Đường cong đại số phức

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ LÝ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ PHỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ LÝ ĐƯỜNG CONG ĐẠI SỐ PHỨC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN TẤT THẮNG Hà Nội – Năm 2017 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội dạy dỗ, bảo truyền đạt kiến thức cho suốt thời gian theo học khoa Đặc biệt, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Tất Thắng - Viện Toán học Việt Nam trực tiếp hướng dẫn tôi, thầy tận tâm bảo định hướng cho suốt thời gian làm khóa luận để có kết hôm Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian kinh ngiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận khó tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận bảo đóng góp quý thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Thị Lý i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hoàn thành hướng dẫn TS Nguyễn Tất Thắng Tôi xin cam đoan rằng: Khóa luận kết nghiên cứu, tìm tòi riêng Những tư liệu trích dẫn khóa luận trung thực Kết nghiên cứu trùng khít với công trình nghiên cứu tác giả công bố trước Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2017 Sinh viên Trần Thị Lý ii Mục lục Mở đầu 1 Các đường cong phẳng 1.1 Không gian xạ ảnh 1.2 Đường cong đại số phức C2 1.3 Không gian xạ ảnh phức 1.4 Các đường cong xạ ảnh phức P2 1.5 Đường cong xạ ảnh đường cong afin 12 Sự giao đường cong 2.1 17 Kết thức 17 2.1.1 Kết thức 17 2.1.2 Ứng dụng 22 2.2 Bội giao 27 2.3 Định lí Bézout 33 2.4 Điểm uốn đường cong cubic 35 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 iii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học đại số lĩnh vực Toán học Đối tượng nghiên cứu hình học đại số tập đại số Ngoài ra, tập đại số xuất lĩnh vực khác Toán học tối ưu Việc nghiên cứu tính chất hình học tập đại số vấn đề quan trọng Đường cong đại số tập đại số chiều Có mô tả tương đối tường minh đường cong đại số, chẳng hạn như: Số giao điểm đường cong, mô tả hình học đường cong, Nhận biết vai trò quan trọng đường cong đại số với mong muốn tìm hiểu sâu đường cong đại số, tìm hiểu tính chất hình học thú vị đường cong nên chọn đề tài "Đường cong đại số phức" làm khóa luận tốt nghiệp Luận văn gồm hai chương: Chương 1: "Các đường cong phẳng" Trong chương này, trình bày khái niệm đường cong, tính chất hình học điểm đặc biệt đường cong Chương 2: "Sự giao đường cong" Trong chương này, trình bày tương giao đường cong Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đường cong đại số phức: Sự tương giao đường cong, tính chất hình học đường cong Nhiệm vụ nghiên cứu Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý Trình bày khái niệm đường cong, đưa số tính chất, số điểm đặc biệt đường cong xét giao đường cong Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các đường cong đại số Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu đường cong phẳng không gian xạ ảnh phức P2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu sách tham khảo số tài liệu liên quan Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài tìm hiểu đối tượng quan trọng Toán học Việc hiểu biết tính chất hình học tập đại số đóng vai trò quan trọng có nhiều ứng dụng ngành Toán học khác thực tiễn Chương Các đường cong phẳng 1.1 Không gian xạ ảnh Định nghĩa 1.1 Cho V không gian vectơ Không gian xạ ảnh P (V ) V tập không gian vectơ chiều V Định nghĩa 1.2 Nếu không gian vectơ V có n + chiều P (V ) không gian xạ ảnh n chiều Không gian xạ ảnh chiều gọi đường xạ ảnh Không gian xạ ảnh chiều gọi mặt phẳng xạ ảnh Định nghĩa 1.3 Một không gian tuyến tính không gian xạ ảnh P (V ) tập tất không gian vectơ chiều không gian vectơ U ⊆ V Chú ý rằng: Một không gian tuyến tính không gian xạ ảnh nó, không gian xạ ảnh P (U ) Mệnh đề 1.1 Trong mặt phẳng xạ ảnh, hai đường xạ ảnh phân biệt cắt điểm Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý Chứng minh Cho mặt phẳng xạ ảnh P (V ) có dim V = Hai đường xác định P (U1 ), P (U2 ) mà U1 , U2 không gian chiều phân biệt V Từ đại số tuyến tính sơ cấp ta có: dim V dim (U1 + U2 ) ⇔ dim V dim U1 + dim U2 − dim (U1 ∩ U2 ) ⇔ + − dim (U1 ∩ U2 ) ⇔ dim (U1 ∩ U2 ) Vì U1 , U2 chiều nên dim (U1 ∩ U2 ) Đẳng thức xảy U1 = U2 Mà giả thiết cho U1 , U2 phân biệt nên suy dim (U1 ∩ U2 ) < Vậy ta có dim (U1 ∩ U2 ) = 1, nghĩa có không gian vectơ chiều U1 ∩ U2 ⊂ V Đây điểm giao cần tìm P (V ) 1.2 Đường cong đại số phức C2 Cho P (x, y) đa thức khác có hai biến với hệ số phức Khi P (x, y) gọi nhân tử lặp nếu: P (x, y) = (Q(x, y))2 R(x, y) Q(x, y), R(x, y) đa thức; Q(x, y) khác Định nghĩa 1.4 Cho P (x, y) đa thức khác có hai biến với hệ số phức nhân tử lặp Khi đó, đường cong đại số phức Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý C2 xác định P (x, y) là: C = {(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0} Định lí 1.1 (Hilbert’s Nullstellensatz) Cho P (x, y), Q(x, y) đa thức với hệ số phức Khi đó: {(x, y) ∈ C2 : P (x, y) = 0} = {(x, y) ∈ C2 : Q(x, y) = 0} tồn số thực dương m, n cho P m chia hết cho Q Qn chia hết cho P Hệ 1.1 Cho P (x, y) Q(x, y) hai đa thức nhân tử lặp Khi đó, P (x, y) Q(x, y) xác định đường cong đại số phức giống C2 tồn λ ∈ C2 \{0} cho P (x, y) = λQ(x, y) Định nghĩa 1.5 Bậc d đường cong C xác định P (x, y) bậc đa thức P , nghĩa là: d = max{r + s : cr,s = 0} cr,s xr y s P (x, y) = r,s Một điểm (a, b) gọi điểm kì dị C nếu: ∂P ∂P (a, b) = (a, b) = ∂x ∂y Tập điểm kì dị đường cong C kí hiệu Sing(C) Điểm không kì dị gọi điểm quy Đường cong C gọi quy Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý Định lí 2.3 Một đường cong quy không gian xạ ảnh P2 bất khả quy Một đường cong bất khả quy không gian xạ ảnh P2 có tối đa số hữu hạn điểm kì dị Chứng minh (i) Cho C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z)Q(x, y, z) = 0} đường cong khả quy P2 Theo định lí 2.1, có điểm [a, b, c] ∈ P2 cho P (a, b, c) = = Q(a, b, c) Lấy đạo hàm P Q điểm [a, b, c] ta được: ∂P Q (a, b, c) = ∂x ∂P Q (a, b, c) = ∂y ∂P Q(a, b, c) + ∂x ∂P Q(a, b, c) + ∂y ∂Q P (a, b, c) = ∂x ∂Q P (a, b, c) = ∂y ∂P Q ∂P ∂Q (a, b, c) = Q(a, b, c) + P (a, b, c) = ∂z ∂z ∂z ⇒ [a, b, c] điểm kì dị đường cong C ⇒ C đường cong kì dị Vậy C đường cong quy C bất khả quy (ii) Cho đường cong bất khả quy C xác định đa thức P (x, y, z) có bậc n Không giảm tính tổng quát, giả sử [1, 0, 0] ∈ / C (vì hệ số xn 25 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý P (x, y, z) khác 0) Khi đó: Q(x, y, z) = ∂P (x, y, z) ∂x đa thức có bậc n − không đồng không Do Q(x, y, z) xác định đường cong D P2 Vì C bất khả quy bậc D nhỏ bậc C nên hai đường cong C D thành phần chung Theo định lí 2.2, C D cắt tối đa n(n − 1) giao điểm Mỗi điểm kì dị C nằm C ∩ D nên đường cong C có tối đa hữu hạn điểm kì dị Định lí 2.4 (Lục giác Pascal) Một lục giác nội tiếp đường conic bất khả quy có cặp cạnh đối diện cắt điểm thẳng hàng Chứng minh Gọi cạnh lục giác đường xác định đa thức tuyến tính L1 , , L6 ẩn x, y, z Đặt P = L1 L3 L5 đa thức xác định đường cong C có bậc Q = L2 L4 L6 đa thức xác định đường cong D có bậc Khi đỉnh lục giác nằm C ∩ D nằm đường conic Cho điểm [a, b, c] nằm đường conic không nằm C ∩ D đa thức: Q(a, b, c)P (x, y, z) − P (a, b, c)Q(x, y, z) xác định đường cong bậc Đường cong cắt đường conic 26 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý đỉnh với [a, b, c], có nghĩa cắt đường conic điểm Theo định lí 2.2, đường cong đường conic phải có thành phần chung Vì đường conic bất khả quy nên ta có: Q(a, b, c)P (x, y, z) − P (a, b, c)Q(x, y, z) = L(x, y, z)R(x, y, z) R(x, y, z) = phương trình đường conic Nếu [u, v, w] ∈ C ∩ D R(u, v, w) = L(u, v, w) = Do − giao điểm C ∩ D mà không nằm đường conic phải nằm đường xác định L(x, y, z) Vậy giao điểm cặp cạnh đối diện lục giác nằm đường xác định L(x, y, z) 2.2 Bội giao Để đếm số giao điểm ta cần định nghĩa bội giao hai đường cong Ví dụ, ta coi tiếp tuyến giới hạn cung nơi mà giao điểm kết hợp lại thành 1, ta đếm bội giao Cũng xảy trường hợp nhiều điểm kết hợp lúc, ta cần có khả để đếm chúng Hoặc cắt hai đường L1 , L2 với đường thứ ba L giao điểm L với L1 L2 trở thành L qua điểm kì dị L1 ∩ L2 Bây giờ, cho C D hai đường cong thành phần chung Ta chọn tọa độ xạ ảnh thỏa mãn: (a) [1, 0, 0] ∈ / C ∩ D; (b) [1, 0, 0] không nằm đường chứa điểm phân biệt 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý C ∩ D; (c) [1, 0, 0] không nằm đường tiếp tuyến đến C D điểm C ∩ D Khi ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2 Bội giao Ip (C, D) C D điểm p = [a, b, c] ∈ C ∩ D số nguyên lớn k cho (bz − cy)k ước kết thức RP, Q (y, z) Định lí 2.5 Bội giao Ip (C, D) đường cong xạ ảnh C D điểm p P2 thỏa mãn tính chất sau: (i) Ip (C, D) = Ip (D, C) (ii) Ip (C, D) = ∞ p nằm thành phần chung C D, mặt khác Ip (C, D) số nguyên âm (iii) Ip (C, D) = p ∈ / C ∩ D (iv) Hai đường phân biệt cắt điểm có bội giao (v) Nếu hai đường cong C1 C2 xác định đa thức P1 (x, y, z), P2 (x, y, z) đường cong C xác định bởi: P (x, y, z) = P1 (x, y, z)P2 (x, y, z) Ip (C, D) = Ip (C1 , D) + Ip (C2 , D) (vi) Nếu hai đường cong C D xác định đa thức P (x, y, z), Q(x, y, z) có bậc n, m đường cong E xác định P R + Q, 28 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý R đa thức có bậc m − n thì: Ip (C, D) = Ip (C, E) Chứng minh (i) Theo chứng minh bổ đề 2.4 ta RP, Q = ±RQ, P Từ suy Ip (C, D) = Ip (D, C) (ii) Suy từ định nghĩa (iii) Nếu p ∈ C ∩ D kết thức RP, Q có nhân tử tuyến tính Do Ip (C, D) ≥ Vì Ip (C, D) = p ∈ / C ∩ D (iv) Nếu đường phân biệt cho phương trình ax + by = 0, cx + dy = cắt điểm p = [0, 0, 1] kết thức a by = (ad − bc)y c dy ⇒ Kết thức có nhân tử tuyến tính ⇒ Bội giao (v) Suy từ bổ đề 2.4: RP, QR = RP, Q RP, R (vi) Nếu R(x, y, z) = ρ0 (y, z) + ρ1 (y, z)x + + ρn−m (y, z)xn−m kết thức RP, P R+Q định thức ma trận Bij Bij ma trận Aij RP, Q với i ≤ m i−n Bij + ρi−n−k Akj k=i−m Biểu thức thu từ ma trận Aij dãy phép toán, định 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý thức không đổi Ví dụ 2.2.1 Cho hai đường cong C D xác định đa thức P (x, y, z) = yx2 − z , Q(x, y, z) = y x − z Tính bội giao hai đường cong điểm p = [0, 1, 0] Giải: Ip (C, D) = I[0,1,0] (yx2 − z , y x − z ) = I[0,1,0] (yx2 − z , yx2 − y x) = I[0,1,0] (yx2 − z , xy(x − y)) = I[0,1,0] (yx2 − z , x) + I[0,1,0] (yx2 − z , y) + I[0,1,0] (yx2 − z , x − y) Gọi E đường cong xác định y = F đường cong xác định x − y = Vì [0, 1, 0] ∈ / E ⇒ [0, 1, 0] ∈ / C ∩E ⇒ I[0,1,0] (C, E) = hay I[0,1,0] (yx2 − z , y) = Tương tự, [0, 1, 0] ∈ / F nên I[0,1,0] (yx2 − z , x − y) = Thay vào biểu thức tính bội giao ta được: Ip (C, D) = I[0,1,0] (yx2 − z , x) + + = I[0,1,0] (−z , x) = I[0,1,0] (z , x) = 3I[0,1,0] (z, x) = (I[0,1,0] (z, x) = giao hai đường thẳng) 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý Vậy C D có bội giao điểm p = [0, 1, 0] Ip (C, D) = Mệnh đề 2.1 Cho C D đường cong xạ ảnh P2 Lấy điểm p ∈ P2 Khi Ip (C, D) = p điểm quy C, D các đường tiếp tuyến đến C, D p phân biệt Mệnh đề 2.2 Giả sử đường cong C quy p lấy Tp đường tiếp tuyến p Khi Ip (C, Tp ) > Chứng minh Từ giả thiết, không giảm tính tổng quát ta giả sử ∂P =0 ∂x [a, b, c] Từ phương trình đường tiếp tuyến Tp p: xPx (p) + yPy (p) + zPz (p) = ta thu x = −Px (p)−1 (yPy (p) + zPz (p)) Kết thức thu cách thay từ phương trình đường tiếp tuyến bội P (−Px (p)−1 (yPy (p) + zPz (p)), y, z) Bội giao lớn biểu thức có nhân tử lặp mà đạo hàm theo y (hoặc theo z) Sử dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp, lấy đạo hàm theo y p ta được: (−Px−1 Py Px + Py )(p) = Vậy bội giao Ip (C, Tp ) > 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý Mệnh đề 2.3 Nếu p ∈ C ∩ D điểm kì dị C Ip (C, D) > Chứng minh Giả sử C D xác định đa thức P (x, y, z) Q(x, y, z) thành phần chung Chọn tọa độ cho điểm p = [0, 0, 1] thỏa mãn: (a) [1, 0, 0] ∈ / C ∩ D; (b) [1, 0, 0] không nằm đường chứa điểm phân biệt C ∩ D; (c) [1, 0, 0] không nằm đường tiếp tuyến đến C D điểm C ∩ D Ta chứng minh y ước kết thức RP, Q (y, z) Thật vậy: Vì p ∈ Sing(C) nên ta có: ∂P ∂P ∂P (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = (0, 0, 1) = ∂x ∂y ∂z Do đó: P (x, y, z) = a0 (y, z) + a1 (y, z)x + + an (y, z)xn y ước a0 (y, z) y ước a1 (y, z) Vì [0, 0, 1] ∈ D hay Q(0, 0, 1) = nên Q(x, y, z) = b0 (y, z) + b1 (y, z)x + + bm (y, z)xm y ước b0 (y, z) Ta viết: b0 (y, z) = b01 yz m−1 + y c0 (y, z) 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý b1 (y, z) = b10 z m−1 + yc1 (y, z) Nếu b01 = cột kết thức chia hết cho y dó y ước kết thức RP, Q (y, z) Nếu b01 = cột kết thức chia hết cho y b10 Nếu ta lấy nhân tử y trừ lần cột từ cột b01 thứ hai cột thứ hai trở thành chia hết cho y Từ ta y ước kết thức RP, Q (y, z) Vì bội giao Ip (C, D) > 2.3 Định lí Bézout Định lí 2.6 Nếu C D hai đường cong xạ ảnh P2 có bậc n, m thành phần chung chúng có nm giao điểm Ip (C, D) = nm p∈C∩D Chứng minh Ta chọn tọa độ xạ ảnh thỏa mãn: (a) [1, 0, 0] ∈ / C ∩ D; (b) [1, 0, 0] không nằm đường chứa điểm phân biệt C ∩ D; (c) [1, 0, 0] không nằm đường tiếp tuyến đến C D điểm C ∩ D Cho hai đường cong C D xác định đa thức P (x, y, z) Q(x, y, z) hệ tọa độ Theo bổ đề 2.3, kết thức RP, Q (y, z) đa thức bậc nm ẩn y, z 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý Theo bổ đề 1.1, biểu thị kết thức tích nm nhân tử tuyến tính: k (ci y − bi z)ei RP, Q (y, z) = i=1 với ei số nguyên dương thõa mãn k ei = nm i=1 với i = j (bi , ci ) không bội vô hướng (bj , cj ) Theo định lí 2.1 định lí 2.2, tồn số phức cho C ∩ D = {[ai , bi , ci ] : ≤ i ≤ k} ⇔ P (ai , bi , ci ) = Q(ai , bi , ci ) ⇔ đa thức P (x, bi , ci ), Q(x, bi , ci ) có nghiệm chung ⇔ RP, Q (bi , ci ) = ⇔ ci z − bi y nhân tử kết thức RP, Q (y, z) ⇔ Ipi (C, D) = ei Khi k k Ipi (C, D) = i=1 ei i=1 hay Ip (C, D) = nm p∈C∩D 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.4 Trần Thị Lý Điểm uốn đường cong cubic Khái niệm điểm uốn đường cong C khái niệm tổng quát định nghĩa thông thường điểm uốn đồ thị hàm (điểm mà đạo hàm cấp hai 0) Ta thấy rằng, tất đường cong xạ ảnh có bậc lớn có tối đa hữu hạn điểm uốn Định lí 2.7 Mọi đường cong cubic quy đặt dạng: y z = x(x − z)(x − λz) với λ ∈ C\{0, 1} Định nghĩa 2.3 Cho P (x, y, z) đa thức bậc d Ma trận Hess Hp P đa thức xác định  P P P  xx xy xz  Hp (x, y, z) = det  Pyx Pyy Pyz  Pzx Pzy Pzz      đó: Px = Pxx ∂P , ∂x ∂ 2P = , ∂x2 Pxy = ∂ 2P , ∂x∂y Nhận xét 2.1 Đạo hàm riêng P đa thức có bậc d − 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý ẩn x, y, z Vì Hp đa thức có bậc 3(d − 2) ẩn x, y, z Định nghĩa 2.4 Một điểm quy [a, b, c] đường cong xạ ảnh C P2 xác định P (x, y, z) gọi điểm uốn C Hp (a, b, c) = Để xét quan hệ cách định nghĩa định nghĩa thông thường điểm uốn đồ thị, ta cần bổ đề sau: Bổ đề 2.5 Nếu P (x, y, z) đa thức bậc d >   Pxx Pxy  z Hp (x, y, z) = (n − 1)2 det   Pyx Pyy  Px Py  Px Py dP d−1      Chứng minh Theo quan hệ Euler (bổ đề 1.2): dP (x, y, z) = xPx (x, y, z) + yPy (x, y, z) + zPz (x, y, z) Vì đạo hàm riêng cấp P đa thức bậc d − nên áp dụng quan hệ Euler ta được: (d − 1)Px = xPxx + yPyx + zPzx , (d − 1)Py = xPxy + yPyy + zPzy , (d − 1)Pz = xPxz + yPyz + zPzz Nhân hàng định thức xác định Hp với x, nhân hàng thứ 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý hai với y nhân hàng thứ ba với z ta được:  P P P  xx xy xz  zHp (x, y, z) = (d − 1)det  Pyx Pyy Pyz  Px Py Pz      Làm tương tự với cột định thức sử dụng đạo hàm riêng thứ hai P đa thức đối xứng ta điều phải chứng minh Bổ đề 2.6 Cho C = {[x, y, z] ∈ P2 : P (x, y, z) = 0} đường cong xạ ảnh bất khả quy có bậc d Khi điểm C điểm uốn d = Mệnh đề 2.4 Cho C đường cong xạ ảnh quy có bậc d P2 (i) Nếu d ≥ C có nhiều 3d(d − 2) điểm uốn (ii) Nếu d ≥ C có điểm uốn Chứng minh Theo nhận xét 2.1 Hp đa thức có bậc 3(d − 2), xác định đường cong xạ ảnh P2 Đường cong C xác định đa thức P có bậc d Ta thấy P Hp nhân tử chung khắc d > Áp dụng ứng dụng định lí Bézout (định lí 2.1 định lí 2.2) ta kết cần chứng minh 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Trần Thị Lý KẾT LUẬN Trong khóa luận "Đường cong đại số phức" trình bày số khái niệm đường cong afin phức, đường cong xạ ảnh phức, tính chất hình học mối liên hệ chúng Hơn nữa, xét tương giao đường cong, cách tường minh số giao điểm hai đường cong Đây bước đầu tìm hiểu đường cong đại số Từ sở này, tiếp tục nghiên cứu đường cong đại số xa nghiên cứu tập đại số 38 Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương, Hình học xạ ảnh, NXB Giáo dục 1999 [2] Hitchin N, Algebraic curves, B3b course 2009 [3] Kirwan F, Complex algebraic curves, LMSST 23, CUP, 1992 39 ... tường minh đường cong đại số, chẳng hạn như: Số giao điểm đường cong, mô tả hình học đường cong, Nhận biết vai trò quan trọng đường cong đại số với mong muốn tìm hiểu sâu đường cong đại số, tìm... cứu hình học đại số tập đại số Ngoài ra, tập đại số xuất lĩnh vực khác Toán học tối ưu Việc nghiên cứu tính chất hình học tập đại số vấn đề quan trọng Đường cong đại số tập đại số chiều Có mô... đường cong Chương 2: "Sự giao đường cong" Trong chương này, trình bày tương giao đường cong Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đường cong đại số phức: Sự tương giao đường cong, tính chất hình học đường