Bài toán lát gạch Conway - Lagarias

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ————oOo———— KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP BÀI TOÁN LÁT GẠCH CONWAY- LAGARIAS Người hướng dẫn : TS NGUYỄN CHU GIA VƯỢNG Sinh viên thực : NGUYỄN THỊ THU NGA Lớp : K39C - Sư phạm Toán HÀ NỘI, 5-2017 LỜI CẢM ƠN Khóa luận hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công nghệ Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy cô giáo cán nhân viên Viện Toán học, thầy cô giáo Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt tổ Hình Học, tạo điều kiện thuận lợi cho em trình thực khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Chu Gia Vượng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận Do thời gian, lực điều kiện thân hạn chế nên khóa luận tránh khỏi sai sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến góp ý quý báu thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nga LỜI CAM ĐOAN Khóa luận nghiên cứu hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy Nguyễn Chu Gia Vượng Bên cạnh quan tâm, tạo điều kiện thầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội Vì xin cam đoan nội dung đề tài "Bài toán lát gạch ConwayLagarias" trùng lặp với đề tài khác Trong thực khóa luận này, sử dụng tham khảo thành tựu nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Nga Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Chương 1.Kiến thức chuẩn bị 1.1.Giới thiệu chương 1.2.Một số kiến thức nhóm 1.2.1 Nhóm nhóm 1.2.2 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 10 1.2.3 Nhóm giao hoán tử 10 1.2.4 Nhóm tự 11 1.2.5 Đồ thị Cayley 13 1.3.Một số kiến thức khác 1.3.1 Đường cong Jordan 14 14 1.4.Kết luận chương 15 Chương 2.Bất biến biên nhóm lát gạch 16 2.1.Giới thiệu chương 16 2.2.Một số khái niệm bất biến biên 16 2.3.Dấu hiệu Conway- Lagarias 21 2.4.Kết luận chương 24 Chương 3.Lát gạch miền tam giác 25 3.1.Giới thiệu chương 25 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga 3.2.Phát biểu lại toán 25 3.3.Bài toán lát gạch miền tam giác 27 3.4.Kết luận chương 34 Chương 4.Lát gạch có dấu miền tam giác 35 4.1.Giới thiệu chương 35 4.2.Bài toán lát gạch có dấu miền tam giác 35 4.3.Kết luận chương 39 Chương 5.Lập luận tô màu tổng quát nhóm đồng luân lát gạch 40 5.1.Giới thiệu chương 40 5.2.Lập luận tô màu tổng quát nhóm đông luân lát gạch 40 5.3.Các định lý 44 5.4.Kết luận chương 52 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 55 ii Mở đầu Bài toán lát gạch toán tổ hợp quen thuộc thu hút quan tâm nhiều nhà toán học từ lâu Ở xét toán việc hay lát kín miền hữu hạn lưới gạch mặt phẳng tập hữu hạn viên gạch có hình dạng xác định Có ba dạng lưới gạch mặt phẳng, lưới tam giác đều, lưới ô vuông, lưới lục giác đều, minh họa Hình Với lưới trên, ta có số khái niệm sau Mỗi lưới chia mặt phẳng R2 thành ô ô nhận cách tịnh tiến ô khác Ta gọi hình lưới, hay miền, tập liên thông mặt phẳng nhận hợp số hữu hạn ô Các hình lưới tương ứng với ba dạng lưới gọi hình lưới đa kim cương, hình lưới đa mino hình lưới đa lục giác Ta nói hai hình lưới tương đương hình thu cách tịnh tiến hình Hai hình lưới đồng dạng hình thu từ hình qua phép dời hình Ơclít, phép dời hình Ơclít chứa phép quay phép phản xạ Một hình lưới liên thông gọi viên gạch Khi nói loại gạch ta hiểu tập tất tịnh tiến viên gạch cho trước Cho trước tập Σ dạng viên gạch, ta nói Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga miền R phủ hay lát Σ tồn viên gạch Σ phủ miền R mặt phẳng cho ô R phủ xác lần (a) Lưới tam giác (b) Lưới ô vuông (c) Lưới lục giác Hình 1: Các dạng lưới mặt phẳng Các toán lát gạch lưới nhìn chung toán khó xét khía cạnh tính toán Ta xét toán lát gạch hữu hạn sau: Giả thiết Cho trước miền R tập hữu hạn Σ viên gạch Câu hỏi Tập Σ có lát miền R không ? Bài toán lát gạch hữu hạn giải cách liệt kê đầy đủ trường hợp nằm lớp toán có độ phức tạp tính toán NP Tuy nhiên người ta toán NP-đầy đủ (xem tài liệu [7]) Chính vậy, có hi vọng để tìm thuật toán với thời gian đa thức giải toán lát gạch hữu hạn Để không tồn cách lát gạch cho miền cho trước loại gạch, người ta sử dụng số phương pháp đặc biệt, chẳng hạn lập luận trọng, lập luận tô màu Chính vậy, không bất ngờ toàn lát gạch hữu hạn với phát biểu đơn giản lại đòi hỏi lời giải phức tạp Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Hình 2: Miền dạng tam giác T5 Ta quan tâm đến vài toán toán lát gạch hữu hạn lưới lục giác Với số nguyên dương N cho trước, kí hiệu TN miền dạng tam giác với cạnh N ô lưới lục giác Như vậy, TN có N +1 ô mô tả Hình Trước hết, xét toán lát gạch miền tam giác viên gạch dạng tam giác: Với giá trị N , xác định xem miền TN lát hình đồng dạng viên gạch T2 hay không? Bài toán thứ hai lát gạch miền tam giác viên gạch thẳng: Với giá trị N , TN lát hình đồng dạng viên gạch L3 hay không? (a) Viên gạch dạng tam giác T2 (b) Viên gạch thẳng L3 Hình 3: Các loại gạch cho hai toán lát gạch miền tam giác Năm 1988, hai nhà toán học J H Conway J C Lagarias đưa câu trả lời cho hai toán sau: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Định lý 0.1 (Conway-Lagarias) Miền tam giác TN lưới lục giác lát hình đồng dạng viên gạch T2 N ≡ 0, 2, 11 (mod 12) Định lý 0.2 (Conway-Lagarias) Không thể lát miền tam giác TN lưới lục giác hình đồng dạng viên gạch L3 (a) Các viên gạch dạng tam giác (b) Các viên gạch thẳng Hình 4: Các viên gạch dạng tam giác viên gạch thẳng Để giải toán trên, hai nhà toán học J H Conway J C Lagarias đưa khái niệm bất biến biên Bất biến biên nằm nhóm tổ hợp liên kết với biên viên gạch miền lát Các tác giả đưa điều kiện cần để miền đơn liên R lát viên gạch tập Σ Trong trường hợp tổng quát, tiêu chuẩn không dễ kiểm chứng việc giải toán ban đầu Tuy nhiên, với trường hợp đặc biệt miền TN , áp dụng cách hiệu việc sử dụng kết lý thuyết nhóm Mục tiêu khóa luận trình bày chứng minh hai kết với số kết khác Khóa luận chia thành năm chương Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Chương gồm kiến thức chuẩn bị Cụ thể gồm số kiến thức sở lý thuyết nhóm nhóm chuẩn tắc, nhóm giao hoán tử, nhóm tự do, đồ thị Cayley nhóm số khái niệm tôpô đường cong Jordan Chương trình bày bất biến biên nhóm lát gạch Đây khái niệm quan trọng luận văn đưa lần đầu Conway Lagarias Chương trình bày khái niệm liên quan đến biên tôpô, biên tổ hợp miền mặt phẳng; nhóm chu trình nhóm tự do; nhóm đồng luân lát gạch Phần lại chương điều kiện cần cho miền đơn liên R lát viên gạch tập Σ viên gạch cho trước Chương đề cập đến hai toán lát gạch miền tam giác giới thiệu Chúng ta phát biểu lại toán gốc dạng toán tương đương lưới ô vuông sau chứng minh hai định lý Conway Lagarias cách sử dụng bất biến biên kết hợp với đồ thị Cayley công thức tích phân Cauchy Chương đề cập đến biến thể lát gạch có dấu hai toán chứng minh hai định lý điều kiện cần đủ để lát có dấu miền R cho trước mặt phẳng Chương trình bày lập luận tô màu tổng quát nhóm đồng luân lát gạch Mục tiêu chương lập luận tô màu tổng quát trình bày lại ngôn ngữ nhóm đồng luân lát gạch Hơn ta hai toán giải lập luận tô màu tổng quát Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga ∂T1 = U −1 A−2 UA2 ∂T2 = U −2 A−1 U A ∂R = U −7 A−1 U −1 A−7 U AUA7 Hình 5.1: Bàn cờ khuyết góc quân domino ô có tọa độ đỉnh thấp phía bên trái (i, j) Ô cij tô đen i + j ≡ (mod 2) tô trắng i + j ≡ (mod 2) Ta xét ánh xạ sau: φ1 : C → Z, đó, φ1 (W ) đếm tổng số vòng quấn quanh tất ô cij có i+j ≡ (mod 2) (ô đen) đướng đóng P (W ) ánh xạ φ2 : C → Z, đó, φ2 (W ) đếm tổng số vòng quấn quanh tất ô trắng cij đướng đóng P (W ) Từ đó, ta xây dựng ánh xạ φ:C→Z⊕Z cho φ = φ1 ⊕ φ2 Xét bàn cờ khuyết góc R có biên ∂R = U −7(A−1U −1)A−7U 7(AU )A7 nhóm lát gạch tương ứng T(Σ) = N ( U −1A−2U A2 , U −2A−1U A ) 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Ta có φ([∂R]) = {(30, 32), (32, 30)} φ(T(Σ)) = {(n, n) :n ∈ Z} Khi miền R không lát quân domino Nhắc lại nhóm h(Σ) = C/T(Σ) nhóm đồng luân lát gạch Bằng cách sử dụng nhóm h(Σ) ta làm việc với ánh xạ φ : C/T(Σ) → A/φ(T(Σ)), hay φ : h(Σ) → A, A = A/φ(T(Σ)) thay ánh xạ φ : C → A Thật vậy, φ([∂R]) ∈ φ(T(Σ)) φ([∂R]) không A Ngược lại, đồng cấu φ bất kì: C → A xuất từ ánh xạ tô màu tổng quát φ : C → A, đó, A nhóm abel, việc phân tích φ = φ.π, đó, π phép chiếu C → C/T(Σ) Vì vậy, thay làm việc với ánh xạ tô màu tổng quát φ, ta xét đồng cấu φ từ nhóm đồng luân lát gạch h(Σ) đến nhóm abel A Từ nhận xét ta thấy thông tin việc lát hay không miền cho trước thu từ việc xét ánh xạ thương πs : C/T(Σ) → A0/π(T(Σ)) hay πs : h(Σ) → H(Σ), 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga đó, H(Σ) = A0/π(T(Σ)) nhóm thương abel cực đại h(Σ) Ta kiểm tra ánh xạ πs cảm sinh từ ánh xạ tô màu mạnh π : C → A0 = C/[C:C] Ta gọi H(Σ) nhóm đồng điều lát gạch Từ phép chiếu π : C → C/T(Σ) ta có H(Σ) = C/B(Σ), B(Σ) = ker(πs.π) đó, B(Σ) nhóm chuẩn tắc nhỏ C chứa T(Σ) [C:C] Ta chứng minh B(Σ) = T(Σ)[C:C] Thật vậy, B(Σ) hạt nhân ánh xạ πs π nên ta có T(Σ) ⊆ B(Σ) [C:C] ⊆ B(Σ) Suy T(Σ)[C:C] ⊆ B(Σ) Ngược lại, T(Σ) [C:C] nhóm chuẩn tắc F nên T(Σ)[C:C] nhóm chuẩn tắc F Mà B(Σ) nhóm chuẩn tắc nhỏ F chứa T(Σ) [C:C] nên B(Σ) ⊆ T(Σ)[C:C] Vậy B(Σ) = T(Σ)[C:C] 5.3 Các định lý Ta giữ lại kí hiệu trước 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Định lý 5.1 [3] (i) Nhóm chu trình C chứa tất từ W cho P(W) đường định hướng đóng Z2 , nghĩa C = [F:F] (ii) Nhóm [C:C] chứa tất từ W cho P(W) đường định hướng đóng Z2 với số quay quanh ô Z2 Do [C:C] nhóm chuẩn tắc F (iii) Nhóm A0 = C/ [C:C] đẳng cấu với tổng trực tiếp họ đếm Z, nên tương ứng 1-1 với tập ô cij Z2 Phép chiếu πi,j : C → Z gửi thành phần thứ cij A0 lên số quay w(P (W ); cij ) Chứng minh (i) Gọi C0 tập chứa tất từ W cho P (W ) đường định hướng đóng Z2 Dễ thấy, C0 nhóm chuẩn tắc F Ta chứng minh C0 = [F:F] • Lấy từ W thuộc nhóm [F:F] Ta biểu diễn W dựa vào phần tử sinh A, A−1, U, U −1 Dễ thấy rằng, đường P (W ) đóng số lần xuất A số lần xuất A−1 số lần xuất U số lần xuất U −1 Mặt khác, giao hoán tử [F:F] có tính chất nên ta có [F:F] ⊆ C0 • Ngược lại, lấy từ W thuộc C0 Ta gán từ W với bất biến (n, k, l), sau + n độ dài từ + k = max{i2 + j : đỉnh (i, j) ∈ Z2 nằm đường P (W )} + l số đỉnh (i, j) nằm đường P (W ) mà i2 +j = k Ta chứng minh quy nạp W ∈ [F:F] theo thứ tự từ điển (i, j, k) 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga - Bước khởi đầu tương ứng với (0, 0, 0) Trong trường hợp này, W đường tầm thường có độ dài 0, tương ứng với phần tử đơn vị nhóm [F:F] - Bước quy nạp, giả sử từ W tương ứng với (n, k, l) khẳng định chứng minh cho từ tương ứng với (n′ , k ′, l′) nhỏ (n, k, l) (theo thứ tự từ điển) Nếu W chứa cặp liền kề phần tử sinh dạng GG−1 , ta lược bỏ chúng giảm độ dài từ Sau hoàn thành bước chứng minh quy nạp Nếu ngược lại, lấy (i, j) đỉnh đường W với i2 + j = k Nếu W nằm góc phần tư thứ hai trường hợp sau xảy + W = W2 A−1U W1 với U W1 qua đỉnh (i, j) + W = W2 U −1AW1 với AW1 qua đỉnh (i, j) hình vẽ Trong trường hợp đầu tiên, từ W ∗ = W2U A−1W1 có thứ tự từ điển nhỏ (n, k, l − 1) (n, k − 1, ∗) Ta có W = (W2A−1U AU −1W2−1)W ∗ Do W2A−1U AU −1W2−1 liên hợp hoán tử A−1U AU −1 nên thuộc [F:F] Theo giả thiết quy nạp, W ∗ ∈ F nên W ∈ [F:F] Lập luận tương tự với trường hợp thứ hai với W ∗ = W2AU −1W1 ta suy W ∈ [F:F] Chứng minh tương tự đỉnh (i, j) nằm ba góc phần tư lại Suy C0 ⊆ [F:F] 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học A−1 Nguyễn Thị Thu Nga (i, j) U U −1 (i − 1, j − 1) A A (i, j) U −1 U −1 (i − 1, j − 1) A Hình 5.2: Sự rút ngắn từ góc phần tư thứ Vậy ta có C0 = [F:F] = C (ii) Gọi C1 tập tất từ W cho P (W ) đường đóng có số quay quanh tất ô Khi C1 nhóm chuẩn tắc F Ta cần chứng minh C1 = [C:C] • Lấy W1W2W1−1W2−1 ∈ [C:C] (W1, W2 ∈ C) rõ ràng p(W1W2 W1−1W2−1) đường đóng Ta có w(p(W1W2W1−1W2−1); cij ) = w(P (W )1; cij )+w(P ()2; cij )+w(P (W )−1 ; cij )+ w(P (W )−1 ; cij ) suy w(P (W1W2W1−1W2−1); cij ) = với ô cij Do [C:C] ⊆ C1 • Ta chứng minh C1 ⊆ [C:C] quy nạp theo (n, k, l) - Trường hợp khởi đầu tương ứng từ rỗng hay nói cách khác phần tử đơn vị F Trong trường hợp này, khẳng định tầm thường - Giả sử khẳng định cần chứng minh với từ W tương ứng với (n′, k ′, l′) nhỏ (n, k, l) W từ tương ứng với (n, k, l) 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Lấy (i, j) với i2 + j = k đỉnh nằm đường tương ứng với W Nếu W chứa hai cặp liền kề phần tử sinh có dạng GG−1 ta xóa chúng hoàn thành bước quy nạp Ngược lại, cij ô có đỉnh (i, j) nằm xa gốc (0, 0) Giả sử (i, j) nằm góc phần tư thứ Mỗi lần P (W ) qua (i, j) đến từ đỉnh (i, j − 1) tới đỉnh (i − 1, j) tức A−1U đến từ đỉnh (i − 1, j) tới đỉnh (i, j − 1) tức U −1A Do đường P không vượt đường thẳng i + j = k nên ta tính số quay w(W ; cij ) = số lần xuất A−1U − số lần xuất U −1A Lấy tổng số lần P (W ) qua (i, j) số vòng quấn nên ta biểu diễn W = W3A−1U W2U −1AW1 W = W3U −1AW2A−1U W1 với từ W1, W2, W3 từ trống Đồng thời, đường P (W ) qua (i, j) A−1U U −1A + Nếu trường hợp xảy Đặt W ∗ = W3 U A−1W2AU −1W1 Nó tương ứng với (n, k, l − 2) (n, k − 1, ∗) Ta có W = (W3A−1U W2U −1A)(U A−1W2−1AU −1W3−1)W ∗ Đặt biểu thức bên phải ZW ∗ Ta viết lại Z dạng Z = MN M −1 N −1, với M = W3 A−1U W2U −1AW3−1 N = W3 U A−1U −1AW3−1 Ta thấy M N đường đóng thuộc [C:C] nên Z thuộc [C:C] Theo giả thuyết quy nạp ta có W ∗ ∈ C, W ∈ [C:C] Lập luận tương tự với trường hợp W = W3U −1AW2A−1U W1 trường hợp (i, j) nằm góc phần tư lại ta có W ∈ C 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Vậy C1 = [C:C] (iii) Ta xét ánh xạ π sau π = ⊕i,j πi,j : C −→ ⊕(i,j) Z W −→ w(P (W ); cij ) Từ (i), ta thấy ánh xạ định nghĩa tốt nữa, đồng cấu Từ (ii), ta có hạt nhân π [C:C] Do đó, ảnh π đẳng cấu với C/[C:C] Định lý 5.2 [3] Cho miền đơn liên R tập gạch Σ, khẳng định sau tương đương: (i) R có cách lát có dấu sử dụng viên gạch tập Σ (ii) Biên tổ hợp [∂R] thuộc nhóm B(Σ) Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử R có cách lát có dấu Đặt R vào Z2 cho có biên định hướng ∂R có điểm sở (0, 0) Giả sử {(Ti, εi) : ≤ i ≤ k} cách lát có dấu R, Ti viên gạch εi = −1 dấu viên gạch Ti Ta định nghĩa khái niệm sau: Với số ≤ i ≤ k ta kí hiệu ∂Ti biên định hướng viên gạch Ti với điểm sở (0, 0); mi điểm sở vị trí Ti đặt; Wi đường định hướng từ mi đến điểm (0, 0) Xét từ k W = (∂R) −1 (Wi(∂Ti)εi Wi−1) i−1 Ta chứng minh P (W ) đường đóng với số quay quanh tất ô Z2 Dó đó, theo định lý 5.1(ii), W ∈ [C:C] Ta thấy P ((∂R)−1) có số quay −1 quanh tất ô R có số quay quanh ô khác Nhận xét rằng, P (Wi (∂Ti)εi Wi−1) 49 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga có số quay εi quanh tất ô Ti có số quay quanh ô khác nên ta có • Với ô cij nằm miền đường P (W ), rõ ràng có số quay • Với ô cij miền đường P (W ), P (W ) có số quay Điều suy từ cách lát có dấu Như W ∈ [C:C] công thức k (Wi(∂Ti)εi Wi−1) W −1 ∂R = i=1 cho thấy ∂R ∈ T(Σ)[C:C] = B(Σ) Cuối cùng, B(Σ) nhóm chuẩn tắc F nên [∂R] ⊆ B(Σ) (ii) ⇒ (i) Không tính tổng quát, giả sử R có biên định hướng ∂R với điểm sở (0, 0) Do ∂R ∈ B(Σ) = T(Σ)[C:C] nên ta viết k (Wi(∂Ti)εi Wi−1) W −1, ∂R = i=1 ∂Ti biên định hướng viên gạch Σ với điểm sở (0, 0), εi = ±1 W ∈ [C:C] Theo định lý 5.1(ii), đường P (W ) liên kết với từ k W = (∂R) −1 (Wi(∂Ti)εi Wi−1) i−1 có số quay quanh ô Mặt khác, đường P ((∂R)−1) có số quay −1 quanh ô R quanh ô R Như ta tính tổng số vòng quấn đường P (Wi (∂Ti)εi Wi−1) với ≤ i ≤ k quanh tất ô miền R quanh ô lại Vậy R có cách lát có dấu {(Ti, εi) : ≤ i ≤ k} 50 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga Định lý 5.3 [3] Cho R miền đơn liên Σ tập viên gạch Xét khẳng định sau: (H1) R lát viên gạch Σ (H2) [∂R] thuộc nhóm lát gạch T(Σ) (H3) [∂R] thuộc nhóm B(Σ) Khi đó, (H1) ⇒ (H2 ) ⇒ (H3) Trong trường hợp tổng quát, mũi tên ngược lại không Chứng minh (H1) ⇒ (H2) Nếu miền R lát viên gạch tập gạch Σ rõ ràng biên tổ hợp R phải thuộc nhóm lát gạch T(Σ) theo Định lý 2.1 (H2 ) ⇒ (H3) tầm thường Ngược lại, ta chứng minh (H2) (H1) Lấy tập gạch Σ chứa hình vuông × hình vuông × Xét miền R hình chữ L tạo thành cách khoét hình vuông × phía bên phải hình vuông × Khi [∂R] ∈ T(Σ) R lát hai viên gạch Hình 5.3 minh họa cho trường hợp Hình 5.3: Miền R (phần gạch chéo) không lát (H3 ) (H2) chứng minh từ toán lát gạch miền tam giác viên gạch thẳng Từ định lý 4.2, cách lát có dấu tồn 51 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga N ≡ (mod 9) H3 suy từ định lý 5.2 Định lý 3.2 (H2) không suy trường hợp 5.4 Kết luận chương Tóm lại, chương năm chứng minh toán lát gạch giải lập luận tô màu tổng quát trình bày chứng minh số định lý liên quan đến nhóm chu trình 52 KẾT LUẬN Xuyên suốt luận văn "Bài toán lát gạch Conway-Lagarias", quan tâm đến toán: Khi lát hoàn hảo miền hữu hạn cho trước gồm ô lưới gạch mặt phẳng viên gạch từ tập hữu hạn cho trước? Các kết trình bày luận là: (1) Chứng minh điều kiện cần để tồn cách lát hoàn hảo cho miền đơn liên sử dụng viên gạch từ tập hữu hạn viên gạch cho trước (2) Chứng minh miền dạng tam giác TN lưới lục giác lát viên gạch dạng tam giác N ≡ 0, 2, 11 (mod 12) (3) Chứng minh lát hoàn hảo miền dạng tam giác TN lưới lục giác viên gạch thẳng (4) Chứng minh miền dạng tam giác TN lưới lục giác lát có dấu sử dụng viên gạch dạng tam giác N ≡ 0, (mod 3) (5) Chứng minh miền dạng tam giác 53 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga lát có dấu viên gạch thẳng N ≡ (mod 9) (6) Chỉ giải toán lát gạch miền tam giác lập luận tô màu tổng quát Các kết tham khảo từ báo [3], Tiling with Polyominoes and Combinatorial Group Theory hai tác giả John Horton Conway Jeffrey Clark Lagarias 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng (1998), Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, tr.9-47 [2] Hoàng Xuân Sính (2005) Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, tr.1-77 [3] J H Conway and J C Lagarias (1990), "Tiling with Polynomies and Combinatorial Group Theory", Journal of combinatorial theory, Series A 53, p.183-208 [4] L V Ahlfors (1966), Complex Analysis, 2nd ed, McGraw-Hill, New York [5] M H A Newman (1951), Topology of Plane Sets of Points, Cambridge Univ Press, Cambridge [6] R Brualdi and T H Foregger, Some hypergraphs and packing problem associated with matrics of 0’s and 1’s, J Combin Theory Ser.B 17 (1974), p.115-123 [7] S Golomb (1966), "Tiling with polynomioes", J Combin Theory 1, p280-296 55 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Thu Nga [8] W Thurston (1990), "Conway’s tiling groups", Amer Math Monthly 95, Special Geometry Issue 56 ... Các toán lát gạch lưới nhìn chung toán khó xét khía cạnh tính toán Ta xét toán lát gạch hữu hạn sau: Giả thiết Cho trước miền R tập hữu hạn Σ viên gạch Câu hỏi Tập Σ có lát miền R không ? Bài toán. .. hết, xét toán lát gạch miền tam giác viên gạch dạng tam giác: Với giá trị N , xác định xem miền TN lát hình đồng dạng viên gạch T2 hay không? Bài toán thứ hai lát gạch miền tam giác viên gạch thẳng:... 55 ii Mở đầu Bài toán lát gạch toán tổ hợp quen thuộc thu hút quan tâm nhiều nhà toán học từ lâu Ở xét toán việc hay lát kín miền hữu hạn lưới gạch mặt phẳng tập hữu hạn viên gạch có hình dạng