Tính dưới chính quy metric đối với tập nghiệm phương trình tổng quát

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC ĐỐI VỚI TẬP NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT Chuyên ngành : Toán giải tích(Lý thuyết hàm) Mã số : 62.46.01.02 Giảng viên hướng dẫn : TS Lê Anh Dũng Học viên : Bùi Hương Hiệp HÀ NỘI, 11-2016 Lời cám ơn Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới TS Lê Anh Dũng, người tận tình truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình cổ vũ, động viên suốt trình học tập Tôi xin cám ơn anh chị học viên lớp K25 Toán Giải tích bạn bè giúp đỡ suốt thời gian qua Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Bùi Hương Hiệp Mở đầu Trước hết ta nhắc lại định lý Banach - Shauder (nguyên lý ánh xạ mở tổng quát): Cho X, Y hai không gian Banach, A ∈ L(X, Y ) Khi khẳng định sau tương đương i) A toàn ánh ii) A ánh xạ mở iii) Tồn số τ > cho d(x, A−1 y) ≤ τ y − Ax , ∀x ∈ X, y ∈ Y Nếu A song ánh điều kiện iii) điều kiện Lipschitz A−1 Năm 1952, Graves chứng minh kết có ý nghĩa tương tự ánh xạ phi tuyến: Cho X, Y hai không gian Banach, ánh xạ f : X −→ Y khả vi Fréchet ngặt x¯ ∈ X đạo hàm Df (¯ x) toàn ánh Khi tồn lân cận V f (¯ x), số γ > cho f −1 có hàm chọn liên tục S V thỏa mãn S(y) − x¯ ≤ y − f (¯ x) , ∀y ∈ V Tính " Lipschitz " " ánh xạ ngược " nhiều nhà toán học quan tâm đạt kết sâu sắc kể đến định lý Clake (1976), định lý Rockafellar (1996), Một cách tự nhiên nghiên cứu ánh xạ đa trị, tính " Lipschitz " ánh xạ ngược nghiên cứu với tên gọi " tính qui mêtric " đưa Dontchev - Rockafellar Việc nghiên cứu tính qui mêtric giúp cho ta có đánh giá khoảng cách tập ảnh, ảnh ngược Vì tính qui mêtric vấn đề liên quan nhận quan tâm nhiều nhà toán học lớn kể đến là: Rockafellar, B.S Mordukhovich, Aubin, Dontchev, Xin Yi Zheng, Nguyễn Đông Yên, Dựa kết báo, kết tài liệu tham khảo, chọn vấn đề nghiên cứu khóa luận với tiêu đề " tính qui mêtric tập nghiệm phương trình tổng quát " Nội dung khóa luận đề cập chương Chương I đề cập đến khái niệm, tính chất ánh xạ đa trị liên tục, vi phân hàm lồi, nón pháp tuyến đối đạo hàm Chương II đề cập đến khái niệm, tính chất ánh xạ Lipschitz, tính qui mêtric, mối quan hệ tính Lipschitz, tính qui mêtric với đạo hàm đối đạo hàm Chương III đề cập đến khái niệm, tính chất phương trình tổng quát, tính qui mêtric tập nghiệm, điều kiện cần đủ tính qui mêtric tập nghiệm iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu tài liệu trích dẫn luận án trung thực Kết nghiên cứu không trùng với công trình công bố trước Tôi chịu trách nhiệm với lời cam đoan Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Bùi Hương Hiệp Mục lục Lời cám ơn i Mở đầu ii Lời cam đoan iv Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị liên tục 1.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.3 Nón pháp tuyến 1.4 Đối đạo hàm 13 Tính qui mêtric 22 2.1 Ánh xạ Lipschitz 22 2.2 Tính qui mêtric 28 2.3 Mối quan hệ tính Lipschitz, tính qui mêtric với đạo hàm đối đạo hàm 33 Tính qui mêtric tập nghiệm phương trình tổng quát 3.1 37 Phương trình tổng quát tính qui mêtric tập nghiệm 37 v 3.2 Điều kiện cần đủ tính qui mêtric tập nghiệm 38 Kết luận 53 vi Một số kí hiệu N Z R C x B(x, r) d(x, A) Ω x− → x¯ f x→ − x¯ Nε (x; Ω) N (x; Ω) N (¯ x, Ω) F :X⇒Y DomF Gr(F) D∗ F (¯ x, y¯)(·) ∗ D F (¯ x, y¯)(·) tập số tự nhiên tập số nguyên tập số thực tập số phức chuẩn x hình cầu mở tâm x, bán kính r khoảng cách từ x đến A x −→ x¯ x ∈ Ω x −→ x¯ f (x) −→ f (¯ x) tập véctơ ε−pháp tuyến Ω x nón pháp tuyến Fréchet Ω x nón pháp tuyến sở Ω x ¯ ánh xạ đa trị từ X vào Y miền hữu hiệu F đồ thị F đối đạo hàm Fréchet F (¯ x, y¯) đối đạo hàm Mordukhovich F (¯ x, y¯) vii Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa trị liên tục 1.1.1 Tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian tôpô X, Y ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y i) F nửa liên tục x0 ∈ X với tập mở V ⊂ Y cho F (x0 ) ⊂ V tồn lân cận U x0 thỏa mãn: F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U Ánh xạ F nửa liên tục nửa liên tục x0 ∈ X ii) F nửa liên tục x0 ∈ X với tập mở V ⊂ Y cho V ∩ F (x0 ) = ∅ tồn lân cận U x0 thỏa mãn: F (x) ∩ V = ∅, ∀x ∈ U Ánh xạ F nửa liên tục nửa liên tục x0 ∈ X * F ánh xạ liên tục F vừa liên tục vừa liên tục Nhận xét: Các định nghĩa trùng trùng với định nghĩa ánh xạ liên lục F ánh xạ đơn trị 1.1.2 Một số tính chất a) Nếu X, Y không gian tôpô compact T : X −→ 2Y ánh xạ nửa liên tục với giá trị đóng T(X) tập compact Các khẳng định sau tương đương i) T nửa liên tục ii) Với tập mở V Y T + (V ) = {x ∈ X : T x ⊂ V } mở X iii) Với tập B đóng Y T − (B) = {x ∈ X : T x ∩ B = ∅} đóng X b) Nếu Y không gian mêtric F ánh xạ nửa liên tục hàm h(x) = d(x, F x) hàm nửa liên tục Các khẳng định sau tương đương i) T nửa liên tục ii) Với tập V mở Y T − (V ) = {x ∈ X : T x ∩ V = ∅} mở X iii)Với tập B đóng Y T + (B) = {x ∈ X : T x ⊂ V } đóng X c) Nếu F ánh xạ nửa liên tục hàm gy (x) = d(y, F x) với y cố định hàm nửa liên tục T nửa liên tục với giá trị đóng Gr(F ) = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F (x)} đóng X × Y Ánh xạ đa trị F có Gr(F) đóng gọi ánh xạ đóng 1.1.3 Quan hệ tính liên tục Gr(F) Ta nhắc lại đồ thị ánh xạ đa trị F kí hiệu Gr(F ) = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ F (x)} với khoảng cách d tương ứng theo chuẩn τ Giả sử ngược lại (3.2) δ không thỏa mãn Khi tồn (x0 , y0 ) ∈ B(a, ) × Y cho τ d(x0 , S) > τ d · τ ((x0 , y0 ), Gr(F )) + y0 − b + d(x0 , A) Do tồn u ∈ X cho d(x0 , S) > τ τ +1 u − x0 + d(y0 , F u) + y0 − b + d(x0 , A) τ Ta có y0 − b +d(y0 , F (u)) ≥ d(b, F (u)), u − x0 +d(x0 , A) ≥ d(u, A) Suy d(x0 , S) > u − x0 + τ (d(b, F u) + d(u, A)) Chú ý u − a ≤ u − x0 + x0 − a < d(x0 , S) + x0 − a ≤ x0 − a < δ Từ (3.1) bất đẳng thức tam giác ta có d(x0 , S) > u − x0 + d(u, S) ≥ d(x0 , S) ta gặp mâu thuẫn Vậy (3.2) chứng minh δ Tiếp theo ta với z ∈ B(a, ) ∩ S N (z, S) ∩ BX ∗ ∩ τ (D∗ F (z, b)(BY ∗ ) + N (z, A) ∩ BX ∗ ) (3.3) δ Thật lấy z ∈ B(a, ) ∩ S x∗ ∈ N (z, S) ∩ BX ∗ Do A tập lồi, theo công thức vi phân hàm khoảng cách ta có N (S, z) ∩ BX ∗ = ∂d(· , S)(z) 40 Từ x∗ , x − z ≤ d(x, S) − d(z, S) = d(x, S) ∀x ∈ X Từ (3.2) với ∀(x, y) ∈ B(z, x∗ , x − z ≤ τ (d · δ − z − a ) × Y ta có τ (x, y), Gr(F )) + y − b + d(x, A)) Ta định nghĩa hàm φ xác định φ(x, y) := d · τ ((x, y), Gr(F )) + y − b + d(x, A) ∀(x, y) ∈ X × Y ∗ Do Gr(F) lồi, A lồi nên φ hàm lồi Từ bất đẳng thức suy ( xτ , 0) ∈ ∂φ(z, b) Chú ý ∂d · τ (· , Gr(F ))(z, b) ⊂ N (Gr(F ), (z, b)) Do x∗ , ∈ N (Gr(F ), (z, b)) + {0} × BY ∗ + (N (z, A) ∩ BX ∗ ) × {0} τ Điều kéo theo x∗ ∈ τ (D∗ F (z, b)(BY ∗ )+N (z, A)∩ BX ∗ ) Do (3.3) δ thỏa mãn, hay (GEC) (BCQ) mạnh điểm bd(S)∩B(a, ) Ngược lại, giả sử tồn τ , δ ∈ (0, +∞) cho (GEC) (BCQ) mạnh điểm bd(S)∩ B(a, δ ) với số τ Lấy x ∈ B(a, δ2 ) S 2d(x, S) , 1), tồn u ∈ bd(S) Khi d(x, S) ≤ x − a < δ2 Lấy β ∈ ( δ x∗ ∈ N (u, S) với x = cho β x − u ≤ d(x, S) β x − u ≤ x∗ , x − u Suy x − u ≤ (3.4) d(z, S) δ < Điều kéo theo β u−a ≤ x+u + x−a : (3.1) thỏa mãn Với u ∈ S γ(F, u, b; A) = inf τ > : (GEC) (BCQ) mạnh u với hệ số τ Theo chứng minh định lý 3.2.1, ta có τ (F, a, b; A) = lim sup γ(F, u, b; A) ≥ γ(F, a, b; A) bd(S) u− −−→a Tiếp theo ta điều kiện đủ để dấu " = " xảy Trước hết ta có bổ đề sau 42 Bổ đề 3.2.1 Cho s1 , s2 ∈ S u∗ ∈ X ∗ thỏa mãn u∗ , s1 = u∗ , s2 Khi u∗ ∈ D∗ F (s1 , b)(BY ∗ )+N (s1 , A)∩BX ∗ ⇔ u∗ ∈ D∗ F (s2 , b)(BY ∗ )+N (s2 , A)∩BX ∗ Chứng minh Do vai trò ta cần chứng minh chiều ” ⇒ ” Đặt ψ(x, y) := y − b + d(x, A) + δGr(F ) (x, y) ∀(x, y) ∈ X × Y, δGr(F ) hàm tập Gr(F ) Từ công thức tính vi phân hàm khoảng cách, hàm vi phân tổng ta có ∂ψ(s, b) = {0} × BY ∗ + (N (s, A) ∩ BX ∗ ) × {0} + N (Gr(F ), (s, b)), ∀s ∈ S (3.5) Lấy u∗ ∈ D∗ F (s1 , b)(BY ∗ )+N (s1 , A)∩ BX ∗ Khi đó, từ (3.5) ta có (u∗ , 0) ∈ ∂ψ(s1 , b) Do u∗ , x − s1 ≤ ψ(x, y) − ψ(s1 , b) ∀(x, y) ∈ X × Y Từ u∗ , s1 = u∗ , s2 ψ(s1 , b) = ψ(s2 , b) = suy u∗ , x − s2 ≤ ψ(x, y) − ψ(s2 , b) ∀(x, y) ∈ X × Y Vì thế, (u∗ , 0) ∈ ∂ψ(s2 , b) Theo (3.5) ta có u∗ ∈ D∗ F (s2 , b)(BY ∗ ) + N (s2 , A) ∩ BX ∗ Bổ đề chứng minh Định lí 3.2.2 Cho a ∈ S Giả sử tồn nón C lân cận V a cho S ∩ V = (a + C) ∩ V Khi τ (F, u, b; A) = γ(F, a, b; A) Do đó, (GEC) qui mêtric a (GEC) (BCQ) mạnh a 43 Chứng minh Ta cần lim sup γ(F, u, b; A) ≤ γ(F, a, b; A) bd(S) u− −−→a (3.6) Lấy δ > cho B(a, δ) ⊂ V Để chứng minh (3.6) ta với u ∈ S ∩ B(a, δ) ta có γ(F, u, b; A) ≤ γ(F, a, b; A) (3.7) N (S, u) ⊂ N (S, a), ∀u ∈ S ∩ B(a, δ) (3.8) Trước hết ta Thật vậy, lấy u ∈ S ∩ B(a, δ) x∗ ∈ N (u, S) Chú ý V lân cận u nên N (u, S) = N (u, S ∩ V ) = N (u, (a + C) ∩ U ) = N (u, a + C) Chọn cu ∈ C cho u = a + cu , ta có x∗ , u = a + cu = sup { x∗ , u = a + c : c ∈ C} Do C nón nên suy x∗ , cu = Do x∗ , u = x∗ , a = sup { x∗ , u = a + c : c ∈ C} (3.9) Điều kéo theo x∗ ∈ N (a, a + C) = N (a, S) Vì (3.8) thỏa mãn Vì (3.7) thỏa mãn γ(F, a, b; A) = +∞, ta giả sử γ(F, a, b; A) < +∞ Lấy r ∈ (γ(F, a, b; A), +∞) Khi N (a, S) ∩ BX ∗ ⊂ r(D∗ F (a, b)(Y ∗ ) + N (a, A) ∩ BX ∗ ) Lấy u ∈ S ∩ B(a, δ) x∗ ∈ N (u, S) ∩ BX ∗ Từ (3.8) ta có x∗ ∈ r(D∗ F (a, b)(BY ∗ ) + N (a, A) ∩ BX ∗ ) 44 Theo (3.9) bổ đề 3.1 x∗ ∈ r(D∗ F (u, b)(BY ∗ ) + N (u, A) ∩ BX ∗ ) Do N (u, S) ∩ BX ∗ ⊂ r(D∗ F (u, b)(BY ∗ ) + N (u, A) ∩ BX ∗ ) Điều có nghĩa γ(F, u, b; A) ≤ r Cho r −→ γ(F, a, b; A), ta có (3.7) thỏa mãn Do đó, định lí chứng minh Nhận xét i) Rõ ràng S khối đa diện với a ∈ S, tồn nón C lân cận V a cho S ∪ V = (a + C) ∪ V (∗) ii) Nếu ta chọn nón C nón tiếp xúc S a điều kiện (∗) Tiếp theo nhắc lại khái niệm nón tiếp xúc đạo hàm tiếp xúc Định nghĩa Cho A tập lồi đóng X a ∈ A, ta kí hiệu T(a,A) nón tiếp xúc A a (theo nghĩa Bouligand), T(a,A) xác định T (a, A) = v : tồn {an } ⊂ A, dãy số dương {tn } hội tụ để lim an − a =v tn Định nghĩa Cho ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y lồi đóng (nghĩa Gr(F) tập lồi đóng X × Y ) (x, y) ∈ Gr(F ) Đạo hàm tiếp xúc (x, y) ký hiệu DF(x,y) xác định DF (x, y)(u) = {v ∈ Y : (u, v) ∈ T (Gr(F ), (x, y)), ∀u ∈ X} Sử dụng C nón tiếp xúc ta đạt kết sau Định lí 3.2.3 Cho a ∈ S , ta kí hiệu τ1 := inf {τ > : d(x, a + T (a, S)) ≤ τ (d(b, F (x)) + d(x, A)), ∀x ∈ B(a, δ), δ > 0} 45 τ2 := inf {τ > : d(h, T (a, S)) ≤ τ (d(0, DF (a, b)(h)) + d(h, T (A, a))), ∀h ∈ X} Khi τ1 = τ2 = γ(F, a, b; A) Hơn nữa, τ2 < +∞ =⇒ T (a, S) = T (A, a) ∩ DF (a, b)−1 (0) (3.10) Do đó, (GEC) BCQ mạnh a phương trình tổng quát tuyến tính (với ràng buộc nón lồi T(a,A)) ∈ DF (a, b)(x), với x ∈ T (a, A) qui mêtric Chứng minh Trước tiên ta τ1 = τ2 Lấy h ∈ X, y ∈ DF (a, b)(h), u ∈ T (a, A) ε > Khi tồn t > đủ nhỏ cho (h, y) ∈ Gr(F ) − (a, b) A−a + εBX × εBY u ∈ + εBX t t Do đó, tồn z ∈ BX cho b + ty ∈ F (a + th + tεz) + tεBY a + tu ∈ A + tεBX Điều kéo theo d(b, F (a + th + tεz)) ≤ t y + tε d(a + th + tεz, A) ≤ t h − u + 2tε Lấy τ > τ1 ý với t > đủ nhỏ, ta có τ t( y + h − u + 3ε) ≥ d(a + th + tεz, a + T (a, S)) ≥ d(th, T (a, S)) − tε = td(h, T (a, S)) − tε, 46 đẳng thức cuối có T (a, S) nón Do d(h, T (a, S)) ≤ τ (d(0, DF (a, b)(h)) + d(h, T (A))) + (3τ + 1)ε) Cho ε −→ τ −→ τ1 , ta d(h, T (a, S)) ≤ τ1 (d(0, DF (a, b)(h)) + d(h, T (A))) Suy τ2 ≤ τ1 Bởi tính lồi F, ta có Gr(F ) − (a, b) ⊂ T (Gr(F ), (a, b)) = Gr(DF (a, b)) Lấy x ∈ X F (x) − b ⊂ DF (a, b)(x − a) Suy d(0, DF (a, b)(x − a)) ≤ d(b, F (x)) Mặt khác, A lồi nên d(x − a, T (a, A)) ≤ d(x − a, A − a) ≤ d(x, A) Kéo theo, với x ∈ X d(x − a, T (a, S)) ≤ τ2 (d(0, DF (a, b)(x − a)) + d(x − a, T (a, A))) ≤ τ2 (d(b, F (x)) + d(x, A)) Do τ1 ≤ τ2 , hay τ1 = τ2 Tiếp theo ta γ(F, a, b; A) = τ2 Thật từ định nghĩa τ2 , ta có d(x, T (S, a)) ≤ τ2 (d(0, DF (a, b)(x)) + d(x, T (a, A))) ∀x ∈ X Khi τ2 < +∞, ta có T (a, A) ∩ DF (a, b)−1 (0) ⊂ T (a, S) 47 Do (3.10) thỏa mãn Từ (3.10) suy γ(F, a, b; A) = γ(DF (a, b), 0, 0; T (a, A)) τ2 = τ (DF (a, b), 0, 0; T (a, A)) Từ điều định lý 3.1.2 ta có τ2 = γ(F, a, b; A) Bây ta xét τ2 = +∞ Giả sử trái lại τ2 = γ(F, a, b; A), nghĩa γ(F, a, b; A) < +∞ Lấy x ∈ X\T (a, S) β ∈ (0, 1) Theo bổ đề 2.1 tồn u ∈ T (a, S) x∗ ∈ N (T (a, S), u) cho x∗ = x∗ , x − u ≥ β x − u (3.11) Chú ý N (T (a, S), u) ⊂ N (T (a, S), 0) (vì T (a, S) nón lồi đóng) Suy x∗ ∈ N (T (a, S), 0) = N (a, S) x∗ , u = Cố định η ∈ (γ(F, a, b; A), ∞) Theo định nghĩa tồn y ∗ ∈ η BY ∗ , x∗1 ∈ (D∗ F (a, b)(y ∗ ), x∗2 ∈ ηN (a, A) ∩ BX ∗ cho x∗ = x∗1 + x∗2 Để cho tiện ta trang bị cho X × Y chuẩn (x, y) η = η 1+η x + y với (x, y) ∈ X × Y Khi hình cầu đơn vị không gian (X × Y, · η) ∗ ∗ ( η+1 η BX ) × BY Từ tính lồi DF (a, b) ta có ∗ (x1 , −y ∗ ) ∈ N (Gr(F ), (a, b)) ∩ η η+1 BX ∗ × BY ∗ η η+1 BX ∗ × BY ∗ = N (Gr(DF (a, b)), (0, 0)) ∩ η = ∂d · η (· , Gr(DF (a, b)))(0, 0) ∗ x ∈ N (a, A) ∩ BX ∗ = N (T (a, A), 0) ∩ BX ∗ = ∂d(· , T (a, A))(0) η Do ∗ x ,x ≤ d η · η ((x, 0), Gr(DF (a, b))) ≤ d(0.DF (a, b)(x)) 48 ∗ x , x ≤ d(x, T (a, A)) Chú ý x∗ , u = 0, từ (3.11) ta có η β u−x ≤ d(0, DF (a, b)(x)) + d(x, T (a, A)) η Do βd(x, T (a, S)) ≤ d(0, DF (a, b)(x)) + d(x, T (a, A)) η Cho β −→ 1, ta có d(x, T (S, a)) ≤ η(d(0, DF (a, b)(x)) + d(x, T (a, A))) Điều mâu thuẫn τ2 = +∞ Định lí chứng minh Định lý 3.2.4 Cho a ∈ S giả sử N (a, S) khối đa diện không gian hữu hạn chiều X ∗ Khi (GEC) (BCQ) a (BCQ) mạnh a Chứng minh Ta cần (GEC) (BCQ) a (BCQ) mạnh a, nghĩa ta cần tồn τ > cho N (a, S) ∩ BX ∗ ⊂ τ (D∗ F (a, b)(BY ∗ ) + N (a, A) ∩ BX ∗ ) (3.12) Gọi E không gian hữu hạn chiều X ∗ cho N (a, S) ⊂ E Đặt L := N (a, S) ∩ −N (a, S), L không gian lớn N (a, S) Lấy không gian L⊥ E cho L ∩ L⊥ = {0} E = L + L⊥ (3.13) Vì N (a, S) nón đa diện E, theo [định lý 19.1, trang 31] tồn nón đa diện C ⊂ L⊥ không chứa đường thẳng thỏa mãn N (a, S) = C + L 49 (3.14) Mặt khác, dim(E) < ∞ (3.13) tồn δ ∈ (0, +∞) cho (C + L) ∩ BX ∗ ⊂ δ(C ∩ BX ∗ + L ∩ BX ∗ ) Từ (3.14) ta có N (a, S) ∩ BX ∗ ⊂ δ(C ∩ BX ∗ + L ∩ BX ∗ ) (3.15) Vì L không gian hữu hạn chiều, tồn l1 , , lm ∈ L cho BX ∗ ∩ L ⊂ co(l1 , , lm ) (3.16) Vì C khối đa diện không chứa đường thẳng nằm không gian hữu hạn chiều nên tồn c1 , , cn ∈ C cho C = R+ co(c1 , , cn ) ∈ / co(c1 , , cn ) Không tính tổng quát, ta giả thiết co(c1 , , cn ) ∩ BX ∗ = ∅ Chú ý C ∩ BX ∗ ⊂ co(0, c1 , , cn ) (3.17) Từ (3.16) giả thiết BCQ, tồn ∗ {y1∗ , , yn∗ , y1∗ , , ym } ⊂ Y ∗ {a∗1 , , a∗n , a∗1 , , a∗m } ⊂ N (a, A) cho ci ∈ D∗ F (a, b)(yi∗ ) + a∗i , ≤ i ≤ n lj ∈ D∗ F (a, b)(yi∗ ) + a∗j , ≤ j ≤ m Đặt k := max1≤i≤n,1≤j≤m yj∗ + a∗j + yi∗ + a∗i Theo (3.16) (3.17) ta có C ∩ BX ∗ + L ∩ BX ∗ ⊂ k(D∗ F (a, b)(BY ∗ ) + N (a, A) ∩ BX ∗ ) Vậy (3.12) thỏa mãn với τ = δ.k Định lí chứng minh 50 Hệ 3.2.1 Cho f1 , , fn : X −→ R ∪ {+∞} hàm lồi thực nửa liên tục dưới, xét phương trình tổng quát (GEC) với A = X, Y = Rn , b = (b1 , , bn ) ∈ Rn hàm đa trị F định nghĩa F (x) = (f1 (x), , fn (x)) + Rn+ , ∀x ∈ X Giả sử fi khả vi a ∈ S Khi (GEC) (BCQ) a (GEC) (BCQ) mạnh a Chứng minh Ta cần D∗ F (a, b)(Rn ) = R+ co fi (a) : i ∈ J(a) , (3.18) J(a) = {1 ≤ i ≤ n : fi (a) = bi } Vì hàm fi khả vi a nên dom(D∗ F (a, b)) = Rn+ Lấy (r1 , , rn ) ∈ Rn+ \ {0} x∗ ∈ D∗ F (a, b)(r1 , , rn ) Khi n ∗ n ∗ x ,x − ri (fi (x) + ti ) ≤ x , a − i=1 ri bi i=1 với x ∈ X (t1 , , tn ) ∈ Rn+ Chú ý fi (a) = bi i ∈ J(a), fi (a) < bi với i ∈ / J(a) a ∈ int(dom(fi )), ≤ i ≤ n Kéo theo ri = với i∈ / J(a) x∗ , x − a ≤ ri f (x) − i∈J(a) ri f (a) i∈J(a) với x ∈ X Điều kéo theo x∗ = ri fi (a) i∈J(a) Do x∗ ∈ R+ co fi (a) : i ∈ J(a) Suy D∗ F (a, b)(Rn ) ⊂ R+ co fi (a) : i ∈ J(a) Lấy x∗ ∈ R+ co fi (a) : i ∈ J(a) Tồn (c1 , , cn ) ∈ Rn+ với ∗ n ci = 0, ∀i ∈ J(a) cho x = i=1 ci fi (a) 51 Với i ∈ {1, 2, , n} , ti ≥ x ∈ X, theo tính chất đạo hàm hàm lồi ta có ci , fi (a) ≤ ci (fi (x) + ti − bi ) Điều kéo theo x∗ ∈ D∗ F (a, b)(c1 , c2 , , cn ) Suy R+ co fi (a) : i ∈ J(a) ⊂ D∗ F (a, b)(Rn ) Vậy R+ co fi (a) : i ∈ J(a) = D∗ F (a, b)(Rn ) Hệ chứng minh 52 Kết luận Nội dung khóa luận đề cập đến vấn đề sau Các khái niệm tính chất nón pháp tuyến 2.Các khái niệm tính chất đối đạo hàm Các khái niệm tính chất ánh xạ Lipschitz Các khái niệm tính chất tính qui mêtric Các khái niệm tính chất phương trình tổng quát tính qui mêtric tập nghiệm Điều kiện cần đủ tính qui mêtric tập nghiệm Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Giáo trình Giải Tích Hàm, Nhà xuất Đại học sư phạm, 2010 [2] Boris S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differentiation I [3] Xi Yin Zeng - Kung Fu NG, Metric Subregularity And Constraint Qualifications For Convex Generalized Equations In Banach Spaces, Siam J Optim Vol 18, No 2, pp 437-460 [4] Xi Yin Zeng - Kung Fu NG, Metric Subregularity And Calmness For Nonconvex Generalized Equations In Banach Spaces, Siam J Optim Vol 20, No 5, pp 2119-2136 [5] W Li, C NAHAK, AND I.SINGER, Constraint qualifications for Semi - infinite Systems of Convex inequalities, Siam J Optim., 11(2000), pp 31 - 52 54 ... 22 2.2 Tính qui mêtric 28 2.3 Mối quan hệ tính Lipschitz, tính qui mêtric với đạo hàm đối đạo hàm 33 Tính qui mêtric tập nghiệm phương trình tổng quát 3.1... đạo hàm Chương III đề cập đến khái niệm, tính chất phương trình tổng quát, tính qui mêtric tập nghiệm, điều kiện cần đủ tính qui mêtric tập nghiệm iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu tài... nghiệm phương trình tổng quát 3.1 37 Phương trình tổng quát tính qui mêtric tập nghiệm 37 v 3.2 Điều kiện cần đủ tính qui mêtric tập nghiệm 38