20 bai toan lien quan den khao sat ham so

20 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số cho b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) điểm M, biết khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : y = 2x -1 √ Giải ( ) Khi ta có d(M, ) Gọi tiếp điểm M(x0; | | √ | = | √ | [ √ |=3 | | ( ( ) ) 0,5 [ [ +, Với +, Với ta có M(-1;0), suy tiếp tuyến y = y’(-1)(x+1) hay y = , ta có M( ), suy tiếp tuyến y = y’( )( )+ hay y = 8x – 0,5 Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – (m+1)x2 + 2m + có đồ thị (Cm), với m tham số thực a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = b Cho I (0; - ) Tìm m để (Cm) có điểm cực đại A, hai điểm cực tiểu B C cho tứ giác ABIC hình thoi Giải Ta có y’= x3 – 2(m + 1)x, với x (Cm) có điểm cực đại điểm cực tiểu y’ = có nghiệm phân biệt >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! (m + 1) >  m > -1 (1) Khi nghiệm phân biệt y’ = x = 0; x=-√ ( ) x =√ ( ) Điểm cực đại (Cm) A (0; 2m +1), hai điểm cực tiểu B(-√ ( ) -m2) C (√ ( ) ; -m2) 0,5 Nhận thấy AI vuông góc với BC H (0; -m2) H trung điểm BC Do tứ giác ABIC hình thoi H trung điểm AI Hay { -2 m2 = 2m + - m = m = - 0,5 Đối chiếu với điều kiện (1) ta giá trị m m = Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 3(m+2)x + 4m – có đồ thị (Cm), với m tham số thực a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = b Tìm m để (Cm) tồn điểm có hoành độ lớn cho tiếp tuyến điểm (Cm) vuông góc với đường thẳng d: x + 2y + = Giải Đường thẳng d có hệ số góc k = - Do tiếp tuyến (Cm) vuông góc với d có hệ số góc k’ = Ta có y’ = k’ 3x2 – 12x + 3(m+2) = 3x2 – 12x + = -3m (1) 0,5 Yêu cầu toán tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn Xét hàm số f(x) = 3x2 – 12x + (1; + ) Ta có bảng biến thiên: x f(x) + + + -5 -8 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Dựa vào bảng biến thiên ta suy phương trình f(x) = - có nghiệm phân biệt lớn – < - 3m < -5 0, với m Suy phương trình (1) có nghiệm phân biệt Hơn nghiệm x1; x2 khác Do d cắt (H) điểm phân biệt M(x1; y1), N(x2; y2) Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x1 – 1; y1), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (x2 – 1; y2), Tam giác AMN vuông A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = Hay (x1 – 1) (x2 – 1) + y1y2 = (x1 – 1) (x2 – 1) + (x1 +m) (x2 + m) = 10 x1x2 + (m – 9)(x1+x2) + m2 + = (2) 0,5 Áp dụng định lý Viet ta có x1+x2 = - m – 5; x1x2 = - m – Thay vào (2) ta 10 (-m-9) + (m-9)(-m-5) + m2 + = -6m – 36 = m=-6 Vậy giá trị m m = -6 Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho b Gọi I giao điểm đường tiệm cận (H) Viết phương trình tiếp tuyến d (H) điểm M thỏa mãn IM vuông góc với d Giải Gọi M (x0; ) , x0 tiếp điểm Khi phương trình tiếp tuyến M >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! D: y = ( ) (x-x0) + , hay d: x + ( ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ = Do IM vuông góc với d - 2x0 + 2) = 0,5 ) ; -1) Ta có I (2;1) nên⃗⃗⃗⃗⃗ = (x0 – 2; Suy VTCP d ⃗⃗⃗⃗ = (( (x0 – 2)4 = ) y–( ( ) - )=0 =0 [ + Với x0 = 3, phương trình tiếp tuyến y = - (x – 3) + hay y = -x + 0,5 + Với x0 = 1, phương trình tiếp tuyến y = - (x-1) hay y = - x +1 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn toán y = -x + y = - x +1 Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + (1) , với m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị tạo thành tam giác có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ Giải Ta có y’ = x3 – 4mx = (x2 – 3m) Đồ thị hàm số có điểm cực trị phương trình y’ = có nghiệm phân biệt m>0 0,5 Khi đồ thị hàm số có điểm cực trị A (0;2), B(-√ ; 2-3m2) C(√ ; 22 3m ) Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp trùng gốc tọa độ OA = OB = OC 2=√ ( m (m-1)(3m2 + 3m – 1) = ) [ √ 0,5 Kết hợp điều kiện m > ta có giá trị m m = 1; m = √ Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! b Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp điểm tiếp tuyến với (H) cách điểm A (0;1) khoảng cách Giải Gọi M(x0; tiếp điểm Theo ta có MA = ) , x0 Hay x02 + ( )2 = )2 = x0 + ( x0 (x0 – 2) (x02 + 4x0 + 6) = (x0 ) 0,5 [ + Với x0 = 0, phương trình tiếp tuyến y = y’(0)(x-0)+y(0) hay y = 3x -1 + Với x0 = 2, phương trình tiếp tuyến y =y’(2)(x-2)+y(2) hay y = x+ 0,5 Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn toán y = 3x -1 y = x+ Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 - (m-2)x2 – 3(m-1)x + (1), m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -2 b Tìm m > để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu yCĐ; yCT thỏa mãn yCĐ + yCT = Giải Ta có y’ = 3x2 – 3(m-2)x – 3(m-1) , y’ = x2 – (m-2)x – m + = [ 0,5 Chú ý với m >0 x1 ta có giá trị m m = 1; √ >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Bài (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số y = Tìm m để đường thẳng d: y = -x + m cắt (H) điểm A, B thỏa mãn AB = 2√ Giải Hoành độ giao điểm d (H) nghiệm phương trình: = -x + m - 2x + = (x+1)(-x+m), x x2 – (m+1)x – m +1 = (1) 0,5 (m+1)2 – 4(-m+1) >0 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt m2 + 6m – >0 √ √ [ (2) Khi A(x1 ; -x1 + m), B(x2 ; -x2 + m), với x1 + x2 = m + 1; x1x2 = -m +1 Từ giả thiết ta có AB2 = (x2 – x1)2 = (x1 + x2)2 - x1x2 = (m +1)2 – 4(-m +1) = [ (x2 – x1)2 + (x2 – x1)2 = m2 + 6m – = 0,5 Đối chiếu với (2) ta có giá trị cần tìm m m = 1, m = -7 Bài 10 (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số y = x4 -3x2 – 2 Tìm số thực dương a để đường thẳng y = x cắt (C ) điểm A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O Giải Hoành độ giao điểm đường thẳng y = a với (C ) nghiệm phương trình x4 - 3x2 – – a = hay x4 – 3x2 – – a = (1) Rõ ràng với a > phương trình (1) có hai nghiệm thực trái dấu, nghĩa đường thẳng y = a cắt (C ) hai điểm phân biệt A(xA; a) B(xB; a), xA < xB 0,5 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Ta có xA + xB = (2) ⃗⃗⃗⃗⃗ = (xA; a) , ⃗⃗⃗⃗⃗ = (xB; a) Theo giả thiết tam giác OAB vuông O nên ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ = hay xA xB + a2 = Kết hợp với (2) ta xA = -a, xB = a Do xA, xB nghiệm (1) nên a4 - 3a2 – a – = (a-2)(a3 + 2a2 + a + 1) = a= (vì a > 0) 0,5 kết toán a = Bài 11 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + m + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị cho đường thẳng qua điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải Ta có y’ = 3x2 – 6x + 3m Đồ thị hàm số có điểm cực trị pt y’ = có nghiệm phân biệt ’ = – 9m > (*) Khi gọi điểm cực trị A(x1; y1) , B(x2; y2) Ta có y = ( Do y1 = ( ) [2(m-1)x + 2m + 2] ) ( ) [2(m-1)x1 + 2m + 2] = 2(m-1)x1 + 2m + y2 = 2(m-1)x2 + 2m + 0,5 Suy tọa độ A, B thỏa mãn pt: y = 2(m – 1)x + 2m + 2, hay pt AB y = 2(m-1)x + 2m + Ta có giao điểm AB với Ox, Oy M (- ;0) , N(0; 2m +2) Yêu cầu toán | (m +1)2 = | SOMN = | [ OM.ON = ( ( ) ) ( ) |.| | 0,5 >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! [ thỏa mãn (*) Bài 12 (2,0 điểm) Cho hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số cho Gọi I giao điểm hai tiệm cận (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H) cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến lớn Giải hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi phương trình Gọi x0 tiếp tuyến là: ( ) ( ) 0,5 Hay : x + (2x0 – 3)2 y – 2x02 + 4x0 – = Suy khoảng cách từ I đến d= | ( ) √ | ( ) : = | | ( √ | ) | √ | | = √ 0,5 Dấu đẳng thức xảy (2x0 – 3)2 = hay xo = x0 = Từ ta có tiếp tuyến cần tìm y = -x + 1; y = -x +3 Bài 13 (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 -4 Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình (x + 2)2 = | | Giải Ta có (x + 2) = | | Xét hàm số f(x) = | | |(x2 + 4x + 4) = m, x |(x2 + 4x + 4) = { 0,5 ( ) Suy đồ thị hàm số y = f(x) gồm phần đồ thị (C ) với x > đối xứng phần đồ thị (C ) với x > Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! + 0- (1) 9m2 – 4m +1) Khi có điểm cực trị đồ thị A(0; 2m +2), B(-√ C(√ 9m2 – 4m +1) 0,5 Rõ ràng tam giác ABC cân A trung tuyến kẻ từ A thuộc Oy Do O trọng tâm tam giác ABC yA + 2yB = Hay 2m + + 2( 9m2 – 4m +1) = 9m2 + 3m – = [ 0,5 Kết hợp với (1) suy giá trị m m = Bài 15 (2,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (H) hàm số y = Tìm (H) điểm A, B cho độ dài AB = đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y =x Giải Vì đường thẳng AB vuông góc với y = x nên pt AB y = - x +m Hoành độ A, B nghiệm phươg trình x2 – (m+3)x + 2m + = 0, x = - x+ m hay phương trình (1) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! Do pt (1) có = (m+3)2 – 4(2m +1) = m2 – 2m + > 0, biệt x1; x2 hai nghiệm khác nên có nghiệm phân Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = m + 3; x1x2 = 2m +1 Theo giả thiết ta có AB2 = 16 (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = 16 (x2 – x1)2 + (-x2 + m + x1 – m)2 = 16 (m+3)2 – 4(2m+1) = (x2 – x1)2 = m2 – 2m – = + Với m = pt (1) trở thành x2 – 6x + = √ ( √ ), ( √ ) √ m = m = -1 x= √ Suy hai điểm A, B cần tìm 0,5 √ ), (1 √ + Với m = -1 ta có hai điểm A, B cần tìm (1 √ Vậy cặp điểm thỏa mãn ( (x2 + x1)2 – 4x1x2 = √ ), ( √ √ √ ) ; (1 √ √ ) √ ), √ ) (1 √ Bài 16 (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 – (2m +1)x2 + (m+2)x + có đồ thị (Cm), m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = 2 Gọi A giao điểm (Cm) với trục tung Tìm m cho tiếp tuyến (Cm) A tạo vơí hai trục tọa độ tam giác có diện tích Giải Ta có A(0; ) y’ = 4x2 – (2m +1) x + m + Suy y’ (0) = m + Tiếp tuyến đồ thị A d: y = (m+2)x + Đường thẳng d cắt Ox B ( ; 0) 0,5 Khi diện tích tam giác tạo d với hai trục tọa độ S= OA OB = | Theo giả thiết ta có | |= | = | 0,5 | | | m=- m = - >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 10 Bài 17 (2,0 điểm) Cho hàm số y = Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Viết phương trình tiếp tuyến (C ) biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C ) đến tiếp tuyến 2√ Giải ( ), y0 = Giả sử M(x0 ; y0) = ( ) 4x - ( (x-x0) + | Theo d(I; ) = 2√ ( Khi phương trình tiếp tuyến M : y , ) -8( ) y + (x02 – 6x0 – 3) = ( ) √ ( ( | ) 0,5 = 2√ ) + 16 = [ 0,5 ta có pt tiếp tuyến y = x – + Với ta có pt tiếp tuyến y = x +6 + Với Bài 18 (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt | | = m2 – m + Giải Phương trình | | = m2 – m + có nghiệm phân biệt tương đương đường thẳng y = m2 – m + cắt đồ thị hàm số y =| Đồ thị y = | | gồm phần (C ) phía trục Ox đối xứng phần (C) phía trục Ox qua Ox 0,5 Từ đồ thị suy yêu cầu toán m2 – m < | điểm phân biệt 0 Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 11 Bài 19 (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x3 + (m -1)x2 + (3m -2)x - có đồ thị (Cm) , m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = 2 Tìm m để (Cm) có hai điểm phân biệt M1(x1; y1) , M2(x2; y2) thỏa mãn x1x2 > tiếp tuyến (Cm) điểm vuông góc với đường thẳng d: x – 3y + = Giải Ta có hệ số góc d: x – 3y + = kd = Do x1; x2 nghiệm phương trình y’ = -3 hay -2x2 + 2(m-1)x + 3m -2 = -3 2x2 – 2(m -1) x – 3m -1 = (1) Yêu cầu toán { ( 0,5 pt (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 > ) ( ) Vậy kết toán { 0,5 Bài 20 (2,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (Hm), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng d: 2x + 2y – = cắt (Hm) điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S = Giải Hoành độ giao điểm A, B d (Hm) nghiệm phương trình =-x+ 2x2 + x + 2(m -1) = , x Pt (1) có nghiệm x1; x2 phân biệt khác -2 { Ta có AB = √( (1) { ( ) ( ) 0,5 ) ( ) = √ √( ) >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 12 = √ √( ) = √ √ Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d h = Suy SOAB = h AB = √ √ 0,5 √ = m = thỏa mãn >> Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 13 ... (1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn x1 x2 > ) ( ) Vậy kết toán { 0,5 Bài 20 (2,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị (Hm), với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường... tuyến thỏa mãn toán y = -x + y = - x +1 Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = x4 – 2mx2 + (1) , với m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị... tuyến thỏa mãn toán y = 3x -1 y = x+ Bài (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 - (m-2)x2 – 3(m-1)x + (1), m tham số a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m = -2 b Tìm m > để đồ thị hàm số (1) có giá trị