[THCS-TOÁN 6] Chứng minh các bài toán chia hết

Chứng minh toán chia hết, chia có dư I/ Lý thyết 1/ Khái niệm: Với a; b ∈ Ζ; b ≠ tồn số q r: a=b.q+r q; r ∈ Ζ, < + Nếu r = ⟺ a ⋮ b (a chia hết cho b – a bội b (a ∈ Β (b)) hay b | a (b chia hết a – b ước a (b ∈ Ư (a)) Khi đó, phép chia a cho b gọi phép chia hết + Nếu r ≠ ⟺ a b (a không chia hết cho b) Khi đó, phép chia a cho b phép chia có dư 2/ Dấu hiệu chia hết: a) Sử dụng chữ số tận cùng: số chia lũy thừa lũy thừa n ta xét số tạo từ n chữ số tận (các bạn tự chứng minh) b) Sử dụng tổng chữ số: số chia 3, (ví dụ 2), 11 (các bạn tự chứng minh) c) Sử dụng tích hợp: Số chia hợp số Tách thành số nguyên tố áp dụng (Hệ ý f) mục 3) 3/ Tính chất chia hết: Với a; b; c; m; n; p; q ∈ Ζ a) ⋮ a (a ≠ 0); a ⋮ ±a (a ≠ 0), a ⋮ ±1 b) a ⋮ b b ⋮ c ⇒ a ⋮ c (bắc cầu) c) Nếu a ⋮ m b ⋮ m pa ± qb ⋮ m Có thể tổng quát với nhiều số d) Nếu a ⋮ (m.n) a ⋮ m a ⋮ n (m; n ≠ 0) e) Nếu a ⋮ m; b ⋮ n ab ⋮ mn Hệ quả: Nếu a ⋮ m (m; n ≠ 0) f) Nếu a ⋮ m, a ⋮ n (m,n)=1 a ⋮ (mn) (m; n ≠ 0) g) Nếu ab ⋮ m (b,m)=1 a ⋮ m (b; m ≠ 0) h) Nếu ab ⋮ p (p số nguyên tố) a ⋮ p b ⋮ p i) Tích n số nguyển dương liên tiếp chia hết cho n! 4) Phương pháp giải: + Phương pháp phân tích thành thừa số + Dùng dấu hiệu + Dùng tính chất + Phương pháp quy nạp toán học + Phương pháp sử dụng đồng dư thức (có chuyên đề riêng) + Phương pháp xét tập hợp số dư II/ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Chứng minh với n tự nhiên lẻ thì: A= PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý: + Phương pháp quy nạp toán học + Phương pháp phân tích thành nhân tử *Kiến thức vận dụng: Ý e), i) mục GIẢI: (Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử) Vì n lẻ, đặt n = 2k + với k ∈ Ν Ta có: A = = = = Thay n = 2k + Khi đó, A = = = Mà k, k+1, k+2 số tự nhiên liên tiếp nên ⋮ ⇒ A ⋮ (8.6) hay A ⋮ 48 (đpcm) Ví dụ 2: Giả sử S(a) tổng chữ số số tự nhiên a Chứng minh rằng: a) a – S(a) ⋮ (chứng minh lý thuyết) b) Nếu S(a) = S(2a) a ⋮ Điều lại có không? PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý: + Sử dụng dấu hiệu chia hết cho đặc biệt lưu ý: Số a tổng chữ số a có số dư chia cho +Ý mục 3: Nếu a ⋮ m b ⋮ m pa ± qb ⋮ m GIẢI: a) Đặt a = = Khi đó, S(a) = ⇒ a – S(a) = Vì ⋮ ⇒ a – S(a) ⋮ (đpcm) b) S(a) = S(2a) ⇒ a = ⇒ a ⋮ (đpcm) Ví dụ: a = 18 → S(a) = 2a = 36 → S(2a) = NHƯNG a = 432 ⋮ → S(a) = 2a = 864 → S(2a) = 18 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (với a, b ∈ Ν*) a) b) với n chẵn PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý: + Sử dụng phương pháp quy nạp toán học gồm bước: *Ta cần giải toán chứng minh mệnh đề P(n) với ∀n ∈ Ν* * Phương pháp: Bước 1: Chỉ mệnh đề với n = Bước 2: Với ∀k ∈ Ν*, mệnh đề với n = k ta chứng minh mệnh đề P(n) với n = k + Bước 3: Kết luận mệnh đề với ∀n ∈ Ν* * Kiến thức vận dụng: - Ý c) mục 3: Nếu a ⋮ m b ⋮ m pa ± qb ⋮ m - Kỹ thuật thêm bớt hạng tử + Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử * Kiến thức vận dụng: GIẢI: (Sử dụng phương pháp quy nạp toán học) a) Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (1) Bước 1: Với n = 1, ta có: ⇒ (1) với n = Bước 2: Với ∀k ∈ Ν*, giả sử (1) với n = k: (2) Ta chứng minh (1) với n = k + Ta có: = = Theo (2) ta có: ⇒ Bước 3: Kết luận: Vậy với ∀n ∈ Ν* *Lưu ý: Khi trình bày không cần nêu rõ bước b) Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (3) với n chẵn Với n = 2, ta có: ⇒ (3) với n = Với ∀k ∈ Ν*, giả sử (2) với n = k: (4) Ta chứng minh (2) với n = k + Ta có: Theo (4) ta có: ⇒ Vậy với n số tự nhiên chẵn GIẢI: (Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử) a) Đặt A = Ta có: Mà A ∈ Ν ⇒ b) Đặt n 2k (k ∈ Ν) n chẵn ⇒ (c/m a) mà p ∈ Ν ⇒ với n số tự nhiên chẵn Ví dụ 4: Chứng minh với n ∈ N n chẵn thì: A = PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý: +Kiến thức: * * với n chẵn * Ý f) mục 3: Nếu a ⋮ m, a ⋮ n (m,n)=1 a ⋮ (mn) (m; n ≠ 0) GIẢI: +) 323 = 17.19 Ta có: Vì (17,19)=1 nên A ⋮ (17.19) ⇒ A ⋮ 323 III/ Bài tập vận dụng: Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Cho n số tự nhiên Bài 5: (trích) Bài 6: (trích) Bài 7: (trích) Bài 8: Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: CMR: abc ⋮ 60 Bài 9: a, b số phương lẻ liên tiếp CMR (a-1)(b-1) ⋮ 192 Bài 10: Chứng minh lập phương tổng số nguyên dương từ đến n chia hết cho tổng bình phương n số nguyên dương  ... A ⋮ 323 III/ Bài tập vận dụng: Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Cho n số tự nhiên Bài 5: (trích) Bài 6: (trích) Bài 7: (trích) Bài 8: Cho số tự nhiên a, b, c thỏa mãn: CMR: abc ⋮ 60 Bài 9: a, b số... S(2a) = 18 Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (với a, b ∈ Ν*) a) b) với n chẵn PHƯƠNG PHÁP GIẢI – GỢI Ý: + Sử dụng phương pháp quy nạp toán học gồm bước: *Ta cần giải toán chứng minh mệnh đề P(n) với... pháp quy nạp toán học) a) Áp dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề (1) Bước 1: Với n = 1, ta có: ⇒ (1) với n = Bước 2: Với ∀k ∈ Ν*, giả sử (1) với n = k: (2) Ta chứng minh (1) với