Tích phân lebesgue trên tập số thực

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tận tìnhdạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện t

KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG

TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN TẬP SỐ THỰC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Hoàng Ngọc Tuấn

Hà Nội – Năm 2017

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này em đã nhậnđược rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinhviên Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán –Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tận tìnhdạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và đã tạo điều kiện thuận lợi cho

em thực hiện bản khóa luận này

Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới TS Hoàng Ngọc Tuấnngười đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá trìnhthực hiện đề tài nghiên cứu này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên bản khóa luận này khôngtránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ góp ý,phê bình của các thầy cô và các bạn sinh viên để bản khóa luận này hoànthiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Đương

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập vànghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô trong khoaToán, đặc biệt sự hướng dẫn tận tình của T.S Hoàng Ngọc Tuấn.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Tích phân Lebesgue trêntập số thực” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Đương

LỜI NÓI ĐẦU 1

1 Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực 1

1.1 Hàm bậc thang 1

1.2 Hàm khả tích Lebesgue 7

1.3 Giá trị tuyệt đối của một hàm khả tích 10

1.4 Chuỗi các hàm khả tích 12

1.5 Chuẩn trong L1(R) 15

2 Sự hội tụ của tích phân Lebesgue 18 2.1 Hội tụ hầu khắp nơi 18

2.2 Các định lý cơ bản về sự hội tụ 22

2.3 Hàm khả tích địa phương 26

2.4 Tích phân Lebesgue và tích phân Riemann 28

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài

toán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích là một lĩnh vực đóng

vai trò quan trọng và có ứng dụng trong thực tiễn Để nắm vững hơn

các kiến thức của giải tích nói riêng và toán học nói chung, em đã chọn

đề tài tích phân Lebesgue: “Tích phân Lebesgue trên tập số thực”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu về

giải tích và đặc biệt là tích phân Lebesgue

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân Lebesgue trên tâp số thực

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận

bao gồm 2 chương:

• Chương 1: “Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực”

• Chương 2: “Sự hội tụ của tích phân Lebesgue”

Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn đã tận

tình hướng dẫn tác giả đọc các tài liệu và tập dượt nghiên cứu

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải tích, đã tạo điều kiện thuận

lợi cho tác giả trong quá trình học Đại học và thực hiện bản khóa luận

này

Hà Nội, ngày 20/04/2017

Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Đương

Xây dựng tích phân Lebesgue trên đường thẳng thực

Mỗi hàm bậc thang trên đường thẳng thực là tổ hợp tuyến tính của

hữu hạn các hàm đặc trưng của khoảng nửa mở [a, b) ⊆ R Do đó,với mọi hàm bậc thang f , có các khoảng [a1, b1), , [an, bn) và các số

λ1, , λn ∈ R sao cho

f = λ1f1 + + λnfn, (1.1)trong đó

0 nếu trái lại

là hàm đặc trưng của [ak, bk) Rõ ràng, biểu diễn của một hàm bậcthang trong (1.1) là không duy nhất Mặt khác, nếu ta giả thiết [ak, bk)

là khoảng rời rạc và số các khoảng được dùng là ít nhất thì biểu diễn là

duy nhất Biểu diễn đó có thể được tìm ra theo con đường sau:

Cho f là một hàm bậc thang và a0, a1, a2, , an là tất cả các điểmgián đoạn của f Nói cách khác, a0, a1, , an là các điểm ở đó đồ thịcủa hàm f có một bước nhảy Ta có thể giả thiết những điểm được xếp

thứ tự nghĩa là, a0 < a1 < a2 < < an Kí hiệu gk(k = 1, 2 , n) làcác hàm đặc trưng của các khoảng [ak−1, ak) Khi đó

Z

f = λ1(b1 − a1) + + λn(bn− an)

Rõ ràng, giá trị R f là bằng tích phân Riemann của f Từ các tínhchất của tích phân Riemann thấy rằng định nghĩa tích phân không phụ

thuộc vào biểu diễn riêng

Định lý 1.1 Với mọi hàm bậc thang f và g ta có

(a) R (f + g) = R f + R g;

(b) R λf = λ R f, (λ ∈ R);

(c) f ≤ g suy ra R f ≤ R g;

(d) |R f | ≤ R |f |

Chứng minh Tính chất (a) và (b) có được ngay từ Định nghĩa 1.2 Để

chứng minh (c) đầu tiên chứng tỏ rằng f ≥ 0 suy ra R f ≥ 0 Thật vậy,nếu f = 0 thì R f = 0 theo (b) Nếu f ≥ 0 và f không triệt tiêu trên

R thì tất cả các hệ số trong biểu diễn cơ sở của f đều dương và do đó

R f > 0 Bây giờ, nếu f ≤ g thì g − f ≥ 0 và do đó R (g − f ) ≥ 0, suy ra

ta có R f ≤ R g, theo (a), (b) Vì f ≤ |f | và −f ≤ |f |, ta có R f ≤ R |f |

và R −f ≤ R |f | theo (c), điều này suy ra | R f | ≤ R |f | theo (b)

Định nghĩa 1.2 (Giá của một hàm) Giá của một hàm khác 0, kí hiệu

suppf , là tập tất cả các điểm x ∈ R mà f (x) 6= 0

Bổ đề 1.1 Cho f là một hàm bậc thang trong đó giá được chứa trong

hợp của các khoảng mở [a1, b1), , [an, bn) Nếu |f | < M, với hằng số

[a, b) nghĩa là, [a1, b1), [a2, b2), là rời nhau và

trong đó bc,n = min{bn, c} và phép lấy tổng là tất cả n mà an < bc,n S

là khác rỗng bởi vì a = an0 với an0 ∈ R và khi đó bn 0 ∈ S Suy ra b ∈ S.Đầu tiên ta chứng minh rằng sup S ∈ S (sup S kí hiệu cận trên nhỏ

nhất của S) Thật vậy, nếu s = sup S và {sn} là một dãy không giảmcác phần tử của S hội tụ tới s thì

Định lý tiếp theo mô tả một tính chất quan trọng của tích phân của

hàm bậc thang.

Định lý 1.2 Cho (fn) là dãy không tăng của các hàm bậc thang không

âm sao cho lim

n→∞fn(x) = 0 với mọi x ∈ R Khi đó, lim

Cho n0 ∈ N sao cho

fn0(x) nếu trái lại

Vì B ⊂ An0, ta có fn0(x) < α với x ∈ B Do đó, g(x) < α với mọi x ∈ B,sao cho

Hệ quả 1.1 Cho (fn) là dãy các hàm bậc thang không giảm Nếu

Vì fn = max{0, fn} − max{0, −fn} với mọi n ∈ N, ta có

Z

fn =

Zmax{0, fn} −

Zmax{0, −fn}

Bây giờ, cho n → ∞, rõ ràng ta được điều phải chứng minh

Bổ đề 1.3 Nếu f ' f1 + f2 + và f ≥ 0 thì R f1 +R f2 + ≥ 0.Chứng minh Cho ε > 0 và cho n0 ∈ N sao cho

g2 + ≥ 0

và vì thế tổng của cả hai chuỗi bằng nhau.

Hệ quả 1.2 chỉ ra rằng các hàm bậc thang là khả tích và khi đó tích

phân trong Định nghĩa 1.2 và Định nghĩa 1.3 là bằng nhau Thật vậy,

nếu f là một hàm bậc thang thì f ' f + 0 + 0 + Chứng tỏ rằng mọi

hàm khả tích Riemann là hàm khả tích Lebesgue và hai tích phân bằng

λf = λf1 + λf2 + ,

và do đó f + g ∈ L1(R) vàλf ∈ L1(R) Hơn nữa,

Z(f + g) =

Nếu f ≤ g thì g − f ≥ 0 và do đó R (g − f ) ≥ 0 theo Bổ đề 1.3 Điềunày suy ra R g − R f ≥ 0, định lý được chứng minh

Định lý 1.4 Nếu f ∈ L1(R) và f ' f1+ f2+ , thì |f | ∈ L1(R) và tacó

Zf

|f (x)| = |s1(x)| + (|s2(x)| − |s1(x)|) + (|s3(x)| − |s2(x)|) +

với mọi x ∈ Z Nếu ta cho g1 = |s1| và gn = |sn| − |sn−1| với n ≥ 2 thì

Điều này không làm thay đổi sự hội tụ tại các điểm của Z, nhưng làm

chuỗi phân kì tại mọi điểm Vì

khai triển (1.13) là đúng và do đó |f | là khả tích Hơn nữa,

Chứng minh Cho f ' g1 + g2 + là một khai triển tùy ý của f trongchuỗi của hàm bậc thang Khi đó tồn tại n0 ∈ N sao cho

Định lý 1.5 Nếu f ' f1 + f2 + , trong đó f1, f2, là các hàm khảtích, thì f là khả tích và R f = R f1 +R f2 +

Chứng minh Theo Bổ đề 1.4, tồn tại các hàm bậc thang fn,k(n, k ∈ N)sao cho

Hệ quả 1.4 Cho f1, f2, ∈ L1(R) Nếu

∞

P

n=1

R |fn| < ∞, thì tồn tạimột hàm khả tích f sao cho f ' f1 + f2 +

Chứng minh Hàm f có thể được xác định như sau:

f (x) = 0 với mọi x khác 0 và f (0) = 1 Đây là một hàm khác không,

nhưng R |f | = 0 Khó khăn này có thể được giải quyết trong định nghĩasau

Định nghĩa 1.6 (Hàm trống) Một hàm f được gọi là một hàm trống

Thực tế, vì f là một hàm trống, ta cóR |f |+R |f |+ = 0+0+ < α.Hơn nữa, nếu chuỗi f (x) + f (x) + là hội tụ tuyệt đối tại một điểm

x ∈ R nào đó, thì f (x) = 0 Nhưng thế thì g(x) = 0 và ta có g(x) =

|f (x)|+|f (x)|+ Chứng tỏ rằng (1.14) đúng và do đó g là khả tích

Hai hàm f và g được gọi là tương đương nếu f − g là hàm trống

Dễ dàng kiểm tra rằng định nghĩa quan hệ này là một quan hệ tương

đương Bây giờ ta định nghĩa không gian L1(R) như không gian của cáclớp tương đương của các hàm khả tích Lebesgue Lớp tương đương của

f ∈ L1(R) là được kí hiệu bởi [f ], nghĩa là,

Với định nghĩa thông thường

[f ] + [g] = [f + g], λ[f ] = [λf ], k[f ]k =

Z

|f |,

(L1(R), k · k) trở thành một không gian định chuẩn

Trong thực tế, ta thường không phân biệt giữa L1(R) và L1(R).Định nghĩa 1.7 (Hội tụ theo chuẩn) Ta nói một dãy hàm f1, f2, ∈

L1(R) hội tụ đến một hàm f ∈ L1(R) theo chuẩn, kí hiệu fn → f i.n.,nếu R |fn− f | → 0

Đây là sự hội tụ thông thường trong một không gian định chuẩn.Ta

sử dụng tên đặc biệt cho sự hội tụ này vì khá nhiều loại sự hội tụ cũng

sẽ được dùng Sự hội tụ này có tính chất sau:

Nếu fn → f i.n và λ ∈ R thì λfn → λf i.n

Nếu fn → f i.n và gn → g, i.n., thì fn + gn → f = g i.n.

Hơn nữa,

Nếu fn → f i.n., thì |fn| → |f | i.n.,

những điều này suy ra trực tiếp từ biểu thức ||fn| − |f || ≤ |fn − f |.Định lý 1.7 Nếu fn → f i.n thì R fn → R f

Sự hội tụ của tích phân Lebesgue

Định nghĩa 2.1 (Tập có độ đo không) Một tập X ⊆ R được gọi là tập

có độ đo không nếu hàm đặc trưng của nó là một hàm trống

Định lý 2.1 Mọi tập con của tập có độ đo không là một tập có độ đo

không

Mọi tập đếm được là tập có độ đo không Hợp của các tập đếm được

là tập có độ đo không Có những tập có độ đo không mà không đếm

được, ví dụ, tập Cantor

Định nghĩa 2.2 (Bằng nhau hầu khắp nơi) Cho f và g là các hàm xác

định trên R Nếu tập của tất cả các x ∈ R mà f (x) 6= g(x) là tập có độ

đo không, thì ta nói f bằng g hầu khắp nơi và viết f = g h.k.n

Định lý 2.2 f = g h.k.n nếu và chỉ nếu R |f − g| = 0

Chứng minh Cho h là hàm đặc trưng của tập Z (tập tất cả các x ∈ R

mà f (x) 6= g(x))

Nếu f = g h.k.n thì R |h| = R h = 0 Hơn nữa

Định nghĩa 2.3 (Hội tụ hầu khắp nơi) Ta nói một dãy các hàm

f1, f2, xác định trên R hội tụ đến f hầu khắp nơi, kí hiệu fn → fh.k.n., nếu fn(x) → f (x) tại mọi điểm trừ một tập có độ đo không

Sự hội tụ hầu khắp nơi có tính chất tương tự như sự hội tụ theo

Bây giờ, giả sử fn → f h.k.n và f = g h.k.n Kí hiệu A là tập hợpcác điểm x ∈ R sao cho dãy (fn(x)) không hội tụ đến f (x) và B là tậpcác điểm x ∈ R sao cho f (x) 6= g(x) Khi đó A và B là các tập có độ đokhông và A ∪ B cũng là tập có độ đo không Vì fn(x) → g(x) tại mọiđiểm không thuộc A ∪ B, ta có fn → g h.k.n

Ví dụ dưới đây chỉ ra sự hội tụ theo chuẩn và sự hội tụ hầu khắp nơi

Khi đó fn(x) → 0 với mọi x ∈ R và do đó fn → 0 h.k.n.

Mặt khác, vì

Z

|fn| = 2√n → ∞,dãy không hội tụ theo chuẩn

fn hội tụ hầu khắp nơi

Chứng minh Theo Hệ quả 1.4 tồn tại một hàm số f ∈ L1(R), sao cho

∞

P

n=1

R |fn(x)|không hội tụ tuyệt đối là tập có độ đo không Cho g là hàm đặc trưng

của tập Khi đó g ' f1 − f1 + f2 − f2 + và vì vậy

Chứng minh Theo Hệ quả 1.4, tồn tại một hàm số g ∈ L1(R) sao cho

g ' f1+ f2+ Khi đó, theo Định lý 1.8 ta có g = f1+ f2+ và theo

Hệ quả 2.1 ta có g = f1 + f2 + h.k.n

Bây giờ, nếu f = f1 + f2 + h.k.n thì f = g h.k.n theo Định lý2.4 Do đó f = f1 + f2 + , theo Định lý 2.3.

Ngược lại, nếu f = f1 + f2 + thì f = g h.k.n., theo Định lý 2.3

Chứng minh Vì R |fn − f | → 0, tồn tại một dãy tăng các số nguyêndương (pn) sao cho R |fn − f | < 2−n Khi đó

và theo Hệ quả 2.1,

g = fp1 + (fp2 − fp1) + (fp3 − fp2) h.k.n

Điều này có nghĩa là, fpn → g h.k.n Vì vậy cũng có fpn → g i.n và

fpn → f i.n., ta kết luận f = g h.k.n, theo Định lý 2.3 Hơn nữa,

fpn → f h.k.n theo Định lý 2.4

Định lý 2.9 (Sự hội tụ đơn điệu) Nếu (fn) là một dãy của các hàmkhả tích nghĩa là, đơn điệu hầu khắp nơi và |R fn| < M với hằng số Mnào đó và tất cả n ∈ N, thì tồn tại hàm khả tích f sao cho fn → f i.n

và fn → f h.k.n Hơn nữa, |R fn| ≤ M

Chứng minh Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử dãy không giảm

hầu khắp nơi và các hàm không âm Trong trường hợp này

Z

|f1| +

Z

|f2 − f1| + ≤ M

Theo Hệ quả 1.4, tồn tại một hàm f ∈ L1(R) sao cho f ' f1 + (f2 −

f1) + Do đó fn → f i.n., theo Định lý 1.8 và fn → f h.k.n., theo Hệquả 2.1

Z(f3 − f2) + |

|fn| ≤ h với mọi n ∈ N, thì f là hàm khả tích và fn → f i.n

Chứng minh Với mọi m, n = 1, 2, xác định

gm,n = max {|fm|, |fm+1|, , |fm+n|} Khi đó, với mỗi m ∈ N cố định, dãy (gm,1, gm,2, ) là không giảm và vì

có một hàm khả tích gm sao cho gm,n → gm h.k.n khi n → ∞, theo định

lý hội tụ đơn điệu

Chú ý rằng dãy (gn) là không tăng hầu khắp nơi và R |g| ≤ R |f1| vớimọi n ∈ N Lại theo định lý hội tụ đơn điệu, tồn tại một hàm khả tích

g sao cho gn → g h.k.n và gn → g i.n Bây giờ ta xét hai trường hợp.Trường hợp 1: Giả sử f = 0 Khi đó fn → 0 h.k.n và vì thế gn → 0h.k.n Vì dãy (fn) hội tụ theo chuẩn, ta thu được gn → 0 i.n Do đó,

|fn| ≤ gn → 0,định lý được chứng minh trong trường hợp đầu tiên

Trường hợp 2: Khi f là hàm bất kỳ, thì với mọi dãy giảm của các số

nguyên dương (pn) ta có

hn = fpn+1 − fpn → 0 h.k.n

và |hn| ≤ 2h, với mọi n ∈ N Theo trường hợp 1, ta có hn → 0 i.n Điềunày chỉ ra dãy (fn) là dãy Cauchy trong L1(R) và vì vậy nó hội tụ theochuẩn đến ef ∈ L1(R) theo Định lý 2.7 Mặt khác, theo Định lý 2.8, tồntại một dãy tăng của các số nguyên dương qn sao cho fqn → ef h.k.n.Nhưng fqn → f h.k.n., và do đó ef = f h.k.n Theo Định lý 2.3 suy ra

hội tụ hầu khắp nơi đến hàm khả tích g và ta có R g ≤ M , lại theođịnh lý hội tụ đơn điệu Nhưng gn → g h.k.n Do đó f = gh.k.n và

f có thể dùng thay thế nhau Trong ứng

dụng ta thường cần hàm khả tích trên một khoảng bị chặn

Định nghĩa 2.4 (Tích phân trên một khoảng) Tích phân của một hàm

trên [a, b] là giá trị của tích phân R f χ[a,b], trong đó χ[a,b] kí hiệu hàmđặc trưng của [a, b] (và f χ[a,b] là tích của f và χ[a,b]), kí hiệu

f là tích phân của hàm bằng f trên [a, b] và bằng

0 nếu trái lại Việc chọn khoảng [a, b] không bắt buộc Ta có thể dùng

khoảng (a, b) hoặc nửa khoảng, và ta sẽ có định nghĩa hoàn toàn tương

tự Trong chứng minh thường tiện lợi hơn khi sử dụng χ[a,b) thay vì χ[a,b],bởi vì định nghĩa của hàm bậc thang

Định lý 2.12 Nếu f ∈ L1(R) thì tích phân

b

R

a

f tồn tại với mọi [a,b]

Chứng minh Cho f ' f1 + f2 + Xác định, với n = 1, 2, ,

Điều ngược lại của định lý trên không đúng Ví dụ, với hàm hằng

f = 1, tích phân

b

R

a

f tồn tại với mọi −∞ < a < b < +∞ mặc dù

f /∈ L1(R) Điều này gợi ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 2.5 (Hàm khả tích địa phương) Một hàm f xác định trên

R được gọi là khả tích địa phương, nếu tích phân

Định lý 2.13 Cho f và g là hàm khả tích địa phương Nếu g bị chặn

trên [a, b] với mọi −∞ < a < b < +∞, thì tích f g là hàm khả tích địa

phương

Chứng minh Cho f, g là hai hàm như định nghĩa.Với −∞ < a < b <

+∞ xác định F = f χ[a,b) và G = gχa,b)[ Cho F ' f1+ f2+ trong đó f

là hàm bậc thang với giá trong [a, b) Ta sẽ chỉ ra F G ' f1g + f2g + Đầu tiên ta thấy f1g, f2g, là hàm khả tích Nếu g < M trên [a,b)với M > 0 thì R |fng| < MR |fn| với mọi n ∈ N Do đó,

n=1fn(x)g(x)cho x

Định lý 2.14 Nếu f là một hàm khả tích địa phương sao cho |f | ≤ g

với g ∈ L1(R) thì f ∈ L1(R)

Chứng minh Cho fn = f χ[−n,n] với n = 1, 2, Khi đó f1, f2, là hàmkhả tích, dãy (fn) hội tụ khắp nơi đến f , và |fn| < g với mọi n ∈ N) Do

... hội tụ tích phân Lebesgue< /h3>

Định nghĩa 2.1 (Tập có độ đo khơng) Một tập X ⊆ R gọi tập

có độ đo khơng hàm đặc trưng hàm trống

Định lý 2.1 Mọi tập tập có độ đo khơng tập có...

Định nghĩa 2.4 (Tích phân khoảng) Tích phân hàm

trên [a, b] giá trị tích phân R f χ[a,b], χ[a,b] kí hiệu hàmđặc trưng [a, b] (và f χ[a,b] tích f χ[a,b]),... tập có độ đo

khơng

Mọi tập đếm tập có độ đo khơng Hợp tập đếm

là tập có độ đo khơng Có tập có độ đo khơng mà khơng đếm

được, ví dụ, tập Cantor

Định nghĩa 2.2 (Bằng