Đang tải... (xem toàn văn)
định nghĩa tập hợp trong toán học×kỹ thuật khăn trải bàn trong dạy học×những con số kỳ lạ trong toán học×kĩ thuật tổng hợp trong dạy học× Từ khóa kỹ thuật nhân giống cây trồngcam nang ky thuat nhan giong cay trongkỹ thuật đặt câu hỏi trong dạy họckỹ thuật đặt câu hỏi trong dạy học ở tiểu họckỹ thuật nuôi gà thả vườn toàn sinh họcthành tựu khoa học kỹ thuật của liên xô Mô tả
vn to an PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ Lê Phúc Lữ12 uy en Phương pháp nhân lượng liên hợp cách giải quen thuộc áp dụng nhiều toán giải phương trình hệ phương trình vô tỉ Cách giải đơn giản hiệu giúp ta tiếp cận toán theo hướng tự nhiên mà giúp ta tự tạo nhiều toán mẻ cách dễ dàng, thông qua tự rèn luyện thêm kỹ cho Trong viết này, tìm hiểu rõ phương pháp nhân lượng liên hợp điều cần ý áp dụng Kiến thức cần nhớ số toán mở đầu 1.1 Kiến thức cần nhớ nl Ở chương trình THCS, quen thuộc với toán biến đổi biểu thức vô tỉ cách dùng đại lượng phù hợp để khử nhằm làm xuất nhân tử Điều thực nhờ đẳng thức sau3 : /o • a2 − b2 = (a − b)(a + b) ⇔ a − b = a2 − b a+b • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ⇔ a − b = a3 − b a2 + ab + b2 • ··· :/ • a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2 ) ⇔ a − b = a4 − b (a + b)(a2 + b2 ) • an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + abn−2 + bn−1 ) Sử dụng ý tưởng này, toán phương trình hệ phương trình, nhóm thêm bớt đại lượng phù hợp vào biểu thức chứa làm xuất đa thức Nhờ việc phân tích đa thức thành nhân tử làm xuất thừa số chung, ta ht Sinh viên trường Đại học FPT, thành phố Hồ Chí Minh Nickname chienthan Diễn đàn Cùng vượt Đại dương http://onluyentoan.vn Bài viết trình bày lại chương trình soạn thảo LaTeX can_hang2007 Đề nghị bạn ghi rõ nguồn http://onluyentoan.vn đăng tải trang web khác Ở ta tạm hiểu biểu thức thỏa mãn điều kiện phép chia Lê Phúc Lữ v n đưa toán cho phương trình tích quen thuộc từ xử lý tiếp Tất nhiên có nhiều yếu tố khác cần ý với toán thông thường ý tưởng tổng quát là: Giả sử phương trình, hệ phương trình cần xét, có biểu thức dạng P (x) với P (x) đa thức Bằng cách nhẩm nghiệm, ta tìm x = a nghiệm Khi đó, ta thêm vào biểu thức đại lượng − P (a) để có biến đổi sau P (x) − P (x) − P (a) P (x) + P (a) to an P (a) = Đa thức P (x) − P (a) tử rõ ràng phân tích thành (x − a)G(x) nên sau làm công việc thêm bớt tương tự vào đại lượng lại, có nhân tử cần tìm Như thế, tổng quát hơn, ta có phương trình dạng f (x) = với f (x) xác định miền D ta biết có nghiệm x = a ∈ D ta biến đổi đưa dạng (x − a)g(x) = quy xử lý phương trình g(x) = 1.2 Các ví dụ minh họa uy en Trong nhiều trường hợp g(x) vô nghiệm D, nhiên số trường hợp khác nghiệm điều đòi hỏi nhiều cách xử lý thích hợp Ví dụ Giải phương trình sau: √ √ √ √ √ x + + x + + x + + x + 16 = x + 100 nl Lời giải Điều kiện: x −1 Ta thấy x = nghiệm phương trình nên tiến hành biến đổi sau √ √ √ √ √ x+1−1 + x+4−2 + x+9−3 + x + 16 − = x + 100 − 10 :/ Xét phương trình: /o (x + 1) − 12 (x + 4) − 22 (x + 9) − 32 (x + 16) − 42 (x + 100) − 102 ⇔ √ + √ + √ + √ = √ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + x + 100 + 10 x x x x x +√ +√ +√ =√ ⇔√ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + x + 100 + 10 x=0 1 1 ⇔ √ +√ +√ +√ =√ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + x + 100 + 10 1 1 +√ +√ +√ =√ x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + x + 100 + 10 √ √ Ta có x + 100 + 10 > x + + > nên suy √ √ 1 >√ , x+1+1 x + 100 + 10 1 1 √ +√ +√ +√ >√ , x+1+1 x+4+2 x+9+3 x + 16 + x + 100 + 10 ht (1) ∀x −1 phương trình (1) vô nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình sau: √ √ (a) x + x + = 3; √ 2x + + √ x = −3 Phương trình cho tương đương với ye nt oa n Lời giải (a) Điều kiện xác định: x (b) Phương pháp nhân lượng liên hợp giải toán phương trình vô tỉ √ √ x−1 x−1 x−1 + x+3−2 =0⇔ √ +√ =0 √ 3 x+3+2 x2 + x + x−1=0 1 1 +√ =0⇔ ⇔ (x − 1) √ √ √ +√ =0 √ x+3+2 x2 + x + 3 x+3+2 x2 + x + Từ đây, ta thấy x = nghiệm phương trình Xét x = 1, theo biến đổi trên, ta có 1 √ +√ = √ 3 x+3+2 x + x+1 √ Tuy nhiên, điều xảy x + + > √ x2 + √ x+1= √ x+ 2 + > Vậy phương trình cho có nghiệm x = √ ⇔ /o nl u (b) Phương trình cho tương đương với √ x=0⇔ √ (2x + 1) − + 3x=0 √ (2x + 1)2 + 2x + + √ √ √ 2x x + x = ⇔ x + 1 = √ √ 2 3 (2x + 1) + 2x + + (2x + 1) + 2x + + x=0 √ x2 ⇔ +1=0 √ 3 (2x + 1) + 2x + + √ x2 + > 0, √ (2x + 1) + 2x + + :/ Dễ thấy 2x + − + ∀x ∈ R nên từ trên, ta suy x = nghiệm phương trình cho Ví dụ Tìm tất nghiệm thực phương trình sau: √ √ √ x2 + 15 = x2 + x2 + − ht Lời giải Phương trình cho tương đương với √ √ √ x2 + 15 − = x2 − + x2 + − ⇔√ x2 − 3(x2 − 1) x2 − √ √ = √ + 3 x2 + 15 + x2 + + x4 + x2 + Lê Phúc Lữ Như vậy, ta có x2 = √ = √ +√ 3 + 15 + x +8+3 x + x +1 √ √ Tuy nhiên, x2 + + < x2 + 15 + nên ta có x2 √ ye nt oa n √ 1 √ x3 − + x3 + • VT x2 +x x + x + 10 +5 x+3 (x − 1)2 (x + 1)2 +4 + 2x2 > + x √ Mặt khác, theo bất đẳng thức AM-GM x = (x − 1) + x − Do vậy, ta có √ √ x √ · (4x + 3) x − 1(4x + 3) x − 1(4x + 3) 4x + √ = < x + < + x2 − 3x + 2x 2x x + + 2x √ √ vô nghiệm Và thế, ta Điều chứng tỏ phương trình + x2 − 3x + = √x−1(4x+3) x+3+2x đến kết luận x = nghiệm phương trình cho /o nl u Ví dụ Giải phương trình sau: √ √ (a) + x − = 2x + x + 6; √ √ (b) 3x + − − x + 3x2 − 14x − = Lời giải (a) Điều kiện: x 2(x − 3) + (Đề thi Học viện Kỹ thuật Quân sự, 2000) (Đề thi Đại học khối B, 2010) Ta có phương trình cho tương đương với √ √ (x + 6) − 9(x − 2) √ x + − x − = ⇔ 2(x − 3) + √ =0 x+6+3 x−2 x=3 √ √ x+6+3 x−2=4 :/ √ ⇔ (x − 3) − √ =0⇔ x+6+3 x−2 Xét phương trình √ √ x + + x − = Bình phương hai vế để khử căn, ta 10x − 12 + (x + 6)(x − 2) = 16 ⇔ (x + 6)(x − 2) = 14 − 5x x 14 x 14 ⇔ ⇔ 5 9(x + 6)(x − 2) = (14 − 5x)2 x2 − 11x + 19 = 14 √ 11 − 5√ √ ⇔x= ⇔ 11 − 11 + x = ∨x= 2 ht 2 x Vậy tập nghiệm phương trình cho T = √ 11−3 , (b) Điều kiện: − 13 x Phương trình cho tương đương với √ √ 3x + − − − x − + 3x2 − 14x − = ye nt oa n 3(x − 5) x−5 ⇔√ + (3x + 1)(x − 5) = +√ 6−x+1 3x + + x=5 ⇔ √ + 3x + = +√ 6−x+1 3x + + Dễ thấy √ + 3x + > 0, +√ 6−x+1 3x + + Phương pháp nhân lượng liên hợp giải toán phương trình vô tỉ ∀x ∈ − , nên trường hợp thứ hai xảy Từ ta suy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ Giải phương trình bất phương trình sau: √ √ √ √ (a) 2x + + 2x + = 2x2 + 2x2 + 1; √ √ (b) − x + + x = x3 + x2 − 4x − + |x| + |x − 1|; (c) x2 + x + + x2 − x+4 √ x2 + /o nl u √ √ Lời giải (a) Ta thấy hai vế có dạng hàm số f (t) = t + t + nên dùng tính đơn điệu hàm số để giải dễ dàng Ở đây, ta dùng phương pháp nhân liên hợp nhằm làm xuất nhân tử chung hai vế Trước hết, ta viết lại phương trình dạng √ √ √ √ 3 2x2 + − 2x + + 2x2 − 2x + = Bằng cách nhân lượng liên hợp tương ứng, ta có √ 2x2 + − √ 2x2 − 2x − 2x + = √ :/ (2x2 + 1)2 + 2x2 − √ (2x2 )2 + (2x2 + 1)(2x + 2) + (2x + 2)2 2x2 − 2x − 2x + = 3 = 2x2 (2x + 1) + = (2x + 1)2 Do đó, phương trình cho tương đương với (2x2 − 2x − 1) 1 + A B = ht Tuy nhiên, A, B > nên từ ta có √ √ − + 2x2 − 2x − = ⇔ x = ∨x= 2 Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = √ 1− x = √ 1+ 2x2 − 2x − A 2x2 − 2x − B Lê Phúc Lữ (b) Điều kiện: −2 10 x Phương trình cho tương đương với √ √ − x − |x − 1| + + x − |x| = x3 + x2 − 4x − −x2 + x + −x2 + x + = (x + 2)(x + 1)(x − 2) +√ − x + |x − 1| + x + |x| (2 − x)(x + 1) (2 − x)(x + 1) ⇔√ + √ + (x + 2)(x + 1)(2 − x) = − x + |x − 1| + x + |x| ⇔ (2 − x)(x + 1) √ Do √ 3−x+|x−1| + √ 2+x+|x| ye nt oa n ⇔√ 1 + (x + 2) = +√ − x + |x − 1| + x + |x| + (x + 2) > 0, ∀x ∈ [−2, 3] nên từ trên, ta có (2 − x)(x + 1) = ⇔ x = −1 ∨ x = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = −1 x = (c) Điều kiện: x > −4 Bất phương trình cho tương đương với x2 + x + −1 x+4 x2 +x+1 x+4 ⇔2· x2 +x+1 x+4 +x −3 +1 /o nl u ⇔ −1 + x2 − (x2 − 3) (x + 4)(x2 + x + 1) + x + + (x2 − 3) + √ −1 x2 + −1 x2 +1 √ +1 x2 +1 2+ √ x2 − √ x2 + x2 + 1 √ + x2 + Và thế, ta thu (x2 − 3) (x + 4)(x2 + x + 1) + x + +1+ 2+ √ x2 :/ Dễ thấy biểu thức dấu ngoặc thứ hai dương với x > −4, ta viết lại bất phương trình thành √ √ x2 − ⇔ − x √ √ Kết hợp với điều kiện xác định x > −4, ta thu T = − 3, tập nghiệm bất phương trình cho ht Nhận xét Với câu (b) ví dụ này, ta thấy có xuất thêm đa thức chứa dấu trị tuyệt đối |x − 1|, |x| Tưởng chừng điều gây khó khăn việc giải quyết, phương trình chứa dấu trị tuyệt đối thường khó phân tích thành nhân tử Nhưng nhờ việc sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, toán giải nhanh chóng nhẹ nhàng Khi ấy, ta cần chuyển lượng vị trí sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp đủ Cách tiếp cận nhân lượng liên hợp cho phép ta dám biến đổi biểu thức cách tự hơn, thoải mái hơn, không bị gò bó nhiều việc lựa chọn biểu thức thật thích hợp hay đánh cách khác ... thành nhân tử Nhưng nhờ việc sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp, toán giải nhanh chóng nhẹ nhàng Khi ấy, ta cần chuyển lượng vị trí sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp đủ Cách tiếp cận nhân. .. ta dùng phương pháp nhân liên hợp nhằm làm xuất nhân tử chung hai vế Trước hết, ta viết lại phương trình dạng √ √ √ √ 3 2x2 + − 2x + + 2x2 − 2x + = Bằng cách nhân lượng liên hợp tương ứng, ta có... 6−x+1 3x + + Dễ thấy √ + 3x + > 0, +√ 6−x+1 3x + + Phương pháp nhân lượng liên hợp giải toán phương trình vô tỉ ∀x ∈ − , nên trường hợp thứ hai xảy Từ ta suy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ