Khuếch tán phi tuyến và tensor cấu trúc trong mô hình hóa nhằm giảm nhiễu đốm và tăng cường biên trong ảnh siêu âm

Tạp chí Tin học Điều khiển học, T.29, S.1 (2013), 16–30 KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA NHẰM GIẢM NHIỄU ĐỐM VÀ TĂNG CƯỜNG BIÊN TRONG ẢNH SIÊU ÂM NGUYỄN HẢI HÀ1 , PHẠM TRẦN NHU2 Cao Viện đẳng Kỹ thuật Thiết bị Y tế - Bộ Y tế Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ VN Tóm tắt Nhiễu đốm thường ảnh hưởng tới chất lượng ảnh siêu âm y tế, làm giảm độ phân giải độ tương phản ảnh Nhiễu đốm thuộc tính cố hữu ảnh tạo giao thoa ngẫu nhiên liên quan tới dội lại quán tự nhiên sóng truyền mà nguyên nhân tượng tán xạ Nhiều giải pháp loại bỏ nhiễu đốm, không làm thông tin biên ảnh đề xuất Bài báo đề xuất hai tiến trình khuếch tán, khuếch tán đẳng hướng để giải toán giảm nhiễu đốm, khuếch tán bất đẳng hướng để tăng cường biên chi tiết cục ảnh siêu âm Cả hai trường hợp điều khiển mô hình khuếch tán phi tuyến tensor cấu trúc Mô hình đề xuất kết hợp tiến trình khuếch tán phi tuyến chỉnh hóa với phương trình dịch chuyển đường cong trung bình tensor cấu trúc Mô hình thực đồng thời giảm nhiễu đốm vùng đồng tăng cường cấu trúc ảnh vùng không đồng cách sử dụng khuếch tán phi tuyến theo hướng biến đổi cục gradient ảnh Bài báo trình bày kết thực nghiệm thực ảnh siêu âm bị ảnh hưởng nhiễu đốm để minh họa hiệu mô hình đề xuất Từ khóa Khuếch tán phi tuyến, tensor cấu trúc, nhiễu đốm, tăng cường biên ảnh, ảnh siêu âm Abstract Speckle noise generally affects medical ultrasound images quality, and tends to reduce the image resolution and contrast Speckle noise is an inherent property in which the images are formed under random interference between the coherent natures returns of a transmitted waveform that cause from scattering phenomenon Many solutions have been proposed so far to remove speckle noise without loosing the edge information in images This paper proposes two diffusion processes, in which isotropic diffusion solves the problem of speckle noise reduction and anisotropic diffusion enhances edges and local details in ultrasound images Both the cases are controlled by the nonlinear diffusion and structure tensor model The proposed model combines between the regularized nonlinear diffusion process with the mean curvature motion equation and structure tensor The model performs simultaneous speckle noise reduction in homogeneous region, structure enhancement in inhomogeneous region using non linear diffusion based on local variations of the gradient orientation of an image The paper also presents experimental results carried out on ultrasound images affected by speckle noise for illustrating the effectiveness of the proposed model Key words Nonlinear diffusions, structure tensors, speckle noise, image edge enhancement, ultrasound image KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 17 MỞ ĐẦU Phương thức tạo ảnh y tế mang lại cho kỹ thuật thị giác máy tính khả mở xử lý ảnh Mục đích sử dụng ảnh công cụ chẩn đoán không xâm lấn để thăm khám ban đầu thương tổn bên thể, cho thấy cần thiết phải tăng độ phân giải, tăng tỷ số tín hiệu/nhiễu (SNR) tăng độ tương phản liệu ảnh Trong công nghệ thu nhận ảnh quán, tiêu biểu phương thức tạo ảnh siêu âm y tế, biên độ pha tín hiệu ghi lại Do vậy, ảnh tạo xuất hiện tượng đốm (speckle), coi nhiễu Hàm ảnh siêu âm modeB biểu diễn theo mô hình [5]: u(x, y) = u0 (x, y).ηm (x, y) + η( x, y), (x, y) ∈ R2 đó, u(x, y) ảnh siêu âm thu được; u0 (x, y) ảnh bề mặt tổ chức mô mềm không lẫn nhiễu; ηm (x, y) nhiễu đốm; ηa (x, y) nhiễu Gauss Khác với thành phần nhiễu Gauss, coi nhiễu cộng ảnh y tế sinh tính chất mạch điện hệ thống cách thức thu nhận ảnh, đốm đóng vai trò kép nguồn nhiễu, đồng thời mang thông tin cấu trúc mô mềm có độ phân giải micromet Chẳng hạn ảnh siêu âm thận thường xuất đốm dạng hạt phản âm sáng rõ, nguyên nhân tia siêu âm trực giao với nhiều mạch máu bên thận có độ phân giải nhỏ so với bước sóng siêu âm ứng dụng y học, gây tăng âm nhu mô bao quanh Như vậy, đốm không làm thông tin ảnh làm thay đổi giá trị mức xám điểm ảnh giá trị ngẫu nhiên Đốm thường làm tăng mức xám trung bình vùng ảnh cục bộ, điểm ảnh đốm có giá trị mức xám ngẫu nhiên từ (0÷255) quán với nguồn sóng âm [16] Mẫu nhiễu đốm ảnh siêu âm mô tả theo tính thống kê tiến trình ngẫu nhiên Tính thống kê phép đo cường độ ảnh u điểm coi hàm mật độ xác suất (pdf) có số mũ âm [3] phân bố Rayleigh Trong ảnh siêu âm đốm chia thành ba mẫu, tùy thuộc vào mật độ lượng tán xạ (scatterer number density-SND) [5, 13]: đốm toàn vùng (FFS), đốm có hàm mật độ biến đổi ngẫu nhiên đốm phụ thuộc tính ngẫu nhiên pha Đốm coi nhiễu nhân phụ thuộc tín hiệu, làm trơn đốm, thực chất hiệu chỉnh sai lệch mức xám cho điểm ảnh vùng theo mẫu thống kê có mức xám Như vừa khắc phục tượng gây đốm tán xạ ngược, sai pha-biên độ điểm ảnh vừa bảo toàn chi tiết hữu ích ảnh siêu âm Các giải pháp giảm đốm ảnh siêu âm hai chiều, đa mức xám đề xuất median, homomorphic Wiener, giải pháp giảm tượng đốm ảnh, làm mát đáng kể chi tiết ảnh Giảm đốm, tăng cường biên ảnh siêu âm hai chiều miền wavelet nhiều tác giả đề xuất, công cụ mạnh xử lý ảnh, tới thách thức nhà nghiên cứu, giải pháp đòi hỏi độ phức tạp tính toán cao yêu cầu nhớ không gian lớn [5] Dựa vào đặc điểm đặc tính thống kê đốm ảnh siêu âm, nghiên cứu gần có xu hướng ứng dụng phương trình đạo hàm riêng toán phân tích tiến trình khuếch tán mức xám điểm ảnh ảnh phẳng Các mô hình lọc nhiễu ảnh thiết kế dựa vào phương trình đạo hàm riêng dẫn đến mô hình khai triển mới, ảnh cho trước coi liệu ban đầu cho toán giá trị đầu biên phương 18 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU trình parabol Ưu điểm phương pháp tiếp cận phương trình đạo hàm riêng tốc độ tính toán cao, xác ổn định Perona-Malik [14] đề xuất mô hình khuếch tán phi tuyến (1990) khắc phục vấn đề làm nhoè, mờ biên ảnh Mô hình thuộc lớp lọc có tiến trình khuếch tán phi tuyến đẳng hướng [19] Xét mặt toán học, tồn tiến trình khuếch tán nghịch biến nên mô hình toán không đặt chỉnh [1, 6, 19] Ý tưởng chỉnh hóa phương trình mô hình Perona-Malik dẫn tới kết toán giá trị đầu có lời giải Catté, Lions, Morel Coll [9] đề xuất (1992) cách giới hạn tiến trình khuếch tán với độ lệch chuẩn σ Tuy mô hình thuộc lớp lọc có tiến trình khuếch tán phi tuyến đẳng hướng Một lớp mô hình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng cho lọc nhiễu, tăng cường ảnh Weickert [17, 19] đề xuất (1998) Mô hình thay hàm khuếch tán giá trị vô hướng mô hình khuếch tán phi tuyến đẳng hướng tensor khuếch tán Phương pháp mở rộng thang không gian, cho phép lấy trung bình giá trị mức xám ảnh toàn vùng cục bộ, làm trơn, mịn vùng đồng biên ảnh, tăng độ tương phản ảnh Tuy vậy, phép chập Gauss đồng tensor cấu trúc truyền thống tương đồng với khuếch tán tuyến tính Đồng thời độ phức tạp tính toán mô hình Weickert đề xuất cần phải quan tâm, thực phép chập tensor cấu trúc với Gauss kernel Phát triển mô hình khuếch tán phi tuyến chỉnh hóa [9] kết hợp với mô hình phát biên-làm trơn chọn hướng L Alvarez cộng [4], báo đề xuất mô hình “Khuếch tán phi tuyến tensor cấu trúc“ nhằm giảm đốm tăng cường biên ảnh siêu âm Mô hình phân tích đạo hàm hướng vùng đồng ảnh miền biên ảnh dựa vào ước lượng hướng khuếch tán gradient cục tensor cấu trúc, theo vùng đồng hướng khuếch tán gradient đẳng hướng, miền biên hay đường có điểm ảnh đồng mức xám (isophote), hướng khuếch tán gradient tiếp tuyến với lựa chọn Phương trình mô hình đề xuất tính toán hàm ảnh siêu âm miền không gian, thời gian liên tục Thực tế ảnh siêu âm hàm ảnh số tọa độ không gian, thời gian số nguyên, kết ảnh đầu nghiệm toán sai phân hữu hạn MÔ HÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC A Khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng Coi hàm ảnh u ánh xạ u : Ω −→ G miền không gian Ω ⊂ Rd , d ≥ Giới hạn xét ảnh đa mức xám hai chiều biểu diễn hàm từ miền Ω := [0, 1] × [0, 1] ⊂ R2 đoạn G ∈ [0, 1] Mô hình đề xuất phát triển từ mô hình khuếch tán phi tuyến chỉnh hóa [9] kết hợp với mô hình làm trơn chọn hướng khuếch tán [4] Sự kết hợp biểu diễn phương trình khuếch tán phi tuyến đẳng hướng: ∂u(x, y, t) ∇u ∇u = h(|∇Gσ ∗u|2 )|∇u|div(− )+(h(|∇Gσ ∗u|2 )+2|∇u|h (|∇Gσ ∗u|2 ))|∇u|div , ∂t |∇u| |∇u| (1) KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 19 ∂u(x, y, t) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, u(0, x, y) = u0 (x, y), ∂n h(|∇Gσ ∗ u|) hàm khuếch tán suy biến; Gσ hàm Gauss có độ lệch chuẩn σ Đặt cξ = h(|∇Gσ ∗ u|2 ), cη = h(|∇Gσ ∗ u|2 ) + 2|∇u|h (|∇Gσ ∗ u|2 ) cη = 0, phương trình |∇u|→∞ |∇u|→∞ |∇u|→∞ cξ (1) trở thành khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng Trong trường hợp phương trình khuếch ∇u ) = uξξ tán phi tuyến đẳng hướng (1) cần biến đổi cho ∂t u = h(|∇Gσ ∗u|2 )|∇u|div(− |∇u| Từ điều kiện giả thiết biên, cho α(s) = h(|∇G1σ ∗u|2 ) hệ số phụ thuộc |∇u| Giả thiết biên lim cη = 0, lim cξ = β > lim ảnh thêm vào phương trình (1), phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng biểu diễn ∇u h (|∇Gσ ∗ u|2 ) ∇u ∂u(x, y, t) = |∇u|div(− ) + + 2|∇u| |∇u|div ∂t |∇u| h(|∇Gσ ∗ u| ) |∇u| ∇u ∇u = λ2 |∇u|div − + λ1 |∇u|div , |∇u| |∇u| (2) ∂u(x, y, t) = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > 0, u(0, x, y) = u0 (x, y) ∂n Hệ số α(s) thêm vào vế phải phương trình (1) ảnh hưởng không đáng kể tới kết làm trơn ảnh vùng đồng thỏa mãn điều kiện Neumann, hàm khuếch tán h(|∇Gσ ∗ u|2 ) → (|∇u|) → Tại biên đường có điểm ảnh đồng mức xám h(|∇Gσ ∗ u|2 ) → (|∇u|) → ∞, hệ số α(s) có tác dụng tăng tốc độ triệt tiêu thành phần khuếch tán song song với ∇u, đồng thời làm trơn biên ảnh tồn thành phần khuếch ∇u tán ⊥ ∇u hay hàm dịch chuyển đường cong trung bình |∇u|div − Sơ đồ sai phân hữu |∇u| hạn (1) ổn định sai số cho phép thêm hệ số α(s) chọn tham số kích thước bước thời gian, không gian hợp lý [10] B Chọn hàm khuếch tán Hàm khuếch tán chọn cho phương trình (2) phải dạng hàm suy biến phụ thuộc gradient vùng ảnh cục bộ, biến đổi khoảng [0÷1], tuân theo điều kiện biên Neumann không kỳ dị |∇u| = Đồng thời để phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) parabol đồng biến, hàm khuếch tán chọn có dạng h(|∇Gσ ∗ u|2 ) = |∇uσ |2 1+ K2 , 1/4 đó: - Tham số ε2 chọn để đảm bảo (3) không kỳ dị ∇uσ = (3) 20 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU - ∇uσ kết chập gradient vùng ảnh cục với Gauss kernel có độ lệch chuẩn σ Phép chập tạo ngưỡng giới hạn khuếch tán điểm ảnh vùng cục - Tham số K ngưỡng tương phản (0 ≤ K ≤ 1) tùy chọn thực nghiệm để (2) parabol đồng biến - Hàm khuếch tán (3) chọn hàm phân thức chứa bậc bốn nhằm triệt tiêu thành phần khuếch tán ngược (2) |∇u| > K để bảo toàn chi tiết đặc trưng ảnh Bổ đề Phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) với điều kiện biên Neumann, sử dụng hàm khuếch tán h(|∇Gσ ∗ u|2 ) thỏa mãn điều kiện hệ phương trình   cξ = h(|∇Gσ ∗ u| ) > β, 2  cη = h(|∇Gσ ∗ u| ) + 2|∇u|h (|∇Gσ ∗ u| ) = cξ , |∇u| ≤ K khác biên ∀|∇u| Các điều kiện hệ phương trình biên ảnh cho lim |∇u|→∞ h (|∇Gσ ∗ u|2 ) = lim |∇u|→∞ − β = 2|∇u| Do h (|∇Gσ ∗ u|2 ) đạo hàm thành phần nghịch biến, áp dụng kết công bố Perona-Malik trường hợp biến đổi Chứng minh: Phương trình (2) thỏa điều kiện hệ phương trình biên (2) parabol đồng biến Với hàm khuếch tán (3) ta có λ1 = − 2s s2 h (s) =1− h(s) s + K2 Phương trình (2) có λ2 = 1, cần xét λ1 với trường hợp sau: (i) Trường hợp 1: s = < K −→ λ1 = λ2 = 1, phương trình (2) parabol đồng biến, (2) thỏa điều kiện hệ phương trình biên (ii) Trường hợp 2: s = K −→ λ1 = 1/2, phương trình (2) parabol đồng biến, (2) thỏa điều kiện hệ phương trình biên (iii) Trường hợp 3: s > K s → ∞ =⇒ lim λ1 ≈ 0, phương trình (2) parabol có s→∞ xu hướng dừng, (2) thỏa điều kiện hệ phương trình biên Tính thống kê tự nhiên đốm ảnh siêu âm biến đổi theo mật độ lượng tán xạ (scatterer number density-SND) [5], phương pháp xử lý tuyến tính không đáp ứng đầy đủ yêu cầu làm trơn-tăng cường ảnh Phương trình (2) sử dụng hàm khuếch tán (3) điều khiển khuếch tán phi tuyến đẳng hướng vùng ảnh đồng nhất, hay có SND, khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng miền biên ảnh SND biến đổi ngẫu nhiên để đảm bảo cân giảm đốm bảo toàn, tăng cường chi tiết ảnh C Khai triển phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) theo tensor cấu trúc KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 21 Phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) với hàm khuếch tán vô hướng (3) không cho đầy đủ thông tin hướng khuếch tán, giá trị của điểm ảnh cục Để khắc phục hạn chế này, cần phân tích biến đổi cục hướng gradient cách riêng rẽ cho làm trơn đồng thời vùng đồng biên ảnh đường có điểm ảnh đồng mức xám ảnh có cấu trúc Phát triển kết Weickert [17, 19], tensor khuếch tán thiết kế cách sử dụng tensor cấu trúc thay cho tensor Hessian Tensor cấu trúc công cụ mạnh ước lượng thông tin độ lớn điểm ảnh [8], hướng khuếch tán gradient vùng cục ảnh không bị xáo trộn hướng vector riêng [19] Tensor cấu trúc T2D tính từ tích tensor, chứa thông tin giống gồm hướng khuếch tán độ lớn gradient, ưu làm trơn không làm mát thông tin vùng mà gradient trái dấu, T2D = ∇u∇uT = (−∇u)(−∇uT ) Tensor cấu trúc gradient T2D ánh xạ T2D : R2 −→ R2×2 có dạng ma trận đối xứng thang không gian hướng ảnh u(x, y) T2D = ∇u∇uT = ux uy ux uy = u2x ux uy ux uy u2y Phương pháp làm trơn ổn định thông tin hướng cách chuyển đổi tọa độ cục vector (x, y)T hệ tọa độ x ⊥ y điểm O ∈ ∂Ω ảnh 2D thành hệ tọa độ η⊥ξ η = ξ u2x + u2y ux uy −uy ux x y Hướng tensor cấu trúc T2D bất biến chuyển đổi hệ tọa độ chuyển đổi trục chính, T2D = T ωT T Khai triển phương trình (2) theo quan hệ giá trị riêng λi với i ∈ [1, 2] thành phần tử ma trận đường chéo λ = diag(λi ) tensor cấu trúc gradient T2D tương ứng với vector riêng chuẩn hóa xoay trục tọa độ Bằng cách biến đổi này, tensor cấu trúc cho phép trích rút hướng khuếch tán trội độ lớn cấu trúc vùng ảnh cục từ Tensor khuếch tán D(T2D ) xây dựng dựa đặc tính tensor cấu trúc [19] chứa đầy đủ thông tin liệu cấu trúc cục hướng khuếch tán gradient cục ảnh, điều khiển hai hệ số khuếch tán λ1 , λ2 phương trình (2) Tensor khuếch tán D(T2D ) ∈ R2×2 dạng đối xứng dương với giá trị riêng ω1 λ1 , ω2 λ2 tương ứng với vector riêng eη ∇u eξ ⊥ ∇u thiết lập D(T2D ) = eη eξ |∇u|2 ω1 λ1 0 ω2 λ eη = (ω1 λ1 eη eTη + ω2 λ2 eξ eTξ ), eξ ux + u2y đó,  |∇uσ |2 1 − |∇uσ |2 + K λ1 ≈  λ2 = |∇uσ | ≤ K |∇uσ | > K, (4) 22 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU Điều kiện khuếch tán giảm nhiễu, tăng cường vùng ảnh cục phải thỏa mãn: - Giảm nhiễu miền đồng nhất, λ1 = λ2 = β ≈ 1, thực khuếch tán đẳng hướng, ngầm định ω2 λ2 = ω1 λ1 ≈ β > D(T2D ) = β(eη eTη + eξ eTξ ) - Bảo toàn làm trơn biên ảnh, λ1 ≈ 0, λ2 = β = thực khuếch tán bất đẳng hướng, ngầm định ω2 λ2 > ω1 λ1 ≈ D(T2D ) = ω2 βλ2 eξ eTξ Mô hình khuếch tán phi tuyến tensor cấu trúc xây dựng từ phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) kết hợp với tensor cấu trúc viết lại theo tensor khuếch tán ∂u(x, y, t) = div(D(T2D )∇u) = div ∂t ux + u2y a b b c ux uy (5) với điều kiện đầu, điều kiện biên u(0, x, y) = u0 (x, y) D(T2D )∇u, η = 0, (x, y) ∈ ∂Ω, t > , tích vô hướng không gian vector Euclide, η vector hướng R2 D Rời rạc hóa mô hình khuếch tán phi tuyến tensor cấu trúc Hàm ảnh u(x, y, t) cho phương trình (5) với giá trị riêng ω1 λ1 , ω2 λ2 tương ứng vector riêng eη , eξ ∈ R2 thực chất ảnh rời rạc không gian thời gian Do vậy, phương trình (5) chuyển đổi thành sơ đồ sai phân hữu hạn để tìm nghiệm điểm ảnh xử lý lọc nhiễu theo thời gian thực Rời rạc hóa phương trình (5) theo không gian: miền chữ nhật Ω = (0, 1) × (0, 1) rời rạc hóa lưới N = n × n điểm ảnh, ta có kích thước bước lưới ∆x = h1 = h = 1 , ∆y = h2 = h = Đặt xi = ih, yj = jh ≤ i ≤ n, ≤ j ≤ n bước lưới n n không gian theo hai hướng x, y Rời rạc hóa phương trình (5) theo thời gian: số lần rời rạc tk = k∆t, (k = 0, 1, , [T /∆t]), ∆t = τ kích thước bước thời gian Định nghĩa xấp xỉ rời rạc uki,j : uki,j ≈ u(ih, jh, kτ ) với điều kiện biên Neumann Bằng cách sử dụng rời rạc hóa sai phân hữu hạn phương trình (5), ta có k uk+1 i,j = ui,j + τ uki+1,j − h uki−1,j uki,j+1 − uki,j−1 + h k k (Aki,j (u) + Ci,j (u) + Bi,j (u)), (6) k (u), B k (u) biểu diễn rời rạc hóa toán tử Aki,j (u), Ci,j i,j ∂x (a∂x u), ∂y (c∂y u), (∂x (b∂y u) + ∂y (b∂x u)) Đặt Lki,j (uki,j ) = 1 uki+1,j − h uki−1,j + uki,j+1 − h uki,j−1 k k (Aki,j (u) + Ci,j (u) + Bi,j (u)) KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 23 bước thời gian k, u vector chứa giá trị điểm ảnh Áp dụng phương pháp sai phân trung tâm Crank-Nicolson [1, 18] có độ xác bậc theo thời gian, ta có sơ đồ bán ẩn m Lk+1 l,l uk+1 = I − τ l=1 −1 I+ τ m Lki,j uk , (7) i=1 j=i m số chiều ma trận điểm ảnh, trường hợp xét m = 2, I ∈ R2 ma trận đơn vị, ma trận Lkl,l xấp xỉ sai phân toán tử đạo hàm theo trục tọa độ thứ l điểm thời gian rời rạc thứ k Sơ đồ (7) gọi bán ẩn thỏa mãn điều kiện ổn định Von Neumann, cho phép mở rộng bước thời gian tùy ý [18, 19] Tuy vậy, sơ đồ bán ẩn (7), ma trận nghịch đảo bước lặp thời gian, tiêu hao thời gian tính toán Khắc phục hạn chế này, cần sử dụng xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến sơ đồ sai phân hữu hạn dựa vào tách toán tử cộng [18, 19]: τ k+1 −1 −1 + (Lk12 + Lk21 )) uk (8) ((1 − τ Lk+1 11 ) ) + (1 − τ L22 ) ) 2 τ Trong sơ đồ (8), thành phần + (Lk12 + Lk21 )) uk gồm giá trị hàm mắt lưới biết mức thời gian k , cho phép xác định nghiệm ẩn vector uk+1 mức thời gian k + Áp dụng thuật toán tính nghiệm hệ ba đường chéo để giải sơ đồ (8) hệ phương trình đại số tuyến tính Phương pháp tính toán toán tử độc lập bước thời gian, sau lấy tổng, tăng hiệu tính toán, có độ xác bậc theo thời gian Đây thuật toán song song thực nhanh cho ma trận nghịch đảo, dùng thuật toán tính liệu đầu vào ảnh 2D đa mức xám, kích thước N × N đòi hỏi O(N ) phép tính số học dấu chấm động, phương pháp tính toán số thông dụng khác phải thực O(N ) phép tính số học dấu chấm động [18] uk+1 = E Thuật toán mô hình khuếch tán phi tuyến tensor cấu trúc Thuật toán mô hình đề xuất xây dựng dựa vào hai tiêu chuẩn chính: cải thiện chất lượng ảnh tiết kiệm không gian nhớ, thời gian thực Một vòng lặp k thuật toán đề xuất gồm bước: Input u = uk Bước 1: Chập điểm ảnh (x, y) với hàm Gσ thang σ ảnh ∇uσ = ∇Gσ ∗ u = Gσ ∗ ∇u = ∇(Gσ ∗ u) Bước 2: Tính bình phương biên độ gradient cho điểm ảnh (x, y) ảnh |∇u|2 = u2x + u2y Bước 3: Tính giá trị riêng λ1 phương trình (2) Bước 4: Thiết lập phần tử ma trận T2D ánh xạ λ1 , λ2 (2) vào đường chéo tensor T2D cho điểm ảnh 24 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU Bước 5: Tính τ V = I+ m=2 k Lki,j uk ; i=1 j=i - Tính phần tử khung (3 × 3) : Li,j ; - Chập Li,j với u k; - Nhân ma trận tích chập với τ Bước 6: Tính m=2 k+1 u Lk+1 l,l = I −τ −1 V k l=1 Tính nghiệm hệ ba đường chéo phân tích LU: - Xây dựng ma trận tam giác phần tử đường chéo đơn vị L ma trận tam giác U từ phần tử ma trận Lkl,l : tạo L U - Thực phép thuận (giải Ly = b): biến đổi vector trung gian bên vế phải ma trận - Thực phép ngược (giải U x = y ): tìm nghiệm hệ phương trình tuyến tính Output u = uk+1 MỘT SỐ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM Những kết đưa từ thực nghiệm tiến hành chạy thử Matlab 7.0 với 60 ảnh siêu âm số Mode B quét tổ chức bên thể thận, ổ bụng, gan, tim Cùng với thuật toán mô hình đề xuất, ba mô hình khác homomorphic Wiener, khuếch tán phi tuyến P-M, khuếch tán tăng cường biên ảnh (EED) thực nghiệm với số lượng ảnh thực phép đo tiêu chuẩn chất lượng ảnh, tính thời gian thực cho thực nghiệm đơn lẻ Mỗi ảnh tiến hành thực nghiệm với mô hình khoảng 15-20 lần trước lấy kết trung bình Trung bình sai số MSE ảnh khoảng 5-6/10 lần chạy thử / ảnh, chấp nhận tính ổn định thuật toán Trong khuôn khổ báo, minh họa hai số kết thực nghiệm thực A Tập liệu ảnh sử dụng thực nghiệm Trong thực nghiệm sử dụng ảnh siêu âm Mode B (Hình 1.a) chọn từ nguồn liệu ảnh siêu âm ACR (American College of Radiology) ảnh siêu âm thận thu nhận trực tiếp bệnh nhân từ máy siêu âm 2D Hewlett-Packard Sonos 1000 (HP), đầu dò sector, dải tần số f = ÷ 5MHz (Hình 2.a) Ảnh siêu âm ACR (SA-ACR) (Hình 1.a) có mức xám ∈ (0 ÷ 255), kích thước ảnh 225×256pixel Thực nghiệm rắc nhiễu ảnh đọc tiêu chất lượng ban đầu ảnh siêu âm rắc nhiễu (Hình 1.b): M SE = 295, 94, SN R = 17, 73dB P SN R = 23, 42dB Thực nghiệm với ảnh siêu âm thận lấy trực tiếp bệnh nhân (Hình 2) có mức xám ∈ (0 ÷ 255), kích thước ảnh 256 × 236pixel, định dạng BITMAP 8bits/pixel để minh họa khả KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 25 ứng dụng thực tế kỹ thuật hậu xử lý ảnh có hỗ trợ máy tính thăm khám chẩn đoán hình ảnh B Lựa chọn tham số cài đặt *Chọn tham số kích thước bước thời gian τ, số bước thời gian cực đại T σ Tiến trình khuếch tán (5) phụ thuộc vào chương trình cài đặt thực tính nghiệm phương trình sơ đồ bán ẩn tách toán tử cộng (8) Hiệu việc tính hàm ảnh phụ thuộc vào lựa chọn tham số τ, T σ Khi tính nghiệm (8), cho phép mở rộng bước thời gian τ tùy ý mà không ảnh hưởng tới độ xác nghiệm, thực tế chọn τ = ÷ để thỏa hiệp mục đích giảm số bước lặp, giảm sai số tính toán thực phép lọc nhiễu đốm tăng cường biên ảnh, đồng thời tiết kiệm không gian nhớ PC [17] Tham số T phụ thuộc vào phân bố mức xám gradient điểm ảnh (x, y) bất kỳ, chọn T nhỏ, dẫn tới số cấu trúc nhỏ ảnh không xử lý, trái lại T lớn làm chi phí thời gian tăng, đồng thời làm mát số thông tin gradient, để cân chọn T = ÷ Trong thực nghiệm giới hạn ngưỡng trung bình vùng bậc tham số σ = * Chọn tham số ngưỡng K B iểu đồ Chỉ tiêu MSE, SNR PSNR biến đổi theo tham số K tiến trình xử lý ảnh SA-ACR (Hình 1.b) với bước lặp Tham số K hàm khuếch tán có tác dụng tạo ngưỡng tương phản điểm ảnh, tương ứng với λ1 ∈ [0, 1] phụ thuộc độ lớn |∇u| thực nghiệm giá trị tham số K ∈ [0, 1] cài đặt cho mô hình đề xuất với tham số σ = 1, τ = 1, 5, T = giữ cố định Mỗi giá trị K tương ứng với tiêu đánh giá chất lượng M SE, SN R, P SN R ảnh SA-ACR đầu (Hình 1.b) biểu diễn Biểu 26 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU đồ Số liệu Biểu đồ cho thấy với giá trị K = 0, ÷ 0, 02 tiêu MSE, SNR, PSNR biến đổi nhanh, liên quan tới vùng ảnh có gradient lớn, độ tương phản ảnh biến đổi mạnh Trái lại, vùng ảnh có gradient nhỏ tương ứng với K > 0, 02 tiêu biến đổi chậm, khuếch tán làm trơn ảnh vùng đồng Mô hình đề xuất tập trung vào hai đặc tính giảm nhiễu đốm, đồng thời bảo toàn, tăng cường ảnh, thực nghiệm chọn K = 0, 02 C Kết làm trơn-tăng cường biên ảnh mô hình đề xuất * Thực nghiệm Hình minh họa kết giảm đốm-tăng cường biên vị trí ảnh SA-ACR mô hình xử lý ảnh khác Ảnh SA-ACR (Hình 1.b) sử dụng làm liệu đầu vào mô hình thực nghiệm Tham số cài đặt cho mô hình Homorphic Wiener (HoW) [3] có hàm lọc Wiener Tham số cài đặt chung cho mô hình khuếch tán phi tuyến Perona-Malik (P-M) [14], khuếch tán tăng cường biên ảnh (EED) [19] mô hình đề xuất có σ = 1, τ = 1, 5, T = Tham số K = 0, 02 cài đặt cho P-M mô hình đề xuất Hằng số Cm = 3, 31488, K = 3, 5, λ1 ∇u cài đặt cho EED Quan sát biến đổi giá trị mức xám vùng ảnh cục gồm 10 × 10 điểm ảnh khảo sát khuếch tán mức xám điểm ảnh cột thứ 123 ma trận điểm ảnh ảnh (Hình 1.a,b,c,d,e,f) cho thấy: HoW thực tách đốm (nhân tính) hàm logarit để làm trơn, giảm tương phản ảnh bỏ sót số điểm ảnh có mức xám lớn (Hình 1.c) Wiener hàm lọc thông thấp; mô hình P-M làm trơn đốm vùng đồng nhất, số điểm đột biến (biên) đồ thị mức xám cột 123 biểu diễn không rõ ràng, mức xám điểm ảnh đồng vùng ảnh (Hình 1.d), P-M đẳng hướng miền biên ảnh; EED làm đồng mức xám vùng ảnh cục bộ, tăng độ tương phản ảnh, nhiên thăm khám hình ảnh, cải thiện ảnh cần thiết phải bảo toàn tính tự nhiên (Hình 1.e); mô hình đề xuất có ưu điểm EED, điểm đột biến mức xám cột 123 giá trị 10 × 10 điểm ảnh (Hình 1.f) cho thấy có dạng gần với (Hình 1.a) ảnh gốc so với hai mô hình khuếch tán phi tuyến Mô hình đề xuất có λ1 , λ2 (4) điều khiển trực tiếp hướng khuếch tán điểm ảnh vùng có SND khác đốm λ1 có tốc độ suy giảm hàm đa thức thay phép chập Gauss tuyến tính với phần tử ma trận J0 (∇u) trước điều khiển hướng khuếch tán tức thời vùng ảnh EED Đánh giá khả khôi phục ảnh mô hình thực nghiệm biểu diễn Bảng Độ phức tạp tính toán thuật toán cho mô hình thực nghiệm đánh giá từ liệu ảnh có số chiều m = 2, số điểm ảnh/số mắt lưới rời rạc N số vòng lặp k * Thực nghiệm Ảnh siêu âm thận Mode B thu nhận trực tiếp bệnh nhân (Hình 2) sử dụng khảo sát khuếch tán mức xám điểm ảnh ma trận điểm ảnh gốc lẫn đốm Ảnh làm trơn-tăng cường độ tương phản mô hình đề xuất với bước lặp bước lặp Các tham số cài đặt cho tiến trình thực nghiệm: σ = 1, τ = 1, 5, T = 9, K = 0, 02 Kết với bước lặp, ảnh làm trơn đốm-tăng cường độ tương phản, giảm đáng KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 27 H ình Kết giảm đốm-tăng cường biên ảnh với mô hình xử lý đốm a Ảnh siêu âm ACR (SA ACR); b SA ACR rắc nhiễu; c SA ACR đầu HoW; d SA ACR đầu P-M; e SA ACR đầu EED; f SA ACR đầu mô hình đề xuất 28 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU Bảng Chỉ tiêu đánh giá chất lượng ảnh mô hình thử nghiệm SA ACR rắc nhiễu SA ACR đầu HoW SA ACR đầu P-M SA ACR đầu EED SA ACR đầu mô hình đề xuất MSE 295,94 269,37 151,05 123,02 122,98 SNR (dB) 17,73 18,14 20,65 21,54 21,54 PSNR (dB) 23,42 23,83 26,34 27,23 27,23 Độ phức tạp tính toán – O(mN log2 N ) O(mN k) O(mN k) O(mN k) kể sai lệch điểm ảnh so với lân cận chúng bảo toàn độ chói điểm ảnh; tiêu chất lượng ảnh, độ chói điểm ảnh với bước lặp giảm so với ảnh bước lặp, dẫn tới giảm độ tương phản chi tiết ảnh B ảng Chỉ tiêu đánh giá chất lượng ảnh SA thận sau bước lặp mô hình đề xuất MSE SNR (dB) PSNR (dB) Ảnh lọc σ = 1, τ = 1, 5, T = 102,09 20,18 28,04 Ảnh lọc σ = 1, τ = 1, 5, T = 118,91 21,24 27,38 KẾT LUẬN Mô hình đề xuất phát triển mô hình khuếch tán phi tuyến chỉnh hóa Catté cộng cách kết hợp với phương trình dịch chuyển đường cong trung bình biến đổi thành phần tử ma trận tán xạ (tensor cấu trúc) để trở thành tensor khuếch tán Sự kết hợp phương pháp biến đổi thực báo làm cho tiến trình khuếch tán có cấu trúc rõ ràng khắc phục hạn chế vốn có mô hình đề xuất trước Đồng thời mô hình đề xuất thoả mãn nguyên lý cực trị, nghĩa toán phương trình đạo hàm riêng mô hình đặt chỉnh KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 29 Trong thực nghiệm mà nhóm tác giả thực hiện, nguồn liệu ảnh siêu âm tham khảo từ ACR (American College of Radiology), AIUM (American Institute of Ultrasound in Medicine), IT Lab at the Medical University of South Carolina nguồn ảnh lấy trực tiếp bệnh nhân từ máy siêu âm bệnh viện nước Nguồn liệu ảnh thực nghiệm máy PC khác số mô hình lọc nhiễu đốm ảnh siêu âm có liên quan tới mô hình đề xuất, cho thấy mô hình đề xuất trình hoàn thiện chứng tỏ khả phát triển, có độ tin cậy tính ổn định làm trơn, tăng cường biên ảnh siêu âm Các tiêu đo lường chất lượng ảnh MSE, SNR, PSNR, thời gian thực làm trơn đốm, tăng cường biên ảnh siêu âm mô hình đề xuất tương đồng với kết mô hình theo hướng tiếp cận khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng công bố gần [7, 11, 12, 13, 15] TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Gilles Aubert, Pierre Kornprobst, Mathematical Problems Image Processing, ISBN 11-38795326-4, Springer Verlag New York LLC, 2002 [2] Andrei D Polyanin, Alexander V Manzhirov, Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists, ISBN10: 1584885025, 13: 9781584885023, c Taylor & Francis Group, LLC, 2007 [3] Anil K Jain, Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, 1989 [4] Luis Alvarez, Pierre-Louis Lions, Jean-Michel Morel, Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion II, SIAM Journal on Numerical Analysis 29 (3) (Jun 1992) 845–866 [5] Khaled Z Abd-Elmoniem, Abou-Bakr M Youssef, and Yasser M Kadah, Real-time speckle reduction and coherence enhancement in ultrasound imaging via nonlinear anisotropic diffusion, IEEE Transactions on Biomedical Engineering 49 (9) (September 2002) 997–1014 [6] Sigurd Angenent, Eric Pichon, and Allen Tannenbaum, Mathematical methods in medical image processing, Bulletin of the American Mathematical Society Volume 43 (3) (July 2006) 365–396 [7] Faouzi Benzarti, Hamid Amiri, Image denoising using non linear diffusion tensors, Advances in Computing (1) (2012) 12–16 [8] Thomas Brox, Rein van den Boomgaard, Francois Lauze, Joost van de Weijer, Joachim Weickert, Pavel Mras zek, and Pierre Kornprobst, Adaptive structure tensors and their applications, Mathematik Universitat des Saarlandes, Germany, 2005 [9] Francine Catte, Pierre-Louis Lions, Jean-Michel Morel, Tomeu Coll, Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion, SIAM Journal on Numerical Analysis 29 (1) (Feb 1992) 182–193 [10] Stephan Didas and Joachim Weickert, From Adaptive Averaging to Accelerated Nonlinear Diffusion Filtering, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006 [11] Shujun Fu, Qiuqi Ruan, Wenqia Wang, and Yu Li, Adaptive anisotropic diffusion for ultrasonic image denoising and edge enhancement, International Journal of Information and Communication Engineering (8) (2006) [12] S Kalaivani, R.S.D Wahidabanu, Condensed anisotropic diffusion for speckle reducton and enhancement in ultrasonography, EURASIP Journal on Image and Video Processing, (ISSN 1687-5281), (doi:10.1186/1687-5281-2012-12), 2012 30 NGUYỄN HẢI HÀ, PHẠM TRẦN NHU [13] Karl Krissian, Carl-Fredrik Westin, Ron Kikinis, and Kirby Vosburgh, and Kirby Vosburgh, Oriented speckle reducing anisotropic diffusion, IEEE Transactions on Image Processing 16 (5) (May 2007) 1412–1424 [14] P Perona, J Malik, Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion, IEEE Transactions on Patern Analysis and Intelligence 12 (7) (July 1990) [15] Christos P Loizou, Constantinos S Pattichis, Christodoulos I Christodoulou, Robert S H Istepanian, Marios Pantziaris, and Andrew Nicolaides, Comparative evaluation of despeckle filtering in ultrasound imaging of the carotid artery, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 52 (10) (October 2005) [16] Oleg V Michailovich and Allen Tannenbaum, Despeckling of medical ultrasound images, IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control 53 (1) (January 2006) [17] Joachim Weickert, Bart M ter Haar Romeny, Max A Viergever, Effcient and reliable schemes for nonlinear diffusion filtering, IEEE Transactions on Image Processing (3) (March 1998) 398–410 [18] J M McDonough, “Lectures in Basic computational numerical analysis”, Departments of Mechanical Engineering and Mathematics, University of Kentucky, 2007 [19] Joachim Weickert, Anisotropic Diffusion in Image Processing, B.G Teubner Stuttgart, 1998 Ngày nhận 20 - 12 - 2012 Ngày lại sau sửa ngày 05 - - 2013 ... tương phản, giảm đáng KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA 27 H ình Kết giảm đốm- tăng cường biên ảnh với mô hình xử lý đốm a Ảnh siêu âm ACR (SA ACR); b SA ACR rắc nhiễu; c... xuất mô hình Khuếch tán phi tuyến tensor cấu trúc nhằm giảm đốm tăng cường biên ảnh siêu âm Mô hình phân tích đạo hàm hướng vùng đồng ảnh miền biên ảnh dựa vào ước lượng hướng khuếch tán gradient... cân giảm đốm bảo toàn, tăng cường chi tiết ảnh C Khai triển phương trình khuếch tán phi tuyến bất đẳng hướng (2) theo tensor cấu trúc KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN VÀ TENSOR CẤU TRÚC TRONG MÔ HÌNH HÓA