tóm tắt Về một số tính chất của vành EF - nửa đơn

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ GIA TƯỜNG VỀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH EF-NỬA ĐƠN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Đà Nẵng - Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TS LÊ VĂN THUYẾT Phản biện 1: TS CAO VĂN NUÔI Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ ngành Phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Khái niệm môđun CS xuất công trình nghiên cứu von Neumann năm 1930 Từ tính chất lớp môđun CS, năm 1997, Thuyết Wisbauer định nghĩa môđun M gọi ef- mở rộng môđun đóng chứa môđun hữu hạn sinh cốt yếu hạng tử trực tiếp M Năm 2003, Chiến Thuyết lớp môđun mở rộng thực lớp môđun CS (xem [3]) Xuất phát từ khả phát triển lớp môđun ef-mở rộng, quan tâm đến việc xây dựng vành thoả mãn R-môđun phải (trái) ef-mở rộng, gọi vành vành ef-nửa đơn phải (trái) Trên sở đó, nghiên cứu tính chất vành ef-nửa đơn xây dựng từ tính chất môđun ef-mở rộng vành CS-nửa đơn Chính vậy, chọn đề tài: "Về số tính chất vành ef-nửa đơn" để tiến hành nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu số đặc trưng vành CS-nửa đơn số tính chất môđun ef-mở rộng Qua định nghĩa vành ef-nửa đơn, nghiên cứu đặc trưng vành trường hợp thỏa mãn số điều kiện đặc biệt Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lớp vành CS-nửa đơn, lớp vành ef-nửa đơn thỏa mãn số điều kiện đặc biệt, lớp môđun ef-mở rộng thỏa mãn số điều kiện hữu hạn định Phạm vi nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung tổng quan nghiên cứu lớp vành CS-nửa đơn, phân tích môđun ef-mở rộng, tính chất tương quan môđun CS môđun ef-mở rộng Và sau bước đầu xét đến vành ef-nửa đơn Phương pháp nghiên cứu Footer Page of 126 Header Page of 126 Phương pháp nghiên cứu đề tài nghiên cứu lí thuyết: • Thu thập báo liên quan đến vành CS-nửa đơn môđun CS, môđun ef-mở rộng, chuyên khảo nội dung • Tham gia buổi seminar để trao đổi kết nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài • Tổng quan kết tác giả nghiên cứu vành CS-nửa đơn phân tích môđun CS môđun ef-mở rộng nhằm tạo tài liệu tham khảo tốt cho muốn nghiên cứu lí thuyết vành môđun, góp phần làm phong phú thêm kết hiểu biết vành CS-nửa đơn môđun ef-mở rộng • Định nghĩa lớp vành ef-nửa đơn, đưa số kết bước đầu lớp môđun ef-mở rộng thỏa mãn điều kiện hữu hạn định • Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, hệ quả, đưa số ví dụ nhằm làm cho người đọc tiếp cận vấn đề đề cập Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm có chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương Về vành CS-nửa đơn Chương Về môđun ef-mở rộng vành ef-nửa đơn • Trong chương 1, trình bày kiến thức sở lí thuyết vành môđun sử dụng chương sau • Trong chương 2, trình bày khái niệm vành CS-nửa đơn, đặc trưng vành CS-nửa đơn, trình bày định lí chứng tỏ điều kiện trái, phải môđun CS trường hợp đối xứng Qua đó, nêu lên đặc trưng lớp vành thông qua phân tích môđun hữu hạn sinh thành tổng trực tiếp môđun tựa liên tục môđun nửa đơn • Trong chương 3, nghiên cứu môđun ef-mở rộng, phân tích môđun ef-mở rộng, qua định nghĩa vành ef-nửa đơn, đưa số kết bước đầu lớp môđun ef-mở rộng thỏa mãn điều kiện hữu hạn định Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, không nói thêm, vành R hiểu vành kết hợp, có đơn vị = R-môđun xét môđun unita Khi M R-môđun phải thường kí hiệu MR , không sợ nhầm lẫn, kí hiệu M hiểu R-môđun phải M 1.1 Các khái niệm Trước hết, trình bày khái niệm, tính chất Lí thuyết Vành môđun mà không chứng minh lại Các khái niệm tính chất giới thiệu nhiều tài liệu khác nhau, chủ yếu tham khảo tài liệu [2], [4], [6], [7], [13], [14] Một môđun NR MR gọi cốt yếu hay môđun lớn MR , kí hiệu N ✂ M , NR ∩ K = với môđun K = M Khi MR gọi mở rộng cốt yếu NR Môđun NR MR gọi môđun bé hay đối cốt yếu MR , kí hiệu N M , với môđun K ⊆ M cho K + N = M K = M Môđun K gọi đóng M K mở rộng cốt yếu thực M Với môđun X ⊆ M , Linh hóa tử phải X R tập hợp: rR (X) = { r ∈ R | xr = 0; ∀x ∈ X} Với A ⊆ R, linh hóa tử phải A M tập hợp: rM (A) = { m ∈ M | am = 0; ∀a ∈ A} Định nghĩa hoàn toàn tương tự cho linh hóa tử trái Chúng ta dùng kí hiệu l(x) = { m ∈ M | mx = 0}, r(x) = { m ∈ M | xm = 0} Footer Page of 126 Header Page of 126 để linh hóa tử trái phải phần tử x M Cho M R-môđun phải Một phần tử m ∈ M gọi phần tử suy biến phải M iđêan phải rR (m) ✂ RR Tập hợp phần tử suy biến M gọi môđun suy biến M kí hiệu Z(MR ) Môđun M gọi môđun suy biến Z(MR ) = MR Nếu Z(MR ) = 0, ta gọi M môđun không suy biến Môđun M gọi có độ dài hợp thành hữu hạn hay độ dài hữu hạn, tồn số nguyên dương n chuỗi môđun = M0 ⊂ M1 ⊂ M2 ⊂ ⊂ Mn = M cho môđun thương Mi /Mi−1 môđun đơn, i = 1, 2, , n Trong trường hợp ta nói độ dài hợp thành M n Phần tử x ∈ R gọi phần tử lũy đẳng x2 = x Giả sử I iđêan vành R g + I phần tử lũy đẳng R/I Ta nói phần tử lũy đẳng nâng tới lũy đẳng modulo I hay lũy đẳng nâng modulo I tồn lũy đẳng e ∈ R cho g + I = e + I Đặc biệt, I iđêan lũy linh, nghĩa phần tử I lũy linh (xn = 0, ∀n ∈ I), phần tử lũy đẳng R/I lũy đẳng nâng Cặp phần tử lũy đẳng e1 , e2 vành R gọi trực giao e1 e2 = e2 e1 = Vành R gọi vành nguyên tố R thỏa mãn điều kiện tương đương sau: (a) Mọi iđêan phải (trái) khác không I iđêan trung thành, nghĩa r(I) = (t.ư, l(I) = ); (b) Với cặp iđêan I1 , I2 = ta có I1 I2 = 0; (c) Với x, y ∈ R thỏa mãn xRy = ta có x = y = Iđêan P vành R gọi iđêan nguyên tố R/P vành nguyên tố Hay nói cách khác, P nguyên tố với x, y ∈ R thỏa mãn xRy ⊆ P x ∈ P y ∈ P Giao tất iđêan nguyên tố vành R gọi nguyên tố vành R, kí hiệu N (R) Vành R gọi nửa nguyên tố N (R) = Môđun NR gọi sinh MR (MR -sinh) tồn toàn cấu f : (Λ) MR → NR , với tập số Λ Nếu tập số Λ hữu hạn ta nói NR hữu hạn sinh MR (hữu hạn MR -sinh) Môđun NR gọi hữu hạn R-sinh tồn hữu hạn phần tử x1 , x2 , , xk Footer Page of 126 Header Page of 126 cho NR = x1 R + x2 R + + xk R Môđun thương MR gọi môđun M -cyclic Môđun M -cyclic không đẳng cấu với M gọi môđun M -cyclic thực Môđun NR gọi Λ sinh, Λ tập số bất kì, tồn toàn cấu f : R(Λ) → NR Kí hiệu σ[M ] phạm trù đầy đủ Mod-R, vật Rmôđun môđun MR -sinh Người ta chứng minh σ[M ] phạm trù đầy đủ phạm trù Mod-R Đế phải MR , kí hiệu Soc(MR ), tổng môđun đơn MR , giao tất môđun cốt yếu M Nếu MR không chứa môđun đơn Soc(MR ) = Căn MR , kí hiệu Rad(MR ), giao tất môđun tối đại MR , tổng tất môđun bé MR Nếu MR không chứa môđun tối đại ta định nghĩa Rad(MR ) = M Đặc biệt, biết Rad(RR ) = Rad(R R) = J(R) Do không sợ nhầm lẫn, ta kí hiệu J(R) để Jacobson vành R RR Nếu MR môđun hữu hạn sinh Rad(MR ) MR Cho R-môđun MR , ta định nghĩa chuỗi đế phải Socα (MR ) MR chuỗi môđun MR : Soc1 (MR ) ⊆ ⊆ Socα (MR ) ⊆ thỏa mãn điều kiện sau: • Soc1 (MR ) = Soc(MR ) đế thứ MR ; • Socα (MR ) đế thứ α MR môđun MR chứa Socα−1 (MR ) cho Socα (MR ) /Socα−1 (MR ) = Soc(M /Socα−1 (MR ) ); • Nếu α số tới hạn ta đặt Socα (MR ) = Socβ (MR ) β Do R vành Artin, E(Ri ) có chứa hai môđun U ⊂ V , lengthU = lengthU = Từ U, V môđun có độ dài hữu hạn nên U V môđun tựa liên tục Sử Footer Page 17 of 126 16 Header Page 18 of 126 dụng kết ([15], Corollary 3.9) ([15], Theorem 3.11) ta có vành tự đồng cấu U V địa phương Điều cho phép sử dụng định lí Krull - Schmidt để thấy U ⊕ V không chứa hạng tử trực tiếp đơn Mặt khác ta có U ⊕ V hữu hạn sinh, sử dụng giả thiết ta có U ⊕ V tựa liên tục Do theo kết ([15], Proposition 2.10) ta có U V -nội xạ, suy U hạng tử trực tiếp V , mâu thuẫn tính chất V Điều chứng tỏ length(E(Ri )) = Theo giả sử trên, Ri không đơn nên E(Ri ) = Ri Hay nói cách khác, Ri nội xạ có độ dài Từ định lí ta có hệ sau, đặc trưng lớp vành CS-nửa đơn: Hệ 2.2.5 Vành R CS-nửa đơn R-môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun tựa liên tục môđun nửa đơn Chứng minh Điều kiện cần: Từ giả thiết R vành CS-nửa đơn, sử dụng định lí 2.2.1 ta có R-môđun hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun nội xạ môđun nửa đơn ta có điều phải chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử vành R, R-môđun phải hữu hạn sinh tổng trực tiếp môđun tựa liên tục môđun nửa đơn Từ kết định lí ta có R tổng trực tiếp iđêan phải Ri có độ dài bé 2, Ri có độ dài nội xạ Áp dụng định lí 2.2.1 ta có R vành CS-nửa đơn Định lí 2.2.6 Với R vành SC phải, điều kiện sau tương đương: (a) R vành Σ-CS đếm phải (b) R vành CS-nửa đơn Để kết thúc chương này, nêu lên ví dụ vành CS-nửa đơn mà không QF, nên không nửa đơn R R Ví dụ 2.2.1 Xét vành ma trận có dạng R = R , với R trường số thực Thì R vành thỏa định lí 2.2.6 nên R vành CS-nửa đơn Ta vành không vành tự nội xạ phải Footer Page 18 of 126 17 Header Page 19 of 126 Xét R f :I= 0 →R k k → 0 k Thì f đồng cấu Giả sử RR nội xạ Lúc tồn đồng cấu g : R → R cho f = g ◦ i, với i : I → R phép nhúng a b Đặt x0 = g(1) = c ∈ R Khi với x ∈ I ta có: f (x) = g ◦ i(x) = g(x) = g(1.x) = g(1).x = x0 x 1 a a b Lấy x = 0 ∈ I, f (x) = c 0 = 0 a Hay = 0 (mâu thuẫn) Vậy RR không nội xạ, nên R không vành tự nội xạ phải, dẫn đến không QF, không nửa đơn Footer Page 19 of 126 18 Header Page 20 of 126 Chương VỀ MÔĐUN EF-MỞ RỘNG VÀ VÀNH EF-NỬA ĐƠN Trong chương này, đề cập đến tính chất phân tích môđun ef-mở rộng, trình bày số kết thu từ việc nghiên cứu thêm tính chất lớp môđun Qua định nghĩa vành ef-nửa đơn đưa số tính chất thu từ việc nghiên cứu lớp môđun ef-mở rộng thỏa mãn số điều kiện đặc biệt 3.1 Môđun ef-mở rộng Trước hết ta nhắc lại định nghĩa môđun ef-mở rộng Định nghĩa 3.1.1 Một môđun MR gọi ef-mở rộng môđun đóng chứa môđun hữu hạn sinh cốt yếu hạng tử trực tiếp M Chúng ta nhắc lại định nghĩa sau đây: Định nghĩa 3.1.2 Một môđun MR gọi mở rộng môđun cốt yếu hạng tử trực tiếp M Định nghĩa 3.1.3 Một môđun MR gọi f-mở rộng môđun hữu hạn sinh M cốt yếu hạng tử trực tiếp M Ví dụ 3.1.1 Các môđun nội xạ, môđun CS, môđun ef-mở rộng Chiều ngược lại không ∞ Chẳng hạn: Xét Z-môđun M = Z2 ef-mở rộng không môđun i=1 CS ∞ Chứng minh Ta thấy N = ⊕ Z2 hạng tử trực tiếp địa phương i=1 M Vì Z vành Noether, nên N môđun đóng M Nhưng N không Footer Page 20 of 126 19 Header Page 21 of 126 hạng tử trực tiếp M Thật vậy, giả sử M = N ⊕ K Đặt x = (0, 1, 1, , 1, ) ∈ K, x = (0, 0, 0, 1, , 1, ) ∈ K x − x = (0, 1, 1, 0, , 0, ) ∈ K ∩ N , mâu thuẫn Vì vậy, M không môđun CS Chúng ta M môđun ef-mở rộng Vì Z/2Z = {0, 1}, M có tính chất sau đây: (*) Vì x = (xi ) ∈ M, xi = xi = Điều cho ta xk = k chẵn, xk = x k lẻ Vì xZ = {0, x} Có nghĩa xZ môđun đơn M (**) Với x ∈ M, xZ hạng tử trực tiếp M Thật vậy, giả sử x = 0, x = (xi ) Thì tồn số nguyên i cho xi = 1, x1 = tức là, x = (1, x2 , x3 , ) Lấy N = {(0, y2 , y3 , )|yi ∈ Z2 , i > 1} ≤ M, ta thấy N ∩ xZ = M = xZ ⊕ N Do vậy, môđun cyclic M môđun đơn hạng tử trực tiếp M Nên, K môđun hữu hạn sinh cốt yếu, ta thấy K hạng tử trực tiếp M Vì vậy, M ef-mở rộng Ta có dãy kéo theo sau đây: CS ⇒ ef-mở rộng ⇒ f-mở rộng ⇒ mở rộng Một họ {Ni }I môđun độc lập môđun M gọi hạng tử trực tiếp địa phương M cho tập hữu hạn A ⊆ I, Nj hạng tử A trực tiếp M Chúng ta có bổ đề sau (xem [20]): Bổ đề 3.1.4 Môđun đóng môđun ef-mở rộng môđun ef-mở rộng ∞ Ta xét ví dụ Z-môđun M = ∞ Z2 ef-mở rộng i=1 không môđun CS Và ý N = ⊕ Z2 hạng tử trực tiếp địa i=1 phương M không hạng tử trực tiếp M Bổ đề 3.1.5 Một môđun không phân tích ef-mở rộng môđun Footer Page 21 of 126 20 Header Page 22 of 126 Bổ đề 3.1.6 Cho M môđun có Soc(M ) hữu hạn sinh cốt yếu M Thì M môđun CS M môđun ef-mở rộng Bổ đề 3.1.7 Cho A B môđun với vành tự đồng cấu địa phương cho M = A ⊕ B ef-mở rộng Cho C môđun A cho f : C → B đồng cấu Khi ta có phát biếu sau: (1) Nếu f mở rộng thành đồng cấu từ A đến B , f đơn cấu B nhúng vào A (2) Nếu đơn cấu B → A đẳng cấu, B A-nội xạ (3) Nếu B không nhúng vào A, B A-nội xạ Bổ đề 3.1.8 Các phát biểu sau tương đương cho môđun M : (1) Tổng trực tiếp hai môđun ef-mở rộng (2) Môđun tự nội xạ có độ dài (3) Tổng trực tiếp môđun CS 3.2 Sự phân tích môđun ef-mở rộng Bây xét điều kiện sau cho R-môđun phải M với mục đích nghiên cứu phân tích môđun ef-mở rộng (1) Mỗi hạng tử trực tiếp địa phương cực đại M có chứa môđun hữu hạn sinh cốt yếu (2) Mỗi hạng tử trực tiếp địa phương cực đại N = Ni M , tồn i∈I tập hữu hạn I I cho Ni cốt yếu N i∈I Ta thấy (1) ⇒ (2) Ni cho i ∈ I ta có (2) ⇒ (1) Bây với điều kiện (2) ta có kết sau: Định lí 3.2.1 Cho M R-môđun ef-mở rộng thỏa điều kiện (2) Nếu R thỏa điều kiện ACC iđêan phải có dạng r(m), m ∈ M , M tổng trực tiếp môđun Một môđun M gọi Noether địa phương môđun hữu hạn sinh M môđun Noether (Xem [4]) Ta có hệ sau: Footer Page 22 of 126 21 Header Page 23 of 126 Hệ 3.2.2 Cho M R-môđun ef-mở rộng, Noether địa phương thỏa điều kiện (2) Thì M tổng trực tiếp môđun Hệ 3.2.3 Cho M R-môđun ef-mở rộng, không suy biến thỏa điều kiện (2) Thì M tổng trực tiếp môđun R thỏa điều kiện ACC iđêan phải có dạng r(m), m ∈ M Một môđun M gọi π -nội xạ với L1 , L2 ∈ M L1 ∩L2 = 0, tồn môđun M1 , M2 M cho M = M1 ⊕ M2 Li ⊂ Mi (i = 1, 2) Bây có đặc trưng môđun ef-mở rộng nhờ vào tính chất gần với tính chất môđun π -nội xạ Định lí 3.2.4 Với R-môđun M , ta có điều kiện tương đương sau: (a) Với L1 , L2 ∈ M , L1 ∩ L2 = L1 hữu hạn cốt yếu, tồn môđun M1 , M2 M cho M = M1 ⊕ M2 , L1 cốt yếu M1 L2 ⊂ M2 (b) M môđun ef-mở rộng M = M1 ⊕ M2 , M1 hữu hạn cốt yếu, M1 M2 -nội xạ Một họ {Mi |i ∈ I} gọi nội xạ tương đối Mi Mj -nội xạ, với (i = j; i, j ∈ I) Bổ đề 3.2.5 Cho M = M1 ⊕ M2 có tính chất sau đây: môđun đóng K M với K ∩ M1 = hạng tử trực tiếp M , môđun đóng K M hữu hạn sinh cốt yếu thỏa K ∩ M2 = hạng tử trực tiếp M Thì M môđun ef-mở rộng Từ bổ đề ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.6 Tổng trực tiếp môđun CS môđun ef-mở rộng đồng thời nội xạ tương đối môđun ef-mở rộng Một môđun M gọi hầu nửa đơn M có đế cốt yếu môđun hữu hạn sinh nửa đơn M môđun đóng M (xem [4]) Định lí 3.2.7 Cho M R-môđun ef-mở rộng với đế cốt yếu cho M/Soc(M ) có ACC hạng tử trực tiếp, M tổng trực tiếp môđun hầu nửa đơn môđun có chiều Goldie hữu hạn Footer Page 23 of 126 22 Header Page 24 of 126 Hệ 3.2.8 Cho M R-môđun ef-mở rộng với đế cốt yếu Khi điều kiện sau thỏa mãn: (a) Giả sử M/Soc(M ) có chiều Goldie hữu hạn, M tổng trực tiếp môđun hầu nửa đơn môđun có chiều Goldie hữu hạn (b) Nếu M thỏa điều kiện ACC môđun cốt yếu M = S ⊕ N , với S môđun hầu nửa đơn N môđun Noether (c) Nếu M thỏa điều kiện DCC môđun cốt yếu M = S ⊕ A, với S môđun hầu nửa đơn A môđun Artin 3.3 Vành ef-nửa đơn Xuất phát từ việc nghiên cứu lớp vành CS-nửa đơn, thay điều kiện môđun mở rộng điều kiện yếu hơn, môđun ef-mở rộng, định nghĩa lớp vành gọi ef-nửa đơn Định nghĩa 3.3.1 Vành R gọi ef-nửa đơn phải (trái) môđun MR (tương ứng, R M ) môđun ef-mở rộng Ví dụ 3.3.1 Vành CS-nửa đơn vành ef-nửa đơn phải trái Từ việc nghiên cứu tính chất môđun ef-mở rộng số trường hợp đặc biệt, thu kết vành ef-nửa đơn thỏa mãn số điều kiện trở thành vành CS-nửa đơn: Mệnh đề 3.3.2 Cho R vành tùy ý Các điều kiện sau tương đương: 1) R vành CS-nửa đơn 2) R vành ef-nửa đơn phải (và trái) cho môđun MR (tương ứng, RM ) thỏa mãn hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp M Chứng minh 1) ⇒ 2) hiển nhiên 2) ⇒ 1) Cho MR môđun tùy ý Lúc MR môđun ef-mở rộng phải thỏa mãn hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp M Cho K môđun đóng khác không M Với = x ∈ K, xR cốt yếu môđun A K A đóng K Vì K đóng M , A đóng M , vậy, A hạng tử trực tiếp Footer Page 24 of 126 23 Header Page 25 of 126 M Bởi Bổ đề Zorn, tồn hạng tử trực tiếp địa phương cực đại N = Ai I với Ai ⊂ K Bởi giả thiết, N hạng tử trực tiếp M , tức M = N ⊕ N với môđun N M , nên K = N ⊕ (K ∩ N ) Giả sử rằng, K ∩ N = 0, tồn A = 0, A hạng tử trực tiếp M Điều cho thấy A hạng tử trực tiếp K ∩ N Vì vậy, N ⊕ A hạng tử trực tiếp địa phương M , mâu thuẫn với cách chọn N hạng tử trực tiếp địa phương cực đại Dẫn đến K ∩ N = Nghĩa K = N Vậy M môđun CS Từ đó, R vành CS-nửa đơn Cho R M tùy ý thỏa hạng tử trực tiếp địa phương hạng tử trực tiếp M Bằng lí luận tương tự ta có R M môđun CS Từ đó, R vành CS-nửa đơn Mệnh đề 3.3.3 Cho R vành ef-nửa đơn phải (và trái) thỏa điều kiện ACC iđêan trái có dạng l(m), m ∈ M , hạng tử trực tiếp địa phương cực đại hữu hạn cốt yếu Thì R vành CS-nửa đơn Chứng minh Giả sử MR môđun ef-mở rộng Bởi định lí 3.2.1, M chứa hạng tử trực tiếp địa phương cực đại N = Ni i∈I Bởi ([4], 8.1(1)), N đóng M Vì vậy, N hạng tử trực tiếp M , tức là: M = N ⊕ N , với môđun N M Nếu N = 0, lí luận tương tự chứng minh định lí 3.2.1, N = U ⊕ U với U, U môđun U Thì N ⊕ U hạng tử trực tiếp địa phương, mâu thuẫn với tính cực đại N Do N = M = Ni tổng trực tiếp môđun i∈I M Bởi giả thiết, M chứa môđun hữu hạn sinh cốt yếu V Điều dẫn đến tồn tập hữu hạn J I cho V ⊂ Nj J Vì V cốt yếu M, M = Nj Vậy M CS J Footer Page 25 of 126 24 Header Page 26 of 126 KẾT LUẬN Luận văn tổng quan việc khảo sát tiêu chuẩn lớp vành Artin lớp vành CS-nửa đơn thông qua lớp môđun hữu hạn sinh thỏa mãn phân tích thành tổng trực tiếp môđun nửa đơn môđun tựa liên tục Ngoài việc tổng quan kết quả, hệ thống hóa, chi tiết chứng minh, luận văn trình bày ví dụ vành CS-nửa đơn mà không nửa đơn Luận văn trình bày tiêu chuẩn để môđun ef-mở rộng thông qua lớp môđun không phân tích lớp môđun Đồng thời đề cập đến đặc trưng môđun ef-mở rộng nhờ vào tính chất gần với tính chất môđun π -nội xạ Luận văn nghiên cứu phân tích môđun ef-mở rộng thông qua hai điều kiện sau: (1) Mỗi hạng tử trực tiếp địa phương cực đại M có chứa môđun hữu hạn sinh cốt yếu (2) Mỗi hạng tử trực tiếp địa phương cực đại N = Ni M , tồn i∈I tập hữu hạn I I cho Ni cốt yếu N i∈I Các kết cho thấy phân tích môđun ef-mở rộng thành tổng trực tiếp môđun Luận văn nêu định nghĩa vành ef-nửa đơn phải (trái) Các kết luận văn cho thấy mối liên hệ vành CS-nửa đơn vành ef-nửa đơn thể Mệnh đề 3.3.2 Mệnh đề 3.3.3 Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, chưa nghiên cứu nhiều tính chất vành ef-nửa đơn cho môđun phải (hoặc trái) ef-mở rộng, chưa đưa ví dụ chứng tỏ vành thỏa mãn ef-nửa đơn không CS-nửa đơn Và điều hướng để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau Footer Page 26 of 126 ... môđun ef- mở rộng, định nghĩa lớp vành gọi ef- nửa đơn Định nghĩa 3.3.1 Vành R gọi ef- nửa đơn phải (trái) môđun MR (tương ứng, R M ) môđun ef- mở rộng Ví dụ 3.3.1 Vành CS -nửa đơn vành ef- nửa đơn phải... ef- mở rộng vành CS -nửa đơn Chính vậy, chọn đề tài: "Về số tính chất vành ef- nửa đơn" để tiến hành nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu số đặc trưng vành CS -nửa đơn số. .. môđun ef- mở rộng, quan tâm đến việc xây dựng vành thoả mãn R-môđun phải (trái) ef- mở rộng, gọi vành vành ef- nửa đơn phải (trái) Trên sở đó, nghiên cứu tính chất vành ef- nửa đơn xây dựng từ tính chất