ề các mô-đun và vành GQP-nội xạ

1 Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHAN THỊ KIM TUYẾN VỀ CÁC MÔĐUN VÀ VÀNH GQP-NỘI XẠ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS TS Lê Văn Thuyết Phản biện 1: TS Nguyễn Ngọc Châu Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 23 tháng 10 năm 2011 * Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Trước hết ñề cập ñến việc mở rộng tính chất nội xạ (dựa vào tiêu chuẩn Baer) sau: Cho M R-môñun I iñêan phải R Xét giản ñồ sau với dòng khớp:  → I f i  → R h M Nếu tồn h ∈ HomR ( R, M ) cho hi = f với iñêan phải I R f ∈ HomR ( I , M ) , nói M nội xạ Chúng ta xét nhiều tổng quát hóa khái niệm nội xạ Trước hết ta lấy I iñêan phải lúc ñó có khái niệm P-nội xạ Điều tương ñương với f phép nhân trái phần tử m ∈ M ñó với phần tử I, ñồng thời tương ñương với tính chất linh hóa tử: lM rR ( a ) = Ma với a ∈ R , ñó l r linh hóa tử trái phải tương ứng Nếu vành R P-nội xạ R-môñun phải, R ñược gọi vành Pnội xạ phải Nhưng ñịnh nghĩa nội xạ trên, lấy I iñêan phải hữu hạn sinh có khái niệm F-nội xạ, lấy I iñêan phải hữu hạn sinh R ( ) , ta có khái niệm FP-nội xạ Rất dễ thấy: nội xạ ⇒ FP-nội xạ ⇒ F-nội xạ ⇒ P-nội xạ Tiếp theo, N K Kim, S B Nam J Y Kim ñã nói R-môñun phải M ñược gọi GP-nội xạ (= YJ-nội xạ Ming hay Footer Page of 126 Header Page of 126 Xue) nếu, với ≠ a ∈ R , tồn số nguyên dương n cho a n ≠ ñồng cấu R-môñun phải a n R → M mở rộng ñược thành R-ñồng cấu R → M Chúng ta xét ñến tính chất mở rộng nội xạ liên quan ñến linh hóa tử, cụ thể là: Mệnh ñề Cho R-môñun phải M, ñiều kiện sau tương ñương: ( (i) M GP-nội xạ (ii) Với phần tử ≠ a ∈ R , tồn n ∈ ) lM rR ( a n ) = Ma n ∗ cho a n ≠ , Dựa vào ñó, ta lại có khái niệm tổng quát: Một môñun M ñược gọi hầu nội xạ (almost principally injective – gọi tắt AP-nội xạ) nếu, với a ∈ R , tồn S-môñun X M cho lM rR ( a ) = Ma ⊕ X , tổng trực tiếp End ( M R ) môñun Theo Page Zhou, môñun M ñược gọi hầu nội xạ suy rộng (almost general principally injective – gọi tắt AGPnội xạ) nếu, với a ∈ R , tồn số nguyên dương n = n ( a ) S-môñun X M cho a n ≠ lM rR ( a n ) = Ma n ⊕ X , tổng trực tiếp End ( M R ) -môñun Từ ñó, ta có ñịnh nghĩa vành AP-nội xạ, AGP-nội xạ Dễ thấy: P-nội xạ ⇒ GP-nội xạ ⇒ AGP-nội xạ Page Zhou ñã cho ví dụ vành AGP-nội xạ mà không P-nội xạ Theo hướng tương tự, Nicholson Zhou ñã gọi môñun MR nội xạ tựa (quasiprincipally injective – gọi tắt QP-nội xạ) nếu, với R-ñồng cấu từ môñun M-cyclic M ñến M mở rộng ñược thành tự ñồng cấu M, hay tương ñương với, lS ( Ker ( s ) ) = Ss với s ∈ S = End ( M R ) QP-nội xạ ñược nghiên cứu ñầu tiên Wisbauer với tên nửa nội xạ (semi-injective) MR ñược gọi nội xạ tựa suy rộng (generalized quasiprincipally injective, gọi tắt GQP-nội xạ) nếu, với Footer Page of 126 Header Page of 126 ≠ s ∈ S = End ( M R ) , tồn số nguyên dương n cho s n ≠ R-ñồng cấu từ s n ( M ) ñến M mở rộng ñược thành tự ñồng cấu M, hay tương ñương với ≠ s ∈ S = End ( M R ) , tồn ( ) số nguyên dương n cho s n ≠ lS Ker ( s n ) = Ss n MR ñược gọi nội xạ hầu tựa suy rộng (generalized almost quasiprincipally injective – gọi tắt AQP-nội xạ suy rộng) nếu, với ≠ s ∈ S = End ( M R ) , tồn số nguyên dương n = n ( s ) ( ) iñêan trái X s ≤ S S cho s n ≠ lS Ker ( s n ) = Ss n ⊕ X s Từ ñịnh nghĩa dễ dàng thấy rằng: P-nội xạ ⇒ QP-nội xạ ⇒ GQP-nội xạ ⇒ AQP-nội xạ suy rộng Tuy nhiên, nguồn gốc mở rộng nội xạ, kể ñến giả thuyết Faith: Vành tựa Frobenius (viết tắt QF) ñã ñược Nakayama giới thiệu vào năm 1939 tổng quát ñại số nhóm nhóm hữu hạn trường Các vành ñã ñược ñặc trưng ñiều kiện iñêan phía iñêan linh hoá tử hữu hạn sinh Trong trường hợp này, vành Artin phải trái, nghĩa là, thoả mãn ñiều kiện dây chuyền giảm cho iñêan phía Năm 1940, Baer giới thiệu khái niệm môñun nội xạ ñến năm 1951, Ikeda ñã ñặc trưng vành QF thông qua vành Artin tự nội xạ, thực phía nội xạ phía Artin ñủ ñể ñặc trưng vành QF, sau ñó cần phía nội xạ phía Noether Sau ñó, nhiều ñặc trưng vành QF thông qua vành liên tục, vành QF-2, QF-3, vành nội xạ tối tiểu, luỹ ñẳng bé không bé vành Artin phải trái, vành FPF, ñã ñược nghiên cứu ñã có nhiều kết Giả thuyết tiếng Faith: Phải vành nửa nguyên sơ tự nội xạ phải tựa Frobenius? Footer Page of 126 Header Page of 126 Nhiều tác giả ñã tiếp cận giả thuyết Faith cách xét ñiều kiện hữu hạn theo tính chất nội xạ tính hoàn chỉnh vành Nhiều câu trả lời phần cho giả thuyết Faith ñã có trả lời cho toàn thể giả thuyết chưa Vì quan tâm ñến giả thuyết Faith, xét ñến tính chất nhiều loại môñun mở rộng môñun nội xạ ñã nêu ñể từ ñó, có ñặc trưng vành QF thông qua số ñiều kiện yếu Và có vành liên quan PF, H-vành, co-H vành lớp mở rộng QF Có nhiều tài liệu liên quan ñến vành QF, lớp môñun vành nội xạ mở rộng trên, ñặc biệt sách “Quasi – Frobenius Rings” ñược viết Nicholson Yousif [11] Tuy nhiên, có số báo ñề cập ñến môñun, vành GQP-nội xạ; vậy, xuất phát từ nhu cầu ñã nêu trên, chọn ñề tài “ Về môñun vành GQP-nội xạ” Chúng hy vọng tạo ñược tài liệu tham khảo tốt cho người muốn nghiên cứu sâu vành môñun, ñặc biệt vành môñun GQP-nội xạ, hy vọng tìm ñược số ví dụ minh họa thêm tính chất nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu nghiên cứu ñề tài Mục tiêu ñề tài nhằm tìm hiểu Về môñun vành GQP–nội xạ sau: - Tổng quan số kiến thức vành môñun - Tổng quan môñun vành GQP-nội xạ Nghiên cứu thêm vài tính chất môñun vành GQP-nội xạ Thêm số ví dụ minh họa ñể làm rõ ñối tượng nghiên cứu - Cuối cùng, tổng quan mối liên hệ môñun vành GQP-nội xạ với vành QF Phương pháp nghiên cứu Footer Page of 126 Header Page of 126 Đóng góp ñề tài Tổng quan môñun vành GQP-nội xạ Đưa số ví dụ minh họa Đưa thêm vài kết mở rộng môñun vành GQPnội xạ Tổng quan ñặc trưng vành QF qua môñun vành GQP-nội xạ Cấu trúc luận văn Luận văn ñược chia thành ba chương: Chương Tổng quan vành môñun Chương Môñun vành GQP-nội xạ Chương Mối liên hệ với vành QF Footer Page of 126 Header Page of 126 CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN 1.1 Vành 1.1.1 Các phần tử ñặc biệt iñêan vành 1.1.1.1 Định nghĩa Một phần tử a vành R ñược gọi lũy ñẳng a = a ; lũy linh a k = với k ∈ ∗ ñó; qui tồn a, b ∈ R : aba = a Hai lũy ñẳng e, f ∈ R ñược gọi trực giao với ef = fe = Một lũy ñẳng e ≠ vành R ñược gọi lũy ñẳng nguyên thủy ñược viết dạng tổng hai lũy ñẳng khác không trực giao với Lũy ñẳng e ∈ R ñược gọi lũy ñẳng ñịa phương eRe vành ñịa phương 1.1.1.2 Linh hóa tử Với tập hợp không rỗng A ⊂ R vành R, kí hiệu lR ( A ) = {b ∈ R / ba = 0, ∀a ∈ A} , linh hóa tử trái A, rR ( A ) = {b ∈ R / ab = 0, ∀a ∈ A} , linh hóa tử phải A Khi ñó, lR(A) iñêan trái, rR(A) iñêan phải R 1.1.1.3 Định nghĩa Một iñêan trái I vành R ñược gọi cực tiểu I ≠ thực không chứa iñêan trái khác R; cực ñại I ≠ R thực không ñược chứa iñêan trái khác R; lũy linh tồn k ∈ ∗ với I k = ; lũy ñẳng I = I Một iñêan thật I < R ñược gọi Footer Page of 126 Header Page of 126 nguyên tố với iñêan A, B ≤ R : AB ≤ I ⇒ A ≤ I B ≤ I ; nửa nguyên tố giao iñêan nguyên tố 1.1.1.4 Tính chất (1) Trong vành có ñơn vị, iñêan (trái, phải) thật ñược chứa iñêan (trái, phải) cực ñại (2) Trong vành có ñơn vị iñêan cực ñại iñêan nguyên tố (3) Trong vành có ñơn vị iñêan (trái) sinh phần tử qui lũy ñẳng 1.1.2 Các vành ñặc biệt 1.1.2.1 Định nghĩa Một vành R ñược gọi ñơn trái R ≠ iñêan trái không tầm thường R; ñơn R ≠ iñêan không tầm thường R; nửa ñơn trái R tổng trực tiếp iñêan trái cực tiểu; nửa ñơn R tổng trực tiếp iñêan cực tiểu; qui phần tử a ∈ R qui; nguyên tố iñêan nguyên tố; nửa nguyên tố iñêan nửa nguyên tố 1.1.2.2 Tính chất vành nửa ñơn 1.1.2.3 Tính chất vành qui 1.1.2.4 Tính chất vành nửa nguyên tố 1.1.2.5 Vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh, nửa nguyên sơ, nửa qui Cho vành R I iñêan Khi ñó, với lũy ñẳng f vành thương R / I ñều tồn lũy ñẳng e vành R cho e − f ∈ I , ta gọi lũy ñẳng nâng ñược môñulo I (mỗi lũy ñẳng f vành thương R / I nâng ñược ñến lũy ñẳng e vành R) Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Một vành R ñược gọi nửa hoàn chỉnh R/J nửa ñơn lũy ñẳng nâng môñulo J Một iñêan A vành R ñược gọi T-lũy linh phải dãy a1 , a2 , , an , phần tử A, tồn n ∈ , n ≥ cho an an −1 a2 a1 = Một vành R ñược gọi hoàn chỉnh phải R nửa hoàn chỉnh J T-lũy linh phải Mọi vành Artin phải (hoặc trái) R nửa hoàn chỉnh R/J nửa ñơn theo ñịnh lí Wedderburn-Artin, lũy ñẳng nâng môñulo J J lũy linh Một vành R ñược gọi nửa nguyên sơ R / J nửa ñơn J lũy linh Vì R gọi nửa nguyên sơ nửa hoàn chỉnh J lũy linh Mọi vành Artin trái phải nửa nguyên sơ Một vành R ñược gọi nửa qui nếu, R / J qui lũy ñẳng nâng lên môñulo J; tương ñương, với a ∈ R, ∃e = e ∈ aR : (1 − e ) a ∈ J 1.1.2.6 Vành linh hóa tử cực tiểu, vành ñối xứng cực tiểu Một vành R ñược gọi vành linh hóa tử cực tiểu (minannihilator) phải iñêan phải cực tiểu H R linh hóa tử, tương ñương, rl ( H ) = H Một vành R ñược gọi vành ñối xứng cực tiểu (minsymmetric) trái Rk ñơn, k ∈ R , kéo theo kR ñơn Chẳng hạn, ví dụ, vành nội xạ cực tiểu trái ñối xứng cực tiểu trái 1.2 Môñun 1.2.1 Một số ñịnh nghĩa Cho M R-môñun, môñun N ñược gọi M-sinh, có toàn cấu M ( I ) → N với tập số I ñó Nếu I hữu hạn N ñược gọi M-sinh hữu hạn Đặc biệt, môñun N M ñược Footer Page 10 of 126 10 Header Page 12 of 126 (2) M thỏa mãn ñiều kiện C2 môñun A M ñẳng cấu với hạng tử trực tiếp M, A hạng tử trực tiếp M (3) M thỏa mãn ñiều kiện C3 nếu, A B hai hạng tử trực tiếp M thỏa mãn A ∩ B = A ⊕ B hạng tử trực tiếp M Một vành R ñược gọi vành C1 phải (tương ứng vành C2, vành C3) môñun RR có tính chất tương ứng Ta có quan hệ sau: C2 ⇒ C3 Một môñun ñược gọi liên tục thỏa mãn hai ñiều kiện C1 C2 Và vành R ñược gọi vành liên tục trái R R môñun liên tục 1.2.3 Môñun vật sinh, vật ñối sinh Một môñun C ñược gọi ñối sinh môñun M M ñược nhúng tích trực tiếp C I C, CR ñược gọi vật ñối sinh ñối sinh môñun phạm trù Mod-R Vật ñối sinh ñối ngẫu với vật sinh (tức là, môñun G cho môñun ảnh tổng trực tiếp G (I ) với tập I ñó) 1.2.4 Điều kiện dây chuyền môñun vành Cho R-môñun M L lớp môñun ñó M Ta nói M thỏa mãn ñiều kiện dây chuyền tăng (ACC: ascending chain condition) môñun L dãy tăng M ≤ M ≤ ⋅⋅⋅ ≤ M n ≤ ⋅⋅⋅ môñun thuộc L ñều dừng, nghĩa tồn số nguyên dương n cho M n = M n +1 = ⋅⋅⋅ Tương tự, M thỏa mãn ñiều kiện dây chuyền giảm (DCC) ñược ñịnh nghĩa Một vành R ñược gọi thỏa mãn ñiều kiện ACC (DCC tương ứng) môñun RR có tính chất tương ứng Footer Page 12 of 126 11 Header Page 13 of 126 Nếu R thỏa mãn ñiều kiện DCC iñêan trái, R ñược gọi vành Artin trái Tương tự vành Artin phải ñược ñịnh nghĩa Một vành Artin vành mà Artin trái phải Ta gọi R Noether trái (phải tương ứng) R thỏa mãn ñiều kiện ACC iñêan trái (phải tương ứng) 1.2.5 Đế môñun vành Cho M R-môñun Ta ñịnh nghĩa ñế M tổng môñun (cực tiểu) ñơn M, kí hiệu Soc ( M ) , SocM Nếu môñun cực tiểu M ta ñặt Soc ( M ) = Theo ñịnh nghĩa Soc ( M ) môñun nửa ñơn lớn M SocM = M M nửa ñơn Đối ngẫu với ñế ta ñịnh nghĩa R-môñun M giao môñun cực ñại M, kí hiệu Rad ( M ) , RadM Nếu M môñun cực ñại ta ñặt RadM = M Theo ñịnh nghĩa, RadM môñun bé U ≤ M với môñun thương M / U ñối sinh môñun ñơn Do ñó ta có RadM = M ñối sinh môñun ñơn, nghĩa tích trực tiếp môñun ñơn Căn R R ñược gọi Jacobson R, tức J = J ( R ) = Rad ( R R ) = Rad ( RR ) Như môñun bất biến hoàn toàn vành, J ( R ) iñêan hai phía R 1.2.6 Vành môñun Kasch Một vành R ñược gọi vành Kasch phải (hoặc Kasch phải ñơn) với R-môñun phải ñơn K ñều tồn ñơn cấu ι : K → RR Một môñun M R ñược gọi Kasch môñun ñơn σ [ M ] nhúng M, ñây σ [ M ] phạm trù bao gồm Rmôñun phải M-sinh Footer Page 13 of 126 12 Header Page 14 of 126 1.2.7 Vành nội xạ cực tiểu Cho R vành, môñun M R ñược gọi nội xạ cực tiểu (mininjective) nếu, với iñêan phải ñơn K R, ánh xạ Rtuyến tính σ : K → M R mở rộng ñến γ : R → M ; nghĩa là, σ = m ⋅ phép nhân m ∈ M [thật m = γ (1) ] Một vành R ñược gọi nội xạ cực tiểu phải RR nội xạ cực tiểu Footer Page 14 of 126 13 Header Page 15 of 126 CHƯƠNG MÔĐUN VÀ VÀNH GQP-NỘI XẠ 2.1 Vành P-nội xạ, vành GP-nội xạ, môñun QP-nội xạ 2.1.1 Vành P-nội xạ 2.1.1.1 Định nghĩa Cho R vành, R-môñun phải MR ñược gọi nội xạ (principally injective, viết tắt P-nội xạ) nếu, R-ñồng cấu α : aR → M , a ∈ R , mở rộng ñược thành R-ñồng cấu R → M ; tương ñương, α = m ⋅ phép nhân trái phần tử m∈M Một vành R ñược gọi P-nội xạ phải RR môñun Pnội xạ 2.1.1.2 Bổ ñề Các ñiều kiện sau tương ñương với vành R: (1) R P-nội xạ phải (2) lr ( a ) = Ra, ∀a ∈ R (3) r ( a ) ≤ r ( b ) , a, b ∈ R ⇒ Rb ≤ Ra (4) l bR ∩ r ( a )  = l ( b ) + Ra, ∀a, b∈ R (5) Nếu α : aR → R, a ∈ R R-tuyến tính, α ( a ) ∈ Ra 2.1.1.3 Mệnh ñề Mọi vành P-nội xạ phải vành C2 phải, ñiều ngược lại a v     2.1.1.4 Ví dụ Mở rộng tầm thường R =   a ∈ F , v ∈V      a   trường F không gian vectơ hai chiều V vành giao hoán, ñịa phương, Artin thỏa C2 không P-nội xạ 2.1.1.5 Định lí Nếu R vành P-nội xạ phải J = Z ( RR ) 2.1.1.6 Hệ Nếu R vành P-nội xạ trái phải, Z ( RR ) = Z ( R R ) 2.1.1.7 Mệnh ñề Mọi vành P-nội xạ phải thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải Artin trái Footer Page 15 of 126 14 Header Page 16 of 126 2.1.1.8 Bổ ñề Cho R vành S iñêan R cho R / S thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải Nếu Y1, Y2, … tập hợp l ( S ) ñó tồn số nguyên dương n cho r (Yn +1Yn Y1 ) = r ( Yn Y1 ) ñây YiY j tập hợp thuộc tích 2.1.1.9 Định lí Nếu R P-nội xạ phải R / Soc ( RR ) thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải, J ( R ) lũy linh 2.1.2 Vành GP-nội xạ 2.1.2.1 Định nghĩa Cho R vành, R-môñun phải MR ñược gọi nội xạ suy rộng (general principally injective, gọi tắt GP-nội xạ) nếu, với ≠ a ∈ R , tồn số nguyên dương n cho a n ≠ ñồng cấu R-môñun phải a n R → M mở rộng ñược thành R-ñồng cấu R → M Một vành R ñược gọi GP-nội xạ phải RR môñun GP-nội xạ, nghĩa là, với ≠ a ∈ R , tồn số nguyên dương n cho a n ≠ R-ñồng cấu phải a n R → R mở rộng ñược thành R-ñồng cấu R → R 2.1.2.2 Mệnh ñề Cho R-môñun phải M, ñiều kiện sau tương ñương: ( (1) M GP-nội xạ (2) Với phần tử ≠ a ∈ R , tồn n ∈ ) lM rR ( a n ) = Ma n ∗ cho a n ≠ , 2.1.2.3 Định lí Cho R vành Kasch phải, GP-nội xạ phải Khi ñó ánh xạ K → r ( K ) T → l (T ) song ánh tương hổ ngược tập hợp tất iñêan trái cực tiểu K R tập hợp tất iñêan phải cực ñại T R Đặc biệt, (1) lr ( K ) = K với iñêan trái cực tiểu K R (2) rl (T ) = T với iñêan phải cực ñại T R 2.1.2.4 Bổ ñề Cho R vành GP-nội xạ phải Khi ñó Footer Page 16 of 126 15 Header Page 17 of 126 (1) Với x ∈ R , xR iñêan phải cực tiểu, Rx iñêan trái cực tiểu (2) Soc ( RR ) ≤ Soc ( R R ) 2.1.2.5 Định lí Cho R vành Kasch phải, GP-nội xạ phải Khi ñó (1) Với x ∈ R , Rx iñêan trái cực tiểu, xR iñêan phải cực tiểu (2) Soc ( R R ) = Soc ( RR ) cốt yếu R R (3) J = r ( S ) = rl ( J ) , ñây S = Soc ( R R ) = Soc ( RR ) (4) l ( J ) cốt yếu R R (5) Z ( RR ) = J = Z ( R R ) 2.1.2.6 Bổ ñề Cho R vành GP-nội xạ phải, a, b ∈ R bR iñêan phải cực tiểu R Nếu bR ≅ aR , Ra ≅ Rb 2.1.2.7 Định lí Giả sử R vành nửa hoàn chỉnh GP-nội xạ phải Nếu Soc ( RR ) cốt yếu RR , R Kasch trái phải 2.1.2.8 Bổ ñề Cho M i ( i = 1, 2, , n ) iñêan phải cực ñại cho n n  ∩ M i ≠ ∩ M j , ∀k ,1 ≤ k ≤ n Khi ñó l  ∩ M i  = ∑ l ( M i ) i =1 i =1 j≠k ,   i =1 1≤ j ≤ n n 2.1.2.9 Định lí Nếu R Kasch phải, GP-nội xạ phải nửa ñịa phương, R R ñối sinh hữu hạn Khi ñó R có chiều Goldie trái hữu hạn 2.1.2.10 Hệ Nếu R P-nội xạ phải Kasch phải, R có chiều Goldie trái hữu hạn Khi ñó R nửa ñịa phương 2.1.2.11 Định lí Cho R vành GP-nội xạ phải, dãy tăng r ( a1 ) ≤ r ( a2 a1 ) ≤ r ( a3 a2 a1 ) ≤ ⋅⋅⋅ dừng với dãy vô hạn a1 , a2 , R Khi ñó R hoàn chỉnh phải 2.1.2.12 Định lí Cho R vành GP-nội xạ phải thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải Khi ñó (1) R Artin trái Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 (2) R Artin phải Soc ( RR ) iñêan phải hữu hạn sinh 2.1.2.13 Hệ Nếu R vành GP-nội xạ phải Noether phải, R Artin trái phải 2.1.2.14 Định lí Nếu R GP-nội xạ phải R / Soc ( RR ) (hoặc R / Soc ( R R ) ) thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải, J lũy linh Một vành R ñược gọi AP-nội xạ trái nếu, iñêan phải hạng tử trực tiếp linh hóa tử phải Một vành R ñược gọi AGP-nội xạ trái nếu, với ≠ a ∈ R , tồn số nguyên dương n cho a n ≠ a n R hạng tử trực tiếp rl ( a n ) Một vành R ñược gọi SGPE R nửa hoàn chỉnh, GP-nội xạ phải Soc ( RR ) cốt yếu iñêan phải R 2.1.3 Môñun QP-nội xạ 2.1.3.1 Định nghĩa Cho R vành, R-môñun phải M ñược gọi nội xạ tựa (quasiprincipally injective, gọi tắt QP-nội xạ) nếu, với R-ñồng cấu từ môñun M-cyclic M ñến M mở rộng ñược thành tự ñồng cấu M 2.1.3.2 Mệnh ñề Mọi R-môñun QP-nội xạ thỏa mãn ñiều kiện C2 Giả sử S = End ( M R ) , ta có kết 2.1.3.3 Bổ ñề Nếu M môñun QP-nội xạ mà tự vật sinh, J ( S ) = W ( S ) 2.1.3.4 Bổ ñề Cho M R-môñun, ñiều kiện sau tương ñương: (1) M môñun QP-nội xạ (2) lS ( Ker ( s ) ) = Ss với s S Footer Page 18 of 126 17 Header Page 19 of 126 2.2 Môñun GQP-nội xạ 2.2.1 Định nghĩa Một R-môñun phải M ñược gọi nội xạ tựa suy rộng (generalized quasiprincipally injective, gọi tắt GQP-nội xạ) nếu, với ≠ s ∈ S = End ( M R ) , tồn số nguyên dương n cho s n ≠ R-ñồng cấu từ s n M ñến M mở rộng ñược thành tự ñồng cấu M, hay tương ñương, với ≠ s ∈ S = End ( M R ) , ( ) tồn số nguyên dương n cho s n ≠ lS Ker ( s n ) = Ss n 2.2.2 Ví dụ Cho vành số nguyên Khi ñó = / p với p nguyên tố môñun GQP-nội xạ, p -môñun p môñun ñơn 2.2.3 Mối quan hệ vành P-nội xạ, vành GP-nội xạ, môñun QPnội xạ môñun GQP-nội xạ 2.2.3.1 Vành R P-nội xạ phải RR QP-nội xạ 2.2.3.2 Vành R GP-nội xạ phải RR GQP-nội xạ 2.2.3.3 Vành P-nội xạ vành GP-nội xạ 2.2.3.4 Vành GP-nội xạ không thiết vành P-nội xạ Ví dụ Giả sử K trường L trường thật K cho ρ : K → L ñẳng cấu; tương ứng, giả sử K = F ( y1 , y2 , ) với F trường, ρ ( yi ) = yi +1 ρ ( c ) = c với c ∈ F Giả sử K [ x1 , x2 ; ρ ] vành ña thức xoắn phải K ñây kxi = xi ρ ( k ) với k ∈ K với i = 1,2 Tập hợp R = K [ x1 , x2 ; ρ ] / ( x12 , x22 ) Khi ñó R GP-nội xạ trái mà không P-nội xạ trái 2.2.3.5 Môñun P-nội xạ môñun QP-nội xạ 2.2.3.6 Môñun QP-nội xạ không thiết môñun P-nội xạ Ví dụ Cho /2 vành số nguyên Khi ñó, -môñun ñơn suy biến môñun QP-nội xạ không P-nội xạ 2.2.3.7 Môñun QP-nội xạ môñun GQP-nội xạ 2.2.3.8 Môñun GQP-nội xạ không thiết môñun QP-nội xạ 2.2.4 Vài kết môñun vành GQP-nội xạ Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 Cho M R-môñun phải với S = End ( M R ) giả sử X ⊆ M Y ⊆ S , ñó ta viết l S ( X ) = {s ∈ S sx = 0, ∀x ∈ X } rM (Y ) = {m ∈ M ym = 0, ∀y ∈ Y } Và ta viết L ≤e S S L iñêan trái cốt yếu S 2.2.4.1 Định lí Cho M R R-môñun phải với S = End ( M R ) Khi ñó (1) Nếu S GP-nội xạ phải M R GQP-nội xạ (2) Nếu M R GQP-nội xạ M sinh Ker ( s ) với s ∈ S , S GP-nội xạ phải Giả sử S = End ( M R ) , ta viết { } W ( S ) = s ∈ S Ker ( s ) ≤e M 2.2.4.2 Định lí Cho S = End ( M R ) Khi ñó MR môñun GQP-nội xạ với (1) W ( S ) ⊆ J ( S ) (2) Nếu M tự vật sinh, W ( S ) = J ( S ) 2.2.4.3 Mệnh ñề Nếu MR môñun Kasch, GQP-nội xạ hữu hạn sinh với S = End ( M R ) , (1) lS ( RadM ) ≤e S S (2) Soc ( S S ) ≤e S S (3) Với s ∈ S , Ss iñêan trái cực tiểu S s ( M ) môñun ñơn M 2.2.4.4 Hệ Nếu R vành Kasch, GP-nội xạ phải với J = J ( R ) , (1) [Bổ ñề 2.1.2.4(1), Định lí 2.1.2.5(1)] Với x ∈ R, Rx iñêan trái cực tiểu xR ñêan phải cực tiểu (2) [Định lí 2.1.2.5(2)] Soc ( R R ) = Soc ( RR ) ≤e R R (3) [Định lí 2.1.2.5(4)] lR ( J ) ≤e R R Footer Page 20 of 126 19 Header Page 21 of 126 2.2.4.5 Định lí Cho MR môñun Kasch, GQP-nội xạ hữu hạn sinh với S = End ( M R ) Khi ñó M / RadM nửa ñơn S có chiều Goldie trái hữu hạn Trong trường hợp này, Soc ( S S ) = lS ( RadM ) , G ( S S ) = c ( S Soc ( S S ) ) = c ( M / RadM ) 2.2.4.6 Hệ Cho R vành GP-nội xạ phải Kasch phải Khi ñó R nửa ñịa phương R có chiều Goldie trái hữu hạn Trong trường hợp này, Soc ( R R ) = Soc ( RR ) , ( ) G ( R R ) = c ( R Soc ( R R ) ) = c R R , ñây R = R / J ( R ) 2.2.4.7 Mệnh ñề Cho MR môñun GQP-nội xạ với S = End ( M R ) Khi ñó (1) Nếu s, t ∈ S sM ≅ tM ñơn, Ss ≅ St (2) Nếu MR tự vật sinh, Soc ( M R ) ≤ Soc ( S M ) 2.2.4.8 Bổ ñề Cho MR GQP-nội xạ tự vật sinh với S = End ( M R ) Nếu s ∉ W ( S ) , bao hàm Ker ( s ) ≤ Ker ( s − sts ) ngặt với t ∈ S ñó 2.2.4.9 Bổ ñề Cho M R-môñun phải với S = End ( M R ) Giả sử với dãy {s1 , s2 , } ⊆ S , dãy Ker ( s1 ) ≤ Ker ( s2 s1 ) ≤ ⋅⋅⋅ dừng Khi ñó (1) W ( S ) T-lũy linh phải (2) S / W ( S ) không chứa tập hợp vô hạn cặp lũy ñẳng khác không trực giao 2.2.4.10 Định lí Cho MR GQP-nội xạ tự vật sinh với S = End ( M R ) Khi ñó ñiều kiện sau tương ñương: Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 (1) S hoàn chỉnh phải (2) Với dãy {s1 , s2 , } ⊆ S , dãy Ker ( s1 ) ≤ Ker ( s2 s1 ) ≤ ⋅⋅⋅ dừng Một môñun MR ñược gọi GC2 với N ≤ M với N ≅ M , N hạng tử trực tiếp M 2.2.4.11 Mệnh ñề Cho M R-môñun phải với S = End ( M R ) Khi ñó ñiều kiện sau tương ñương: (1) MR GC2 (2) Nếu Ker ( s ) = , s ∈ S , S = Ss 2.2.4.12 Định lí Nếu MR môñun GQP-nội xạ GC2 2.2.4.13 Hệ Cho MR môñun GQP-nội xạ với S = End ( M R ) Nếu MR có chiều Goldie hữu hạn S nửa ñịa phương Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 CHƯƠNG MỐI LIÊN HỆ VỚI VÀNH QF 3.1 Vành QF 3.1.1 Định nghĩa Một vành R ñược gọi tựa Frobenius (quasiFrobenius, viết tắt vành QF) nếu, R Artin trái phải R tự nội xạ trái phải; tương ñương, R thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử trái phải R tự nội xạ trái phải; tương ñương, R Noether trái phải R tự nội xạ trái phải 3.1.2 Ví dụ Các vành sau ñây tựa Frobenius: (1) vành nửa ñơn, vành Artin; (2) nhóm ñại số FG, ñây F trường G nhóm hữu hạn; (3) vành R/aR, ñây a ≠ , ñơn vị miền iñêan (giao hoán) R 3.1.3 Định lí Cho vành R Khi ñó ñiều kiện sau tương ñương: (1) R vành tựa Frobenius (2) R vành Artin trái phải, tự nội xạ trái phải (3) R vành Noether trái phải, tự nội xạ trái phải (4) R thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử trái phải, tự nội xạ trái phải (5) R vành Noether trái phải, rl (T ) = T với iñêan phải T, lr ( L ) = L với iñêan trái L Trong trường hợp ánh xạ f : lat ( R R ) → lat ( RR ) g : lat ( RR ) → lat ( R R ) ñược cho f ( L ) = r ( L ) g (T ) = l ( T ) dàn phản ñẳng cấu ngược 3.2 Đặc trưng vành QF qua môñun vành GQP-nội xạ 3.2.1 Định lí Các khẳng ñịnh sau ñây tương ñương với vành R: Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 (1) R vành tựa Frobenius (2) R vành linh hóa tử cực tiểu (minannihilator) phải, GP-nội xạ phải R thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải (3) R vành nội xạ cực tiểu (mininjective) trái, GP-nội xạ phải R thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải (4) R vành ñối xứng cực tiểu (minsymmetric) trái, GPnội xạ phải R thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải (5) R vành GP-nội xạ phải, Soc ( eR ) ñơn với lũy ñẳng ñịa phương e ∈ R R thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử phải 3.2.2 Bổ ñề Cho R vành Noether phải, AGP-nội xạ trái Nếu iñêan trái phần bù R linh hóa tử trái, R Artin phải liên tục trái 3.2.3 Định lí Nếu R vành Noether phải, GP-nội xạ trái cho iñêan trái phần bù linh hóa tử trái, R vành QF 3.2.4 Định lí Nếu R vành GP-nội xạ trái thỏa mãn ñiều kiện ACC linh hóa tử trái cho iñêan trái phần bù linh hóa tử trái, R vành QF 3.2.5 Hệ Nếu R vành GP-nội xạ trái, CS trái thỏa mãn ñiều kiện ACC iñêan trái cốt yếu, R vành QF 3.2.6 Hệ Nếu R vành Noether phải, CS trái P-nội xạ trái, R QF 3.2.7 Định lí Bất kỳ vành P-nội xạ trái, CS trái R thỏa mãn ñiều kiện ACC iñêan phải cốt yếu QF 3.2.8 Hệ Cho R vành tự nội xạ trái Nếu R thỏa mãn ñiều kiện ACC iñêan trái phải cốt yếu, R vành QF 3.2.9 Ví dụ Tồn vành R cho R ñịa phương, Artin trái phải, CS trái, AP-nội xạ trái P-nội xạ phải, R không QF Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 3.2.10 Chú ý Ví dụ 3.2.9 chứng tỏ (1) Định lí 3.2.3 Định lí 3.2.4, “GP-nội xạ trái” ñược thay “AP-nội xạ trái”, (2) Hệ 3.2.6, “CS trái, P-nội xạ trái” ñược thay “CS trái, P-nội xạ phải” “CS phải, P-nội xạ trái”, (3) Định lí 3.2.7, “P-nội xạ trái” ñược thay “P-nội xạ phải” 3.2.11 Ví dụ (Bjork [3, p.70]): Vành nội xạ không QF Giả sử p số nguyên tố, giả sử P trường p phần tử, giả sử K = P ( x ) trường hàm hữu tỉ với hệ số P Khi ñó K p = {w p w ∈ K } trường K, f : w a w p ñẳng cấu K → K p , K p không gian vectơ p-chiều K Nếu A không gian vectơ trái K với sở {e, x} , A vành với phép nhân ñược ñịnh nghĩa bởi: er = re = r với r ∈ A , x = f ( w ) x = xw với w ∈ K = Ke Rõ ràng vành A Artin trái phải Hơn nữa, Ax = Kx iñêan trái thật A, iñêan trái linh hóa tử; ñặc biệt, A nội xạ phải Nhưng {w1 , w2 , , w p } K-cơ sở K p , wi xA, i = 1, 2, , p , p tích iñêan phải cực tiểu A, A không QF Footer Page 25 of 126 24 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN Qua luận văn này, ñã tổng quan số tính chất quan trọng môñun vành GQP-nội xạ Những kết ñã thu ñược nhiều tác giả, nhiên, việc trình bày chúng tóm tắt, sơ lược, trích dẫn từ nhiều tài liệu khác, ñã cố gắng chi tiết chứng minh ñể ñộc giả hiểu rõ cần tham khảo kiến thức liên quan ñến lớp môñun vành Đưa ñược số ví dụ minh họa tương ứng ñể làm rõ chúng Những cố gắng ñưa thêm vài kết mở rộng tính chất ñã có môñun vành GQP-nội xạ (Định lí 2.2.4.1, Định lí 2.2.4.2), chưa nhiều, phần ñó thể tìm tòi nhỏ, ñó là, ñã ñưa vài ñặc trưng vành QF qua môñun vành GQP-nội xạ (Định lí 3.2.1, Định lí 3.2.3, Định lí 3.2.4, Định lí 3.2.7) Hướng nghiên cứu luận văn: Mở rộng thêm kết vành môñun GQP-nội xạ, mở rộng số kết mối liên hệ với vành QF, PF vành liên quan khác Footer Page 26 of 126