Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Đề số 1 Bài 1. Cho biểu thức : 1 2 1 : . 1 1 1 x x A x x x x x x = + ữ ữ ữ ữ + + a.Rút gọn A. b.Tính A biết 4 2 3.x = c.Tìm x để A > 1. Bài 2. Cho hàm số : 2 2 . 1 x x y x = a.Chứng minh rằng : Đờng thẳng y = -x + k luôn cắt đồ thị tại hai điểm A và B. b.Tìm k sao cho OA OB. Bài 3. Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b ; AB = c. Chứng minh rằng : a)Nếu  = 2 à B thì a 2 = b 2 + bc. b)Ngợc lại : nếu a 2 = b 2 + bc thì  = 2 à B . c)Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC biết rằng số đo các cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp và  = 2 à B . Bài 4. Cho 0.z y x > Chứng minh rằng : ( ) ( ) 1 1 1 1 1 .y x z x z x z y x z + + + + + ữ ữ H ớng dẫn giải. Bài 1.a. - Cần chỉ rõ ĐKXĐ của A là : 0; 1.x x - Rút gọn A từng phần ta đợc kết quả : 1 . 1 x x A x + + = b.Biến đổi : ( ) 2 4 2 3 3 1 .x = + = + - Thay vào và rút gọn A ta có : 2 3 3.A = + c.Xét hiệu : 2 1 . 1 x A x + = Để A > 1 tức : A - 1 > 0 mà : 0x buộc : 1 0 1.x x > > Bài 2. a.ĐK : 1.x - Xét phơng trình : 2 2 . 1 x x x k x = + ( ) ( ) 2 2 1x x x x k = + GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. 1 2 1 d e c b a Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định ( ) 2 2 3 0x k x k + + = (*). Ta có : ( ) 2 2 2 9 1 8 0k k k = + = + + > .x Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt. Chứng tỏ : y = -x + k luôn cắt 2 2 1 x x y x = tại hai điểm phân biệt A và B có hoành độ x A ; x B . b. Hệ số góc của OA : 1 . A A A A y x k a x x + = = Hệ số góc của OB : 2 . B B B B y x k a x x + = = Do OA OB nên : 1 2 . 1a a = tức là : ( ) 2 1 A B A B A B x x k x x k x x + + = (**). Theo Viet ta có : 3 ; 2 A B k x x + + = 2 A B k x x = . Thay vào (**) ta có : 2 2 1. k k k = Do k 0 nên : k - 2 = -1 k = 1. Bài 3. a)Kẻ phân giác AE (E BC). Suy ra :  1 = 2 = à B 1 . Từ đó chỉ ra ABCV đồng dạng với EACV (g.g). AC BC EC AC = AC 2 = EC . BC hay b 2 = a.EC. (1) Do AE là phân giác : . EC AC EC b ab EC EB AB EC EB b c b c = = = + + + (2) Thay (2) vào (1) ta có : b 2 = a . ab b c+ a 2 = b 2 + bc. b)Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Từ 2 2 b a AC BC a b bc ABC a b c BC CD = + = = + V BDCV (c.g.c) à B 1 = à D , ã BAC = ã DBC mà ABDV cân ở A ( do AD = AB) nên à B 2 = à D . Vậy : ã BAC = 2. à B . c)Theo câu a ta có : a 2 = b(b + c) (1) a > b mà a, b, c là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có hai khả năng xẩy ra : *a = b + 1 hoặc a = b + 2. 1 - Nếu a = b + 1 thì từ (1) ta có : GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định (b + 1) 2 = b(b + c) b 2 + 2b +1 = b 2 + bc. b(c - 2) = 1 Khi đó xẩy ra b = 1 c - 2 = 1 c = 3 ; a = 2 loại vì : a = b + c. 2 - Nếu a = b + 2 thì từ (1) ta có : (b + 2) 2 = b(b + c) b 2 + 4b +4 = b 2 + bc. b(c - 4) = 4 Ta có các trờng hợp sau : *b = 1 ; c - 4 = 4 c = 8 ; a = 3 loại vì : a + b < c. *b = 2 ; c - 4 = 2 c = 6 ; a = 4 loại vì : c = a + b. *b = 4 ; c - 4 = 1 c = 5 ; a = 6 thoã mãn. Vậy ba cạnh của tam giác là : 4, 5, 6. Bài 4. - Xét hiệu : A = ( ) ( ) 1 1 1 1 1 .y x z x z x z y x z + + + + + ữ ữ - Rút gọn : ( ) ( ) ( ) 0 x z x y z y A xyz + = do 0.z y x > Từ đó ta có điều phải chứng minh. Đề Số 2 Bài 1. Cho biểu thức : 3 9 3 2 1 1. 2 1 1 m m m P m m m m + = + + a.Rút gọn P. b.Tìm m để 2.P = c.Tìm m N để P N. Bài 2. Cho phơng trình : 2 .cos sin 1 0.x x + = a.Chứng minh rằng : PT luôn có hai nghiệm x 1 ; x 2 . b.Tìm hệ thức liên hệ giữa x 1 ; x 2 không phụ thuộc vào . Bài 3. Cho tam giác ABC không cân nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O. Hai đ- ờng cao AI và BE cắt nhau tại H. a.Chứng minh : ã ã CIH CBA= . b.Chứng minh : EI CO. c.Cho ã 0 60ACB = . Chứng minh : CH = CO. Bài 4.Giải hệ phơng trình : GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định 30 35 x y y x x x y y + = + = H ớng dẫn giải Bài 1.a. ĐK : 0; 1.m m - Biến đổi rút gọn : 1 . 1 m P m + = b. 2.P = Ta có : 9 1 2 1 1 9 m m m m = + = = c. Viết P dới dạng : 2 1 . 1 P m = + Suy ra : 1m là ớc của 2. Từ đó tìm ra m = 4 hoặc 9. Bài 2. a. Tính : ( ) ( ) ( ) 2 2 cos 4 sin 1 cos 4 1 sin . = = + Vì sin 1 0 > nên PT đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 . b.Theo Viet ta có : 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 cos ( ) cos sin 1 ( 1) sin x x x x x x x x + = + = = + = Vậy : 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( 1) cos sin 1x x x x + + + = + = Hay : 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 0x x x x x x+ + + = . Bài 3. a. CH cắt AB ở F ta có : CF AB. ã ã ã 0 90CHI CBA HCI= = . b.Kẻ đờng kính CD. Ta có : ã ã ã ã ã BCD BAD ABE FCE AIE= = = = . Suy ra : ã ã ã ã 0 90AIE EIC BCD EIC+ = + = hay EI CO. c.Chỉ ra : CHE đồng dạng với CDB . Suy ra : CH CE CD CB = . Do ã 0 60ACB = nên ã 0 30EBC = 1 . 2 2 CB CH CE CH CO CD = = = Bài 4. Đặt 0; 0.x m y n= = Ta có hệ : 2 2 3 3 3 ( ) 30 30 ( ) 3 ( ) 35 35 mn m n m n mn m n mn m n m n + = + = + + = + = 5 6 m n mn + = = Vậy m, n là nghiệm của phơng trình : t 2 -5t + 6 = 0. t 1 = 2 ; t 2 = 3. Thay vào tìm x , y ta đợc : GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. e o h f i k d b c a Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định 4 9 x y = = hoặc 9 4 x y = = Đề Số 3 Bài 1. Cho biểu thức : a b a b N ab b ab a ab + = + + a.Rút gọn N. b.Tính N khi 4 2 3a = + ; 4 2 3b = . c.Chứng minh : nếu 1 5 a a b b + = + thì N có giá trị không đổi. Bài 2. Cho hai hàm số : y 1 = -x. y 2 = x 2 - 2(m+2)x + m 2 +3m. Chứng minh rằng a.y 1 luôn cắt y 2 tại hai điểm phân biệt A và B. b.Khoảng cách AB không phụ thuộc vào m. Bài 3. Cho ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O), M là một điểm trên cung BC không chứa A ( M không trùng với B,C ). Gọi H, I, K lần lợt là điểm đối xứng của M qua AB, BC, CA. MI cắt BC ở E, AB cắt HM ở F. a.Chứng minh: Bốn điểm B,E,M,F thuộc một đờng tròn. b.Chứng minh: H,I, K thẳng hàng. c.Tìm vị trí của M để HK lớn nhất. Bài 4. Tìm x , y N để : 1! + 2! +3! + + x! = y 2 . H ớng dẫn giải Bài 1. a. ĐK : a , b 0 ; ab > 0 ; a b. - Rút gọn ta có kết quả : . a b A a b + = b.Biến đổi : 2 4 2 3 ( 3 1) 3 1a = + = + = + 2 4 2 3 ( 3 1) 3 1b = = = Ta đợc : N = - 3 . c. Ta có : 1 ( 1) 1 5 . 5 ( 5) 5 a a a a b a b b b b + + = = = = + + GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Thay vào ta có : 6 3 . 4 2 a N a = = Bài 2. a. Xét phơng trình : 2 2 2( 2) 3 .x m x m m x + + + = Hay : 2 2 (2 3) 3 0.x m x m m + + + = Ta có : 2 2 (2 3) 4( 3 ) 9 0m m m = + + = > . Chứng tỏ : y 1 luôn cắt y 2 tại hai điểm phân biệt A và B. b. Ta có : 2 3 9 3. 2 A m x m + + = = + ; 2 3 9 . 2 B m x m + = = y A =- m ; y B = - m -3. Vậy : 2 2 ( ) ( ) 18 3 2. B A B A AB x x y y= + = = Bài 3. a. Gọi D là trung điểm cua BM. Do các tam giác BEM và BFM vuông nên DE = DF = DB = DM. Suy ra: B,E,M,F thuộc đờng tròn đờng kính BD. b.Chứng minh F,E, N thẳng hàng ( Dựa vào đờng trung bình của tam giác). Suy ra: H,I,K thẳng hàng. c.Chứng minh cho ã ã 2HAK BAC= . Do ã BAC cố định nên ã HAK cố định. Để HK lớn nhất thì AH lớn nhất mà AH = AM suy ra: AM lớn nhất khi nó là đờng kính. Bài 4. Ta có : 1! + 2! + 3! +4! = 33. Nhận xét : 5x x! có tận cùng là 0. Suy ra : 1! + 2! +3! + 4! + 5! + + x! có tận cùng là 3 mà y 2 không có tận cùng là 3. Vậy : x < 5. Xét x = 1 , 2 , 3 , 4 ta đợc các cặp sau thoã mãn : 1 1 x y = = và 3 3 x y = = GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. f n i o e m h b c k a . Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định Đề số 1 Bài 1. Cho biểu thức : 1 2 1 : . 1 1 1 x x A x x. + GV : Nguyễn Thanh Hải - Lê Đình Kiên. 1 2 1 d e c b a Câu lạc bộ toán học Huyện Yên Định ( ) 2 2 3 0x k x k + + = (*). Ta có : ( ) 2 2 2 9 1 8 0k