Thặng dư chính phương, kí hiệu Legendre, kí hiệu Jacobi và ứng dụng

Header Page of 126 B GIO DC V O TO I HC NNG TRIU TH VY VY THNG D CHNH PHNG, K HIU LEGENDRE, K HIU JACOBI V NG DNG Chuyờn ngnh: Phng phỏp Toỏn s cp Mó s: 60.46.40 TểM TT LUN VN THC S KHOA HC Nng - Nm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Cụng trỡnh ủc hon thnh ti I HC NNG Ngi hng dn khoa hc: TS NGUYN DUY THI SN Phn bin 1: TS Nguyn Ngc Chõu Phn bin 2: GS TSKH Nguyn Vn Mu Lun ủc bo v trc hi ủng chm Lun tt nghip thc s Khoa hc hp ti i hc Nng vo ngy 23 thỏng 10 nm 2011 Cú th tỡm hiu lun ti: - Trung tõm Thụng tin - Hc liu, i hc Nng - Th vin trng i hc S phm, i hc Nng Footer Page of 126 Header Page of 126 M U Lý chn ủ ti Cú th núi: thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi l nhng mng kin thc hay v khú liờn quan ủn lý thuyt ủng d, ủng thi cú nhiu ng dng S hc Vỡ th, cỏc kỡ thi chn hc sinh gii cỏc nc (nht l cỏc kỡ thi chn ủi tuyn Olympic Toỏn), nhng mng kin thc ny thng ủc quan tõm ủỏng k nc ta, theo ch chỳng tụi bit, mói ủn nm 2008 mi cú mt ti liu ting Vit [2] chớnh thc ủ cp ủn c ba mng thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre v kớ hiu Jacobi; ủú vic ging dy cỏc kin thc ny mt cỏch ủy ủ bc trung hc ph thụng gp khụng ớt khú khn, nht l m giỏo viờn thng cha ủc ủo to chuyờn sõu v chỳng Vỡ nhng lý trờn, tụi chn ủ ti Thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi v ng dng ủ nghiờn cu Mc ủớch v nhim v nghiờn cu Chng 1, chng ca lun s trỡnh by mt cỏch ủy ủ nht theo cỏch hiu ca chỳng tụi v lý thuyt thng d chớnh phng, thng d khụng chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi vi nhiu vớ d minh Trong chng 3, chỳng tụi tỡm cỏch cỏc ng dng v xõy dng mt h thng cỏc bi toỏn theo mc ủ t d ủn khú liờn quan ủn cỏc ủ v thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi i tng v phm vi nghiờn cu 3.1 i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu l thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi v ng dng Footer Page of 126 Header Page of 126 3.2 Phm vi nghiờn cu Nghiờn cu lý thuyt v ng dng ca thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi da trờn lý thuyt v ủng d Phng phỏp nghiờn cu Trong lun ny, chỳng tụi thu thp v ủc cỏc ti liu tỡm ủc t nhiu ngun khỏc (ủc bit l cỏc th mc trờn internet cú liờn quan ủn ủ ti) ủ phõn tớch, nghiờn cu lý thuyt v thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi v vit li mt cỏch h thng theo cỏch chỳng tụi hiu í ngha khoa hc v thc tin ca ủ ti Xõy dng ủc mt ti liu tham kho b ớch cho giỏo viờn v hc sinh trung hc ph thụng v thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi, ủú phn lý thuyt ủc chng minh cht ch v cỏc bi toỏn ủc h thng tng ủi ủy ủ v cp nht theo mc ủ t d ủn khú Cu trỳc ca lun Ngoi phn m ủu v kt lun, lun gm cú chng: Chng Thng d chớnh phng, thng d khụng chớnh phng v kớ hiu Legendre Chng Kớ hiu Jacobi v s gi nguyờn t Euler Chng Mt s ng dng v cỏc bi toỏn Footer Page of 126 Header Page of 126 Chng THNG D CHNH PHNG THNG D KHễNG CHNH PHNG K HIU LEGENDRE 1.1 Thng d chớnh phng - thng d khụng chớnh phng nh ngha 1.1 Cho m l s nguyờn dng v a l s nguyờn nguyờn t cựng vi m Nu ủng d thc x a (mod m ) cú nghim thỡ ta núi rng a l mt thng d chớnh phng ca m Ngc li, nu ủng d thc x a (mod m ) khụng cú nghim, ta núi rng a l mt thng d khụng chớnh phng ca m Vớ d 1.1 xỏc ủnh cỏc s nguyờn l thng d chớnh phng ca 13, chỳng ta tớnh bỡnh phng ca cỏc s nguyờn 1, 2, , 12 Ta thy rng: 12 12 ( mod 13 ) ; 22 112 ( mod 13) 10 ( mod 13) ; ( mod 13 ) 2 2 ( 12 mod 13 ); 10 ( mod 13) 2 Nh vy, cỏc thng d chớnh phng ca 13 l 1, 3, 4, 9, 10, 12; cỏc s nguyờn 2, 5, 6, 7, 8, 11 l cỏc thng d khụng chớnh phng ca 13 Trong chng ny, chỳng ta s nghiờn cu thng d chớnh phng, thng d khụng chớnh phng ca s nguyờn t l p Chỳng ta s ch rng, nu p l mt s nguyờn t l thỡ s cỏc thng d chớnh phng ca p bng s cỏc thng d khụng chớnh phng ca p S = {1, 2, , p 1} Footer Page of 126 Header Page of 126 B ủ 1.1 Cho p l mt s nguyờn t l v a l mt s nguyờn nguyờn t cựng vi p Khi ủú, ủng d thc x a (mod m) hoc l khụng cú nghim, hoc l cú ủỳng hai nghim khụng ủng d mod p B ủ trờn dn dt chỳng ta ủn ủnh lớ sau: nh lớ 1.1 Nu p l mt s nguyờn t l thỡ cú ủỳng chớnh phng ca p v p thng d p thng d khụng chớnh phng ca p S = {1, 2, , p 1} Mt kớ hiu liờn kt ủc bit vi thng d chớnh phng ủc mụ t ủnh ngha sau: 1.2 Kớ hiu Legendre 1.2.1 nh ngha 1.2 Cho p l mt s nguyờn t l v a l mt s a nguyờn nguyờn t cựng vi p Kớ hiu Legendre ủc p ủnh ngha nh sau: a a thặng d phơng p = p a thặng d không phơng p Kớ hiu ny ủc ủt tờn sau nh Toỏn hc ngi Phỏp l Adrien-Marie Legendre gii thiu vic s dng kớ niu ny a Vớ d 1.2 Theo vớ d 1.1, kớ hiu Legendre , vi 13 a = 1, , , 12 , cú giỏ tr nh sau: 10 12 = = = = = =1; 13 13 13 13 13 13 11 = = = = = = 13 13 13 13 13 13 Footer Page of 126 Header Page of 126 1.2.2 Tiờu chun Euler Cho p l mt s nguyờn t l v a l mt s nguyờn nguyờn t cựng vi p Khi ủú: p a a ( mod p ) p Vớ d 1.3 Trng hp p = 13 , ta cú: 13 = 36 = ( 27 ) 12 ( mod13) Vỡ vy, = , tc l l mt thng d chớnh phng ca 13 13 1.2.3 Cỏc tớnh cht ca kớ hiu Legendre nh lớ 1.2 Cho p l mt s nguyờn t l v a , b l cỏc s nguyờn nguyờn t cựng vi p Khi ủú: a b (i) Nu a b ( mod p ) thỡ = p p a b ab (1.1) (ii) = p p p (1.2) a2 =1 p (1.3) (iii) 317 Vớ d 1.4 Tớnh 13 Vỡ 317 ( mod13 ) nờn theo cụng thc (1.1), ta ủc: 317 = = 13 13 S dng tiờu chun Euler, chỳng ta cú th phõn lp nhng s nguyờn t cú l mt thng d chớnh phng hoc l mt thng d khụng chớnh phng nh lớ 1.3 Nu p l mt s nguyờn t l thỡ Footer Page of 126 Header Page of 126 = p nếu p ( mod ) p ( mod ) Mt kt qu ủp sau ủõy ca nh toỏn hc Gauss cung cp mt tiờu chun khỏc ủ xỏc ủnh no s nguyờn a nguyờn t cựng vi s nguyờn t p l mt thng d chớnh phng ca p B ủ 1.2 (B ủ Gauss) Cho p l mt s nguyờn t l v a l mt s nguyờn nguyờn t cựng vi p Nu s l s cỏc thng d dng nht modulo p ca cỏc s nguyờn a , a , 3a , , ln hn p a m a p s thỡ = ( 1) p Vớ d 1.5 Cho a = v p = 13 S dng b ủ Gauss, tớnh 13 Ta tớnh cỏc thng d dng nht modulo13 ca 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5 v 6.5 ú tng ng l 5, 10, , 7, 12 v Cú s cỏc s ny ln hn 13 Vy, = ( 1) = 13 S dng b ủ Gauss, ta cú th ủnh rừ ủc ủim ca tt c cỏc s nguyờn t cú l mt thng d chớnh phng nh lớ 1.4 Nu p l mt s nguyờn t l thỡ p = ( ) p (1.4) Nh vy, l mt thng d chớnh phng ca cỏc s nguyờn t p tha p ( mod 8) v l mt thng d khụng chớnh phng ca cỏc s nguyờn t p tha p ( mod8 ) Footer Page of 126 Header Page of 126 = nu p ( mod 8) ; p = nu p ( mod8 ) p Vớ d 1.6 Theo ủnh lớ 1.4, ta thy rng: = = = =1 ; 17 23 31 2 = = = = = = 11 13 19 29 89 Vớ d 1.7 Tớnh 13 89 Ta cú 89 ( mod13 ) nờn = = 13 13 13 13 Vỡ 13 ( mod ) nờn theo ủnh lớ 1.3, ta cú = 13 T 13 ( mod ) , theo ủnh lớ 1.4, ta cú = 13 89 Vy = 13 Tip theo, chỳng ta trỡnh by ủnh lut v tớnh thun nghch chớnh phng, mt nn tng quan trng cho s ủỏnh giỏ kớ hiu Legendre 1.3 nh lut v tớnh thun nghch chớnh phng Cho p v q l hai s nguyờn t khỏc nhau, q l mt thng d chớnh phng ca p Khi ủú, ta cú bit ủc rng p l mt thng d chớnh phng ca q ? nh lớ sau ủõy giỳp ta tr li cõu hi ny nh lớ 1.5 (nh lut v tớnh thun nghch chớnh phng) Cho p v q l hai s nguyờn t l khỏc Khi ủú Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 10 p q p q = ( ) 2 q p p l s chn p ( mod ) v l s l Ta chỳ ý rng s p ( mod ) Do vy: p q l chn nu p ( mod ) hoc q ( mod ) ; 2 p q l l nu p ( mod ) v q ( mod ) 2 T ủú, ta cú: p q p ( mod ) q ( mod ) = q ( mod ) q p p ( mod ) p q Vỡ giỏ tr ca v ch cú th l hoc nờn: q p q p p = q q p p ( mod ) q ( mod ) p ( mod ) 13 q ( mod ) 17 Vớ d 1.8 Cho p = 13 v q = 17 Tớnh v 17 13 Ta cú p q ( mod ) 13 17 Do vy = 17 13 17 Vỡ 17 ( mod13 ) nờn theo (1.1), ta cú = 13 13 22 Theo (1.3), ta cú = = 13 13 Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 13 11 17 Vy = = 17 13 Vớ d 1.9 Cho p = v q = 19 Tớnh 19 Ta cú p q ( mod ) p dng ủnh lut v tớnh thun nghch chớnh phng, ta ủc: 19 = 19 19 Vỡ 19 ( mod ) nờn theo (1.1), ta cú = Li cú ( mod ) , s dng ủnh lut v tớnh thun nghch chớnh phng mt ln na, ta ủc = Vỡ ( mod ) v ( mod ) nờn theo (1.1) v (1.6), ta ủc: = = 5 Vy = 19 713 Vớ d 1.10 Bit rng 1009 l s nguyờn t Tớnh 1009 Ta phõn tớch 713 = 23.31 Theo (1.2): 713 23.31 23 31 = = 1009 1009 1009 1009 T 1009 ( mod ) , ta ủc: 23 1009 = ; 1009 23 Footer Page 11 of 126 31 1009 = 1009 31 Header Page 12 of 126 12 Vỡ 1009 20 ( mod 23 ) , 1009 17 ( mod 31) nờn theo (1.1): 1009 20 = ; 23 23 1009 17 = 31 31 Theo (1.2) v (1.3), ta cú: 2 20 = = = 23 23 23 23 23 Do ( mod ) nờn theo ủnh lut v tớnh thun nghch chớnh phng: 23 = 23 Vỡ 23 ( mod ) nờn theo (1.2): 23 = p dng ủnh lut v tớnh thun nghch chớnh phng mt ln na, ta ủc = Vỡ ( mod3 ) nờn theo (1.1) v (1.6), ta ủc = = 3 23 Nh vy = 1009 17 31 14 17 Tng t, = = = = = 31 17 17 17 17 17 22 = = = = 3 31 Nh vy = 1009 Footer Page 12 of 126 = Header Page 13 of 126 13 713 Vy =1 1009 B ủ 1.3 Nu p l mt s nguyờn t l v a l mt s nguyờn l khụng chia ht cho p thỡ a T (a, p) = ( 1) p p ja j =1 p ủú, T ( a , p ) = 11 Vớ d 1.11 Tớnh v 11 S dng b ủ 1.3, ta tớnh tng: 7j 14 21 28 35 11 = 11 + 11 + 11 + 11 + 11 = + + + + = j =1 Vy = ( 1) = 11 Tng t, ta cú: 11 j 11 22 33 = + + = + + = j =1 11 Vy = ( 1) = H qu Nu p l s nguyờn t l thỡ a) = p b) = p Footer Page 13 of 126 nếu nếu p ( mod12 ) p ( mod12 ) p ( mod ) p ( mod ) Header Page 14 of 126 14 Chng K HIU JACOBI V S GI NGUYấN T EULER Trong phn ny, chỳng ta ủnh ngha kớ hiu Jacobi Kớ hiu ny ủc gii thiu bi nh Toỏn hc ngi c tờn l Carl Jacobi Kớ hiu Jacobi l mt s m rng ca kớ hiu Legendre Nú ủc s dng ủ ủỏnh giỏ kớ hiu Legendre v ủnh ngha s gi nguyờn t Euler 2.1 Kớ hiu Jacobi nh ngha 2.1 Cho n l mt s nguyờn dng l cú phõn tớch tiờu ( ) ( chun n = p1t p2 t pm t ( pi i = 1, m l cỏc s nguyờn t, ti i = 1, m m ) l cỏc s nguyờn dng) v a l mt s nguyờn nguyờn t cựng a vi n Khi ủú, kớ hiu Jacobi ủc ủnh ngha nh sau: n t t t a a a m a a = = t t t n p1 p2 pm m p1 p2 pm a a a l cỏc kớ hiu Legendre , , , p1 p2 pm ủú Vớ d 2.1 T ủnh ngha kớ hiu Jacobi, ta thy rng: 2 = = = ( 1)( 1) = ( 1) ; 75 3.5 37 37 37 37 37 = = = 385 5.7.11 11 11 2 = ( 1) = ( 1) ( 1) = 11 Khi n l s nguyờn t, kớ hiu Jacobi chớnh l kớ hiu Legendre Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 15 ( ) Ta thy rng, nu x a ( mod n ) cú nghim v pi i = 1, m l c nguyờn t ca n thỡ x a ( mod pi ) cng cú nghim Vỡ vy, a = Do ủú: pi t t t a a a m a a = = = t1 t2 t n p1 p2 pm m p1 p2 pm Ngc li, cho = = ( 1)( 1) = 15 n = 15 v a = Tuy nhiờn, ủng Ta d cú thc x ( mod15 ) khụng cú nghim x ( mod ) v x ( mod ) a khụng cú nghim Nh vy, nu = , ta cha th kt lun ủc n x a ( mod n ) cú nghim hay khụng 2.2 Cỏc tớnh cht ca kớ hiu Jacobi nh lớ 2.1 Cho n l s nguyờn dng l v a , b l hai s nguyờn nguyờn t cựng vi n Khi ủú a b (i) Nu a b ( mod n ) thỡ = n n (2.1) (ii) ab a b = n n n (2.2) (iii) n = ( ) n (2.3) (iv) n = ( 1) n (2.4) Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 16 2.3 nh lut v tớnh thun nghch ủi vi kớ hiu Jacobi nh lớ 2.2 Cho n , m l hai s nguyờn dng l nguyờn t cựng Khi ủú m n n m 2 = ( ) m n Bõy gi, chỳng ta s gii thiu mt thut toỏn ủ ủỏnh giỏ kớ hiu Jacobi Cho a v b l hai s nguyờn dng vi ( a , b ) = 1, a > b Gi R0 = a , R1 = b S dng thut toỏn chia, chia R0 cho R1 v phõn tớch s d thnh tớch ca ly tha cao nht ca v mt s nguyờn dng l, ta ủc: R0 = R1 q1 + s1 R2 , ủú, s1 l mt s nguyờn khụng õm v R2 l mt s nguyờn dng l vi R2 < R1 Ta li ly R1 chia cho R2 v phõn tớch s d thnh tớch ca ly tha cao nht ca v mt s nguyờn dng l, ta ủc: R1 = R2 q2 + s2 R3 , ủú, s2 l mt s nguyờn khụng õm v R3 l mt s nguyờn dng l vi R3 < R2 Tip tc nh vy cho ủn Rn = , tc l: R2 = R3 q3 + s3 R4 Rn = Rn qn + sn2 Rn Rn = Rn qn + sn1 , ủú, s j l mt s nguyờn khụng õm v R j +1 l mt s nguyờn dng l vi R j +1 < R j , j = 2, n Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 17 Ta minh dóy cỏc ủng thc ny bi vớ d sau: Vớ d 2.2 Cho a = 401, b = 111 Khi ủú: 401 = 111.3 + 22 17 111 = 17.6 + 0.9 17 = 9.1 + 23.1 nh lớ 2.3 Cho a v b l hai s nguyờn dng vi a > b Khi ủú: R R1 R2 R2 R3 R R R R s1 + s2 + + sn1 n + + + + n2 n a 8 2 2 2 = ( 1) b 2 ủú, cỏc s nguyờn R j v s j , j = 1, n ủc mụ t nh trờn 401 Vớ d 2.3 Tớnh 111 T vớ d 2.2, ta ủc: 111 17 1111 17 17 + + + + 401 8 2 2 = = ( 1) 111 2 2.4 S gi nguyờn t Euler Cho p l mt s nguyờn t l v b l mt s nguyờn nguyờn t cựng vi p Khi ủú, theo tiờu chun Euler: b p b ( mod p ) p Vỡ vy, nu ta kim tra ủc n l s nguyờn t, b l mt s nguyờn vi ( b , n ) = thỡ ta ủc: b b n b ( mod n ) n ủú, l kớ hiu Jacobi n Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 18 Nu chỳng ta ch ủc rng ủng d thc b l sai, tc l b n n b ( mod n ) n b ( mod n ) thỡ n l hp s n Vớ d 2.4 Cho n = 341 v b = Ta tớnh ủc 3411 = 2170 ( mod 341) Li cú, t 341 ( mod ) , theo ủnh lớ 2.1, ta ủc = 341 Do ủú 3411 ( mod 341) 341 Vy n = 341 l hp s nh ngha 2.2 Cho b l mt s nguyờn dng Nu n l mt hp s nguyờn dng l tha ủng d thc b n b ( mod n ) n thỡ n ủc gi l s gi nguyờn t Euler c s b Mt s gi nguyờn t Euler c s b l mt hp s, nú ủc trỏ hỡnh nh l mt s nguyờn t bng cỏch tha ủng d thc ủc cho ủnh ngha Vớ d 2.5 Cho n = 1105 v b = Ta cú: 1105 = 5.13.17 2 1105 1105 1105 Footer Page 18 of 126 ( ) = 2552 = = (16 ) 138 ( mod ) (( ) ) = (( 64) ) = ( ( ) ) = ( (16 ) ) = 2552 = = 2552 138 46 2 69 2 46 ( mod13 ) 69 ( mod17 ) Header Page 19 of 126 Suy 1105 19 = 2552 ( mod 1105 ) T 1105 ( mod 8) nờn =1 1105 Do ủú 1105 ( mod 1105 ) 1105 Vỡ 1105 l hp s nờn 1105 l s gi nguyờn t Euler c s nh lớ 2.4 Nu n l s gi nguyờn t Euler c s b thỡ n l s gi nguyờn t c s b nh lớ 2.5 Nu n l s gi nguyờn t mnh c s b thỡ n l s gi nguyờn t Euler c s b Nh ta ủó bit mt s gi nguyờn t Euler c s b cha hn l s gi nguyờn t mnh c s b Tuy nhiờn, gp ủiu kin rng but, mt s gi nguyờn t Euler c s b l s gi nguyờn t mnh c s b Hai ủnh lớ sau ủõy cho chỳng ta bit ủiu ủú nh lớ 2.6 Nu n ( mod ) v n l s gi nguyờn t Euler c s b thỡ n l s gi nguyờn t mnh c s b b nh lớ 2.7 Nu n l s gi nguyờn t Euler c s b v = thỡ n n l s gi nguyờn t mnh c s b Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 20 Chng MT S NG DNG V CC BI TON 3.1 Chng minh ủng d thc bc hai cú dng ax + bx + c ( mod p ) cú nghim vi p l s nguyờn t l, (a, p) = Xột ủng d thc ax + bx + c ( mod p ) (3.1) vi p l s nguyờn t l v ( a , p ) = Vỡ ( a , p ) = nờn ta cng cú ( 4a , p ) = ng d thc (3.1) tng ủng vi ( ) a ax + bx + c ( mod p ) S dng phõn tớch a ( ax + bx + c ) = ( ax + b ) ( b2 ac ) , ta ủc: ( 2ax + b ) ( b2 4ac ) ( mod p ) t y = ( ax + b ) v d = ( b2 4ac ) , ta ủc: y d ( mod p ) Nu x x0 ( mod p ) (3.2) l nghim ca (3.1) thỡ y ( ax + b )( mod p ) tha (3.2) Ngc li, nu y y0 ( mod p ) l nghim ca (3.2) thỡ t 2ax ( y0 b )( mod p ) ta cú th tỡm ủc nghim ca (3.1) Bi toỏn Tỡm tt c cỏc thng d chớnh phng ca 29 Bi toỏn Tỡm giỏ tr ca cỏc kớ hiu Legendre sau: a) 29 Footer Page 20 of 126 b) 29 c) 29 Header Page 21 of 126 21 d) 127 e) 127 f) 127 Bi toỏn Nhng ủng d thc no sau ủõy cú nghim: a) x ( mod 29 ) b) x 28 ( mod 29 ) c) x ( mod 29 ) d) x ( mod 127 ) e) x 126 ( mod 127 ) f) x ( mod 127 ) Bi toỏn Chng minh rng x 196 ( mod 1357 ) cú nghim Bi toỏn ng d thc no sau ủõy cú nghim Tỡm nghim ca chỳng nu cú a) x + x + ( mod 19 ) ; b) x + x 13 ( mod 61) Bi toỏn Chng minh rng nu p l s nguyờn t cú dng k + thỡ x = p! l nghim ca ủng d thc x + ( mod p ) vi p = p 3.2 Tỡm nghim ca ủng d thc bc hai cú dng x a ( mod p n ) , n * vi p l s nguyờn t l v ( a , p ) = Bi toỏn Chng minh rng nu p l mt s nguyờn t l thỡ ủng d thc x a ( mod p n ) , n * a cú nghim v ch = p 3.3 Mt s bi toỏn khỏc Bi toỏn Chng minh rng 19 khụng phi l c ca n2 + vi bt kỡ s nguyờn n no Bi toỏn Khi cỏc s nguyờn dng a v b thay ủi cho c hai s 15a + 16b v 16a 15b ủu l cỏc s chớnh phng dng, hóy tỡm giỏ tr nht cú th cú ca {15a + 16b , 16a 15b} Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 n Bi toỏn 10 Cho k = 22 + vi n Chng minh rng k l s nguyờn t v ch k l mt c ca k +1 Bi toỏn 11 Cho m , n l cỏc s nguyờn dng tha A= ( m + 3) n 3m +1 l mt s nguyờn Chng minh rng A l s l Bi toỏn 12 Tớnh 22001 2003 + 2003 + 2003 + + 2003 Bi toỏn 13 Chng minh rng n + khụng cú c nguyờn t cú dng 8k + Bi toỏn 14 Chng minh rng nu a l mt thng d chớnh phng ca s nguyờn t p thỡ nghim ca x a ( mod p ) l a) x a n +1 ( mod p ) nu p = 4n + b) x a n +1 ( mod p ) hoc x 22 n +1 a n +1 ( mod p ) nu p = 8n + Bi toỏn 15 Chng minh rng phng trỡnh x = y khụng cú nghim nguyờn ( x , y ) Bi toỏn 16 a) Chng minh rng khụng tn ti cỏc s t nhiờn x , y cho 4xy x y l mt s chớnh phng b) Chng minh rng khụng tn ti cỏc s t nhiờn x , y , z cho 4xyz x y l mt s chớnh phng Bi toỏn 17 Chng minh rng nu n l s gi nguyờn t Euler c s a v b thỡ n cng l s gi nguyờn t Euler c s ab Bi toỏn 18 Chng minh rng nu n l s gi nguyờn t Euler c s b thỡ n cng l s gi nguyờn t Euler c s n b Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 23 3.4 Bi tham kho 1) Tớnh Tỡm mt s nguyờn x tha x ( mod 43 ) 43 2) Cho p l mt s nguyờn t Chng minh rng tn ti x tha p x x + nu v ch nu tn ti y ẻ Â tha p y y + 25 3) Cho p l mt s nguyờn t l Chng minh rng p a a =1 p = 4) Chng minh rng vi n ẻ Ơ , mi c nguyờn t p ca n n + ủu cú dng 12 k + 1, k ẻ Â 5) Chng minh rng mt s nguyờn a l thng d chớnh phng ca mi s nguyờn t p nu v ch nu a l s chớnh phng 6) Chng minh rng x2 + khụng phi l s nguyờn vi bt kỡ y2 cỏc s nguyờn x , y > 7) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng N l thng d chớnh phng ca tt c cỏc s nguyờn t ln hn N Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 24 KT LUN Lun ủó trỡnh by mt cỏch ủy ủ nht v lý thuyt thng d chớnh phng, thng d khụng chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi vi nhiu vớ d minh Lun ủó xõy dng ủc mt h thng cỏc bi toỏn liờn quan ủn cỏc ủ v thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi v trỡnh by mt s bi toỏn cỏc kỡ thi quc gia, quc t, mt s bi toỏn trờn cỏc Crux, Lun l mt ti liu tham kho cho giỏo viờn v hc sinh chuyờn Toỏn Footer Page 24 of 126  ... 14 of 126 14 Chng K HIU JACOBI V S GI NGUYấN T EULER Trong phn ny, chỳng ta ủnh ngha kớ hiu Jacobi Kớ hiu ny ủc gii thiu bi nh Toỏn hc ngi c tờn l Carl Jacobi Kớ hiu Jacobi l mt s m rng ca kớ... khụng chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi vi nhiu vớ d minh Lun ủó xõy dng ủc mt h thng cỏc bi toỏn liờn quan ủn cỏc ủ v thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre, kớ hiu Jacobi v trỡnh by mt s... hiu Legendre, kớ hiu Jacobi vi nhiu vớ d minh Trong chng 3, chỳng tụi tỡm cỏch cỏc ng dng v xõy dng mt h thng cỏc bi toỏn theo mc ủ t d ủn khú liờn quan ủn cỏc ủ v thng d chớnh phng, kớ hiu Legendre,