Vận dụng những bài toán không mẫu mực “non standard problems” trong rèn luyện tư duy toán học

Vận dụng, bài toán không mẫu mực,non standard problems, rèn luyện tư duy toán học

Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CƯM’GAR TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ  SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TỐN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC “NON STANDARD PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC CHO HỌC SINH GIỎI BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ Người thực : Nguyễn Huy Hoan CưM’gar, tháng 12 năm 2009 -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :1 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -PHẦN A : MỞ ĐẦU Trong thời kỳ phát triển hội nhập, cộng với việc gia nhập tổ chức WTO mở cho đất nước ta nhiều hội lớn khơng thách thức lớn Trước , nước ta lại phải lúc giải ba nhiệm vụ : Thốt khỏi tình trạng nghèo nàn lạc hậu kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh cơng nghiệp hóa , đại hóa đồng thời tiếp cận với kinh tế tri thức Để làm nên nghiệp đòi hỏi nhiều yếu tố tác động tới, có việc thích ứng với kinh tế tri thức giới với mơn tốn “Tốn học mơn thể thao trí tuệ” cơng việc người dạy toán tổ chức hoạt động trí tuệ Có lẽ khơng có mơn học thuận lợi mơn tốn cơng việc đầy hứng thú khó khăn Là giáo viên giảng dạy mơn tốn năm làm cơng tác quản lý năm luôn trăn trở nhiều q trình học tốn làm tốn em học sinh, q trình học tốn, làm tốn em học sinh gặp tốn mà đầu đề có “vẻ lạ”, “khơng bình thường”, tốn khơng thể giải cách áp dụng trực tiếp quy tắc, phương pháp quen thuộc Những toán thường gọi “khơng mẫu mực”(non standard problems) có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư tốn học thường thử thách học sinh kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên toán, thi vào đại học.Đương nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực” tương đối, phụ thuộc vào trình độ, kinh nghiệm người giải tốn, có tốn “lạ”, “khơng mẫu mực” người lại quen thuộc người khác Để đạt mục tiêu xin chân thành cảm ơn tập thể GV- CBCNV trường THCS Nguyễn Huệ tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành SKKN Chân thành cảm ơn! -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :2 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -PHẦN B : ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Lý : Năm học 2009 – 2010 với chủ đề “ Năm học đổi quản lý nâng cao chất lượng dạy học”, Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn nhận thấy việc đào tạo chất lượng mũi nhọn nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu, đầu tư tập trung cho khối nhằm đào tạo phát học sinh có tố chất, học sinh giỏi quan trọng tơi mạnh dạn xây dựng SKKN với mong muốn thầy cô đồng nghiệp nhà trường tham khảo Trong q trình học tốn, làm tốn em học sinh gặp tốn khơng thể giải cách áp dụng trực tiếp quy tắc, phương pháp quen thuộc Những toán thường gọi “không mẫu mực” (non standard problems) Những tốn có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư toán học thường thử thách học sinh kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên toán, thi vào đại học Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tổng hợp, phân loại hướng dẫn phương pháp giải nhiều phương trình hệ phương trình “khơng mẫu mực” lớp , lớp đầu cấp THPT, mạnh dạn xây dựng SKKN nhằm giúp em học sinh luyện tập để nhiều tốn giải phương trình hệ phương trình “khơng mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua biết cách suy nghĩ trước phương trình hệ phương trình “ khơng mẫu mực” khác Mục đích :Với sáng kiến kinh nghiệm muốn đưa kinh nghiệm học thực tiễn qua trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng dạy cho em học sinh có tố chất u thích tốn học trường THCS Nguyễn Huệ Tính thực tiễn, ý nghĩa : Qua nhiều năm bồi dưỡng nhận thấy phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực quan tâm đề thi nhiều kỳ thi học sinh giỏi cấp , năm học 2008 – 2009 thúc viết lên kinh nghiệm nhỏ trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nhận -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :3 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -thấy đề tài phần đem lại hiệu cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện học sinh giỏi toàn diện lên, thầy quan tâm nhiều đến phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực khơng gặp khó khăn q trình giảng dạy học tập bồi dưỡng học sinh giỏi II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN : Cơ sở lí luận khoa học : Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết việc học toán Chính bồi dưỡng học sinh giỏi khơng đơn cung cấp cho em số vốn kiến thức thông qua việc làm tập nhiều, tốt, khó hay mà phải cần thiết rèn luyện khả phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh, đặc biệt toán em coi “lạ” Cơ sở lý luận thực tiễn: Qua nhiều năm công tác giảng dạy trường THCS nhận thấy việc học tốn nói chung bồi dưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng, muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải toán thân người thầy (cơ) cần phải có nhiều phương pháp nhiều cách hướng dẫn học sinh tiếp thu tiếp cận giải Đặc biệt qua năm giảng dạy thực tế trường trung học sở Nguyễn Huệ việc có học sinh giỏi mơn Tốn điều khó mà khơng phải giáo viên tốn làm khơng biết đầu tư, khơng thực nhiệt tình khơng nghiên cứu chun đề Phương trình hệ phương trình khơng mẫu mực,hoặc chun đề khác, nhiên có nhiều nguyên nhân có khách quan chủ quan Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều phương pháp cách giải qua Tốn để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu bồi dưỡng -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :4 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -III THỰC TRẠNG: * Thuận lợi: Là phó hiệu trưởng phụ trách chun mơn có năm giảng dạy năm làm tổ trưởng tổ toán, năm làm quản lý Năm học 2008 – 2009 đạo, quan tâm Ban giám hiệu nhà trường hoạt động đặc biệt họat động chuyên môn, tạo điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập nghiên cứu, phát huy phương pháp dạy học đổi sáng tạo Bên cạnh mơn học khác có học sinh giỏi huyện ln khuyến khích giáo viên dạy tốn học sinh phải động tìm tịi, tư sáng tạo việc dạy học toán Mặt khác nghiệp giáo dục huyện CưMgar nói chung , trường THCS Nguyễn Huệ nói riêng có nhiều thay đổi đáng kể, có nhiều học sinh giỏi cấp tỉnh, giỏi cấp huyện, cấp uỷ Đảng quyền, bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xã có phần quan tâm động viên nghiệp giáo dục xã nhà trường * Khó khăn: Bên cạnh mặt thuận lợi có nhiều khó khăn như: Điều kiện sở vật chất nhà trường thiếu thốn, khơng có phịng học để mở việc bồi dưỡng cho học sinh giỏi theo trình tự có hệ thống từ lớp nhỏ đến lớp lớn, cụ thể từ lớp đến lớp Phòng thư viện nhà trường đầu sách, việc tìm tịi sách đọc vấn đề hạn chế Nhưng khó khăn em học sinh điều kiện địa phương với đặc thù vùng huyện , số nhân đơng, điều kiện kinh tế khó khăn,dân di cư tự nhiều, việc quan tâm đến học hành hạn chế nhiều tinh thần vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành em đặc biệt mơn tốn Vì mơn tốn ngày nhiều học sinh yêu thích trước hết người Thầy phải tác động vào tiềm thức em, khơng học sinh khá, giỏi mà cần phải đánh thức em có học lực trung bình học sinh chưa thật u thích mơn tốn, để đạt mục tiêu cần phải có cú “hích” đào tạo , phát học sinh giỏi nhằm khuyến khích động viên em kịp thời , nhân tố khơi dậy gương sáng cho học sinh khác noi theo -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :5 Vận dụng toán không mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -IV GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (NỘI DUNG SKKN) : Phương trình Phần I : I/ Phương trình ẩn Phương pháp thường vận dụng : 1/ Đưa phương trình tích : a/Các bước : + Tìm tập xác định phương trình + Dùng phép biến đổi đại số đưa PT dạng f(x).g(x) h(x)=0 + Dùng ẩn phụ + Dùng cách nhóm số hạng, tách số hạng b/ Ví dụ1 : Giải phương trình : x  10 x  21 3 x   x    ( x  3)( x  7) 3 x   x    x  3( x   3)  2( x   3) 0  ( x   3)( x   2) 0  x   0    x   0  x  9    x  4 ĐS : x=1; x= Ví dụ 2: Giải phương trình :  x  x  1 Giải : Điều kiện x  - Đặt : t  x  ( t 0)  3  t  t 1  3  t 1  t  3- t2 = (1- t)3 -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :6 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học - t3 – 4t + 3t + =  (t-2)( t2 – 2t – 1) = Đs : x= 2; x= 1+ 2 c/ Bài tốn áp dụng : 1.Giải phương trình : a/ x  294 x  296 x  298 x  300    4 1700 1698 1696 1694 Đs : x= 1994 b/ c/ 3x+1 +2x.3x – 18x – 27 = ĐS :  ; (x2 – 4x + 1)3 = (x2 –x - 1)3 –( 3x-2)3 gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)3 - (a3 –b3 )= -3ab( a - b) ĐS :  3; d/ 1 ; (x2 – 3x + 2)3 + (- x2 +x + 1)3 + ( 2x-3)3 = Gợi ý : áp dụng HĐT (a - b)3 + (b - c)3 +(c - a)3 = 3(a –b )(b – c)(c- a) Đáp số : 2;1; 1 ; 2 2/ Áp dụng bất đẳng thức : a/ Các bước : + Biến đổi phương trình dạng : f(x) = g(x) mà f(x)  a ; g(x)  a (a số) Nghiệm giá trị x thỏa mãn đồng thời f(x) = a g(x) = a + Biến đổi phương trình dạng h(x) = m ( m số) mà ta ln có : h(x) m h(x) m nghiệm PT giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy + Áp dụng BĐT : Cơ si, Bunhia kốpxki, b/ Ví dụ1 : Giải phương trình : 19 x 5 x2   95 x  x 2 3 -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :7 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học - x  0  Điều kiện :  x  0  x  3x  0  Ta có : 19 x 5 x2   95 x  x 2 190  50  950 3 Nên x - = ; x2 – = x2 – 3x + = Đáp số : x = Ví dụ : Giải phương trình : x2 – 3x + 3,5 = ( x  x  2)( x  x  5) Hướng giải : ta có x2 – 2x + = ( x - 1)2 + > x2 – 4x + = ( x - 2)2 + > x2 – 3x + 3,5 = (x – 2x  2)(x – 4x  ) Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số dương : (x2 – 2x + ) (x2 – 4x + 5) Đáp số : x = c/ Bài toán áp dụng : a/ x   x   x   x  1 gợi ý : ( x   2)  ( x   3) 1 áp dụng bất đẳng thức : a  b  a  b dấu sảy ab 0 với a= x   ; b= 3- x b/ 13[(x2 – 3x +6)2 + (x2 -2x + 7)2] = ( 5x2 – 12x + 33)2 Gợi ý : sử dụng BĐT Bunhia cốpxki cho số : (a2 + b2)(c2 + d2) (ac + bd)2 Đáp số : x = 1; 3/ Chứng minh nghiệm : a/ Các bước : Ta thử trực tiếp để thấy nghiệm sau chứng minh ngồi nghiệm khơng cịn nghiệm khác : -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :8 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -b/ Ví dụ Ví dụ 1:Giải phương trình : 25(3 Gợi ý : ( x  4)2 1 x  x 14 7  25 ( x  4) 2 x  x 8 7 4 ) 29  18.3x  x 12  x  x 16 ( x  4)2 (1) 29 x =  nghiệm số (1) Xét x   2, (giáo viên hướng dẫn cho học sinh xét x   2) Đáp số : x =  Ví dụ 2: Giải phương trình : x x ( 3)  Giải :  ( x )  ( )x 2 (*)  Dễ thấy : x= nghiệm *  Xét x > Ta có (  Xét x< ta có : ( x )  ( ) x  ( )  ( ) 1 2 2 x )  ( ) x  ( )  ( ) 1 2 2 Vậy ta có nghiệm c/ Bài toán áp dụng : Giải phương trình : 2x + 3x + 5x-1 = 21-x + 31-x + 51-x 3x + 4x = 5x 4/ Đưa hệ phương trình a/ Các bước : - Tìm ĐK tồn phương trình - Biến đổi PT để xuất nhân tử chung - Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc GPT việc giải HPT quen thuộc b/ Ví dụ -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :9 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -Ví dụ : Giải phương trình : 4  x x  x 0    x 12 Điều kiện : 4  x 0     x 0 Đặy y =  x ta có hệ phương trình :  x   y   y   x Đây toán quen thuộc nên giải cách dễ dàng Lưu ý : x + y 0 x1    13   13 ; x2  ; (loại) 2 Đáp số : x1    13 Ví dụ : Giải phương trình : 4  x x Giải : Điều kiện :  x 0    x 12   x 0     x 0 Đặt y =  x ta có hệ phương trình :  x   y   y   x  x  y  ( x  y )  x 4  y     y 4  x  x 4  y ( x  y )( x  y  1) 0    x 4  y  x  y  0 Vì x + y  nên ta có hệ :   x 4  y Suy : x2 = – x –  x2 + x – = -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :10 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -Giải :  (x - 3y)2 + (2y)2 = 100  ( x  y )2 + ( y )2 = 100 Mà 100 = 02 + 102 = 62 + 85 x  3y ; 2y  N Từ giáo viên đưa nghiệm pt sau : (15 ; 5); (-15;-5); (10; 0); (-10;0); (18 ; 4); (-18;-4); (6;4); (-6;-4); (17 ; 3); (-17;-3); (1; 3); (-1;- 3) Chú ý : Tìm nghiệm nguyên số phương trình có dạng : ax2 + bxy + cy2 + d = (a ; b;c;d số ngun ) Có thể giải PP Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên phương trình : 3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2xz = 26 – 2yz  x2 +(x2+ 2xy + y2 )+ (x2+ y2 + z2 +2xy+ 2xz + 2yz) = 26  x2 +(x+y)2+ (x+y+z) = 26 x , y, z nguyên dương nên x< x + y < x + y + z mà 26 = 12 + 32 + 42 ta có :  x  y  z 4   x  y 3  x 1   x 1    y 2  z 1  Nghiệm nguyên dương ( 1;2;1) 2.Nếu phương thình có dạng : f1k ( x; y; )  f 2k ( x; y; )   f nk ( x; y; ) a -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :14 Vận dụng toán không mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -k Mà a  N, f i ( x; y; ); i 1, , n  N Thì ta viết a dạng a m1h  m2g   mnk ' ( x; y; ) mi  N; i = 1,2 , n xét trường hợp sảy ra, từ tìm nghiệm thích hợp Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương phương trình : x 10  y z 10 viết dạng liên phân số hữu hạn sau : 10 1  2 x Do ta có : y z 1  2 Vì phân tích nên ta có : x = ; y = ; x = c/ Bài tốn áp dụng : Tìm nghiệm tự nhiên phương trình sau : 1, 31(xyzt+ xy + xt + zt + ) = 40 ( yzt + y + t) Đáp số nghiệm tự nhiên phương trình ( 1; ; ; ) 2, 55( x3y3 + x2 + y2 )= 229( xy3 + ) Đáp số : (2;3) (x2 + y2 + 28 )2 = 17(x4 + y4 +14y2 +49) Gợi ý : sử dụng Bunhia Kopski Đáp số : (2;3) Tìm giá trị nguyên dương khác x1; xn cho : -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :15 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -1 1    1 x1 x2 xn Đáp số : khơng có giá trị nguyên thỏa mãn YCBT 3/ Nhận xét ẩn số : a/Các bước : Trước bắt tay vào giải toán, ta nên nhận xét xem vai trò ẩn số , cấu trúc ẩn Để có cách giải phù hợp Nếu ẩn (x;y;z ) có vai trị bình đẳng nhau, ta giả sử x y  x y  để thu hẹp miền xác định tốn Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, lũy thừa bậc số nguyên liên tiếp tích số nguyên liên tiếp .thì ta “khử ẩn” để đưa phương trình dạng quen thuộc ẩn Thường vận dụng hai nhận xét sau : a) xn < yn < (x + a)n ; (a  Z+) suy : y = (x + a+ i)n với i = 1;2; ; a-1 b) x(x+ 1) .(x + n) < y (y+1) (y+ n) < (x + a)( x+ a + 1) (x + a+ n) a  Z+ Suy : y(y +1) (y + n) = (x+ i)(x + i +1) (x + i + n) với i = 1; ;a-1 b/ Vd : Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : 1   2 x y z Giải : vai trị bình đẳng x , y , z nên ta giả sử : x  y z ta có : 1 1    2 x x y z suy x=1 1     y 1 y = y z y y=1 loại 0 z -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :16 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -y= suy z = Vậy nghiệm nguyên phương trình : ( 1; ; ) hốn vị Ví dụ : Tìm nghiệm tự nhiên phương trình : x + y + = xyz Giải : vai trị x, y bình đẳng nên giả sử x y ta có : + x = y 2x + = x2z  x( xz -2 ) =1  x = ; xz – =  x = ; z = + x > y 2x +1 > xyz  2x > xyz Hay  yz ( x khác 0)  y=1,z=2  x=2  y= , z =  x = Vậy nghiệm tự nhiên PT : (1;1;3 ); ( 2;1;2); ( 1;2;2); (3;2;1); (2;3;1) c/ Bài toán áp dụng : Tìm nghiệm tự nhiên phương trình sau : 4/ xy xz yz   3 z y x 5(x + y + z +t) = 2xyzt- 10 y3 – x3 = 3x Giải phương trình : x6 – x2 + = y3 - y Vận dụng tính chất tập hợp số nguyên : a/Các bước : + Vận dụng tính chất chia hết tính chất phép chia có dư tập hợp số nguyên để tìm nghiệm + Vận dụng tính chất số ngun tố , số vơ tỉ để tìm nghiệm + Ví dụ : mệnh đề : + Mệnh đề : với số ngun a, số a2 + khơng có ước nguyên tố dạng 4k + 3; k  Z+ + Mệnh đề : cho p số nguyên tố dạng 4k + ; k  Z+ , a nà b số nguyên, a2 + b2 chia hết cho p a chia hết cho p; b chia hết cho p -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :17 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -b/ Ví dụ : Tìm nghiệm ngun dương phương trình : 4xy – x – y = z2 Giải :  (4x – 1) (4y – 1) = ( 2z)2 + Giả sử : (xo ; yo ; zo ) nghiệm phương trình: Ta có : (4xo – 1) (4yo – 1) = ( 2zo)2 + Vì : 4xo – số nguyên dương lớn có dạng 4m + , m  Z+, nên có ước nguyên tố dạng 4k + 3, k thuộc Z+ Nhưng theo mệnh đề ( 2zo)2 + khơng có ước ngun tố dạng 4k + Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ : Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun: x3 – 63y2 + 36z = 1995 Giải : ta có x3 chia cho dư hoặc Thật đặt : x = 3a + r ( a  Z; r = ; ; -1 ) x3 = (3a +r)3 = 9M + r3 Rõ ràng x3 có dạng 9k; 9k + 1; 9k – Suy Vế trái phương trình chia cho có dư hoặc Vế phải phương trình chia cho có dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun c/ Bài tốn áp dụng : Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau : 4xy – y = 9x2 – 4x + 2 x2 – y3 = Tìm nghiệm nguyên phương trình : 13 x  y  2000 4.Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : a/ b/ 5/ 11x  x  3 y  y   5x  y  3x   y   Chứng minh phản chứng : a/Các bước : -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :18 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -Ta dùng phương pháp phản chứng sau : Giả sử phương trình có nghiệm ngun ( x0; y0; .) xây dựng dãy vô số ngiệm từ đến mâu thuẫn giả sử phương trình có nghiệm ngun ( x0; y0; .) với x0 có giá trị nhỏ giá trị chứng minh phương trình có nghiệm ( x1; y1, .) mà x0 > x1 b/ Ví dụ : Ví dụ Tìm tất nghiệm tự nhiên phương trình : x2 + (x+1 )2 = y2 + Gợi ý :  x2 + (x+1 )2 - y2 = Ta thấy : x1 = 1; y1 = nghiệm nhỏ phương trình Và 3x + y + ; 4x+ 3y + nghiệm (3x + y + 1)2 +( 3x+ 2y + 2)2 -( 4x+ 3y + 2)2 = x2 + (x +1)2 – y2 Ví dụ : Chứng minh phương trình sau có nghiệm ngun x2 – 7y2 = x=y=0 Giải : Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0 ; y0) (0;0) mà /x0/ nhỏ giá trị Ta có : x02  y02 0  x02 M7  x0 M7 Đặt x0 = 7x1 x12  y02 0  y02 M7  y0 M7 , đặt y0 = 7y1 ta có : x y  x12  y12 0  ;  nghiệm  7  Mà x1 = x0  x0 , x1 nghiệm, vô lý Suy điều phải chứng minh c/ Bài tốn áp dụng : Tìm nghiệm ngun phương trình sau : x3 + 3y = Tìm số nguyên x , y thỏa mãn phương trình : 1! + 2! + .+x! = y2 -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :19 Vận dụng tốn khơng mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học Phần II : Hệ phương trình Ở phần I mục “ Đưa hệ phương trình” đưa số cách giải hệ phương trình Ở phần với tham vọng đưa dạng ví dụ, hy vọng qua ví dụ thầy đồng nghiệp em có ví dụ để tham khảo A/ Các ví dụ : Ví dụ : Tìm nghiệm ngun hệ phương trình sau : Giải :  x  xy  y 9  2  x  656 xy  657 y 1983  x  xy  y 9   ( x  y )( x  657 y ) 1983 ( x  y )( x  657 y ) 1983  ( Bài tập áp dụng phương trình tích) Vậy hệ có nghiêm ngun  x 660  ;  y 1  x 4 Dễ thấy có :   y   x  660  x 4  x   ; ;   y   y   y 1  x  ; ngiệm ngun cần tìm  y 1 Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên (x ; y ; z ; t )của hệ phương trình sau :  xyzt  x 1995  xyzt  y 1997    xyzt  z 1999  xyzt  t 1555 Hướng giải :  x ( yzt  1) 1995  y ( xzt  1) 1997    z ( xyt  1) 1999 t ( xyz  1) 1555 Suy x, y , z , t lẻ xyzt + x chẵn, dẫn đến mâu thuẫn Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên hệ phương trình sau :  x  y  z 3   x  y  z 3 Hướng giải : -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :20 ... thuộc Những toán thường gọi ? ?không mẫu mực? ?? (non standard problems) Những tốn có tác dụng khơng nhỏ việc rèn luyện tư toán học thường thử thách học sinh kỳ thi học sinh giỏi, thi vào lớp chuyên toán, ... :12 Vận dụng toán không mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -f ( x, y, ) m  g ( x, y, ) n Với m, n  Z cụ thể ; b>0 Vận dụng. .. -Người thực : Nguyễn Huy Hoan Page :8 Vận dụng toán không mẫu mực “non standard problems” rèn luyện tư toán học -b/ Ví