Tích phân lebesgue trên tập số thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN TẬP SỐ THỰC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ ĐƯƠNG TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN TẬP SỐ THỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tận tình dạy dỗ em bốn năm học vừa qua tạo điều kiện thuận lợi cho em thực khóa luận Em xin bày tỏ biết ơn sâu sắc tới TS Hoàng Ngọc Tuấn người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu Do hạn chế trình độ thời gian nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ góp ý, phê bình thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Đương LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm thầy cô khoa Toán, đặc biệt hướng dẫn tận tình T.S Hoàng Ngọc Tuấn Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Tích phân Lebesgue tập số thực” trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Đương Mục lục LỜI NÓI ĐẦU 1 Xây dựng tích phân Lebesgue đường thẳng thực 1.1 Hàm bậc thang 1.2 Hàm khả tích Lebesgue 1.3 Giá trị tuyệt đối hàm khả tích 10 1.4 Chuỗi hàm khả tích 12 1.5 Chuẩn L1 (R) 15 Sự hội tụ tích phân Lebesgue 18 2.1 Hội tụ hầu khắp nơi 18 2.2 Các định lý hội tụ 22 2.3 Hàm khả tích địa phương 26 2.4 Tích phân Lebesgue tích phân Riemann 28 i LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học bắt nguồn từ nhu cầu giải toán có nguồn gốc thực tiễn Trong đó, giải tích lĩnh vực đóng vai trò quan trọng có ứng dụng thực tiễn Để nắm vững kiến thức giải tích nói riêng toán học nói chung, em chọn đề tài tích phân Lebesgue: “Tích phân Lebesgue tập số thực” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu giải tích đặc biệt tích phân Lebesgue Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích phân Lebesgue tâp số thực Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận bao gồm chương: • Chương 1: “Xây dựng tích phân Lebesgue đường thẳng thực” • Chương 2: “Sự hội tụ tích phân Lebesgue” Tác giả khóa luận chân thành cảm ơn TS Hoàng Ngọc Tuấn tận tình hướng dẫn tác giả đọc tài liệu tập dượt nghiên cứu Tác giả chân thành cảm ơn thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Giải tích, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trình học Đại học thực khóa luận Hà Nội, ngày 20/04/2017 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Đương Chương Xây dựng tích phân Lebesgue đường thẳng thực 1.1 Hàm bậc thang Mỗi hàm bậc thang đường thẳng thực tổ hợp tuyến tính hữu hạn hàm đặc trưng khoảng nửa mở [a, b) ⊆ R Do đó, với hàm bậc thang f , có khoảng [a1 , b1 ), , [an , bn ) số λ1 , , λn ∈ R cho f = λ1 f1 + + λn fn , (1.1) fk =   1 x ∈ [ak , bk )  0 trái lại hàm đặc trưng [ak , bk ) Rõ ràng, biểu diễn hàm bậc thang (1.1) không Mặt khác, ta giả thiết [ak , bk ) khoảng rời rạc số khoảng dùng biểu diễn Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Biểu diễn tìm theo đường sau: Cho f hàm bậc thang a0 , a1 , a2 , , an tất điểm gián đoạn f Nói cách khác, a0 , a1 , , an điểm đồ thị hàm f có bước nhảy Ta giả thiết điểm xếp thứ tự nghĩa là, a0 < a1 < a2 < < an Kí hiệu gk (k = 1, , n) hàm đặc trưng khoảng [ak−1 , ak ) Khi f = α1 g1 + + αn gn , αk = f (αk−1 ), k = 1, 2, , n Biểu diễn thỏa mãn điều kiện cần tìm Nó gọi biểu diễn sở hàm bậc thang f Tập tất hàm bậc thang R không gian vectơ Giá trị tuyệt đối hàm bậc thang hàm bậc thang Nếu f = α1 f1 + + αn fn biểu diễn sở hàm bậc thang f , |f | = |α1 |f1 + |α2 |f2 + + |αn |fn Với hàm thực f g ta có 1 min{f, g} = (f + g − |f − g|) max{f, g} = (f + g + |f − g|) 2 Do đó, g f hai hàm bậc thang min{f, g} max{f, g} hàm bậc thang Định nghĩa 1.1 (Tích phân hàm bậc thang) Tích phân f hàm bậc thang f (x) = λ1 f1 (x) + + λn fn (x), fk hàm đặc trưng [ak , bk ), k = 1, n, xác định f = λ1 (b1 − a1 ) + + λn (bn − an ) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Rõ ràng, giá trị Nguyễn Thị Đương f tích phân Riemann f Từ tính chất tích phân Riemann thấy định nghĩa tích phân không phụ thuộc vào biểu diễn riêng Định lý 1.1 Với hàm bậc thang f g ta có (a) (f + g) = (b) λf = λ f, (λ ∈ R); (c) f ≤ g suy (d) | f | ≤ f+ f≤ g; g; |f | Chứng minh Tính chất (a) (b) có từ Định nghĩa 1.2 Để chứng minh (c) chứng tỏ f ≥ suy f = f ≥ Thật vậy, f = theo (b) Nếu f ≥ f không triệt tiêu R tất hệ số biểu diễn sở f dương f > Bây giờ, f ≤ g g − f ≥ (g − f ) ≥ 0, suy ta có f≤ −f ≤ g, theo (a), (b) Vì f ≤ |f | −f ≤ |f |, ta có |f | theo (c), điều suy | f| ≤ f≤ |f | |f | theo (b) Định nghĩa 1.2 (Giá hàm) Giá hàm khác 0, kí hiệu suppf , tập tất điểm x ∈ R mà f (x) = Bổ đề 1.1 Cho f hàm bậc thang giá chứa hợp khoảng mở [a1 , b1 ), , [an , bn ) Nếu |f | < M, với số M n |f | ≤ M (bk − ak ) k=1 Bổ đề 1.2 Cho [a1 , b1 ), [a2 , b2 ), phân hoạch khoảng Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Khi fn (x) → với x ∈ R fn → h.k.n Mặt khác, √ |fn | = n → ∞, dãy không hội tụ theo chuẩn Định lý 2.5 Cho f1 , f2 , ∈ L1 (R) ∞ |fn | < ∞ Khi chuỗi n=1 ∞ fn hội tụ hầu khắp nơi n=1 Chứng minh Theo Hệ 1.4 tồn hàm số f ∈ L1 (R), cho ∞ f f1 +f2 + Vì f (x) = ∞ |fn (x)| < ∞, f (x) với x cho n=1 n=1 ∞ điều đủ để suy tập tất điểm x ∈ R mà chuỗi |fn (x)| n=1 không hội tụ tuyệt đối tập có độ đo không Cho g hàm đặc trưng tập Khi g |g| = f1 − f1 + f2 − f2 + g= f1 − f1 + f2 − f2 + = Định lý 2.5 dẫn đến hệ quan trọng Hệ 2.1 Nếu f f1 + f2 + f = f1 + f2 + h.k.n Định lý 2.6 Cho f1 , f2 , ∈ L1 (R) ∞ |fn | < ∞ Khi f = n=1 ∞ fn h.k.n f = f1 + f2 + n=1 Chứng minh Theo Hệ 1.4, tồn hàm số g ∈ L1 (R) cho g f1 + f2 + Khi đó, theo Định lý 1.8 ta có g = f1 + f2 + theo Hệ 2.1 ta có g = f1 + f2 + h.k.n 21 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Bây giờ, f = f1 + f2 + h.k.n f = g h.k.n theo Định lý 2.4 Do f = f1 + f2 + , theo Định lý 2.3 Ngược lại, f = f1 + f2 + f = g h.k.n., theo Định lý 2.3 Do f = f1 + f2 + h.k.n., theo Định lý 2.4 2.2 Các định lý hội tụ Định lý 2.7 Không gian L1 (R) đủ ∞ Chứng minh Cho fn ∈ L1 (R) n = 1, 2, |fn | < ∞ Khi đó, theo n=1 Hệ 1.4, tồn hàm số f ∈ L1 (R), cho f f1 + f2 + Khi đó, Định lý 1.8, ta có f1 + f2 + hội tụ đến f theo chuẩn Định lý 2.8 Nếu fn → f i.n tồn dãy (fpn ) (fn ) cho fpn → f h.k.n |fn − f | → 0, tồn dãy tăng số nguyên Chứng minh Vì dương (pn ) cho |fn − f | < 2−n Khi |fpn+1 − fpn | ≤ |fpn+1 − f | + |f − fpn | < 2n+1 vậy, |fp1 | + |fp2 − fp1 | + |fp3 − fp2 + < ∞ Do đó, tồn g ∈ L1 (R) cho g fp1 + (fp2 − fp1 ) + (fp3 − fp2 ) , 22 , Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương theo Hệ 2.1, g = fp1 + (fp2 − fp1 ) + (fp3 − fp2 ) h.k.n Điều có nghĩa là, fpn → g h.k.n Vì có fpn → g i.n fpn → f i.n., ta kết luận f = g h.k.n, theo Định lý 2.3 Hơn nữa, fpn → f h.k.n theo Định lý 2.4 Định lý 2.9 (Sự hội tụ đơn điệu) Nếu (fn ) dãy hàm khả tích nghĩa là, đơn điệu hầu khắp nơi | fn | < M với số M tất n ∈ N, tồn hàm khả tích f cho fn → f i.n fn → f h.k.n Hơn nữa, | fn | ≤ M Chứng minh Không giảm tổng quát, ta giả sử dãy không giảm hầu khắp nơi hàm không âm Trong trường hợp |f1 | + |f2 − f1 | + + |fn − fn−1 | = |fn | ≤ M, với n ∈ N Cho n → ∞, ta thu |f1 | + |f2 − f1 | + ≤ M Theo Hệ 1.4, tồn hàm f ∈ L1 (R) cho f f1 + (f2 − f1 ) + Do fn → f i.n., theo Định lý 1.8 fn → f h.k.n., theo Hệ 2.1 23 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Cuối cùng, | f| = | ≤ f1 + |f1 | + (f2 − f1 ) + (f3 − f2 ) + | |f2 − f1 | + + |f3 − f2 | ≤ M Định lý 2.10 (Định lý hội tụ trội Lebesgue) Nếu dãy hàm (fn ) khả tích hầu khắp nơi tới hàm f tồn hàm khả tích h cho |fn | ≤ h với n ∈ N, f hàm khả tích fn → f i.n Chứng minh Với m, n = 1, 2, xác định gm,n = max {|fm |, |fm+1 |, , |fm+n |} Khi đó, với m ∈ N cố định, dãy (gm,1 , gm,2 , ) không giảm gm,n | = gm,n ≤ h < ∞, có hàm khả tích gm cho gm,n → gm h.k.n n → ∞, theo định lý hội tụ đơn điệu Chú ý dãy (gn ) không tăng hầu khắp nơi |g| ≤ |f1 | với n ∈ N Lại theo định lý hội tụ đơn điệu, tồn hàm khả tích g cho gn → g h.k.n gn → g i.n Bây ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: Giả sử f = Khi fn → h.k.n gn → h.k.n Vì dãy (fn ) hội tụ theo chuẩn, ta thu gn → i.n Do đó, 24 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương |fn | ≤ gn → 0, định lý chứng minh trường hợp Trường hợp 2: Khi f hàm bất kỳ, với dãy giảm số nguyên dương (pn ) ta có hn = fpn+1 − fpn → h.k.n |hn | ≤ 2h, với n ∈ N Theo trường hợp 1, ta có hn → i.n Điều dãy (fn ) dãy Cauchy L1 (R) hội tụ theo chuẩn đến f ∈ L1 (R) theo Định lý 2.7 Mặt khác, theo Định lý 2.8, tồn dãy tăng số nguyên dương qn cho fqn → f h.k.n Nhưng fqn → f h.k.n., f = f h.k.n Theo Định lý 2.3 suy fn → f i.n Định lý 2.11 (Bổ đề Fatou) Cho (fn ) dãy hàm không âm khả tích cho fn ≤ M , với M n ∈ N Nếu fn → f h.k.n f khả tích f ≤ M Chứng minh Cho gn,k = {fn , fn+1 , , fn+k }, với n, k ∈ N Với n cố định n ∈ N, dãy (gn,1 , gn,2 , ) dãy giảm hàm khả tích, cho | gn,k | ≤ gn,1 < ∞ Do đó, theo định lý hội tụ đơn điệu, hội tụ hầu khắp nơi đến hàm khả tích gn , nghĩa là, gn = inf {fn , fn+1 , } h.k.n Vì gn ≤ fn ≤ M dãy (gn ) không giảm hầu khắp nơi, dãy (gn ) 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương hội tụ hầu khắp nơi đến hàm khả tích g ta có g ≤ M , lại theo định lý hội tụ đơn điệu Nhưng gn → g h.k.n Do f = gh.k.n f ≤ M 2.3 Hàm khả tích địa phương Tích phân f phù hợp với phép lấy tích phân toàn đường thẳng +∞ f thực, ký hiệu −∞ f dùng thay Trong ứng R dụng ta thường cần hàm khả tích khoảng bị chặn Định nghĩa 2.4 (Tích phân khoảng) Tích phân hàm [a, b] giá trị tích phân f χ[a,b] , χ[a,b] kí hiệu hàm b đặc trưng [a, b] (và f χ[a,b] tích f χ[a,b] ), kí hiệu f a b f tích phân hàm f [a, b] Nói cách khác, a trái lại Việc chọn khoảng [a, b] không bắt buộc Ta dùng khoảng (a, b) nửa khoảng, ta có định nghĩa hoàn toàn tương tự Trong chứng minh thường tiện lợi sử dụng χ[a,b) thay χ[a,b] , định nghĩa hàm bậc thang b Định lý 2.12 Nếu f ∈ L (R) tích phân f tồn với [a,b] a Chứng minh Cho f f1 + f2 + Xác định, với n = 1, 2, , gn (x) =    fn (x) với x ∈ [a, b],  0 trái lại Dễ dàng kiểm tra χ[a,b] = g1 + g2 + 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Điều ngược lại định lý không Ví dụ, với hàm b f tồn với −∞ < a < b < +∞ f = 1, tích phân a f∈ / L1 (R) Điều gợi định nghĩa sau: Định nghĩa 2.5 (Hàm khả tích địa phương) Một hàm f xác định b f tồn với R gọi khả tích địa phương, tích phân a −∞ < a < b < +∞ Định lý 2.13 Cho f g hàm khả tích địa phương Nếu g bị chặn [a, b] với −∞ < a < b < +∞, tích f g hàm khả tích địa phương Chứng minh Cho f, g hai hàm định nghĩa.Với −∞ < a < b < +∞ xác định F = f χ[a,b) G = gχa,b) [ Cho F f1 + f2 + f hàm bậc thang với giá [a, b) Ta F G f1 g + f2 g + Đầu tiên ta thấy f1 g, f2 g, hàm khả tích Nếu g < M [a,b) với M > |fn g| < M |fn | với n ∈ N Do đó, ∞ ∞ |fn g| < M n=1 Hơn nữa, ∞ n=1 |g(x)fn (x)| |fn | < ∞ n=1 < ∞ với x ∈ R g(x) = Trong hai trường hợp, F (x)G(x) = ∞ n=1 |fn (x)| 0, ta có x0 +h F (x0 + h) − F (x0 ) = h x0 f− c f c h x0 +h = h (2.2) x0 Vì f liên tục x0 , với ε > tùy ý tồn δ > cho f (x0 ) − ε < f (t) < f (x0 ) + δ, với t ∈ (x0 , x0 + δ) 30 (2.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Lấy tích phân (2.3) từ x0 đến x0 + h, ta nhận x0 +h h(f (x0 ) − ε) < f < h(f (x0 ) + ε), < h < δ x0 Do đó, theo (2.2), ta có f (x0 ) − ε < F (x0 + h) − F (x0 ) < f (x0 ) + ε, < h < δ h Vì ε bất kì, điều lim+ h→0 F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 ) h Làm tương tự cho h < ta, thu lim− h→0 F (x0 + h) − F (x0 ) = f (x0 ) h Đây kết mong muốn Định lý sau thành lập công thức đổi biến số cho tích phân Lebesgue Định lý trường hợp đặc biệt định lý đổi biến số cho tích phân Lebesgue tổng quát hơn, đủ cho hầu hết ứng dụng Định lý 2.18 (Đổi biến số) Cho g hàm không giảm xác định khoảng (a, b) bị chặn không bị chặn cho g khả tích (a, b) Kí hiệu g(a), g(b) giới hạn (hữu hạn vô hạn) g a b, nghĩa là, g(a) = lim+ g(x) g(b) = lim− g(x) Nếu f hàm x→a x→b khả tích (g(a), g(b)) tích f (g(t)).g (t) hàm khả tích (a, b) 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương g(b) b f (t)dt = f (g(t))g (t)dt a g(a) Chứng minh Đầu tiên chứng minh tíchf (g(t))g (t) hàm khả tích trên(a, b) Cho f λ1 f1 + λ2 f2 + , (2.4) fn = χ[an ,bn ) với [an , bn ) ⊆ (g(a), g(b)) Ta hàm φ = f (g(t))g (t) khai triển thành φ = λ1 φ1 + λ2 φ2 + , (2.5) φn (t) = fn (g(t))g (t) Vì g(a) ≤ an < bn < g(b) g liên tục, với n ∈ N, có αn < βn cho g(αn ) = an g(βn ) = bn Khi βn |φn | = g (t)dt = g(βn ) − g(αn ) = bn − an = φn = fn (2.6) αn Vì |λ1 | f1 + |λ2 | f2 + < ∞ ta có |λ1 φ1 | + |λ2 φ2 | + < ∞ Hơn nữa, chuỗi λ1 φ1 (t) + λ2 φ2 (t) + + hội tụ tuyệt đối vài t, hội tụ đến φ(t) Điều với g (t) = Nếu g (t) = k = cho g(t) = x ta có λ1 φ1 (t) + λ2 + = (λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + )k = f (x)k = φ(t) với chuỗi hội tụ tuyệt đối Do đó, (2.5) đúng, điều chứng minh f (g(t))g (t) khả tích 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Đương Bây theo (2.5), (2.6), (2.4), ta có b f (g(t))g (t)dt = λ1 φ1 (t) + λ2 φ2 (t) + = λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + a g(b) = f (t)dt g(a) 33 Kết luận chung Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề tích phân Lebesgue tập số thực : xây dựng tích phân Lebesgue từ hàm bậc thang, chuỗi tích phân, hội tụ tích phân Lebesgue Do thời gian có hạn, lần đầu nghiên cứu khoa học, khả vốn kiến thức thân hạn chế nên luận văn em tránh khỏi thiết sót Em hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, ngày tháng 04 năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Đương 34 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Phụ Hy, Giáo trình giải tích hàm, Nhà xuất khoa học kỹ thuật Hà Nội, Hà Nội, 2005 [2] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội, Hà Nội, 2005 [3] Lokenath Debnath and Piotr Mikusinski, Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Academic Press, 2005 35 ... giải tích lĩnh vực đóng vai trò quan trọng có ứng dụng thực tiễn Để nắm vững kiến thức giải tích nói riêng toán học nói chung, em chọn đề tài tích phân Lebesgue: Tích phân Lebesgue tập số thực ... cứu khoa học tìm hiểu giải tích đặc biệt tích phân Lebesgue Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tích phân Lebesgue tâp số thực Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp đánh giá... ĐƯƠNG TÍCH PHÂN LEBESGUE TRÊN TẬP SỐ THỰC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Ngọc Tuấn Hà Nội – Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực