ks giáo viên toán vĩnh phúc 2016 2017

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  ĐỀ CHÍNH THỨC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - CẤP THCS Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề   x + x− x −3  x− x  − : + Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức P =  ÷  ÷ ÷ x −2÷  x +1 x − x −   x − x −  a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P < c) Tìm giá trị lớn P Câu (2,0 điểm) 3 x − y = 2m − ( 1) , x y ẩn, m tham số a) Cho hệ phương trình   x + y = 3m + Tìm tất giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) cho S = x + y đạt giá trị nhỏ b) Tìm số thực x, y thỏa mãn ( x + 1) + xy + y + y + x − y − = Câu (1,0 điểm) Hai tổ làm công việc 15 xong Nếu tổ I làm tổ II làm họ làm 25% công việc Hỏi tổ làm riêng công việc xong? Biết suất tổ không thay đổi trình làm việc Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) dây cung cố định AB < 2R Gọi K điểm cung nhỏ AB; N điểm tùy ý đoạn thẳng AB (N khác A, B) Nối KN kéo dài cắt ( O; R ) điểm thứ hai M Chứng minh a) Tam giác AKN tam giác MKA đồng dạng b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN c) Tổng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tam giác BMN không phụ thuộc vào vị trí điểm N Câu (1,0 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = 1, an +1 = 2an + 3an2 − , với n số nguyên dương Chứng minh số hạng dãy số ( an ) số nguyên -Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2016 -2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – CẤP THCS   x + x− x −3  x− x  − : + Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức P =  ÷  ÷ ÷ x −2÷  x +1 x − x −   x − x −  a) Rút gọn biểu thức P b) Chứng minh P < c) Tìm giá trị lớn P Nội dung a) x ≥ x ≠ Điểm 1,00 Điều kiện:  0,25  x +2 x − x −3   x− x  ⇒ P =  − : + ÷  ÷ ÷ x −2÷  x + ( x + 1)( x − 2)   ( x + 1)( x − 2)  0,25 = x−4− x+ x +3 x− x +2 x +2 : ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) 0,25 = x −1 x −1 Vậy P = x+ x +2 x+ x +2 0,25 b) 1,00 x ≥ x −1 −x − −1 = ta xét P -1= x+ x +2 x+ x +2 x ≠ −x − < ⇒ P −1 < ⇒ P < Do x ≥ ⇒ − x − < mà x + x + > ⇒ x+ x +2 Với  c) TH 1: Nếu ≤ x ≤ ⇔ ≤ x ≤ ⇔ −1 ≤ x − ≤ mà x + x + > ⇒ P ≤ (1) x > x ≠ 0,50 0,50 1,00 0,25 TH 2:  x + x + x −1+ x −1+ 4 ⇒ = = = x +1+1+ = x −1+ + P x −1 x −1 x −1 x −1 Do x > x ≠ nên x − > 0,25 >0 x −1 Áp dụng BĐT Côsi cho số dương ta được: 1 ≥ + ⇔ ≥ ⇔ P ≤ (2) P x −1 Từ (1) (2) ta suy P ≤ ⇔ x − = ⇔ x = Vậy Pmax = ⇔ x = Dấu “=” xảy ⇔ x − = x −1 x −1+ + http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 Câu (2,0 điểm) 3 x − y = 2m − ( 1) , x y ẩn, m tham số a) Cho hệ phương trình   x + y = 3m + Tìm tất giá trị m để hệ phương trình (1) có nghiệm ( x; y ) cho S = x + y đạt giá trị nhỏ b) Tìm số thực x, y thỏa mãn ( x + 1) + xy + y + y + x − y − = Nội dung a)  y = x − 2m + 3 x − y = 2m − ⇔   x + y = 3m +  x + ( x − 2m + 1) = 3m + x = m ⇔ y = m +1 x = m Thay  vào biểu thức S = x + y = m + ( m + 1) = 2m + 2m +  y = m +1 1 1  S = 2m + 2m + =  m + ÷ + ≥ 2 2  −1 Vậy S = ⇔ m = 2 b) Điều kiện: x − y − ≥ 0(*) PT ⇔ x + x + + xy + y + y + x − y − = ⇔ ( x + y ) + 2( x + y ).1 + + x − y − = ⇔ ( x + y + 1) + x − y − = ( x + y + 1) ≥ x + y +1 = ⇒ Do  2 x − y − =  x − y − ≥ x = ⇔ ⇒ Nghiệm phương trình (0; −1)  y = −1 Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Hai tổ làm công việc 15 xong Nếu tổ I làm tổ II làm họ làm 25% công việc Hỏi tổ làm riêng công việc xong? Biết suất tổ không thay đổi trình làm việc Nội dung Điểm Gọi thời gian tổ I làm xong công việc x (giờ, x > 15 ) Gọi thời gian tổ II làm xong công việc y (giờ, y > 15 ) Khi Năng suất tổ I (công việc) x 0,25 Năng suất tổ II (công việc) y Năng suất tổ (công việc) 15 http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1 + (công việc) x y 1 Theo ta có phương trình + = (1) x y 15 Trong tổ I làm (công việc) x Trong tổ II làm (công việc) y hai tổ làm 0,25 Theo đầu tổ I làm giờ, tổ II làm 25% công việc = 1 1  x + y = 15  (công việc) ta có hệ phương trình  Đặt 3 + =  x y 4 0,25  u = x  v = y  1   u + v = 15 u = 24  x = 24 ⇒ ⇒ ⇒ 1  y = 40 3u + 5v = v = 40   0,25 Vậy tổ I làm 24 tổ II làm 40 xong công việc Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cố định AB < 2R Gọi K điểm cung nhỏ AB; N điểm tùy ý đoạn thẳng AB (N khác A, B) Nối KN kéo dài cắt (O) điểm thứ hai M Chứng minh a) Tam giác AKN tam giác MKA đồng dạng b) Đường thẳng AK tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN c) Tổng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tam giác BMN không phụ thuộc vào vị trí điểm N Nội dung Điểm K A P N L Q B O O1 M O2 a) http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 1,00 » » · = sd KB = sd KA = ·AMK Ta có KAN 2 Kết hợp với ·AKN = ·AKM suy tam giác AKN đồng dạng với tam giác MKA b) Trên nửa mặt phẳng bờ AN có chứa tia AK kẻ tia Ax tiếp tuyến đường tròn ·  xAN = ·AMN · ⇒ xAN = ·AMN ngoại tiếp tam giác AMN Ta có:  ·  KAN = ·AMN Do Ax, AK thuộc nửa mặt phẳng bờ AN nên Ax trùng với AK Mà Ax tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ΔAMN, suy đpcm c) Gọi L, P, Q trung điểm AB, AN , BN O1 , O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN , BMN Khi ta có ·AO P = ·AO N = ·AMN ⇒ ·AO P = ·AMN (1) 1 » » · · = sd KB = sd KA = ·AMN ⇒ KAL = ·AMN ( ) Mặt khác KAL 2 · · Từ (1) (2) suy AO1P = KAL , kết hợp với ·APO1 = ·ALK = 900 suy tam giác AO1P đồng dạng với tam giác KAL O A AP KA AP KA AN ⇒ O1 A = = Từ suy = ( 3) KA KL KL KL KB.BQ KA.BN = Tương tự ta O2 Β = ( 4) KL KL KA AN KA.BN KA KA + = AB Từ (3) (4) suy O1 A + O2 Β = ( AN + BN ) = KL KL 2.KL 2.KL Do A, B, K , L cố định nên O1 A + O2 B không phụ thuộc vào vị trí điểm N 0,50 0,50 1,00 0,50 0,50 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) Cho dãy số ( an ) xác định a1 = 1, an +1 = 2an + 3an2 − , với n số nguyên dương Chứng minh số hạng dãy số ( an ) số nguyên Nội dung Chứng minh quy nạp ta an ≥ 1, ∀n ∈ ¥ * Từ giả thiết ta an +1 − an = an + 3an2 − > 0, ∀n ∈ ¥ * ⇒ an +1 > an , ∀n ∈ ¥ * (1) Ta có ( an +1 − 2an ) = 3an2 − ⇒ an2+1 − 4an +1an + an2 + = (2) Trong (2) thay n n + ta an2+ − 4an + an +1 + an2+1 + = (3) Từ (2) (3) ta an2+ − 4an + an +1 + an2+1 + = an2+1 − 4an+1an + an2 + Điểm 0,25 Suy an2+ − an2 = 4an+ an+1 − 4an +1an ( an+ − an ) ( an+ + an ) = 4an+1 ( an+ − an ) (4) Từ (1) (4) suy an + + an = 4an +1 , ∀n ∈ ¥ * ⇒ an + = 4an+1 − an , ∀n ∈ ¥ *(5) Ta có a1 = 1, a2 = , kết hợp với (5) phương pháp quy nạp ta số hạng dãy số ( an ) số nguyên - Hết - http://violet.vn/nguyenthienhuongvp77 0,25 0,25 0,25 ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2016 -2017 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN – CẤP THCS   x + x− x −3  x− x