BÀI TẬP TOÁN GIẢI TÍCH 12

b Viết phương trình tiếp tuyến của C tại điểm có hoành độ bằng 3.. Định m để hàm số : a Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó... Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này.

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 1

I ĐẠO HÀM 1) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) =

1x

|x

|

+ tại x0 = 0

2) Cho hàm số y = f(x) = x3−3x2+1, có đồ thị (C)

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) ≤ 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Cho (C) : y = f(x) = x4 − 2x2

a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > 0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm có hoành độ bằng 2

2 Tại điểm có tung độ bằng 3

3 Biết tiếp tuyến song song với d1 : y = 24x+2007

4 Biết tiếp tuyến vuông góc với d2 : y = x 10

24

4) Viết phương trình tiếp tuyến với (P): y = f(x) = x2 − 2x − 3 đi qua M1(5;3)

5) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):y=f(x)=x3 –3x+1 kẻ từ M(3; − 1)

6) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) = x − 2+

1x

4

− đi qua A(0;3).

7) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x)=

1x

1x+

− đi qua H(1;1).

8) Tìm đạo hàm các hàm số

a) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 ) b) y =

1 x x

x x2

3+ +

qpx

cbx

ax2

+

++

9) Tìm đạo hàm các hàm số :

11) Tính đạo hàm của hàm số

x nếu

x

23

b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0

c) Với y = ( x +1 ) ex ta có : y’ – y = ex

d) Với y= e sin x ta có : y’ cos x – ysin x – y” = 0

e) Với y = ln

x1

1

+ ta có xy’ + 1 = ey

14) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:

a) Cho hàm số y =

xcos.xsin1

xcosx

−

+ Chứng minh rằng: y’' =

−yb) Cho y = ln(sinx) Chứng minh rằng : y’+y’’sinx+tg

2

x = 0c) Cho y = e4x+2e− x Chứng minh rằng : y’’’−13y’−12y = 0

d) Cho y =

4x

3x

x cos2

2+ Chứng minh rằng : (4) 3f'(4)=3

π

−π

16) Cho f(x) = x e−22 Chứng minh rằng : ) 21(f3)

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 3 18) Giải bất phương trình f/(x) < 0 với f(x) =

3

1

x3−2x2+ π 19) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = cos4x

41

II.SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

23) Tìm các điểm tới hạn của hàm số :y = f(x) = 3x+ 5

x

3 +.24) Xét tính đơn điệu của hàm số

a) y = f(x) = x3 −3x2+1 b) y = f(x) = 2x2 −x4

c) y = f(x) =

2x

3x

+

−

x1

4x

3xxf(x)

k) y = f(x) = sinx trên đoạn [0; 2π]

25) Cho hàm số y = f(x) = x3 −3(m+1)x2+3(m+1)x+1 Định m để hàm số :

a) Luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó Kq:1 ≤ m ≤ 0

b) Nghịch biến trên khoảng ( −1;0) Kq: m ≤

26) Định m∈Z để hàm số y = f(x) =

mx

1mx

2x

mx2

+

−+ nghịch biến trên nửa khoảng

14

−

1xy

+

−

=

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 5 30) Tìm m để hàm số (m 1)x (m 7)x

3

x

a) Luôn luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó

b) Luôn luôn đồng biến trên khoảng (2;+∞)

31) Tìm m để hàm số :

mx

2mmx2x

−

++

1 m x ) m 1 ( x

−

+ +

− +

= luôn đồng biến trên khoảng

II CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU35) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 1:

a) y = x3 b) y = 3x +

x

3 + 5 c) y = x.e− x d) y =

x

xln.36) Tìm các điểm cực trị của hàm số bằng đạo hàm cấp 2:

a) y = sin2x với x∈[0; π ] b) y = x2lnx c) y =

x

ex.37) Xác định tham số m để hàm số y=x3−3mx2+(m2−1)x+2 đạt cực đại tại x=2

( Đề thi TNTHPT 2004−2005) Kết quả : m=11

38) Định m để hàm số y = f(x) = x3−3x2+3mx+3m+4

a.Không có cực trị Kết quả : m ≥1

b.Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1

c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)

Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi:

0 )a ('' f

0 )a (' f

Kết quả : m=0

d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O

Kq : d:y = 2(m−1)x+4m+4 và m= −1

39) Định m để hàm số y = f(x) =

x1

mx

x2

−

+

−

a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3

b.Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4

c.Đạt cực tiểu khi x = −1 Kết quả : m = 7

40) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y =

m x

1 m x ) 1 m ( m

x3−mx2+(m+2)x−1 Xác định m để hàm số:

a) Có cực trị Kết quả: m <−1 V m > 2b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+∞) Kết quả: m > 2

c) Có cực trị trong khoảng (0;+∞) Kết quả: m <−2 V m > 243) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = −x4+2mx2−2m+1

mx

x2

+

+

− có hai điểm cực trị nằm

khác phía so với Ox Kết quả : m >

4

145) Định m để hàm số y = f(x) = x3−6x2+3(m+2)x−m−6 có 2 cực trị và hai giá trị cực

4

17

− < m < 246) Chứùng minh rằng với mọi m hàm số y = f(x) =2x3−3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luônđạt cực trị tại hai điểm x1 và x2 với x2−x1 là một hằng số

47) Tìm cực trị của các hàm số :

a)

x

1x

4

x

y=− 4 + 2 + c) y = 3 x−1+248) Định m để hàm số có cực trị :

a) y=x3 − x2+mx−2 Kết quả: m<3

b)

1x

2mmxx

−

−++

−

= Kết quả: m<−2 V m>1

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 7 49) Định m để hàm số sau đạt cực đại tại x=1: y = f(x) =

51) Chứng minh rằng : ex ≥ x+1 với ∀x∈|R

III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

52) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2−2x+3 Kq:MinR f(x) = f(1) = 2

53) Tìm giá trị lớùn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2−2x+3 trên [0;3]

Kq: Min[0;3] f(x)=f(1)=2 và

] 3

; 0 [

Maxf(x)=f(3)=6.54) Tìm giá trị lớùn nhất của hàm số y = f(x) =

1x

4x

tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m

56) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =

1 x x

x2 4

2+ + Kết quả : MaxR y = f(±1) =

3

1

57) Định m để hàm số y = f(x) = x3 −3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghịch biến trên

khoảng( −1;0) Kết quả : m ≤ −34 58) Tìm trên (C): y =

2x

3

x2

−

− điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai

trục tọa độ là nhỏ nhất Kết quả :M(0;

2

3)59) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx

60) Tìm GTLN: y=−x2+2x+3 Kết quả: MaxR y=f(1)= 4

61) Tìm GTNN y = x – 5 +

x

1 với x > 0 Kết quả: Min(0; )

±∞ y=f(1)= −3 62) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4−x2

Kết quả: Maxy ( 2) 2 2 5

] 2

; 2

7 ) 2 ( y Min

] 2

; 2

; 2

1 [− = = ; Min y ( 0 ) 1

] 1

; 2

1

64) Tìm GTLN, GTNN của:

a) y = x4-2x2+3 Kết quả: MinR y=f(±1)=2; Không có MaxR y

b) y = x4+4x2+5 Kết quả: MinR y=f(0)=5; Không có

R

c)

2xcos

1xsin22

3 x x

y 22

+ +

+ +

= Kết quả: MinR y=

3

1

; MaxR y=365) Cho hàm số

2xx

1x

++

−

α +

− α

1 cos x x

cos x cos x

1

+ xác định trên [0; +∞), dùng đạo hàm đưa đến y’=0

⇔ t=−3 ∉[0; +∞ ) V t=−1 ∉[0; +∞ ) ⇒ hàm số y=g(t) đồng biến trên[0;+∞ ) ⇒ Min[0; )

68) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx− sin x

3

trên đoạn [0;π]

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 9

(Đề thi TNTH PT 2003−2004) Kết quả:Max[0 ]

x2 − +

70) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3−3(m−1)x2+m2x−3 nhận I(1;−1) làm điểm uốn

Kết quả: m = 2

71) Định m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x4−6mx2+ 3

a) Có hai điểm uốn Kết quả: m > 0

b) Không có điểm uốn Kết quả: m ≤ 0

72) Chứng minh rằng đồ thị (C):

1xx

1x

++

+

= có 3 điểm uốn thẳng hàng Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn này

Hướng dẫn và kết quả:

(C) có 3 điểm uốn A(−2;−1), B(−21 ;0), C(1;1) −→ = AC−→

2

1

AB ⇒ A, B, C thẳnghàng

Đường thẳng d qua A, B, C qua C(1;1) có hệ số góc

3

2xx

yyk

A C

73) Tìm điểm uốn và xét tính lồi, lõm của (C):y = f(x) = x2−3x+2

Kết quả: Lõm trên các khoảng (−∞;1) và (2; +∞) Lồi trên khoảng (1;2)

Điểm uốn : I1(1;0) và I2(2;0)

74) a) Chứng minh rằng nếu (C): y = f(x) = ax3+bx2+cx+d (a≠0) cắt Ox tại 3 điểmcách đều nhau thì điểm uốn của (C) nằm trên Ox

b) Tìm m để (Cm):y = x3−3mx2+2m(m−4)x+9m2−m cắt trục hoành tại 3 điểmcách đều nhau (có hoành độ lập thành một cấp số cộng)

Hướng dẫn và kết quả:

a) Cho y = 0⇔ ax3+bx2+cx+d = 0 có 3 nghiệm x1, x2, x3, lập thành cấp số cộng ⇒2x2= x1+x3 ⇒ 3x2 = x1+x2+x3 =−ab ⇒ x2 = −3ba Vậy điểm uốn I(x2;0)∈Ox.b) Tìm I(m;m2−m)

Điều kiện cần : I∈Ox ⇒ m2−m = 0 ⇒ m = 0 V m = 1

Điều kiện đủ : Chọn m = 1

75) Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của (C) :

a) y=x3−3x2+2 b)

2x

4xx

1xy

a) (Cm) : y=x3−3x2+3mx+3m+4 nhận I(1;2) làm điểm uốn

b) (Ca,b) : y=ax3+bx2+x+1 nhận I(1;−2) làm điểm uốn

c) Biện luận theo m số điểm uốn của (Cm) :y=x4+mx2+m−2

78) Tìm m để đồ thị (Cm):y = f(x) = x3−3x2−9x+m cắt Ox tại 3 điểm theo thứ tự có hoành độ lập thành cấp số cộng Kết quả : m = 11.

79) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax+b cắt đồ thị (C) : y=x3−3x2−9x+1 tại ba điểm phân biệt A, B, C và AB = BC

Hướng dẫn và kết quả :

• Lập phương trình hoành độ giao điểm :

g

0 b

10 b a

80) Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm uốn của đồ thị (C):y=

1x

1x

1 +81) Tìm m để (Cm):y = x3−3mx2+2m(m−4)x+9m2−m có điểm uốn :

a) Nằm trên đường thẳng (d) : y = x Kết quả : m = 0 V m = 2

b) Đối xứng với M(−3;−6) qua gốc tọa độ O Kết quả : m= 3

c) Đối xứng với N(5;−20) qua Ox Kết quả : m= 5

d) Đối xứng với P(−7;42) qua Oy Kết quả : m= 7

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 11

V TIỆM CẬN 82)Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số :

a) y =

2 x x

1 x2

2+

−

− Kết quả: x = 1; x = 2 và y = 2

b) y =

2x

1x

x2+ + . Kết quả: y = ±184) Tìm các đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x2 +1.Kết qua û: y = ±x85) Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số: y = 3 x2−x3 Kết quả : y = −x+1.86) Cho (Cm ) : ( )

1 x

m m x 1 m x

+

+ + + +

a) Biện luận m số tiệm cận của đồ thị (Cm)

b) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị (Cm) đi qua I(1;2)

87)Tìm trên đồ thị (C):y =

1x

2x+

+ điểm M có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận là nhỏ nhất

88) Lấy một điểm bất kỳ M∈(C):y = f(x) =

2x

1x

x2

−

−+ Chứng minh rằng tích các

khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) luôn không đổi Kq: d1.d2=

2

9

VI KHẢO SÁT HÀM SỐ89) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số:

1x

−

2xx+

k) y =

1x

x2

41x

+

−

−m) y =

x 1

) 2 x

−

2x

12x

++

3x

3m2

−

≠

−+b) (H): y xx 11

−

+

= và d: y= −2x+m Hd: x=1 không là nghiệm phương trình hoành

độ giao điểm

91) A.Vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3+3x2−2

B.Biện luận bằng đồ thị (C) số nghiệm của pt: x3+3x2−(m−2) = 0

92) Viết phương trình các đường thẳng vuông góc với đường thẳng y=

4

1x+3 vàtiếp xúc với đồ thị (C) hàm số y= −x3+3x2−4x+2

93) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y=x3+3x2+1 biết tiếp tuyến đi quagốc toạ độ O

94) Dùng đồ thị (C): y = x3−3x2+1 biện luận theo m số nghiệm của phương trình

x3−3x2 − 9x+1−m = 0

95) Cho parabol (P): y=x2−2x+2 và đường thẳng d: y=2x+m

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)

b) Biện luận theo m số điểm chung của d và (P)

c) Khi d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Tìm tập hợp trung điểm M của đoạn AB

96) Cho hàm số

1x

1xy

−

+

= , có đồ thi (H)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (H)

b) Cho đường thẳng d: y= −2x+m Giả sử d cắt (H) tại hai điểm M và N Tìm tập hợp trung điểm I của MN

97) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y=f(x)=x3−3x2+1 nhận điểm uốn của nólàm tâm đối xứng

98) Cho hàm số y = x4−4x3−2x2+12x−1

a) Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số có trục đối xứng

b) Tìm các giao điểm của (C) với trục Ox

Hướng dẫn và kết quả:

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 13

a)Dự đoán trục đối xứng của đồ thị (C) : Tìm đến y(3) và cho y(3) = 0 , tìm được nghiệm x=1 cũng là nghiệm của y’=0 Từ đó chứng minh x=1 là trục đối xứng của (C)

b) Cho Y= 0, tìm được X=± 4 ± 10 ⇒ y=0 và x =1± 4 ± 10

99) Chứng minh rằng (C): y =

1x

3x

+

− có hai trục đối xứng.

Hướng dẫn và kết quả: Tâm đối xứng là I(−1;1) Suy luận có hai đường phân giácy=−x và y = x+2 của các góc tạo bởi 2 tiệm cận là trục đối xứng của (C) Chứngminh hai đường thẳng này là hai trục đối xứng của (C)

100) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y = x 2

2x

2x+

−c) (C3): y = f3(x) = xx +−22 d) (C4): |y| = f4(x) =

2x

2x

+

−

e) (C5): y = f5(x) = xx+−22 f) (C6): |y| = f6(x) = xx+−22101) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số : y = f(x) = x3−3x2+2

b) Từ đồ thị (C), suy ra đồ thị (C’): y = g(x) = | x| 3−3x2 +2 Từ đó biện luận

theo m số nghiệm của phương trình: | x| 3−3x2 +1 − m = 0

102) Chứng tỏ rằng (Cm): y=x2+(2m+1)x+m2−1 (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định Xác định phương trình đường thẳng đó

Lời giải 1:

1 Dự đoán đường thẳng cố định:

Cách 1: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm+x2+x−1−y=0, phương trình này có ∆= (x)2−1.(x2+x−1−y)=0 ⇔−x+1+y=0 ⇔ y= x−1 là đường thẳng cố định.Cách 2: Chuyển (1) về phương trình m2+2xm=−x2−x+1+y (2)

Lấy đạo hàm 2 vế theo m: 2m+2x=0 ⇔ m=−x, thay trở lại (2):y=x−1 là đường thẳng cố định

2 Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với đường thẳng cố định: ( Bắt đầu lời giải)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và d:y=x−1 là:

x2+(2m+1)x+m2−1=x−1 ⇔ x2+2mx+m2=0

⇔ (x+m)2=0 ⇔ x=−m (nghiệm kép)Vậy (Cm) luôn tiếp xúc d:y=x−1

Chú ý: Chỉ có đường thẳng và đường bậc 2,mới có khái niệm “ 2 đường tiếp xúc nhau ⇔ phương trình hoành độ giao điểm ( bậc 2 ) có nghiệm kép”

Trong các hàm số khác và hàm bậc nhất ta phải dùng hệ điều kiện tiếp xúc

Lời giải 2: Gọi d: y=ax+b là đường thẳng cố định d tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm kép với mọi m:

x2+(2m+1)x+m2−1= ax+b⇔ x2+(2m+1−a) x+m2−b−1=0 có nghiệm kép với ∀ m

⇔∆ =(2m+1−a) 2−4.1(m2−b−1)=0 với ∀ m⇔−4(a−1)m+(a−1)2+4b+4=0 với ∀ m

=

−

0 4 4b 1)- (a

0 1

m m x ) 1 m 3

1 Dự đoán các đường thẳng cố định: Biến đổi (1) về phương trình bậc hai ẩn m:

m2+(y−1−3x)m+(y−1)x=0 (2), đặt t=y−1 ta có phương trình: m2+(t−3x)m+tx=0(3) Phương trình (3) có ∆=0 ⇔ (t−3x)2−4tx=0 ⇔ t2−10xt+9x2=0⇔ t=9xV t=x

Thay t=y−1,suy ra hai đường thẳng d1:y=9x+1, d2:y=x+1 cố định tiếp xúc (Cm)

2 Chứng tỏ (Cm) tiếp xúc với d1, và tiếp xúc d2: ( Bắt đầu lời giải)

• d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

+

= +

+

− +

9 ) m x(

m 4

1 x m

x

m m x) 1 m

3(

2 2

2

⇔ (3x+m)2=0 ⇔ x= −m3

Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= −m3 (m ≠ 0)

• Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m ≠ 0)

104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3−3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định

Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;−23) và tiếptuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định

105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2−m luôn tiếp xúc với một parabol cố định.Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y=

4

1x2

3x4

parabol cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1−2m

VIII.TÍCH PHÂN

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 15

106) Cho f(x)= 3

2

)1x(

3xx

−

−+

, tìm A, B và C sao cho:

C)1x(

B)

1x(

3 x

2xx

3

3

∫ +− −108) Tính ∫ x ( 22x − − 3 x 3 ) + dx 2

111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

Hàm số Kết quả Hàm số Kết quảa) y=

)13

x(x

1

2 2d) y=

xsinxcos

x2cos+

tgx−cotgx+Csinx+cosx+C

x4 3

113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx

Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C114) Tìm A và B sao cho với mọi x≠ 1 và x≠2 , ta có: x 1

B2x

A2xx

1x

2 − + = − + −+

Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số:

2xx

1x)

x

+

−+

=

Kết quả:A=3; B= −2 F(x) = 3 l nx−2−2 l nx−1+ C= l n 2

3

)1x(

2x

1sin3x+C

xln.x

1

e)

∫ e2 cosx+3

.sinxdxf) ∫sindxx

l n l n x+C

3 x cos 2

e2

−+C

2 x

b)∫31 2 + dx

x

x x

c)−∫2 −

2

2 1 | dx x

1124

x g cot 2 3

3

dx x sin

x sin 1

3

153

2

22

31

2ln3

ln 2

x cos 3 1

x sin

2 0

3

dx x sin

x cos

3

2ln2

21

ln( 3+1)

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 17

1 x x

2 x

dx e

ln45

32

x cos x sin

j)

∫1 − − +0

2 x 1 dx x

) 1 x 2 (k)∫e1 2 dx x

x ln

031

Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH

118) Chứng minh rằng:

a)

2 x sin 2 3

dx 4

4 3

c) 3 3

2 0

sin

cos

xdx x

e)2 4

4

sin

dx x

1

0 1

x x

e dx e

+

∫

21

)122(3

2

−

21

12

8

3π−

34

43

)122(3

1

−

33

π

) 2 1 e (

2 + −

43

Giáo trình Giải tích 12 C5 - Trang 19 l)∫

π

2

0

3 cos x dx

x sin

2 3

2

1 x

dx x

x sin

w) ∫e1 4 dx

x

x ln

Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq:

12π

2

9π

6π

x=sint Kq:16π

)32ln(

1

4

π

51