CÁC LĨNH vực và SÓNG TRONG hệ tọa độ TRỤ

CÁC LĨNH VỰC VÀ SÓNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỤ Trong chương này, thảo luận điện từ phân tích hệ tọa độ trụ Chúng lần thảo luận giải pháp phương trình Helmholtz phương pháp tách biến lấy hình trụ hàm sóng Sau sử dụng hàm sóng hình trụ để phân tích đường tròn đồng trục waveguides sâu Tiếp theo phân tích truyền sóng dọc theo thông tư cách điện waveguides Sau đó, lấy chuyển đổi sóng mở rộng sóng phẳng hình trụ hàm sóng Những biến đổi xuất phát sóng sau sử dụng để giải vấn đề tán xạ khác liên quan đến việc điều hành một hình trụ điện môi Cuối cùng, thảo luận số vấn đề xạ nơi đường dây hình trụ bề mặt xạ presence tiến hành hình trụ wedge tiến hành Các giải pháp sử dụng để lấy Tình trạng xạ Sommerfeld cho trường chiều hai - để minh họa cho tượng kỳ dị ngang trường cạnh tiến hành 6.1 GIẢI PHÁP CỦA PHƯƠNG TRÌNH SÓNG Trong tọa độ trụ, phương trình Helmholtz ψ + k2ψ = viết dạng Những giải pháp cụ thể để phương trình gọi hàm sóng hình trụ thu cách sử dụng phương pháp tách biến 6.1.1 giải pháp cách chia tách biến Chúng lần cho giải phương trình 6.1.1 viết sản phẩm sau hình thức Thay điều vào phương trình 6.1.1 sau phân chia toàn phương trình P(ρ)Φ(φ)Z(z), có Kể từ thuật ngữ thứ tư có z tất điều khoản khác độc lập z, thứ tư thuật ngữ phải số, sản lượng nơi h2 số tùy ý mà xác định vấn đề cụ thể Phương trình 6.1.4 có - biết đến nhiều giải pháp đưa nơi mà A B số tùy ý Với ly thân này, phương trình 6.1.3 giảm xuống sau nhân ρ2 Kể từ thuật ngữ thứ ba phụ thuộc vào φ phần lại điều khoản phụ thuộc vào ρ, phương trình 6.1.6 tách thành hai phương trình mà viết dạng nơi m2 số tùy ý mà xác định vấn đề cụ thể Phương trình 6.1.9 có - biết đến nhiều giải pháp đưa trường hợp cm dm số tùy ý kết hợp Phương trình 6.1.10 gọi phương trình Bessel hình trụ, có hai tuyến tính giải pháp độc lập biểu Jm(kρρ) Ym(kρρ), gọi hàm Bessel hình trụ, đơn giản chức Bessel, loại thứ hai, tương ứng Một giải pháp tổng thể tổ hợp tuyến tính giải pháp hai nơi bm số Mặc dù hai Jm(kρρ) Ym(kρρ) có phức tạp biểu thức có nhiều tính chất đặc biệt [1], đủ cho mục đích để Hãy nhớ tính chất sau LÝ THUYẾT VÀ TÍNH TOÁN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ Tính chất đặc biệt khác thảo luận sau cần thiết Hình 6.1 lô vài Bessel chức số nguyên để hiển thị hành vi khác biệt chức [2] Dựa giải pháp cá nhân thảo luận trên, giải pháp cụ thể phương trình 6.1.1 cho Hình 6.1 trụ Bessel chức với số nguyên (a) Bessel chức loại Jm(x) (b) Bessel chức loại Ym(x) thứ hai Kể từ giải pháp hợp lệ cho m h, giải pháp tổng thể để phương trình 6.1.1 tổ hợp tuyến tính tất giải pháp, mà biểu thị dạng tổng kết qua Tất m hội nhập tất h: Ở giả sử m số rời rạc h liên tục Như đề cập trước đó, m h tùy thuộc vào vấn đề cụ thể Nếu m liên tục, tổng kết sau trở thành tách rời, h số rời rạc, tách rời sau trở thành tổng kết Hàm sóng hình trụ H6.1.2 Hàm sóng hình trụ định nghĩa giải pháp cụ thể để phương trình Helmholtz hệ thống toạ độ trụ [3] Giải pháp cho phương trình 6.1.15 có nguồn gốc trước tiểu mục kí hiệu ψmh Rõ ràng, vô hạn số lượng hàm sóng hình trụ, chức tạo thành hoàn chỉnh mà giải pháp phương trình Helmholtz đại diện chồng chập tuyến tính Các chức thể phương trình 6.1.16 Tuy nhiên, hình thức sóng hình trụ chức Ví dụ, thay sử dụng e−jhz e jhz hai tuyến tính giải pháp độc lập phương 6.1.4, chọn để sử dụng sinhz coshz hai giải pháp tuyến tính độc lập phương 6.1.4 Các kết hợp khác có thể, miễn hai giải pháp tuyến tính độc lập đầy đủ đại diện người Về nguyên tắc, không quan trọng có hai giải pháp cụ thể sử dụng Giải pháp cuối cùng, giải cách xác, luôn nhau.Tuy nhiên, việc lựa chọn hình thức thích hợp thông thường đơn giản hóa trình giải pháp Nói chung, nên chọn giải pháp tương tự giải pháp cuối chặt chẽ Ví dụ, cho vấn đề chặn z-hướng, jhz e−jhz e lựa chọn thích hợp họ đại diện cho sóng tuyên truyền tích cực tiêu cực z-hướng dẫn Nếu vấn đề hữu hạn z-theo hướng, sinhz coshz lựa chọn tốt hơn, họ sử dụng thuận tiện để đáp ứng điều kiện biên hai đầu Tương tự, góc theo hướng, sinmφ cos mφ, chọn e−jmφ e jmφ hai giải pháp độc lập phương 6.1.9 Lựa chọn thứ hai đặc biệt thuận tiện việc mở rộng giải pháp chung e−jmφ đại diện e jmφ m mở rộng để bao gồm giá trị tiêu cực, cho kết Thêm nhỏ gọn biểu thức Theo hướng xuyên tâm, Jm(kρρ) Ym(kρρ), hai khác thường sử dụng độc lập tuyến tính giải pháp phương 6.1.10 Hankel Các chức loại thứ hai, ký hiệu H k m () () ρρ H k m () () ρρ định nghĩa Thay lớn - đối số biểu Jm(kρρ) Ym(kρρ) [1] LÝ THUYẾT VÀ TÍNH TOÁN CỦA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ vào định nghĩa trên, thấy hình thức tiệm cận mà rõ ràng H k m () () ρρ đại diện cho hình trụ sóng tuyên truyền dọc theo ρ tiêu cực-hướng, H k m () () ρρ đại diện cho hình trụ sóng tuyên truyền dọc theo ρ-hướng tích cực Do đó, vấn đề bị chặn ρ-theo hướng, Hk m ()1() Ρρ H k () m2 () ρρ lựa chọn tốt để mở rộng giải pháp tổng thể Tuy nhiên, Nếu vấn đề hữu hạn ρ-hướng, Jm(kρρ) Ym(kρρ) sử dụng thuận tiện Một vấn đề cụ thể, ψmh hình trụ hàm sóng nên chứa nhiều có số phía trước từ phương trình 6.1.1 phương trình đồng Khác lời nói, m h cần xác định, ra, tỉ lệ số kết hợp hai P(ρ), Φ φ (), Z(z) cần xác định Việc xác định số thực cách áp dụng điều kiện biên vấn đề cụ thể Nói chung, có hai điều kiện biên hướng: lúc đầu Nếu không có điều kiện ranh giới cụ thể đưa ra, cần phải xác định số dựa vào đặc tính giải pháp hàm sóng Cho Ví dụ, có ý định để nghiên cứu truyền sóng waveguide dài vô hạn z-hướng, thiết lập B(h) = phương trình 6.1.15 để nghiên cứu sóng tuyên truyền dọc theo z-hướng tích cực thiết lập A(h) = để nghiên cứu sóng tuyên truyền dọc theo tiêu cực z - hướng Cho ví dụ khác, tên miền giải pháp bao gồm trục z giải pháp hữu hạn trục z, thiết lập bm = phương trình 6.1.15 để loại trừ Ym(kρρ) Ngày mặt khác, tên miền giải pháp bị chặn ρ-hướng giải pháp đại diện cho sóng tuyên truyền theo ρ-hướng tích cực, nên đặt bm = −jam tương đương chọn H k m () () ρρ chức ρ-hướng Cuối cùng, φ bị chặn giải pháp - giá trị, sau Φ(φ) nên đáp ứng điều kiện định kỳ Φ (φ + 2π) = Φ (φ), mà đòi hỏi m số nguyên Trong trường hợp đó, hai sinmφ cos mφ giải pháp đúng-họ đại diện cho hai giống hệt giải pháp ngoại trừ xoay số π 6.2 CIRCULAR AND COAXIAL WAVEGUIDES AND CAVITIES Như thảo luận chương trước, ống dẫn sóng đồng khoang hỗ trợ điện ngang (TE) từ (TM) Các chế độ nằm ngang Các biểu thức lĩnh vực cho chế độ TE bắt nguồn từ phương trình 2.1.37 2.1.38 cách để A = F = ZFz, F z thỏa mãn phương trình Helmholtz Trong tọa độ hình trụ, điều mang lại Tương tự, biểu thức lĩnh vực cho chế độ TM bắt nguồn từ phương trình 2.1.37 2.1.38 cách cho A = zA liên z F = 0, nơi Az thỏa mãn phương trình Helmholtz Ở Hệ tọa độ trụ, điều mang lại Ngoài ra, việc phân tích chế độ TE TM thực trực tiếp điều khoản Hz Ez, hai thỏa mãn phương trình Helmholtz Giả sử phương thức tuyên truyền theo hướng z- với số lan truyền kz, thành phần lĩnh vực cho chế độ TE cho thành phần trường cho chế độ TM cho Các phân tích Hz Ez thuận tiện tránh việc sử dụng biến phụ Fz Az 6.2.1 Circular Waveguide Chúng xem xét truyền sóng sản phẩm dẫn điện dẫn sóng tròn [49] Đối với ống dẫn sóng tròn có trục trùng với trục z- (Hình 6.2), kể từ φ bao bọc, m hàm sóng hình trụ phải số nguyên có - giá trị giải pháp Hơn nữa, kể từ trường hữu hạn dọc theo trục z, Bessel chức loại thứ hai phải loại trừ Do đó, chế độ TM, E z có dạng E số Để xác định kρ, áp dụng điều kiện biên tiến hành tường ống dẫn sóng, KKT ρ = = 0, để thấy Jm (kρa) = biểu thị nguồn gốc Jm (z) = χmn (n = , 2,), có kρa = χmn; đó, ka ρ = χmn liên tục tuyên truyền TM chế độ mn cho Các số sóng cắt tần số cho Một vài giá trị χmn cho bảng 6.1 [2] Các thành phần lĩnh vực khác phương thức TMmn thu cách thay phương trình 6.2.11 vào phương trình 6.2.9 6.2.10, mà sản lượng Việc phân tích chế độ TE sau thủ tục tương tự Đối với lý thảo luận trước đó, Hz có dạng nơi H số Để xác định kρ, áp dụng điều kiện biên tường dẫn ống dẫn sóng, Eφ ρ = a = 0, để thấy J kam '() ρ = biểu thị nguồn gốc J z' = m () χmn '(,,) n = , có ka ρ = χmn'; đó, ka ρ = χmn 'và tuyên truyền liên tục TE chế độ mn cho Các số sóng cắt tần số cho Một vài giá trị χmn 'được cho bảng 6.2 [2] Các thành phần lĩnh vực khác phương thức TEmn thu cách thay phương trình 6.2.18 vào phương trình 6.2.7 6.2.8, sản lượng Đối với chế độ TE, Hz có dạng nơi ka ρ = χmn ', m = 0, 1, 2, ; n = 1, 2, ; p = 1, 2, Sự phụ thuộc z- cụ thể hình thức xác định điều kiện ranh giới HH zz = = = = zzh tần số cộng hưởng cho chế độ TEmnp khoang Trong số tất TMmnp TEmnp chế độ, chế độ chi phối hai chế độ TM010 Chế độ TE111, có tần số cộng hưởng đưa tương ứng Đối với khoang không hoàn hảo, yếu tố chất lượng dây dẫn vật liệu lỗ nhỏ đánh giá cách sử dụng phương pháp perturbational thảo luận Chương 6.3 Waveguide điện môi THÔNG TƯ Do dây dẫn cao, ống dẫn sóng kim loại rỗng hình tròn ống dẫn sóng đồng trục thảo luận Phần 6.2 không thực tế để truyền tín hiệu Hình 6.6 Thông tư ống dẫn sóng điện môi (a) Hai - lớp ống dẫn sóng điện môi (b) mô hình đơn giản tần số quang học Một lựa chọn tốt sử dụng ống dẫn sóng điện môi với tổn thất điện môi thấp Trong số ống dẫn sóng điện môi khác nhau, ống dẫn sóng điện môi tròn, thường gọi thành fi quang, lựa chọn phổ biến [7-12] Một thông tư điện môi điển hình dẫn sóng bao gồm hai lớp: lớp bên (lõi) với permittivity cao lớp bên (cladding) với permittivity thấp chút, minh họa hình 6.6 a Trên tần số cắt, sóng điện từ lan truyền lớp bên phân rã theo cấp số nhân lớp kết phản xạ toàn phần giao diện hai lớp Bởi điều này, lớp bên xấp xỉ có vô hạn bán kính lớn để đơn giản hóa việc phân tích không phức tạp hai - lớp điện môi ống dẫn sóng 6.3.1 Phân tích chế độ hybrid Hãy xem xét mô hình đơn giản hai - lớp tròn ống dẫn sóng điện môi hình 6.6 b Lớp bên giả định có permittivity ε1 bán kính một, bên lớp giả định có permittivity ε2, lớp giả định không từ (μ1 = μ2 = μ0) Như thảo luận Phần 5.3, ống dẫn sóng điện môi hỗ trợ chế độ chung TE TM Ez Hz kết không liên tục giao diện điện môi Thay vào đó, hỗ trợ chế độ ống dẫn sóng lai có chứa hai E z Hz Các Ez Hz thể lớp bên (ρ a), nơi kk 1ρ = - ω μ ε z2 kk 2ρ = - ω μ ε 2 z2 Đối với chế độ tuyên truyền, tất lượng giả định tuyên truyền dọc theo ống dẫn sóng, có nên quyền lực tỏa theo hướng xuyên tâm Điều xảy kz2 2> ω μ ε k 2ρ trở thành số hoàn toàn tưởng tượng, ký hiệu k2ρ = -jα2ρ, kết lĩnh vực theo cấp số nhân mục nát theo hướng xuyên tâm Kể từ chức Hankel hai loại cho lập luận hoàn toàn tưởng tượng viết nơi Km gọi modifi ed Bessel chức loại thứ hai [1], Phương trình 6.3.3 6.3.4 viết Hình 6.7 trình bày kết vài Km (x), cho thấy rõ phân rã theo cấp số nhân hành vi Từ phương trình 6.3.1 6.3.2, có thành phần trường khác khu vực nội lay điện môi Hình 6.7 Bessel lần chức loại thứ hai Tương tự vậy, từ phương trình 6.3.6 6.3.7, có thành phần lĩnh vực khác lớp điện môi bên Tại giao diện lớp bên bên ngoài, có lĩnh vực sau điều kiện liên tục Thay biểu thức trường vào phương trình, ta Loại bỏ A2′ B2′, có Phương trình 6.3.22 6.3.23 viết phương trình ma trận cho biết A1 B1 Để có không - giải pháp tầm thường cho A B1, định thức ma trận hệ số phải tan biến, sản lượng Cho tần số, phương trình siêu việt giải với cho số hữu hạn thực - giá trị k z, tương ứng với tuyên truyền dẫn sóng chế độ 6.3.2 Đặc điểm chế độ hybrid Để tạo điều kiện tiếp tục thảo luận, viết lại phương trình 6.3.25 6.3.26 nơi δ = kk z Bây xem xét giải pháp phương trình 6.3.27 6.3.28, cho trường hợp đặc biệt m = sau trường hợp chung với m ≠ TM0n TE0n Modes Khi m = (axisymmetric), quan sát từ phương trình 6.3.22 6.3.23 A B1, Ez Hz, tách riêng hoàn toàn Equation 6.3.27 giảm xuống có hai giải pháp rõ ràng Một giải pháp đưa Với điều này, A1 ≠ B1 = 0; đó, Ez ≠ Hz = Giải pháp mang lại chế độ TM0n, mà việc nhân giống kz thu cách giải phương trình 6.3.30 với phương trình 6.3.28 Các số sóng cắt xác định cách thiết lập ν = phương trình 6.3.30, sản lượng j0 (u) = nhiều rễ phương trình đưa đầu hàng bảng 6.1 Bằng cách biểu thị rễ χ0n, số sóng cắt cho Giải pháp thứ hai cho với điều này, A1 = B1 ≠ 0; đó, sản lượng Ez = Hz ≠ Giải pháp TE0n chế độ, mà việc nhân giống kz thu cách giải phương trình 6.3.32 với phương trình 6.3.28 Các số sóng cắt xác định cách thiết lập ν = phương trình 6.3.32, mà lại mang j0 (u) = Do đó, số sóng cắt chế độ TE0n giống người TM chế độ 0n, đưa phương trình 6.3.31 Trong thực tế, hầu hết ống dẫn sóng quang học, giá trị εr1 εr2 gần với người thân khác biệt trình tự 0.01 [10], kết giá trị tương tự cho số lan truyền k zn0 TM k zn0 TE Từ bảng 6.1, nhìn thấy số sóng cắt TE0n chế độ TM0n cho kkaccrr TE TM 01 01 = = - 4048 ε ε Lai EHmn HEmn Modes Khi m ≠ 0, quan sát từ phương trình 6.3.22 6.3.23 A B1, Ez Hz, kết hợp chặt chẽ Do đó, ống dẫn sóng chế độ người lai có chứa hai Ez Hz Để giải phương trình 6.3.27, tiếp tục đơn giản hóa cách cho phép Do đó, trở thành phương trình 6.3.27 Hai giải pháp phương trình đưa Từ phương trình 6.3.28, thấy Khi chúng thay vào phương trình 6.3.35, phương trình kết chức u cho giá trị định m, εr1, εr2, k0a Do đó, giải cho rễ, mà ký hiệu u mn () ± (n = 1, 2, ), Nơi superscript tương ứng với dấu chọn phương trình 6.3.35 Khi umn () ± thu được, tính toán vmn () ± từ thứ hai phương trình phương trình 6.3.36 sau tìm δ mn () ± từ phương trình phương trình 6.3.36, mà cuối mang lại số lan truyền kz mn () ± dựa vào định nghĩa δ Mỗi liên tục tuyên truyền tương ứng với chế độ tuyên truyền dẫn sóng Ngoài ra, δ định, sử dụng phương trình 6.3.35 phương trình phương trình 6.3.36 để giải cho u mn () ± v mn () ±, từ tìm thấy giá trị tương ứng cho k0a Lặp lặp lại tính cho ε δ ε r r ≤ 0, δ ε> r2, ν> Phương trình 6.3.35 viết lại sau tương đương Kể từ qm (ν)