SKKN. NHUNG SAI LAM THUONG GAP TRONG GIAI TOAN.DOC

Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán I/Đặt vấn đề Trong chơng trình THPT Bất đẳng thức là một phần kiến thức khá quan trọng. Bất đẳng thức có nhiều ứng dụng trong các phần kiến thức của môn Toán nh: Chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giải phơng trình, giải bất phơng trình, hệ phơng trình Bất đẳng thức Cauchy đợc giới thiệu trong sách giáo khoa Đại số lớp 10 ở tất cả các ban và là bất đẳng thức đợc vận dụng chủ yếu trong toàn bộ chơng trình THPT. Nói đến bất đẳng thức Cauchy thì những ai đã từng học Toán THPT cũng biết, cũng nhớ nhng để vận dụng đợc một cách có hiệu quả thì lại là cả một vấn đề. Qua quá trình giảng dạy và đặc biệt là bồi dỡng học sinh khá giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thờng gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn đề. Vì vậy tôi viết sáng kiến này cùng trao đổi thêm về cách dạy, cách học bất đẳng thức Cauchy sao cho có hiệu quả nhất nhằm khắc phục những sai lầm hay mắc phải cũng nh định hớng để giải quyết một bài toán theo bất đẳng thức Cauchy. Nội dung bài viết gồm: I/ Đặt vấn đề II/Nội dung III/Biện pháp thực hiện. IV/Kết quả V/Kết luận Tuy bản thân đã hết sức cố gắng song không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong đợc sự góp ý chân thành của đọc giả! Thạch Thành, ngày 20/04/2008 Giáo viên Đỗ Duy Thành. Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 1 Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán II/Nội dung Bài 1: Cho 3a . Tìm giá trị nhỏ nhất của bất biểu thức: S = a + 1 a Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = a + 1 a 1 2 . 2 2a MinS a = = . Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 1 1a a = = mâu thuẫn với giả thiết 3a . Phân tích và tìm lời giải: Xét bảng biến thiên của a, 1 a và S để dự đoán Min S a 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 30 1 a 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12 1 30 S 3 1 3 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 7 8 1 8 9 1 9 10 1 10 11 1 11 12 1 12 30 1 30 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy khi a tăng thì S càng lớn và từ đó dẫn đến dự đoán khi a = 3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Để dễ hiểu và tạo sự ấn tợng ta sẽ nói rằng Min S = 10 3 đạt tại Điểm rơi: a = 3 Do bất đẳng thức Cauchy xảy ra dấu bằng tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau, nên tại Điểm rơi: a = 3 ta không thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 2 số a và 1 a vì 1 3 3 . Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 2 Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Cauchy cho cặp số 1 , a a ữ sao cho tại Điểm rơi: a = 3 thì 1a a = tức là ta có lợc đồ Điểm rơi sau đây Sơ đồ: 3 1 3 1 1 3 3 a a = = = Từ đó ta biến đổi S theo sơ đồ Điểm rơi đợc nêu ở trên. Lời giải đúng: S = a + 1 a = 1 8 1 8.3 10 2 . 9 9 9 9 3 a a a a a + + + = ữ Với a = 3 thì Min S = 10 3 Bài 2: Cho a 2. Tìm giá trị hỏ nhất của biểu thức: S = a + 2 1 a Bình luận và lời giải Sơ đồ điểm rơi : 2 2 1 2 1 1 4 4 a a = = = Sai lầm thờng gặp: S = a + 2 1 a = 2 2 1 7 8 1 7 2 7 . 8 8 8 8 8 a a a a a a a a + + + = + ữ 2 7.2 2 7 9 8 4 4 4 8.2 + = + = . Với a = 2 thì Min S = 9 4 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S = 9 4 là đáp án đúng nhng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu a 2 thì 2 2 2 8.2 4 8a = là đánh giá sai Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 3 3a = 9 = 2a = 8 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Để điều chỉnh lời giải sai thành lời giải đúng ta cần phải biến đổi S sao cho khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy sẽ khử hết biến số a ở mẫu số. Lời giải đúng: S = a + 3 2 2 1 8 8 1 6 1 6.2 9 3. . 8 8 8. 8 4 a a a a a a a a = + + + + = ữ Với a = 2 thì Min S = 9 4 Bài 3: Cho a 6 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = 2 18 a a + Bình luận và lời giải Sơ đồ điểm rơi: 2 36 18 36 18 18 6 6 a a = = = Lời giải đúng: S = 2 18 a a + = 2 2 2 2 18 1 18 1 1 2 . 1 2 6 2 6 2 6 2 6 a a a a a a + + + ữ ữ = 2 2 1 6 6 1 6 1 6 1 6 6 2 6 6 2 6 a a a + + ữ ữ =36 + 3 6 Với a = 6 thì Min S = 36 + 3 6 Bài 4: Cho 1 0 2 a< . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2 1 a Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = 2a + 2 1 a = a + a + 2 1 a 3 2 1 3 . . 3 inS = 3a a M a = Nguyên nhân sai lầm: Min S = 3 2 1 1a a a = = = mâu thuẫn với giat thiết 1 0 2 a< Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 4 6a = 2 6 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Phân tích và tìm tòi lời giải: Xét bảng biến thiên để dự đoán Min S. a 1 10 1 9 1 8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 2.a 1 5 2 9 1 4 2 7 1 3 2 5 1 2 2 3 1 2 1 a 100 81 64 49 36 25 16 9 4 S 100 1 5 81 2 9 64 1 4 49 2 7 36 1 3 25 2 5 16 1 2 9 2 3 5 Nhìn bảng biến thiên ta thấy khi a càng tăng thì S càng nhỏ từ đó dẫn đến dự đoán khi 1 2 a = thì S nhận giá trị nhỏ nhất. Sơ đồ điểm rơi 1: 2 1 1 4 2 1 4 2 a a = = = Cách 1: 2a + 2 1 a = 3 2 2 2 2 1 7 8 7 3 . . 8 8 8 a a a a a a a a + + + + ữ 3 7.4 5 2 8 + = . Với a = 1 2 thì Min S = 5. Sơ đồ điểm rơi 2: 2 1 4 2 1 2 4 a a = = = Cách 2: S = 2a + 2 1 a = 3 2 2 1 1 8 8 14 3 8 .8 . 14a a a a a a a a + + ữ = 1 12 14 12 14. 5 2 a = . Với a = 1 2 thì Min S = 5. Bài 5: Cho , 0 1 a b a b > + Tìm giá trị nhỏ nhất của S = ab + 1 ab Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 5 1 2 a = 8 = 1 2 a = 8 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = ab + 1 ab 1 2. . 2ab ab = Min S = 2. Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b ab ab ab + = = = : Vô lý Phân tích và tìm tòi lời giải: Biểu thức của S chứa biến số a, b nhng nếu đặt t = ab hoặc t = 1 ab thì S = t + 1 t là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến số ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là: Đặt t = 1 ab 1 ab t = và t = 1 ab 2 2 1 1 4 1 2 2 a b = + ữ ữ Bài toán trở thành: Cho t 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + 1 t Sơ đồ điểm rơi: 4 1 4 1 1 4 4 t t = = = Lời giải tổng hợp: S = t + 1 t = 1 15 1 15 2 15 2 15.4 17 2. . 16 16 16 16 4 16 4 16 4 t t t t t t t + + + = + + = ữ . Với t = 4 hay a = b = 1 2 thì Min S = 17 4 . Lời giải thu gọn: Do t = 4 1 2 a b = = nên biến đổi trực tiếp S nh sau: S = ab + 2 1 1 15 1 15 17 2. . 16 16 16 4 16 2 ab ab ab ab ab ab a b = + + + ữ + ữ . Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 6 4t = 16 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Với a = b = 1 2 thì Min S = 17 4 . Bài 6: Cho , , 0 1 a b c a b c > + + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểi thức S = abc + 1 abc Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = abc + 1 abc 1 2 2abc abc = Min S = 2 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 3 1 1 1 1 1 1 3 3 3 a b c abc abc abc + + = = = Vô lí. Phân tích và tìm tòi lời giải: Biểu thức của S chứa 3 biến sô a, b, c nhng nếu đặt t = abc hoặc t = 1 abc thì S = t + 1 t là biểu thức chứa 1 biến số. Khi đổi biến só ta cần phải tìm miền xác định cho biến số mới, cụ thể là: Đặt t = 1 abc 1 abc t = và t = 1 abc 3 3 1 1 27 1 3 3 a b c = + + ữ ữ Bài toán trở thành: Cho t 27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = t + 1 t Sơ đồ điểm rơi: 27 1 27 1 1 27 27 t t = = = Lời giải tổng hợp: S = t + 1 t 2 2 2 2 2 1 27 1 1 (27 1). . 2 . 27 27 27 t t t t t t = + + + ữ ữ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 27 1 27 1 .27 2 27 1 730 27 27 27 27 27 t + + + = = = Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 7 27t = 2 27 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Với t = 27 hay a = b = c = 1 3 thì Min S = 730 27 . Lời giải thu gọn: Do t = 27 a = b = c = 1 3 nên biến đổi trực tiếp S nh sau: S = abc + 1 abc = 2 2 2 2 2 2 1 27 1 1 27 1 2 . 27 . 27 27 . 27 abc abc abc abc abc abc + + + ữ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 27 1 .27 27 1 .27 2 27 1 730 27 27 27 27 27 + + + = = = Với a = b = c = 1 3 thì Min S = 730 27 . Bài 7: Cho a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất cảu biểu thức: S = a b ab a b ab + + + Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = a b ab a b ab + + + 2. 2 a b ab a b ab + = + Min S = 2 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 2 a b ab a b ab + + + = 1 2 1 2ab a b ab = + .Vô lí Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b nên dự đoán Min S đạt tại a = b >0 Sơ đồ điểm rơi: 2 2 1 2 2 1 2 2 a b a a ab ab a a b a + = = = = = + Lời giải đúng: S = a b ab a b ab + + + = ( ) ( ) 3. 3. 2. . 4 4. 4. 4. a b a b a b ab a b ab a b a b ab ab ab ab + + + + + + + ữ ữ + + Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 8 a b= 4 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán 3 5 1 2 2 = + = . Với a = b>0 thì Min S = 5 2 Bài 8: Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a+b+c+ 1 1 1 a b c + + Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = a+b+c+ 1 1 1 a b c + + 6 1 1 1 6. . . . . . 6a b c a b c = Min S = 6. Nguyên nhân sai lầm: Min S = 6 1 1 1 a b c a b c = = = = = =1 3 3 2 a b c + + = trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = 1 2 Sơ đồ điểm rơi 1: 1 1 2 2 1 1 1 2 2 a b c a b c = = = = = = = Cách 1: S = a+b+c+ 1 1 1 a b c + + = = 1 1 1 3 1 1 1 4 4 4 4 a b c a b c a b c + + + + + + + + ữ ữ 6 3 1 1 1 3 1 1 1 6 . . . . . 3. . 4 4 4 4 a b c a b c a b c + ữ ữ =3+ 3 9 1 . 4 abc 9 1 27 1 27 1 15 3 3 . 3 6 4 4 4 2 3 3 a b c a b c + = + + = + + + + Với a=b=c= 1 2 thì Min S = 15 2 Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 9 1 2 a b c= = = 4 = Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Sơ đồ điểm rơi 2: 2 2 1 1 1 2 2 a b c a b c = = = = = = = Cách 2: S = a+b+c+ 1 1 1 a b c + + = = ( ) 1 1 1 4 4 4 3a b c a b c a b c + + + + + + + ữ 6 1 1 1 6 4 .4 .4 .a b c a b c ( ) 3 a b c + + 3 15 12 3 2 2 = Với a=b=c= 1 2 thì Min S = 15 2 Bài 9: Cho , , 0 3 2 a b c a b c > + + .Tìm giá trị nhỏ nhất của S = a 2 + b 2 + c 2 + 1 1 1 a b c + + Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S = a 2 + b 2 + c 2 + 1 1 1 2 2 2a b c + + + 1 1 1 2 2 2a b c + + 2 2 2 9 1 1 1 1 1 1 9 . . . . . 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c = 3 9 4 Min S = 3 9 4 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 3 9 4 2 2 2 3 1 1 1 1 2 2 2 4 a b c a b c = = = = = = 3 1 2 a b c = = = 3 3 3 2 2 a b c + + = > trái với giả thiết. Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại a = b = c = 1 2 Đỗ duy thành THPT Thạch Thành III 10 1 2 a b c= = = 4 = [...]... sinh hoạt 15 phút -Dạy trong các tiết bài tập -Thông qua báo bảng với chuyên mục Sai lầm ở đâu? Đỗ duy thành 19 THPT Thạch Thành III Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán -Ngoại khóa -Dạy vào tiết tự chọn IV/kết quả Trong quá trình giảng dạy tôi đã làm phép đối chứng ở 2 lớp 10C3 và 10C4 Đối với lớp 10C4 tôi đã cho học sinh đọc một số cách giải sai mà học sinh hay mắc phải và tìm chỗ sai và cách khắc phục... hớng và vận dụng thành thạo bất đẳng thức Cauchy một cách có hiệu quả Trong khi đó ở lớp đối chứng 10C3 tỉ lệ này chỉ đạt 45% V/Kết luận Thông qua bài viết các bạn có thể phần nào thấy đợc những sai lầm thờng gặp trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy từ đó rút ra đợc cho bản thân cách dạy, cách học nh thế nào cho hiệu quả nhất Trong bài viết có sử dụng một số tài liệu 1/500 Bất đẳng thức-GS: Phan... 11: Cho tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: T = sinA + sinB + sinC + 1 1 1 + + sin A sin B sin C Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: sinA + sinB + sinC + 1 1 1 sin A.sin B.sin C + + 66 = 6 Min T = 6 sin A sin B sin C sin A.sin B.sin C Nguyên nhân sai lầm: Min T = 6 sin A = sin B = sin C = 1 1 1 = = =1 A = B = C = sin A sin B sin C 2 Mâu thuẫn với A + B + C = Phân tích và tìm... c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b+c+d + 2 b+c+d a b c+d +a + 2 b c + d + a + c d +a+b + 2 d + a + b c a+b+c d 2 a + b + c + d a b+c+d =2 b+c+d a b c+d +a =2 c+d +a b c d +a +b =2 d +a+b c d a +b+c =2 a+b+c d S 8 Min S = 8 Sai lầm thờng gặp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 8 số:... b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2a 2b 2c 2d S = 1 + ữ1 + ữ1 + ữ1 + ữ 3b 3c 3d 3a Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: 2a 2b 2c 2d 2a 2b 2c 2d 64 64 S = 1 + 2 2 2 = MinS = ữ1 + ữ1 + ữ1 + ữ 2 3b 3c 3d 3a 3b 3c 3d 3a 9 9 Nguyên nhân sai lầm: Min S = 64 2a 2b 2c 2d 2 ( a + b + c + d ) 2 1= = = = = = Vô lý 9 3b 3c 3d 3a 3 ( a + b + c + d ) 3 Do S là biểu thức đối... nhỏ nhất của a + b + c 2 S = a2 + 1 1 1 + b2 + 2 + c2 + 2 2 b c a Bình luận và lời giải Sai lầm thờng gặp: S 3 3 a2 + 1 1 1 1 1 1 + b 2 + 2 + c 2 + 2 = 3 6 (a 2 + 2 )(b 2 + 2 )(c 2 + 2 ) 2 b c a b c a 1 3 6 2 a 2 + 2 b 1 2 ữ 2 b + 2 ữ c 1 2 ữ 2 c + 2 ữ a ữ = 3 6 8 = 3 2 Min S = 3 2 ữ Nguyên nhân sai lầm: Min S = 3 2 a = b = c = Đỗ duy thành 1 1 1 3 = = = 1 a + b + c 3 > trái với giả... 3 17 15 2a + 2b + 2c 2 ữ 3 3 17 2 17 Với a = b = c = 1 3 17 thì Min S = 2 2 Phối hợp với điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarzi: Xét dạng đặc biệt nới n = 2: (a 2 1 )( ) 2 2 + a2 b12 + b2 a1b1 + a2b2 Dấu bằng xảy ra a1 a2 = 0 b1 b2 ý nghĩa: Chuyển đổi một biểu thức toán học ở trong căn bậc hai thành một biểu thức khác ở ngoài căn để nhận đợc một biểu thức linh động hơn Xét đánh giá... +a +b =2 d +a+b c d a +b+c =2 a+b+c d S 8 Min S = 8 Sai lầm thờng gặp 2: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp cho 8 số: S 88 a b c d = 8 Min S = 8 b+c+d c+d +a d +a+b a +b+c Nguyên nhân sai lầm: a = b + c + d b = c + d + a a + b + c + d = 3 ( a + b + c + d ) 1 = 3 Vô lý Min S = 8 c = d + a + b d = a + b + c Đỗ duy thành 15 THPT Thạch Thành III Sáng kiến kinh nghiệm Môn: Toán Phân... (3) đồng thời xảy ra 2 dấu bằng tức là ta có sơ đồ điểm rơi sau: a=b=c= Sơ đồ: 1 2 a 1/ b = b 1/ c a b c 1 = = = = = 1 1 1 4 b c a c 1/ a = = 1 = 4 Kết hợp với biến đổi theo Điểm rơi trong Cauchy ta có lời giải sau: 2 1 1 a + 2 = b 17 1 1 + b2 + 2 = Lời giải 2: c 17 c2 + 1 = 1 a2 17 S 1 4 2 1 2 2 ữ a + b 2 1 + 4 17 a + b (1) ( ) 1 4 2 1 2 b + 2 1 + 42 . giỏi thì tôi thấy học sinh trong quá trình vận dụng bất đẳng thức Cauchy thờng gặp những sai lầm trong đó nghiêm trọng có thể làm sai đi bản chất của vấn. 9 4 Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù ta đã biến đổi S theo điểm rơi a = 2 và Min S = 9 4 là đáp án đúng nhng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá