = √ z ̅ = |z|2 Nghịch đảo z z-1 = { ̅= 15 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a 2z + i(z – 1) = + 3i b 2iz + - i = c (1 + i)2(2  i)z = + i + (1 + 2i)z 16 Giải phương trình: z  z  17 Giải phương trình: z  z  18 Giải phương trình: z + 2̅ = – 4i 19 Giải phương trình: ( ) =1 (CĐ A – B – 2009) ( ) 20 Tìm số phức z thoả mãn: z   i  Biết phần ảo nhỏ phần thực đơn vị Mặt phẳng Phức: Im M(a,b) z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b a Re Để tìm tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện toán (hoặc biểu diễn số phức z mặt phẳng phức thỏa mãn điều kiện toán), ta gọi z = x + iy Sau ta giải điều kiện toán tìm tập hợp điểm z mối quan hệ x y Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện sau: |z + – i| = Ta gọi z = x + iy, ta có: |x + iy + – i| =  |(x + 1) + i(y – 1)| =  = √  = Vậy tập hợp số phức z thỏa mãn điều kiện đầu đường tròn = mặt phẳng phức 21 Tìm tập hợp điểm z thỏa mãn điều kiện sau: a z 1  i  b 2 z  i  z 22 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức: z  i  z  z  2i 23 Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn z 3 z i 24 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ 25 Cho số phức z = m + (m - 3)i, m  R a Tìm m để biểu diễn số phức nằm đường phân giác thứ hai y = - x b Tìm m để biểu diễn số phức nằm hypebol y   x c Tìm m để khoảng cách điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ nhỏ 26 Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức 4i  6i ; (1  i)(1  i); i 1 3i a Chứng minh ABC tam giác vuông cân b Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Căn bậc số phức:  Nếu z số thực z > có bậc √ √  Nếu z số thực z < có bậc √ √  Nếu z số phức a + bi Khi gọi w = x + iy cho w2 = z Khi ta có: { Phương trình bậc 2: Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = với b2 – 4ac Khi phương trình bậc có nghiệm phức là: Trong bậc Định lý Viet với phương trình bậc 2: Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = Khi ta có định lý Viet: { Định lý Viet đảo: Nếu z = a z = b nghiệm phương trình bậc 2, phương trình bậc là: z2 – (a + b)z + ab = Nghiệm phương trình bậc có hệ số thực: Cho phương trình bậc 2: az2 + bz + c = có hệ số thực với b2 – 4ac  Nếu > 0, phương trình có nghiệm thực  Nếu = 0, phương trình có nghiệm thực  Nếu < 0, phương trình có nghiệm phức Hai nghiệm z1 z2 phương trình số phức liên hợp Do đó: z1z2 = |z1|2 = |z2|2 = 27 Tìm bậc số sau: a z = -2 b z = 2i c z = 4i – 28 u1; u2 bậc hai z1   4i , v1; v2 bậc hai z2   4i Tính u1  u2 v1  v2 ? 29 Giải phương trình z + z + = 30 Giải phương trình z2 + 2z + = 31 Giải phương trình z2 – (3 + 4i)z + 5i – = 32 Giải phương trình z2 + (1 + i)z – – i = 33 Giải phương trình z3 – = 34 Giải phương trình sau tập số phức: 35 Giải phương trình: z  z  z   7i  z  2i z i z2  z   36 Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + =0 37 Giải phương trình: z3  iz2  2iz  = 38 Giải phương trình trùng phương: a) z  1  i  z  63  16i  b) z  24 1  i  z  308  144i  39 Cho phương trình: (z + i)(z2  2mz + m2  2m) = Hãy xác định điều kiện tham số m cho: a Chỉ có nghiệm phức b Chỉ có nghiệm thực c Có ba nghiệm phức 40 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: a  = 25i b  = 2i 41 Lập phương trình bậc hai có nghiệm    3i;   2  5i 42 Tìm m để phương trình: x  mx  3i  có tổng bình phương nghiệm  z12  z22   2i (1) 43 Giải hệ phương trình   z1  z2   i (2)   44 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: z   i z   3i  Không giải pt tính giá trị biểu thức sau: z1 z2  z2 z1 a) A  z12  z22 b) B  z12 z2  z1z22 c) C  d ) D  z13  z23 e) E  z2 z13  z1z23 1 2 1 2 f ) F  z1     z2     z2 z1   z1 z2  45 Giải hệ phương trình:   z  2i  z b)    z  i  z 1 u  v  4uv  a)  u  v  2i 46 Cho z1, z2 nghiệm phức phương trình z  z  11  Tính A  z1  z2  z1  z2  2 Dạng lượng giác số phức Cho số phức z = a + bi Khi ta phân tích sau: √ Đặt r = √ ( √ ) √ , cosφ = sinφ = Khi ta viết số phức z = r(cosφ + i.sinφ) √ √ Số phức z gọi dạng lượng giác số phức z φ gọi Acgumen số phức z Im M(a,b) z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b φ a Nhân chia số phức dạng lượng giác: Nếu z = r(cos  +isin  ), z' = r' (cos  '+isin  ') (r  r'  ) zz' = rr ( cos (    ' )  i sin(   ' )) Re z r   cos(   ')  i sin(   ') (khi r' > 0) z' r' Công thức Moivre: r (cos   i sin  ) n  r n (cos n  i sin n ) Căn bậc số phức: Với z = r(cos  +isin  ), r > 0, có hai bậc hai là: √ ( 47 Viết số phức sau dạng lượng giác: a z = + i b z = + √ i c z = (1 – √ i)(1 + i) –√ d z = e z = sin + i.cos 48 Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) (1  i )10 (  i )9    b)  cos  i sin  i (1  3i )7 3  49 Tính tổng sau S  (1  i)2008  (1  i)2008 50 Tính  i dạng số phức lượng giác 51 Tính 1  i 2 Các tập số phức kỳ thi đại học: ) √ ( ) 52 (B – 2005): Tìm số phức z thỏa mãn z  2  i   10 z.z  25 53 (A – 2009): Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình z2 + 2z + 10 = Tính giá trị biểu thức A  z1  z 54 (D – 2009): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện 2 z  3  4i   (√ 55 (A – 2010): Tìm phần ảo số phức z biết ) ( √ ) √ 56 (A – 2010): Cho số phức z thỏa mãn Tính | + iz| 57 (B – 2010): Tìm tập hợp điểm z thỏa mãn |z – i| = |(1 + i)z| 58 (D – 2010): Tìm số phức z thỏa mãn |z| = √ z2 số ảo 59 (A – 2011): Tìm tất số phức z biết z2 = |z|2 + 60 (A – 2011): Tìm module số phức z biết (2z – 1)(1 + i) + ( + 1)(1 – i) = – 2i √ 61 (B – 2011): Tìm module z biết –1=0 √ 62 (B – 2011): Tìm số phức z biết z = ( ) 63 (D – 2011): Tìm số phức z biết z – (2 + 3i) = – 9i 64 (A – 2012): Cho số phức z thỏa mãn = – i Tính module w = + z + z2 65 (B – 2012): Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z2 – 2√ Viết dạng lượng giác số phức z1 z2 66 (D – 2012): Cho số phức z thỏa mãn (2 + i)z + = + 8i Tính |z + + i| 67 (D – 2012): Giải phương trình z + 3(1 + i)z + 5i = tập số phức 68 (A – 2013): Cho số phức z = + √ Viết dạng lượng giác z Tìm phần thực phần ảo w = (1 + i).z5 69 (D – 2013): Cho số phức z thỏa mãn (1 + i)(z – i) + 2z = 2i Tính | | ... phẳng phức biểu diễn số phức thoả mãn z 3 z i 24 Trong số phức z thoả mãn điều kiện z   3i  Tìm số phức z có modul nhỏ 25 Cho số phức z = m + (m - 3)i, m  R a Tìm m để biểu diễn số phức. .. minh ABC tam giác vuông cân b Tìm số phức biểu diễn điểm D cho tứ giác ABCD hình vuông Căn bậc số phức:  Nếu z số thực z > có bậc √ √  Nếu z số thực z < có bậc √ √  Nếu z số phức a + bi Khi gọi... ta viết số phức z = r(cosφ + i.sinφ) √ √ Số phức z gọi dạng lượng giác số phức z φ gọi Acgumen số phức z Im M(a,b) z = a + bi = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b φ a Nhân chia số phức dạng lượng giác: Nếu z = r(cos  +isin