Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề này gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1(2 điểm) Tính tổng: 2450 1 2352 1 . 20 1 12 1 6 1 2 1 ++++++= S Câu 2 (2 điểm) Tính tích sau: = 100 1 1 99 1 1 . 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1P Câu 3 (4 điểm) Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3 2 + 3 3 + + 3 118 + 3 119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Câu 4 (3 điểm): Khi viết liền nhau hai số 2 2008 và 5 2008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao nhiêu chữ số? Câu 5 (5 điểm) a)Tính: A = 2 100 - 2 99 - 2 98 - 2 97 - - 2 2 - 2 1 b) Tìm x biết: 312 =+ x Câu 6 (4 điểm) Cho C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100 a) Tính giá trị của biểu thức C? b) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức: D = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 .Hết . Mã ký hiệu Đ01T-08-HSG6 Hớng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Câu 1(2 điểm) Tính tổng: 2450 1 2352 1 . 20 1 12 1 6 1 2 1 ++++++= S 50.49 1 49.48 1 . 4.3 1 3.2 1 2.1 1 +++++= S 50 1 49 1 . 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 ++++= S 50 1 1 = S 50 49 = S Câu 2 (2 điểm) Tính tích: = 100 1 1 99 1 1 . 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1P 100 99 . 99 98 . 5 4 . 4 3 . 3 2 . 2 1 = P 100.99 .5.4.3.2 99.98 .4.3.2.1 = P 100 1 = P Câu 3 (4 điểm) Cho biểu thức: M = 1 +3 + 3 2 + 3 3 + + 3 118 + 3 119 a) Thu gọn biểu thức M. b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao? Giải: a) (2 điểm) M = 1 +3 + 3 2 + + + 3 118 + 3 119 3M = 3.(1 +3 + 3 2 + + + 3 118 + 3 119 ) = 3 + 3 2 + + 3 119 + 3 120 3M- M =(3 + 3 2 + + 3 119 + 3 120 ) - (1 +3 + 3 2 + + + 3 118 + 3 119 ) 2M = 3 120 1 2 13 120 = M b) (2 điểm) M = 1 +3 + 3 2 + + + 3 118 + 3 119 = (1 +3 + 3 2 )+( 3 3 +3 4 +3 5 )+ +(3 117 +3 118 + 3 119 ) = (1 +3 + 3 2 )+3 3 (1 +3 + 3 2 )+ +3 117 (1 +3 + 3 2 ) = 13 + 3 3 .13 + + 3 117 . 13 = 13( 1+ 3 3 + + 3 117 ) 0,5 đ 1,0 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Mã ký hiệu HD01T-08-HSG6 Vậy M chia hết cho 13. M = 1 +3 + 3 2 + + + 3 118 + 3 119 = (1 +3 + 3 2 +3 3 ) +(3 4 +3 5 +3 6 +3 7 ) + +( 3 116 +3 117 +3 118 + 3 119 ) = (1 +3 + 3 2 +3 3 )+3 4 (1 +3 + 3 2 +3 3 )+ +3 116 (1 +3 + 3 2 +3 3 ) = 40 + 3 4 .40 + +3 116 .40 = 40(1+3 4 + + 3 116 ) Vậy 40M , mà 40 5 nên 5M Câu 4 (3 điểm) Khi viết liền nhau hai số 2 2008 và 5 2008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có bao nhiêu chữ số? Giả sử số 2 2008 , 5 2008 khi viết dới dạng thập phân có x, y chữ số (x, y > 0, x,yN) Ta có 10 x < 2 2008 < 10 x+1 10 y < 5 2008 < 10 y+1 Do đó 10 x+y < 2 2008 .5 2008 < 10 x+1 .10 y+1 Hay 10 x+y < 10 2008 < 10 x+y+2 x+y < 2008 < x+y+2 2006 < x+y < 2008 x+y= 2007 ( Do x+y N ) Vậy khi viết liền nhau hai số 2 2008 và 5 2008 dới dạng hệ thập phân ta đợc số có 2007 chữ số 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 5 (4 điểm) a) (2 điểm)Tính: A = 2 100 - 2 99 - 2 98 - 2 97 - - 2 2 - 2 1 A = 2 100 ( 2 99 + 2 98 + .+ 2 + 1) Đặt B = 2 99 + 2 98 + 2 97 + + 2 2 + 2 + 1 Ta có: 2B =2(2 99 + 2 98 + 2 97 + + 2 2 + 2 + 1) = 2 100 +2 99 + + 2 2 + 2 2B - B = (2 100 +2 99 + + 2 2 + 2) (2 99 + 2 98 + + 2 + 1) B = 2 100 1 Vậy A= 2 100 (2 100 1) = 1 b) (2 điểm) Tìm x biết: 312 =+ x Ta có: 2x + 1 = 3 hoặc 2x + 1 = -3 Xét 2x + 1 = 3 1 = x Xét 2x + 1 = -3 2 = x Vậy x=1 hoặc x=-2 Câu 6 (5 điểm) Cho C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100 c) Tính giá trị của biểu thức C? d) Dùng kết quả của câu a hãy tính giá trị của biểu thức: D = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 Giải: 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ a) (2,5 ®iÓm) C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100… 3C = 3.1.2+3.2.3+ + 3.99.100… =(1.2.3- 0.1.2)+(2.3.4-1.2.3) + + (99.100.101- 98.99.100)… = 99.100.101 C= (99.100.101) : 3 C= 33.100.101= 36300 b) (2,5 ®iÓm) C= 1.2+2.3+3.4+ +99.100… = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + .+ (97.98 + 98.99) + 99.100 = (1+3)2 + (3+5)4+ .+(97+99)98 + 99.100 = 2.2.2 + 2.4.4 + .+ 2.98.98 + 9900 = 2(2 2 + 4 2 + + 96… 2 + 98 2 ) + 9900 VËy 2(2 2 + 4 2 + + 96… 2 + 98 2 ) = C - 9900 = 36300 – 9900 = 26400 ⇒ 2 2 + 4 2 + + 96… 2 + 98 2 = 13200 0,25 ® 0,5 ® 1,0 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® *Lu ý: Häc sinh lµm c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. . Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút. ( Đề này gồm 06 câu, 01 trang) Câu 1(2 điểm) Tính. hiệu Đ01T-08 -HSG6 Hớng Dẫn Chấm Đề thi chọn HSG lớp 6 Năm học: 2007-2008 Môn thi: Toán Câu 1(2 điểm) Tính tổng: 2450 1 2352 1 . 20 1 12 1 6 1 2 1 ++++++=