MỘT SỐ DẠNG BẮT ĐẲNG THỨC CÔ SI THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY THƯỜNG GẶP Như các bạn đã biết bất đẳng thức là một vấn đề được giáo viên và học sinh thâm nhập với một lượng thời gian khá nhiều vì đây có thể phát triển khả năng tư duy toán học cho học sinh. Qua tìm hiểu vấn đề này trong quá trình dạy học và đề thi đại học, cao đẳng của các năm tôi thấy hầu hết các bài toán về bất đằng thức trong đề thi đại học, cao đằng chỉ xoay quanh hai dạng bài toán sau: Dạng 1: “Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki” Dạng 2: “Đưa về biến và giải quyết bằng phương pháp hàm số” Mặc dù đã có rất nhiều phương pháp giải, nhưng bất đẳng thức là một dạng toán khó được xem là một thử thách cho học sinh trong quá trình học tập và thi cử, đặc biệt là kỳ thi Đại học Cao đẳng. Với hướng khắc phục hạn chế như trên, tôi đã tìm cách hệ thống hóa các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, đặt cho mỗi kỹ thuật một cái tên nhằm giúp học sinh dễ dàng hơn trong tư duy để tìm ra hướng giải, nhằm khơi dậy trí tìm tòi của học sinh trong quá trình tự học, khơi dậy niềm say mê tìm kiếm những cái mới. Dưới đây tôi xin được trao đổi một số kỹ thuật dùng bất đẳng thức Cauchy (thường là những bài toán bất đẳng thức khó, xảy ra trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học).

Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - KÍNH CHÚC CÁC BẠN ƠN THI THÀNH CƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY THƯỜNG GẶP Như bạn biết bất đẳng thức vấn đề giáo viên học sinh thâm nhập với lượng thời gian nhiều phát triển khả tư tốn học cho học sinh Qua tìm hiểu vấn đề q trình dạy học đề thi đại học, cao đẳng năm tơi thấy hầu hết tốn bất đằng thức đề thi đại học, cao đằng xoay quanh hai dạng tốn sau: Dạng 1: “Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki” Dạng 2: “Đưa biến giải phương pháp hàm số” Mặc dù có nhiều phương pháp giải, bất đẳng thức dạng tốn khó xem thử thách cho học sinh q trình học tập thi cử, đặc biệt kỳ thi Đại học - Cao đẳng Với hướng khắc phục hạn chế trên, tơi tìm cách hệ thống hóa kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy, đặt cho kỹ thuật tên nhằm giúp học sinh dễ dàng tư để tìm hướng giải, nhằm khơi dậy trí tìm tòi học sinh q trình tự học, khơi dậy niềm say mê tìm kiếm Dưới tơi xin trao đổi số kỹ thuật dùng bất đẳng thức Cauchy (thường tốn bất đẳng thức khó, xảy kỳ thi học sinh giỏi, thi đại học) Phần Kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy I KIẾN THỨC CƠ BẢN Bất đẳng thức Cauchy cho n số khơng âm: cho n số khơng âm x1 , x2 , , xn Ta có: x1 + x2 + + xn ≥ n n x1 x2 xn ⇔ x1 = x2 = = xn Dấu xảy Bất đẳng thức Bunhiacopxki: Cho hai ( x1, x2 , , xn ) ∧ ( y1 , y2 , , yn ) Ta có: ( x1 y1 + x2 y2 + + xn yn ) ≤ ( x12 + x22 + + xn2 ) ( y12 + y22 + + yn2 ) Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - ⇔ Dấu xảy Bất đẳng thức Svac-sơ: x1 x2 x = = = n y1 y2 yn x12 x22 xn2 ( x1 + x2 + + xn ) + + + ≥ y1 y2 yn y1 + y2 + + yn với y1 , y2 , y3 , yn > 0, ( n ≥ ) x1 x2 x = = = n y1 y2 yn Dấu xảy : II CÁC KỸ THUẬT TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi Bài Cho a1 , a2 , a2011 > a1 + a2 + + a2011 =  1    − ÷≥ 20102011  − 1÷ − 1÷   a1  a2   a2011  Chứng minh: Nhận xét: Ở tốn thuộc lớp bất đẳng thức có điều kiện Đối với lớp bất đẳng thức ta thường có hướng khai thác điều kiện sau: Khai thác điều kiện kết hợp với bất đẳng thức kinh điển để giới hạn miền giá trị biến khai thác cách vào biểu thức cần chứng minh dùng điều kiện vào bước cuối bước trung gian tốn chứng minh Ở tơi khai thác theo hướng vào biểu thức cần chứng minh Ta có: − a1 a2 + a3 + + a2011 Cauchy 2010 2010 a2 a2011 = ≥ a1 a1 a1  1   − ; ; − ÷  ÷   a1   a2011  Tương tự cho Nhân vế theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh ⇔ a1 = a2 = = a2011 = 2011 Dấu xảy Chúng ta tổng qt tốn sau: Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - Cho a1 , a2 , an > a1 + a2 + + an =  1    n  − 1÷ − 1÷  − 1÷ ≥ ( n − 1)  a1  a2   an  Chứng minh: x + y + z = Bài Cho Tìm GTNN biểu thức P = + 4x + + y + + 4z Nhận xét: P≥m Bài u cầu tìm GTNN nên cần đánh giá để làm điều cần dùng Cauchy đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Nhưng khơng có kinh nghiệm học sinh giải sau: Cauchy + 4x ≥ 3+ y Cauchy ≥ Cauchy + 4z ≥ 3.4 x = x +1 3.4 y = y +1 3.4 z = z +1 Cộng vế theo vế: Cauchy P ≥ x +1 + y +1 + z +1 ≥ 3 x + y + z +33 = 3 24 3 24 P Kết luận GTNN , sai vì: em học sinh qn làm dấu khơng xáy Vì em dùng Cauchy mà qn x= y=z=0 kết hợp chọn điểm rơi Ở ta dự đốn điểm rơi , để có điều dự đốn dấu xảy phải 4x = y = 4z = ⇔ x = y = z = Từ gợi ý đánh giá Cauchy sau: Hướng dẫn + = + + + ≥ 4 = 2.4 x x Cauchy: Tương tự Cauchy thêm lần P=6⇔ x= y = z =0 KL: GTNN x x , Bài Cho a, b, c dương a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu P= a3 b2 + + b3 c2 + + c3 a2 + Hương dẫn Ta có: b2 + a 3a + + ≥3 = 16 64 b2 + b2 + a3 a3 b3 c2 + + c3 a2 + b3 c2 + + + c3 a2 + (1) c2 + c 3c ≥ 33 = 16 64 (2) + a2 + c 3c ≥ 33 = 16 64 (3) Lấy (1) + (2) + (3) ta được: P+ a + b2 + c + ≥ ( a + b2 + c2 ) 16 (4) Vì a2 + b2 + c2 =3 ⇔P≥ Từ (4) P= giá trị nhỏ a = b = c = Bài Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: a3 4b 4c + + ≥3 (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) Hướng dẫn Ta có: 4a3 + 1+ b + 1+ c ≥ a (1 + b)(1 + c) 2 4a3 4b3 4c + + ≥ a + b + c ≥ 3 abc = (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a) (1 + a)(1 + b) Tương tự: => Dấu xảy a = b = c =1 Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng kết hợp chọn điểm rơi x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z = Bài Cho Tìm giá tri lớn biểu thức Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - P = x + y + y + 3z + z + 3x Nhận xét: x, y , z Ta thấy có vai trò biểu thức Từ ta dự đốn dấu x= y=z= x= y=z= xảy Với dấu xảy nên x + y = 1; y + z = 1; z + x = , mặt khác để khử bậc ta phải Cauchy sau: Bài giải Cauchy x + 3y +1+1 x + y 1.1 ≤ ( ) Cauchy y + 3z + + y + z 1.1 ≤ ( ) Cauchy z + 3x + + z + x 1.1 ≤ ( ) ⇒ P ≤ ⇒ MaxP = ⇔ x = y = z = Cộng vế theo vế Bài Cho Nhận xét: x, y > ( x + y) Q= xy Tìm GTNN biểu thức : ≥m Ta nên nhớ mục đích đánh giá Q nên nhìn vào biểu thức ta có hai hướng để khai thác : Hướng thư : Khai thác tử số dùng cauchy đánh giá mẫu, hướng thứ hai khai thác mẫu dùng cauchy đánh giá đưa tử sau rút gọn đến điều cần chứng minh Sau tơi khai thác theo hướng hai Ta có: 3 1  4x + y + y  4  xy = ( x ) ( y ) ( y ) ≤  ÷ =  ( x + y)  = ( x + y) 16 16   16   27 ⇒Q≥ 27 Dấu xảy x = 1; y = Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - Chú ý : Biểu thức Q biểu thức đồng bậc nên ngồi cách giải giải phương pháp hàm số, tơi xin trình bày hướng giải phần sau viết Bài Cho a, b, c ba số dương thoả mãn: a + b + c = P= Tìm giá trị nhỏ 1 + + a + 3b b + 3c c + 3a biểu thức Hướng dẫn Áp dụng Bất đẳng thức Cơsi cho ba số dương ta có 1 1 1 (x + y + z) + +  ≥ 33 xyz =9⇒ + + ≥ xyz x y z x+y+z x y z P= Áp dụng (*) ta có (*) 1 +3 +3 ≥3 a + 3b b + 3c c + 3a a + 3b + b + 3c + c + 3a Kỹ thuật đổi biến kết hợp Cauchy chọn điểm rơi Một số tốn bất đẳng thức mà biểu thức cần chứng minh phức tạp đưa bất đẳng thức đơn giản cách đặt biến mới, ta chọn cách đổi biến để giải, lớp tốn thường gặp kỳ thi Đại học – Cao đẳng Vì cách đề thi thường xây dựng bất đẳng thức cần chứng minh dựa bất đẳng thức biết qua vài phép đổi biến vừa đổi biến kết hợp với trượt biến có bất đẳng thức Khi đòi hỏi người giải phải đổi biến lại để đưa bất đẳng thức quen thuộc Sau tơi xin trình bày tốn mà phép đổi biến mang lại hiệu Bài Chứng minh 1 ∀a, b, c > ∧ abc = 1: P = + + ≥ a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) Nhận xét: Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a2 b2 c2 a+b+c ∀a, b, c > : + + ≥ b+c c+a a+b qua phép biến đổi Do để giải nhanh gọn tốn ta phải thực phép đổi biến để đưa bất đẳng thức nguồn ban đầu Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - 1 x = , y = , z = ⇒ xyz = a b c Đặt Bài tốn trở thành chứng minh: x3 yz y zx z xy x2 y2 z2 P= + + ≥ ⇔ + + ≥ y+z z+x x+ y y+z z+x x+y Để giải tiếp tục nhận xét điểm rơi Từ ta giải sau: x2 y+z + ≥x y+z x = y = z =1 y2 z+x + ≥y z+x z2 x+ y + ≥z x+ y P≥ x+ y+ z ≥ 2 ⇔ x = y = z =1 Cộng vế theo vế ta được: dấu xảy Tuy nhiên giải tốn cách sau: 1 bc a = a2 = = a3 ( b + c ) a ( b + c ) b + c + bc b c Ta có : 1 2 1 a + b + c2 + + = a ( b + c ) b3 ( c + a ) c ( a + b ) + 1 + 1 + b c c a a b Tương tự: => Áp dụng bất đẳng thức Svac_so ta có: 1 1 1 + + cauchy 2 a + b + c ≥a b c ≥ 1 1 1 2 + + + ⇔ x = y = z =1 b c c a a b , dấu xảy Bài (Đại học khối A - 2007) x > 0, y > 0, z > 0, xyz = Cho Tìm GTNN biểu thức: Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - P= x2 ( y + z ) y y + 2z z + y2 ( z + x ) z z + 2x x + z2 ( x + y) x x + 2y y Nhận xét : Nhìn vào biểu thức P trơng phức tạp nỗi lên rõ biến có liên x x, y y, z z quan đến Do để đơn giản hóa ta nên đổi biến đưa tốn Mặt khác với suy nghĩ đổi biến cần đánh giá tử x = y = z =1 số đưa biến cần đổi ý tới điểm rơi Ta có giải sau: Cauchy x2 ( y + z ) ≥ x x Cauchy y2 ( z + x) ≥ y y Cauchy z ( x + y ) ≥ 2z z a = x x + y y ,b = y y + 2z z , c = z z + 2x x Đặt x x= Suy ra: 4c + a − 2b 4a + b − 2c 4b + c − 2a ,y y = ,z z = 9 2 c a b a b c  P ≥   + + ÷ +  + + ÷−  ≥ ( 4.3 + − ) = 9 b c a b c a  Do đó: MinP = ⇔ x = y = z = Vậy Tuy nhiên giải tốn cách sau: x2 ( y + z ) y2 ( z + x) z2 ( x + y) P= + + ≥ y y + 2z z z z + 2x x x x + y y 2y y 2x x 2z z + + y y + 2z z z z + 2x x x x + y y a = x x ; b = y y ; c = z z => abc = Đặt => P a b c a2 b2 c2 ≥ + + = + + b + 2c c + 2a a + 2b ab + 2ac bc + 2ba ca + 2cb Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - ( ab + bc + ca ) P svac _ so ( a + b + c ) ⇔ ≥ ≥ = => P ≥ 2 ( ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca ) Bài Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x9 + y y9 + z9 z + x9 P= 3 + + x + x y + y6 y + y3 z3 + z z + z3 x3 + x6 Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc = 1) ta : a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 P= + + a + ab + b b + bc + c c + ca + a a + b3 a − ab + b = ( a + b) a + ab + b a + ab + b mà a − ab + b ≥ a + ab + b (Biến đổi tương đương) a − ab + b => (a + b) ≥ ( a + b) a + ab + b b3 + c c3 + a3 ≥ ( b + c ); ≥ (c + a ) 2 2 b + bc + c c + ca + a Tương tự: P ≥ ( a + b + c) ≥ abc = => (BĐT Cơsi) => P ≥ 2, P = a = b = c = ⇔ x = y = z = Vậy: minP = x = y =z =1 Kỹ thuật đánh giá mẫu số Như ta biết giải bất đẳng thức ta nhìn phân tích, nhận xét nhiều khía cạnh để đến lời giải Trong kỹ thuật nhìn đánh giá mẫu số kỹ thuật tương đối quan trọng thường gặp Sau tơi xin giới thiệu tốn mà kỹ thuật mang lại hiệu Bài Chứng minh rằng: 1 1 + 3 + ≤ , ∀a, b, c > 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc Nhận xét: Biểu thức cần chứng minh vai trò a, b, c giống nên điểm rơi a=b=c Đồng thời số phức tạp ta chọn phương án đánh giá mẫu số cụ thể sau: Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - Ta có: x + y = ( x + y ) ( x + y − xy ) ≥ 3 ⇒ Cauchy ( x + y ) ( xy − xy ) = ( x + y ) xy 1 ≤ = a + b + abc ( a + b ) ab + abc ab ( a + b + c ) Tương tự: b + c + abc 3 c + a + abc 3 ≤ bc ( a + b + c ) ≤ ac ( a + b + c ) Cộng vế theo vế ta được: 1 1 1   + 3 + ≤  + + ÷= 3 a + b + abc b + c + abc c + a + abc a + b + c  ab bc ca  abc Bài Cho a, b.c >  2 a + b + c = Chứng minh rằng: a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2 Nhận xét: Với điều kiện cho biểu thức mẫu số bất đẳng thức cần chứng minh gợi ý cho ta nên thay mẫu số đánh giá mẫu Nếu học sinh khơng có kinh nghiệm khơng nhìn thấy điều Cụ thể sau Hướng dẫn a a a2 = = b2 + c2 − a a ( − a ) nhìn vào đích vào điều kiện cho ta hướng sau: Ta cố gắng chứng minh 3 nhìn a2 3 2 2 2 ≥ a ⇔ a − a ≤ ⇔ a − a ≤ ( ) ( ) 27 a ( − a2 ) 3 a (1− a Thật vậy: ) 2 Cauchy  2a + − a + − a  2 = 2a ( − a ) ( − a ) ≤  ÷ = 2  27 10 Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - Tương tự: b2 3 c2 3 ≥ b ; ≥ c 2 2 b( 1− b ) c(1− c ) a b c 3 + + ≥ 2 b +c c +a a +b 2 Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được: a, b, c > 0; abc = Bài Cho 1 + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 Chứng minh rằng: Hướng dẫn a+b= Ta có : ( a) +( b) =( 3 a + b + ≥ ab => ≤ a + b +1 ( 3 ( a+3b ) )( a + b + abc = ab 3 c a+3b+3c ) a − ab + b ≥ ab ( a+3b+3c ( a+3b ) ) 1 + + ≤1 a + b +1 b + c +1 c + a +1 ) => , tương tự ta có: Dấu xảy a = b = c = a, b, c : ab + bc + ca = Bài Cho số dương 1 1 + + ≤ 2 + a (b + c) + b (c + a) + c (a + b) abc Chứng minh rằng: Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: = ab + bc + ca ≥ 3 (abc)2 ⇒ abc ≤ + a (b + c) ≥ abc + a (b + c) = a (ab + bc + ca ) = 3a ⇒ Suy ra: 1 ≤ (1) + a (b + c) 3a 1 1 ≤ (2), ≤ (3) + b (c + a ) 3b + c (a + b) 3c Tương tự ta có: Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta có: 1 1 1 ab + bc + ca + + ≤ ( + + )= = W 2 + a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) c b c 3abc abc 11 Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - abc = 1, ab + bc + ca = ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0) Dấu “=” xảy Bài Cho a, b, c > : abc = 1 1 CMR : + + ≤ a + 2b + b + 2c + c + 2a + Hướng dẫn Ta có: ⇒ a + b ≥ 2ab; b + ≥ 2b ⇒ a + 2b + ≥ ( ab + b + 1) 1 ≤ a + 2b + ( ab + b + 1) Tương tự => 1 1 1  + + ≤  + + ÷ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a +  ab + b + bc + c + ca + a +  Mặt khác: 1 1 ab b + + = + + =1 ab + b + bc + c + ca + a + ab + b + ab c + abc + ab bca + ab + b 1 1 + + ≤ 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + ⇔ a = b = c = => Phần MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân kết hợp chọn điểm rơi: Bài 1: Cho x, y, z : 3− x + 3− y + 3− z = Chứng minh : 3x 9x 9y 9z 3x + y + z + + ≥ x + y + z y + x + z 3z + x + y 3y 3z HD: Đổi biến a= ,b= ,c= Tổng sang tích, kết hợp chọn điểm rơi 12 Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - x, y , z > : x + y + z = Bài 2: Cho 1+ HD: Chứng minh : x +1 x + x + y + z = = ≥ x x x     1 + ÷ + ÷ + ÷ ≥ 64 y  z   x  x yz x Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng kết hợp chọn điểm rơi Bài 1: Cho ba số thực x, y , z ≥ x3 + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức M = x yz + y zx + z xy x yz = x yz = x3 xyz HD: , cauchy a, b, c ≥ 0, a + b + c = Bài 2: Cho A = a + 46b + c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : HD: Chọn điểm rơi cách : giả sử : A = (a + α + α ) + (46b3 + β + β ) + (c3 + α + α ) − 4α − β , tìm α, β Kỹ thuật đổi biến : a2 + 2c2 c2 + 2b2 b2 + 2a2 + + ≥ ac cb ba 3; Bài 1: với a, b, c > 0, ab + bc + ca = abc (ĐHQGHN-HV Ngân hàng – D_2000) y x x 1 + 2+ ≤ + + 2; 2 x +y y +z z +x x y z Bài 2: nghiệp – A_2001) với x, y, z > 0.(ĐH Nông Kỹ thuật đánh giá mẫu số: 1 a+b+c + + ≤ , ∀a, b, c > a + bc b + ca c + ab 2abc Bài 1: Chứng minh : 13 Tham khảo thêm facebook.com Tri Thức Trẻ xin cảm ơn bạn download tài liệu - HD: Ta có : cộng vế b + c) 1 bc ( ≤ = ≤ a + bc 2a bc 2abc 2abc tương tự cho biểu thức , KÍNH CHÚC CÁC BẠN ƠN THI THÀNH CƠNG 14 Tham khảo thêm facebook.com ... điểm rơi Một số tốn bất đẳng thức mà biểu thức cần chứng minh phức tạp đưa bất đẳng thức đơn giản cách đặt biến mới, ta chọn cách đổi biến để giải, lớp tốn thường gặp kỳ thi Đại học – Cao đẳng Vì... Nhận xét: Ở tốn thuộc lớp bất đẳng thức có điều kiện Đối với lớp bất đẳng thức ta thường có hướng khai thác điều kiện sau: Khai thác điều kiện kết hợp với bất đẳng thức kinh điển để giới hạn miền... – Cao đẳng Vì cách đề thi thường xây dựng bất đẳng thức cần chứng minh dựa bất đẳng thức biết qua vài phép đổi biến vừa đổi biến kết hợp với trượt biến có bất đẳng thức Khi đòi hỏi người giải