Bài Giảng Hàng Đợi (Queue)

Biến đổi thời gian bận rộn trung bình Nếu thời gian phục vụ 18’: bận rộn 90%, 15’ : bận rộn 75%, 19,5’: bận rộn 97,5%  Ba độ đo cốt lõi: thời gian đợi trung bình được bác sĩ khám; thờ

Vietnam National University, Hanoi (VNU)

College of Technology (COLTECH)

Page 1 > Presentation > SSME - 2009

Chương 5 Hàng đợi

(Queue)

PGS TS Hà Quang Thụy

Giới thiệu

 Lý thuyết hàng đợi là gì

 Độ đo hiệu năng cốt lõi

 Một khung cho hàng đợi Markov

 Kết quả quan trọng ở hàng đợi không Markov.

Giải mô hình hàng đợi số

Khi các điều kiện thay đổi theo thời gian

Nội dung chương

 Tuy nhiên, không hoàn hảo, kiểm tra bằng mô phỏng 365 ngày theo trung bình thời gian bệnh nhân phải đơi ?

 “Đợi” bác sỹ trong hàng đợi, lý do:

 Bác sỹ không khám đúng 18’ với mọi bệnh nhân

 Bện nhân đến sớm hơn lịch

 …

1 Giới thiệu

Hai phân bố thời gian dịch vụ

 Phân bố đều: trong miền [13,23] Chiều rộng phân bố

đều bằng hai lần thời gian kéo dài với xác suất 0.1 mỗi phút

 Phân bố tam giác: trong miền [13, 28] với hai lần kéo dài

về sau và một lần kéo dài về trước

Thời gian bác sỹ khám: hai phân bố

Biến đổi thời gian bận rộn trung bình

 Nếu thời gian phục vụ 18’: bận rộn 90%, 15’ : bận rộn 75%, 19,5’: bận rộn 97,5%

 Ba độ đo cốt lõi: thời gian đợi trung bình được bác sĩ khám; thời gian đợi trung bình cho những ai phải đợi; tỷ

lệ bệnh nhân phải đợi

 tác động của biến thiên và thay đổi thời gian dịch vụ theo thời gian phục vụ bình quân trên thời gian đợi trải nghiệm một bệnh nhân (giả sử mọi bệnh nhân đến đúng vào thời gian dự kiến của họ) Giá trị kéo dài nhỏ

Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều

Biến đổi thời gian bận rộn trung bình

 Trái: Ảnh hưởng thời gian phục vụ trung bình và biến đổi thời gian

dịch vụ theo tỷ lệ bệnh nhân những ai phải đợi cho dịch vụ với các bệnh nhân đến đúng như dự kiến

 Phải: Ảnh hưởng của thời gian dịch vụ trung bình và độ biến đổi thời

gian theo % bệnh nhân phải đợi khi bệnh nhân đến đúng hẹn

 Bệnh nhân phải đợi ngay khi (a) thời gian phục vụ bình quân là ít hơn so khoảng cách xuất hiện các bệnh nhân và (b) các khách hàng

Thời gian bận rộn bác sỹ khám: pb đều

Bệnh nhân trễ hẹn

 Bệnh nhân đến sớm: đợi do tự bản thân

 Bệnh nhân đến trễ: gây đợi cho người khác

 Thời gian đợi trung bình trên mọi bệnh nhân nếu bệnh nhân đồng đều đến trễ 5 phút so với hẹn

Bệnh nhân trễ hẹn: phân bố đều

Tác động biến thiên tăng phân bố thời gian phục vụ

 Trái: Tương ứng ngay trước: phân bố thời gian phục vụ

tam giác

 Thời gian đợi tăng lên dù thời gian phục vụ ít hơn thời gian bệnh nhân xuất hiện Khả năng xuất hiện nhỏ tới 31,5’ với trung bình 19’ với kéo dài 6’

 Phải: Thời gian đợi trung bình đối với bệnh nhân phải đợi

Ít hài long nhất

Phân bố thời gian phục vụ tam giác

 Số lượng chỗ đậu xe cho một trung tâm mua sắm

 Giúp mô hình hóa hang đợi

 Xe xuất hiện theo quá trình Poisson với 1200 chiếc/giờ (trung bình 20 xe/phút)

 Mỗi người ở lại trung tâm mua sắm 30’

 Nên xây dựng bao nhiêu lô để xe để 98% chắc chắn đủ ?

 Phân tích sơ bộ

 1200 xe/giờ và 20 phút ⇒ cần 3600 chỗ ?

 1200 xe/giờ song với 50:50 có số lượng xe lớn hơn 1200 trong một giờ Nếu chỉ có 3600 chỗ thì 50% trường hợp không đủ chỗ

 Phải chăng là 6000 ? Phải chăng là 7000 để 98% khả năng đủ chỗ ? Không đơn giản Xem phân bố Poisson

 Nếu xe xuất hiện phân bố Poisson và ở lại 3 giờ thì có giá trình trung bình 3600 xe

Ví dụ 2: Xác định số chỗ đậu xe

 Số lượng chỗ đậu xe cho một trung tâm mua sắm

 Phân tích sơ bộ

 Nếu xe xuất hiện phân bố Poisson và ở lại 3 giờ thì có giá trình trung bình 3600 xe Tương đương phân bố chuẩn với trung bình 3600 và độ lệch b/phương trung bình 60

 Cơ hội 2% biến n/nhiên phân bố chuẩn có giá trị cao hơn

2 độ lệch Xác suất 98%: số xe ≤ 3600+ 2*60=3720 (Thực tế 3723 p/bố Poisson) Số dự trữ nên là 3,4% khi

 ⇒ Lý thuyết hang đợi là sự thay thế tốt !

 Sơ bộ

 Kết nối toán học với hàng đợi/dòng chờ (waiting lines)

 Có hai tiếp cận cơ bản: (i) Mô hình dựa trên xấp xỉ dòng lỏng

(Newell, 1971): khung xác định hàng đợi, đặc biệt hữu ích trong

phân tích hàng đợi mà tỷ lệ đến trung bình vượt tốc độ phục vụ bình

quân trong thời gian dài gian; (ii) phân tích hàng đợi xác suất: một

khung ngẫu nhiên hàng đợi, hữu ích nhất trong phân tích hàng đợi

mà tỷ lệ xuất hiện ít hơn tỷ lệ dịch vụ trong thời gian dài.

2 Lý thuyết hang đợi

 Đầu vào cho mô hình hang đợi

a) Mô tả cách thức khách hàng xuất hiện vào hệ thống Quá

trình xuất hiện (arrival process) Chú ý đặc biệt: phân bố

xuất hiện khách hang theo thời gian

b) Mô tả cách thức khách hang được phục vụ Quá trình

phục vụ (service process) Chú ý đặc biệt: (i) ước lượng

trung bình và độ lệch bình phương trunh bình thời gian cần để phục vụ một khách hang; (ii) phân bố xác suất thực sự của thời gian cần để phục vụ khách hàng

c) Số lượng các phục vụ

d) Số lượng cực đại khách hang có thể đi vào hệ thống

Lý thuyết hàng đợi

Đầu vào cho mô hình hang đợi

e) Kích thước xâu (pool) khách hang

f) Cách thức mà khách hàng đợi được chọn để phục vụ

Quy tắc phục vụ (service discipline)

Giải thích

 Các đầu vào a), b), c) luôn cần Kendal phát triển lưu ý

chuẩn cho các đầu vào này X/Y/Z:

 X và Y là các chữ cái được dung để mô tả quá trình xuất hiện và quá trình phục vụ tương ứng,

 Z là sơ nguyên (có thể ∞ ) chỉ số lượng phục vụ

 X và Y để mô tả phân bố xác suất được dung trong mô

hình hóa thời gian xuất hiện và thời gian phục vụ khách hàng:

 M: Phân bố lũy thừa (Exponential Distribution), tương ứng với xuất hiện Poisson,

 Ek: Phân bố Erlang-k Phân bố Erlang-1 là phân bố lũy thừa, phân bố Erlang-k là tống k các phân bố lũy thừa phân tán xác

Đầu vào hàng đợi (2)

Phân bố xác suất được sử dụng

 HE: Phân bố mũ (Hyperexponential distribution)

 D: Xác định

 G, GI: Phân bố tổng quát với trung bình và độ lệch hữu hạn GI thường dung cho xuất hiện và ghi chú độc lập tổng quát, G thường được dung cho thời gian dịch vụ Trong cả hai trường hợp thì giả thiết : thời gian xuất hiện

và thời gian phục vụ là các biến ngẫu nhiên độc lập

Ví dụ

 M/M/1: Một dòng phục vụ đơn, phân bố t/gian xuất hiện

Poisson, phân bố thời gian phục vụ phân tán lũy thừa.

 M/Ek/1: phục vụ đơn, Posson xuất hiện, phân bố thời

gian phục vụ Erlang-k

 M/M/s: như M/M/1 song s máy phục vụ

 M/G/∞: M, phân bố thời gian phục vụ tổng quát, vô hạn máy

Đầu vào hang đợi

Giới thiệu

 Xuất hiện Poisson (hoặc thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa)

 Phục vụ: thời gian xuất hiện phân bố lũy thừa

 Markov: Phân bố lũy thừa có tính không nhớ

(memoryless) làm đơn gián mô hình hóa hang đợi, không

cần biết khách hang cuối đến là bao lâu

 Tập tối thiểu các output

 Số lượng trung bình trong hệ thống (hang đợi, dòng, phục vụ)

 Số lượng trung bình ở trong hang đợi (đợi để phục vụ)

 Thời gian trung bình trong hệ thống hoặc trong hang đợi

 Một số đầu ra quan tâm khác: thời gian trung bình khách

ở hang đợi/hệ thống, phân bố thời gian giữa xuất phát từ hang đợi

Hàng đợi Markov

Biến ngẫu nhiên

 Biến ngẫu nhiên là biến nhận giá trị về biến đổi cơ hội/từ kết quả một thực nghiệm thống kê; dùng chữ cái in hoa

 Mỗi giá trị của biến ngẫu nhiên có một xác suất cơ hội

 Kỳ vọng “expected value” E(X),

 Phương sai “variance” σ2(X), độ lệch chuẩn “standard deviation” σ(X)

 X biến ngẫu nhiên dương, hệ số biến thiên “coecient of variation” cX= σ(X)/E(X)

3 Một số kiến thức bổ túc về xác suất

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Cho X biến ngẫu nhiên

 X nhận giá trị đếm được (hữu hạn/vô hạn): biến ngẫu nhiên rời rạc

 Ví dụ: biến ngẫu nhiên tương ứng mặt “sấp”/”ngửa” ở

trên khi tung đồng xu: biến ngẫu nhiên rời rạc Tung liền hai lần (SS, SN, NS, NN)

 Tung viên xúc sắc sáu mặt có 6 giá trị …

 Bảng phân bố xác suất: Theo từng giá trị

 Biến ngẫu nhiên liên tục

 X nhận giá trị liên tục: Biến ngẫu nhiên liên tục

 Ví dụ: Biến ngẫu nhiên lốc xoáy xảy ra ở một vị trí trong không gian hai chiều là biến liên tục

Biến ngẫu nhiên rời rạc/liên tục

Phân bố hình học

 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 X có phân bố hình học với tham số p là

 Các đặc trưng

 Phân bố Poison

 Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc

 X có phân bố Poison với tham số µ là

 Các đặc trưng

Một số phân bố xác suất thông dụng

Phân bố mũ

 Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục dương

 Các đặc trưng

 Tính chất không nhớ “memoryless property”:

∀x>0, t>0:

có nghĩa là kỳ vọng phía sau t vẫn là 1/µ

 Nếu X1, X2, …, Xn là các biến ngẫu nhiên phân bố mũ độc lập thì min (X1, X2, …, Xn) một biến ngẫu nhiên phân

bố mũ với tham số và xác suất để Xi là nhỏ nhất i=1, 2, …, n

Phân bố mũ

Phân bố Erlang

 Cho X là biến ngầu nhiên liên lục trong miền t>0

 X có phân bố Erlang-k (k=1,2, …) với kỳ vọng k/µ nếu như X là tổng của k biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân bố mũ với kỳ vọng 1/µ

Sơ đồ “pha” của biến ngẫu nhiên Erlang

 Hàm mật độ của phân bố k-Erlang với kỳ vọng 1 và phương sai k

Phân bố Erlang

Khái niệm

 Các phân bố trước đây là trường hợp đặc biệt của phân

bố kiểu pha (phase-type distribution)

 Phân bố Coxi: Biến ngẫu nhiên X có phân bố Coxi bậc k nếu nó đi qua hầu hết k pha phân bố mũ Độ dài kỳ vọng của pha n là µn, n=1,2, …, k Nó bắt đầu từ pha 1, sau pha n nó kết thúc với xác suất 1-pn và nó đi tới pha tiếp theo với xác suất pn Rõ ràng pk=0 Với phân bố Cosi-2 thì

hệ số biến thiên ≥ 0.5

 Biến ngẫu nhiên X có phân bố Erlang kết hợp bậc k nếu

nó với xác suất pn là tổng của n phân bố mũ với cùng một

kỳ vọng 1/µ

Biến ngẫu nhiên phân bố kiểu pha

Phân bố Hyperexponential distribution

 X là biến ngẫu nhiên liên tục t>0

 X có phân bố siêu mũ với các xác suất pi (i=1,2, …, k) là biến ngẫu nhiên có phân bố mũ với kỳ vọng 1/µi

Định nghĩa các độ đo

 L: Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống,

 Lq: số trung bình khách hàng đợi để được phục vụ,

 W: thời gian trung bình trong hệ thống,

 Wq: thời gian trung bình trong hàng đợi đợi để được phục vụ,

 χ: tốc độ xuất hiện trung bình,

 µ: tốc độ phục vụ trung bình,

 1/µ: thời gian phục vụ trung bình

4 Độ đo hiệu năng cốt lõi

Tích lũy và trung bình

 Tổng số tích lũy phút-người trong khoảng [0,t]

 Thời gian đợi trung bình trong khoảng [0,t]: l(t)/(a(t)=W (t)

và số trung bình trong hệ thống là l(t)/t = L (t)

 Lấy giới hạn khi t→∞ :

Các độ đo bổ sung

Luật nhỏ

Số lượng trung bình khách hàng trong hệ thống bằng tích của tốc độ xuất hiện trung bình với thời gian trung bình trong hệ thống

Luật nhỏ và liên quan

Khái niệm quá trình Markov

 Quá trình Markov: một QT ngẫu nhiên mà xác suất có

điều kiện thuộc một trạng thái bất kỳ tại một thời điểm

tương lai “khi cho trạng thái hiện tại và trạng thái quá

khứ” bằng xác suất ở trạng thái đó trong tương lai khi cho

“chỉ trạng thái hiện tại”.

 lịch sử quá khứ của hệ thống không cung cấp thông tin

bất kỳ mà cần thiết để dự đoán trạng thái tương lai.

 trạng thái hệ thống thường được mô tả là số lượng khách

hàng trong hàng đợi, mặc dù ở một số hệ thống tiên tiến

hơn: mô tả khác nhau các trạng thái hệ thống sẽ cần thiết

5 Khung đối với hang đợi Markov

Đặt vấn đề

 Phát triển một khung chung phân tích hàng đợi Markov

 Phân bố mũ là phân bố không nhớ

 Ví dụ, nếu thời gian DV pb mũ với trung bình 15 phút; khách hàng hiện tại đã được phục vụ 12 phút (thậm chí

20 phút) không cho biết gì về thời gian khách hàng trong dịch vụ: giá trị trung bình vẫn là 15 phút

 Quá trình xuất hiện và quá trình dịch vụ đều không nhớ

Khung hàng đợi Markov

Một số tính chất bổ sung phân bố mũ

 Quá trình xuất hiện Poison với tốc độ xuất hiện χ

 Xác suất không xuất hiện trong thời đoạn ngắn ∆t

o((∆t)2) là các số hạng bậc (∆t)2 hoặc nhỏ hơn

 Với ∆t nhỏ, ta có:

 Xác suất của hai hay nhiều sự kiện trong một thời gian đủ ngắn về cơ bản là 0 và có thể bỏ qua Tương tự với quá trình phục vụ

 Trong khoảng ∆t nhỏ, xác suất không hoàn thành là 1-µ∆t

H/đợi Markov: Tính chất phân bố mũ

 Giả thiết tốc độ xuất hiện, tốc độ dịch vụ

 Phụ thuộc vào số lượng người trong hệ thống

 Xác suất ở trạng thái i với thời gian ngắn hiện tại là tổng:

 xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i-1 và có 1 khách hàng xuất hiện trong một thời gian ngắn

 xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i và không có khách xuất hiện hoặc hoàn tất dịch vụ trong khoảng thời gian ngắn.

 xác suất mà hệ thống hiện đang ở trạng thái i + 1 và có một khách hoàn thành dịch vụ trong khoảng thời gian ngắn

H/đợi Markov: Thiết lập phương trình

Biến đổi (3.5) và (3.6)

 Đưa Pi(t) về bên trái và chia cho ∆t

 Lấy giới hạn khi cho ∆t → 0:

 Phương trình Chapman-Kolmogorov

H/đợi Markov: Thiết lập phương trình

 ∀ trạng thái của một hàng đợi Markov

 Cung cấp các tỷ lệ về các xác suất thay đổi trạng thái như hàm theo thời gian

 Chưa đề cập số lượng phục vụ theo thời gian

 Ngầm định giả định có khả năng vô hạn trạng thái

 Phương trình (3.8)

 Có thể chỉnh đơn giản khi có hữu hạn trạng thái

 Đại lượng hữu hạn = số cư dân được phục vụ ở hệ thống

 Trung tâm cuộc gọi với hữu hạn các dòng

 Trung tâm đậu xe không cho phép xếp hàng

 Trung tâm chỉnh sửa thiết bị hàng không

Phương trình Chapman-Kolmogorov

 Mối quan tâm chính từ lý thuyết hàng đợi

 Ước tính dài hạn hiệu năng trung bình hệ thống

 Cần giả định: tỷ lệ xuất hiện và tỷ lệ phục vụ không phụ thuộc thời gian: χi(t)=χi và μi(t) = μi : ∀t

 “hệ thống được giả định hoạt động vô thời hạn thời gian”: tương đối hợp lý trong thực tế

 “hệ thống loại trừ việc “ngừng dịch vụ” vào cuối ngày”: khi đó tốc độ xuất hiện giảm tới 0

 Cho thêm Pi(t)= Pi và dPi(t)/dt=0

 Viết lại (3.8) và (3.9) theo các giả định trên

 Giải (3.9) với P1 theo Po , có

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

 Trình bày các phương trình

 Giải (3.9) với P1 theo Po , có

 Giải (3.10) với I = 1 có

 Chứng mình tổng quát hóa (xem Daskin)

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

 Kết hợp phương trình

cho phép tính xác suất mọi trạng thái

 Tính toán các độ đo cốt lõi

 và

Trong đó s là số lượng các phục vụ

P/trình cân bằng trạng thái ổn định

Hình 3.9

 Hai phương trình (3.9), (3.10) trạng thái ổn định

 χi , µi là các tỷ lệ thông lượng chuyển trạng thái lên/xuống

 Tại trạng thái ổn định tỷ lệ ra khỏi vòng tròn = tỷ lệ vào như phương trình trên đây

Cân bằng trạng thái ổn định

Hình 3.10: Cô lập trạng thái: xác suất dòng vào, ra như nhau

 Hình 3.11: Ở mọi điểm cắt

 Tốc độ mạng ở điểm cắt bất kỳ = 0

 Công thức (3.14) tỷ lệ trái = tỷ lệ phải

 Tính P theo P lại trở về (3.12)

Cô lập trạng thái

Công thức (3.11): trình bày mô hình cơ bản

 Áp dung cho một loạt bài toán hàng đợi Markov

 dòng xuất hiện: quá trình Poisson (có nghĩa là lần liên đoạn liên xuất hiện được phân bố mũ) với tốc độ χ cho mỗi đơn vị thời gian

 thời gian phục vụ: các biến ngẫu nhiên độc lập, phân

bố giống nhau, hàm mũ với tham số μ, hoặc thời gian phục vụ 1/μ

Ứng dụng của mô hình cơ bản

(3.11)