Toán cao cấp cho khối kinh tế dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

Toán cao cấp cho khối kinh tế dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG

- -BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C

NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ

ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN

QuảngNgãi, tháng 04 - 2016

GIỚI THIỆU HỌC PHẦN

Toán cao cấp C là chương trình Toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế.Nội dung của toán cao cấp C gồm 2 phần: Giải tích và Đại số Phần giải tích gồmnhững kiến thức cơ bản hàm số, giới hạn và liên tục, đạo hàm và vi phân, nguyênhàm và tích phân của hàm một biến số Các khái niệm cơ bản của hàm số nhiều biến

số thực Phương trình vi phân Phần đại số gồm ma trận, định thức, hệ phươngtuyến tính Đặc biệt là các ứng dụng các nội dung nêu trên trong chuyên ngành kinhtế

Tập bài giảng này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2014 củaTrường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kinh tế theo học chế tín chỉ Chương trình có 7 chương ứng với 3 tín chỉ (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học).Chương I: Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số một biến

Sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về hàm số, các hàm số thườngdùng trong ngành kinh tế, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục,

Chương II: Đạo hàm và vi phân của hàm số một biến

Sinh viên nắm chắc khái niệm, cách tính và ý nghĩa đạo hàm, vi phân các cấpcủa hàm số Áp dụng của đạo hàm vi phân trong chuyên ngành kinh tế

Chương III: Tích phân của hàm số một biến

Sinh viên nắm vững định nghĩa, các phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xácđịnh của các hàm số (Hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ ) Nắm và biết khaithác các ứng dụng của tích phân trong ngành kinh tế và cuối cùng nắm được tíchphân suy rộng

Chương IV: Hàm số nhiều biến số

Sinh viên nắm vững các khái niệm cơ bản về hàm nhiều biến số, các vấn đề vềtính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số nhiều biến

số Áp dụng trong kinh tế

Chương V: Phương trình vi phân

Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp 1, 2 thườnggặp

Chương VI: Định thức - Ma trận

Sinh viên nắm được định nghĩa, tính chất, cách tính định thức, các phép toán vàtìm hạng của ma trận

Chương VII: Hệ phương trình tuyến tính

Sinh viên nắm được khái niệm hệ phương trình tuyến tính, điều kiện tồn tạinghiệm và các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Các mô hình tuyếntính trong phân tích kinh tế,

Trong mỗi chương sau việc trình bày lý thuyết đều có nêu lên các thí dụ đểminh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc thuật toán để giúp sinh viên dễ dàngtrong tiếp thu bài học, cũng như tự học Cuối chương có các câu hỏi và bài tậpluyện tập, giúp sinh viên nắm chắc hơn lý thuyết và kiểm tra mức độ tiếp thu bàihọc Sinh viên cần trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ bài tập sau mỗi chương

Để học tốt học phần này, sinh viên cần chú ý những vấn đề sau:

+ Thu thập đầy đủ các tài liệu tham khảo.

- Tài liệu bắt buộc:

[1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông, Giáo trình toán

cao cấp B và C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM.

[2] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân

- Tài liệu tham khảo:

[3] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp 1, ĐHQG Tp HCM.

[4] Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II ,

MỤC LỤC

GIỚI THIỆU MÔN HỌC 2

Chương 1 HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 6

1.1 Hàm số 6

1.3 Các hàm số đặc biệt 8

1.4 Các hàm số sơ cấp cơ bản 10

1.5 Giới hạn hàm số 11

1.6 Sự liên tục của hàm số 19

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN 24

2.1 Đạo hàm 24

2.2 Sự khả vi và vi phân hàm số 29

2.3 Các định lý về hàm số khả vi 31

2.4 Ứng dụng của đạo hàm 37

Chương 3 TÍCH PHÂN 46

3.1 Nguyên hàm và tích phân không xác định 46

3.2 Các phương pháp cơ bản tính tích phân 47

3.3 Tích phân các hàm số thường gặp 49

3.4 Tích phân xác định 53

3.6 Ứng dụng của tích phân trong kinh tế 61

Chương 4 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 68

4.1 Các khái niệm cơ bản 68

4.2 Giới hạn và tính liên tục của hàm số nhiều biến 69

4.3 Đạo hàm riêng 71

4.4 Sự khả vi và vi phân toàn phần 73

4.5 Cực trị của hàm số hai biến 75

Chương 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 85

5.1 Các khái niệm cơ bản 85

5.2 Phương trình vi phân cấp 1 86

5.3 Phương trình vi phân cấp 2 92

CHƯƠNG 6: MA TRẬN- ĐỊNH THỨC 99

6.1 Ma trận 99

6.2 Định thức 103

CHƯƠNG 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 113

7.1 Hệ phương trình tuyến tính 113

7.2 Các mô hình tuyến tính trong phân tích kinh tế 117

TÀI LIỆU THAM KHẢO 126

1 HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.1 Hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X  R

Hàm số một biến xác định trên tập X ( X  R) là một một quy tắc sao cho

ứng với mỗi giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y

Kí hiệu y = f(x)

· x được gọi là biến số độc lập, y được gọi là biến số phụ thuộc

· X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df

TậpY  f X( ) y R x X y  ;  f x( ) được gọi là tập giá trị của hàm số

Nếu x x0 X thì y 0 f(x0) gọi là giá trị của hàm số tại x0

1.1.2 Các phương pháp cho hàm số

1.1.2.1 Phương pháp giải tích

Cho hàm số bởi một đẳng thức mà vế thứ nhất là giá trị y của hàm tại x, vế thứhai là một hoặc nhiều biểu thức giải tích đối với x Tập xác định của hàm số là tậpcác giá trị của đối số x để biểu thức có nghĩa

Thí dụ 1.2.1 a Hàm số y 4x2 có tập xác định là tập những giá trị của x saocho 4 x2      0 2 x 2

lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim Nhược điểm của phương pháp cho hàm sốbằng đồ thị là không thật chính xác.

Chú ý: Người ta thường viết lại hàm số ngược của hàm số y f x ( ) là y f1( )x

thay cho hàm x f1( )y Đồ thị hai hàm số ngược nhau đối xứng nhau qua đườngphân giác thứ nhất

- Tăng (hoặc giảm) trong khoảng  a b, nếu x x1, 2( , ) :a b x1  x2 thì

Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f x( ) được gọi là bị chặn trên (hoặc dưới) trong tập

D X (X là miền xác định), nếu tồn tại MR sao cho ta có: f x( ) M (hoặc

( )

f x M ) với  x D

Hàm số y f x( ) được gọi là bị chặn trong tập D nếu nó vừa bị chặn trên, vừa

bị chặn dưới trong tập D Nghĩa là tồn tại MR M:  0 sao cho f x( ) M;  x D

Thí dụ 1.3.2 Hàm số ysinxlà các hàm số bị chặn trong R vì sinx 1;  x R

f  x f x

Hàm số y x3 là hàm số lẻ trên R vì     x R x R và f(    x) x3 f x( )

1.3.3.2 Tính chất

- Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

- Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

1.3.4 Hàm số tuần hoàn

1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số y f x( ) xác định trên tập D

Hàm số y  f x( ) được gọi là hàm số tuần hoàn trên D   [ x D,

1.3.4.2 Chu kỳ của hàm tuần hoàn

Định nghĩa 1.3.5 Giả sử y f x( ) là hàm số tuần hoàn trên tập D Nếu tồn tại sốdương T nhỏ nhất sao cho: f x kT(  )  f x( );  x D;  k Z thì T được gọi là chu kỳ

của hàm tuần hoàn y f x( )

Thí dụ 1.3.4 Hàm số y tanx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ T 

1.3.5 Một số hàm số thường dùng trong kinh tế

Trong thực tiễn ngành kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số như hàmcung, hàm cầu, hàm sản xuất, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm lợi nhuận,

- Đồ thị hàm cung và hàm cầu (đường cung và đường cầu) cắt nhau tại một điểm

là điểm cân bằng thị trường: Điểm cân bằng thị trường là điểm  Q p, trong đó Q làlượng hàng hóa cân bằng và p là giá cân bằng

1.3.5.2 Hàm sản xuất ngắn hạn

Trong kinh tế “Ngắn hạn là khoảng thời gian mà ít nhất một trong các yếu tốsản xuất không thể thay đổi Dài hạn là khoảng thời gian mà tất cả các yếu tổ sảnxuất có thể thay đổi”

Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quantrọng là vốn và lao động được ký hiệu tương ứng là K và L Trong ngắn hạn Kkhông đổi, do đó hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q f L 

1.3.5.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí và hàm lợi nhuận

Tổng doanh thu, tổng chi phí và tổng lợi nhuận của nhà sản xuất phụ thuộc vàosản lượng hàng hóa Khi phân tích sản xuất các nhà kinh tế học còn sử dụng cáchàm số:

 Hàm doanh thu là hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng doanh thu (ký hiệu

là TR) vào sản lượng (ký hiệu là Q): TR TR Q  

Chẳng hạn, tổng doanh thu của nhà sản xuất cạnh tranh là hàm bậc nhất: TR p Q.

 Hàm chi phí là hàm biểu diễn sự phụ thuộc của tổng chi phí sản xuất (ký hiệu

là TC) vào sản lượng (ký hiệu là Q): TC TC Q  

 Hàm lợi nhuận là hàm số biểu thị sự phụ thuộc của tổng lợi nhuận (ký hiệu là

) vào sản lượng (ký hiệu là Q):    Q

Hàm lợi nhuận có thể được xác định thông qua hàm doanh thu và hàm chi phí(Chưa tính thuế):  TR Q( ) TC Q( )

+ Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx

+ Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược của các hàm số lượnggiác sau đây:

1.4.1.1 Hàm số y = arcsinx là hàm số ngược của y = sinx

sinarc sinx = y

Hàm số y = arccosx có tập xác định là [-1,1] và có miền giá trị là 0, 

1.4.1.3 Hàm số y =arctanx là hàm số ngược của hàm số y= tan x

arc tanx=y  x = tan y với y  ;

1.4.1.4 Hàm số y = arccotx là hàm số ngược của hàm số y = cotx

arc cot x = y  cot y = x với y 0;

Hàm số y = arccotx có tập xác định là (   , )và có miền giá trị là 0,

1.4.2 Hàm số sơ cấp

Định nghĩa 1.4.2 Hàm số sơ cấp là hàm số được tạo thành từ các hàm số sơ cấp cơbản nhờ các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lập hàm số hợp, phép lập hàm sốngược

1.5.1.1 Lân cận của một điểm

Định nghĩa 1.5.1 Cho điểm x 0 R và  0 Lân cận của điểm x0 bán kính là tậptất cả các điểm x  R sao cho x x 0  Ký hiệu: U( )x0 hoặc U(x0)

Vậy: U x( ) 0  x R x0     x x0  x0 ,x0  .

Do đó lân cận của điểm x0 chính là khoảng nhận x0 làm tâm bán kính 

Thí dụ 1.5.1 Lân cận điểm x = 1 bán kính bằng 2 là khoảng 1 2,1 2      1,3

1.5.1.2 Các định nghĩa giới hạn của hàm số.

Định nghĩa 1.5.2 (Theo ngôn ngữ   )

Cho hàm số y f x( ) xác định trong lân cận U(x0), (có thể trừ x0)

Số L được gọi là giới hạn của hàm số f x( ) khi x dần về x0 nếu    0 cho trước bétùy ý,    ( ) 0  sao cho  x U x( ) : 00  x x0   f x( ) L 

Ký hiệu:x xlim ( )0 f x L hay f x( )L khi x  x0

Thí dụ 1.5.2 Dùng định nghĩa chứng minh lim(4x2 x 1) 9.

Định nghĩa 1.5.3 (Theo ngôn ngữ dãy số)

Cho hàm số y f x( ) xác định trong lân cận U(x0), (có thể trừ x0)

Số L được gọi là giới hạn của hàm số f x( ) khi x dần về x0 nếu với mọi dãy số

 x n mà x n U x( )0 và x n x0 khi n  thì dãy các giá trị tương ứng của hàm

Thí dụ 1.5.3 Chứng minh rằng hàm f x( ) sin1

x

 không có giới hạn khi x 0

Giải: Thật vậy lấy 2 dãy  x n ,  /

Số L được gọi là giới hạn phải của hàm số f x( ) khi x dần về x0 nếu   0 chotrước bé tùy ý,    ( ) 0  sao cho mọi x thuộc lân cận phải của x0 thỏa mãn

1.5.2 Giới hạn ở vô tận và giới hạn vô tận:

1.5.2.1 Giới hạn ở vô tận

Định nghĩa 1.5.5 Cho hàm số y f x( ) xác định tại mọi x có x khá lớn

Hàm f(x) được gọi là có giới hạn L khi x  , nếu  0 cho trước bétuỳ ý, luôn luôn tồn tại số M  0 lớn tùy ý sao cho khi xM thì f(x)  L   Kýhiệu: lim ( )x f x  L .

Hàm f(x) được gọi là có giới hạn L khi x  , nếu    0 cho trước bétuỳ ý, luôn luôn tồn tại số M  0 lớn tùy ý sao cho khi x  M thì f(x)  L 

Ký hiệu: xlim ( )f x L

Thí dụ 1.5.4 Chứng minh rằng lim 1 0

Với   0 cho trước, nếu muốn có 1 0 x 1

x x  .Với mọi số A 0 cho trước lớn tùy ý ta có 12 A 0

3 Nếu f x( ) g x( ) trong lân cận nào đó của x0 và khi xx0 các hàm f(x),

g(x) hội tụ thì xlim ( ) lim ( )x0 f x x x0g x

Định lý 1.5.3 Nếu f(x) và g(x) hội tụ khi xx0 thì ( ) ( ); ( ) ( ); ( )

Hệ quả 1 Nếu tồn tại lim ( )x x0 f x và k c onst thì lim ( )xx0k f x k lim ( )xx0 f x .

Hệ quả 2 Nếu f x f x1 ( ), 2 ( ), , f x n( ) là một số hữu hạn các hàm số có giới hạn khi

Định lý 1.5.5 (Giới hạn của hàm số sơ cấp)

Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x0 và lân cận x0 thì lim ( )0 ( )0



1.5.5 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn

1.5.5.1 Tiêu chuẩn 1 (Nguyên lý kẹp)

Định lý 1.5.6 Nếu g x( ) f x  h x ; x U x 0 và lim ( ) lim ( )x x0g x x x0h x L

Thí dụ 1.5.8 Tính các giới hạn sau

0

sin5x-sin3xlim

x



1.5.5.2 Tiêu chuẩn 2 (đơn điệu bị chặn)

Định lý 1.5.7 Nếu hàm f(x) là hàm số tăng và bị chặn trên trong khoảng (a,b) thìhàm f(x) có giới hạn bên trái khi xb

Định lý 1.5.8 Nếu hàm f x( ) là hàm số giảm và bị chặn dưới trong khoảng (a,b) thìhàm f x( ) có giới hạn bên phải khi xa

- Áp dụng tiêu chuẩn 2 chứng minh được sự tồn tại giới hạn của 1 1

1

x x

x x

Định lý 1.5.9

( ) ( )lim ( )

Định lý 1.5.10 Trong quá trình nào đó thì tổng các VCB là VCB

Tích của một VCB và 1 đại lượng bị chặn là VCB và nghịch đảo của VCB là VCL.Thí dụ 1.5.11 2

)(

thì ta nói (x) là một VCB bậc cao hơn VCB (x)

hay (x) là một VCB bậc thấp hơn VCB ( ) x trong quá trình đó

+ Nếu lim ( ) 0

( )

x k x

Khi x 0 ta chứng minh được các VCB sau tương đương sau:

sinax ax~ ; (a 0) ; arctanax ax~ ; (a 0)

1 ln

+ Nếu 0

)(

)(

thì ta nói ( )x và ( )x là hai VCL cùng bậc trong

quá trình đó Đặc biệt, nếu L 1 thì ta nói  ( )x và ( )x là hai VCL tương đương

trong quá trình đó

Thí dụ 1.5.13 Khi x   thì x5là VCL bậc cao hơn các VCL x x x x4, 3, 2,

1.5.6.6 Áp dụng VCB hoặc VCL trong tìm giới hạn

a Thay thế tương đương:

tương ứng trong các tổng f x g x( ), ( ) thì 1

1

( ) ( )

1 tan

2 lim tan00

lim 1

x x x

x x

1.6.1.1 Sự liên tục của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1.6.1 Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu thoả mãn

2 điều kiện:

+ f x( ) xác định tại x0và trong lân cận x0

+ lim ( ) ( 0)

0

x f x

Định nghĩa 1.6.2 Hàm số y  f x( ) được gọi là liên tục trái tại x nếu 0

+ f x( ) xác định tại x và trong lân cận trái 0 x0

+ lim ( ) ( 0)

0

x f x f

x



Tương tự hàm số f x( ) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu

+ f x( ) xác định tại x0 và trong lân cận phảix0

+ lim ( ) ( 0)

0

x f x f

x

Định lý 1.6.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số y f x( ) liên tục tại x0 là y f x( )

liên tục trái và liên tục phải tại x0

1.6.1.3 Sự liên tục trong khoảng

và trên một đoạn

Định nghĩa 1.6.3 Hàm số y f x( )

được gọi là liên tục trong khoảng

a; b nếu nó liên tục tại mọi

x a b

Hàm số y f x( ) được gọi là

liên tục trên đoạn a; b nếu nó liên

tục trong khoảng a; b và liên tục

trái tại b, liên tục phải tại a

1.6.1.4 Ý nghĩa hình học của hàm

số liên tục

A

BA

Hình 1.1

Nếu hàm số y f x( ) liên tục trên đoạn a; b thì đồ thị của nó là một đường liền nétnối điểm Aa;f(a) và Bb ; b f( ) (Hình 1.1)

1.6.2 Các phép toán trên hàm số liên tục

1.6.2.1 Tổng, hiệu, tích, thương các hàm số liên tục

Định lý 1.6.2 Nếu hàm số f x g x( ); ( )liên tục tại x0 thì ( ) ( ), ( ) ( ), ( )

1.6.2.3 Sự liên tục của hàm số ngược

Định lý 1.6.4 Hàm số liên tục và đơn điệu trong một khoảng thì có hàm số ngược

và hàm số ngược cũng đơn điệu, liên tục

1.6.3 Sự liên tục của hàm số sơ cấp

Định lý 1.6.5 Mọi hàm số sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó

Thí dụ 1.6.3 Hàm số y  s inx 3  là hàm sơ cấp xác định trên R nên nó liên tục trêntoàn trục số

1.6.4 Các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn

f

m ( 1) ( ) ( 2) ;  x  a b,

1.6.4.3 Nhận giá trị trung gian

Định lý 1.6.8 (Bolzano-Cauchy) Nếu f x( )liên tục trên đoạn  a b, và có

M

m   với m; M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f x( ) trên đoạn

đó thì tồn tại ít nhất một điểm c a b, sao cho f c( ) 

Hệ quả: Nếu f x( ) liên tục trên đoạn  a b, và có ( ) ( ) 0f a f b  thì tồn tại ítnhất một điểm c a b, sao cho f c( ) 0  tức là phương trình f x( ) 0  có ít nhấtmột nghiệm trong ( , )a b

1.6.4.4 Bảo toàn dấu của hàm số liên tục

Định lý 1.6.9 Nếu f x( ) liên tục trên đoạn  a b, , x0  a b, và f x( ) 00  hoặc (

0

( ) 0)

f x  thì U x( )0 ( , )a b sao cho  x U x( ) : ( ) 00 f x  ( hoặc f x( ) 0  )

Chú ý: Các tính chất hàm số liên tục trên một đoạn có nhiều ứng dụng

Thí dụ 1.6.3 Chứng minh rằng phương trình x5 3x  có ít nhất một nghiệm1thuộc khoảng (1,2)

Giải: Đặt 5

f x  x  x thì phương trình đã cho  f x( ) 0  ta có hàm số f x( )liên tục trên đoạn [1,2], f(1)    3 0; (2) 35 0f   theo hệ quả của Định lý 1.6.7 có

ít nhất c 1, 2 : ( ) 0f c  Vậy phương trình x5  3x 1 có ít nhất một nghiệm thuộckhoảng (1,2)

HƯỚNG DẪN TỰ HỌC, CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 1

Chương 1 sinh viên cần nắm chắc các khái niệm cơ bản về hàm số, giới hạncủa hàm số, hàm số liên tục, các hàm số thường dùng trong kinh tế Đây là nhữngvấn đề cơ bản của giải tích toán học, làm công cụ nghiên cứu các chương tiếp theocủa toán cao cấp Song các vấn đề này đã được học ở phổ thông và do thời lượnghọc trên lớp hạn chế, sinh viên cần tự đọc kỹ nội dung từng phần, liên hệ với toánphổ thông, vận dụng trong kinh tế, làm đầy đủ các bài tập Tham khảo các tài liệu[1]; [2] và sách toán giải tích lớp 11, lớp 12, trả lời các câu hỏi và làm đầy đủ cácbài tập sau:

1 Định nghĩa: Hàm số, các hàm số đặc biệt, hàm số và cho thí dụ các hàm sốtrong kinh tế

2 Định nghĩa hàm số hợp, hàm số ngược Cho thí dụ

3 Định nghĩa giới hạn của hàm số

4 Phát biểu các tính chất của giới hạn của hàm số

5 Phát biểu các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số Cho thí dụ

6 Định nghĩa VCB và VCL Nêu các tính chất của nó

7 Định nghĩa VCB tương đương và nêu ứng dụng của VCB tương đương

8 Phát biểu và chứng minh định lí liên hệ giữa VCB và hàm có giới hạn hữuhạn

9 Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong một khoảng và trên mộtđoạn.Ý nghĩa hình học của hàm số liên tục trên một đoạn

10 Nêu các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn Minh họa hình học từngtính chất và nêu các ứng dụng của chúng

BÀI TẬP CHƯƠNG I

Bài 1 Tìm tập xác địnhcủa các hàm số sau:

2

1 os

y

3)

2

3arcsin

1

x y

Bài 4 Cho biết:

lim ( ) 1, lim ( ) , lim[ ( ) 1] ( )

1 cos3) lim

x

x x



2

14) lim

x x

sin

s inx 0

0

sinx5) lim

x x x

2 2

ln(1 4 )

x

x

x x

x x

x e

x x x x

neáu x

2Tìm A và B để hàm số liên tục trên toàn trục số

Chương 2 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN

2.1 Đạo hàm

2.1.1 Định nghĩa

2.1.1.1 Đạo hàm hàm số tại một điểm:

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm số f x( ) xác định trong lân cận U x( ) 0 của x0 Cho đối

số x số gia xx x0 sao cho x0   x U x( ) 0 ; Khi đó hàm số y f x( ) có số giatương ứng yf(x0  x)  f(x0) Giới hạn (nếu có) của tỷ số

lim )

0 0

2.1.1.2 Đạo hàm hàm số trong một khoảng

Định nghĩa 2.1.2 Hàm số y f x( ) được gọi là có đạo hàm trong khoảng ( b a, )

nếu hàm f(x) có đạo hàm tại mọi điểm x ( , )a b Ký hiệu là y/ hay f x' ( )hay dy dx



 



 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải

( hoặc bên trái) của hàm f x( ) tại x0 ký hiệu /

0 ( )

f x  ( hoặc /

0 ( ))

 







        

Vậy y = f(x) = x không có đạo hàm tại x = 0

Định nghĩa 2.1.4Hàm số y  f x( ) được gọi là có đạo hàm trên đoạn  a b, nếu + Hàm f(x) đạo hàm trong khoảng (a,b)

+ Hàm f(x) có đạo hàm bên phải tại x = a và có đạo hàm bên trái tại x = b

2.1.1.4 Mối liên hệ giừa đạo hàm và liên tục

Định lý 2.1.2 Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại x = x0 thì f x( ) liên tục tại điểm đó

Tuy nhiên điều ngược lại không đúng

Thí dụ 2.1.4 Hàm số f x( ) x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0

2.1.1.5 Ý nghĩa của đạo hàm

a Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Nếu hàm số y  f x( ) có đạo hàm tại x0 thì đồ thị của y  f x( ) có tiếp tuyến tại

M0(x0,f(x0)) và hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó là /

0

( )

k  f x Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M x f x0( , ( ))0 0 của đồ thị hàm y f x( ) là:

/

y  ( )f x x x  f x( )

b Ý nghĩa cơ học của đạo hàm

Xét một chuyển động thẳng có phương trình chuyển động là s f t( ) (trong

đó s là quảng đường đi, t là thời gian)

Tại thời điểm t0 nó ở vị trí M0 với hoành độ s0  f t( )0

Tại thời điểm t1 nó ở vị trí M1 với hoành độ s1  f t( )1

Vậy trong khoảng thời gian   t t1 t0 nó đi được quảng đường   s s1 s0 Xét tỷ

tb

f t t f t v

t

  



Vận tốc trung bình này càng gần vận tốc thực tế nếu khoảng thời gian tcàng bé

 tồn tại hữu hạn thì giới hạn này được gọi là vận

tốc tức thời của chuyển động thẳng tại thời điểm t0 Ký hiệu vtt( )t0

Ta xét hàm số y f x( ) bất kỳ có đạo hàm tại xx0 Khi đó tỷ số y

f x của y f x( ) tại x0 là tốc độ biến thiên của đại lượng y theo đại lượng x tại x

= x0 Trong thực tế tuỳ theo hàm y f x( ) mà đạo hàm /

0 ( )

f x của y f x( )tại x0 có

ý nghĩa cụ thể

2.1.2 Các quy tắc tính đạo hàm

2.1.2.1 Đạo hàm của tổng, hiệu , tích, thương

Định lí 2.1.3 Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trong khoảng nào đó thìtrong khoảng ấy tổng, hiệu , tích, thương của chúng cũng có đạo hàm và:

Thí dụ 2.1.7 1 Tính đạo hàm của hàm số y = sin3x

Hàm số y = sin3x là hàm số hợp của y = u3 và u = sinx Áp dụng đạo hàm củahàm số hợp ta được / / / 2 2

3 cos 3sin cos

2 Tính đạo hàm của hàm số sau y 100 x 2

2.1.2.3Đạo hàm của hàm số ngược

Cho hàm số y f x( ) là một song ánh từ tập X lên tập Y và x = g(y) là hàm sốngược của y = f(x)

Định lí 2.1.5 Nếu f x( ) có đạo hàm hữu hạn khác không tại x0 thì hàm ngược( )

x g y cũng có đạo hàm khác không tại y0  f x( )0 và

/

0

1 ( )



Thí dụ 2.1.8Tính đạo hàm hàm số y = arc sinx

vì

sinarc sinx = y

2.1.3 Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Chú ý: 1 Nếu các hàm lấy đạo hàm trong các công thức trên thay x bởi hàm số( )

u  x có đạo hàm thì trong kết quả nhân thêm u/ Chẳng hạn  / 1 /

hợp, cần lựa chọn phương pháp thích hợp Chẳng hạn để tính đạo hàm hàm số dạng

Thí dụ 2.1.9 Tính đạo hàm của hàm số ysinxx

- Lấy logarit Neper 2 vế ta có ln y  x.ln sinx

- Lấy đạo hàm 2 vế ta được

/

ln sin c otx

y

x x

y    y/ sinx (ln sin xx x.c otx)

3 Khi tính đạo hàm hàm số có dạng tích và thương của nhiều biểu thức ta

có thể dùng quy tắc đạo hàm của biểu thức luỹ thừa mũ nêu trên

Nếu tồn tại đạo hàm của y/thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm

số y f x( ).Kí hiệu y// hay f( 2 ) (x) Như vậy y//    y/ / hay /(2)  (1) /

Tổng quát , đạo hàm cấp n của hàm số y f x( ) ký hiệu f(n) (x) là f( 1)n ( )x /

- Các đạo hàm từ cấp hai trở lên được gọi là đạo hàm cấp cao

n x x

2.1.4.3 Phép toán của đạo hàm cấp cao

Định lý 2.1.5 ( Định lý Leibnitz) Nếu u = u(x), v = v(x) có đạo hàm đến cấp n trongkhoảng (a,b) thì u v u v , cũng có đạo hàm cấp n trong khoảng (a,b) và ta có côngthức sau gọi là công thức Leibnitz

n C

Hàm số y f x( ) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu số gia của nó tại điểm đó là:

2.2.2 Ý nghĩa của vi phân

Biểu thức A  x là biểu thức tuyến tính đối với  x nên thông thường nó đơngiản hơn số gia y nhiều.

Nếu A0 thì vi phân dy là VCB tương đương với y khi x  0 Tức là

dy : y khi x 0

2.2.3 Mối liên hệ giữa khả vi và có đạo hàm

Định lý 2.2.1 Điều kiện cần và đủ để hàm số f x( ) khả vi tại x0 là nó có đạohàm tại x0 và / 

df x  f x x

Hệ quả: Điều kiện cần và đủ để hàm số f x( ) khả vi trong khoảng  a b, là f x( )

có đạo hàm trong khoảng  a b, và df x( )  f x dx/ ( ) (4)

Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm hữu hạn tạix0, trong khi tính giá trị fx0 xvới x khá bé thường rất phức tạp, nên áp dụng định lý 2.2.3 người ta tính gầnđúng giá trị đó theo công thức sau đây:

2.2.6.1 Định nghĩa 2.2.2 Cho hàm số y  f x( ) khả vi trong  a b, Khi đó:

- Vi phân của hàm số y là dyf/ (x).dx là hàm số xác định trong khoảng  a b,

- Nếu tồn tại vi phân của dy thì vi phân ấy được gọi là vi phân cấp hai của hàm

y và ký hiệu d y2

- Một cách tổng quát, vi phân của vi phân cấp (n – 1) của y f x( ) được gọi là

vi phân cấp n của y f x( ) và ký hiệu d n y Vậy dny = d(dn-1y)

Các vi phân từ cấp 2 trở lên được gọi là vi phân cấp cao

2.2.6.2 Cách tính: Nếu y f x( ) có vi phân đến cấp n trong khoảng (a,b) và x làbiến số độc lập thì dny = y(n).(dx)n (1)

Chú ý: Công thức (1) không đúng khi x là biến số phụ thuộc x( )t

Thí dụ 2.2.3 Cho hàm số y f x( ) 2 x33x250 thì

 x xdx dx

x f

f y

a Định nghĩa 2.3.1 Cho hàm số y  f x( ) xác định trong lân cận U của điểm x0 .Hàm f x( ) được gọi là đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x0 nếu f x 0  f x  (hoặc

f x  f x  x U x )

Cực đại hay cực tiểu gọi chung là cực trị

Nhận xét: Cực trị định nghĩa như trên có tính chất địa phương

b Điều kiện cần

Định lý 2.3.1 (Định lý Fermat)

Nếu y f x( ) đạt cực trị và có đạo hàm tại x0, thì f / x0 0

Chứng minh:Giả sử hàm số y f x( ) đạt cực đại tại x0a;b, ta có:

điểm đó) Ta gọi các điểm này là điểm tới hạn

- Ý nghĩa hình học của định lý Fermat

Nếu y  f x( ) có đạo hàm tại điểm cực trị x0, thì tiếp tuyến với đường cong

( )

y  f x tại M x y 0, 0 song song với trục 0x ( Xem hình 2.1)

2.3.1.2 Định lý 2.3.2 ( Định lý Rolle)

Nếu hàm số f x( ) thoả mãn 3 điều kiên:

 Hàm f x( ) liên tục trên đoạn  a b,

 f x( ) có đạo hàm trong khoảng a b,

Chứng minh: (Dựa vào định lý Weierstrass về hàm số liên tục trên một đoạn thì hàm

đạt giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M trên đoạn đó và định lý Fermat ta đượcđiều phải chứng minh)

2.3.1.3 Định lý 2.3.3 ( Định lý Lagrange)

Nếu hàm số f x( ) thoả mãn 2 điều kiên:

+ Hàm f x( ) liên tục trên đoạn  a b,

+ f x( ) có đạo hàm trong khoảng  a b,

thì tồn tại ít nhất ca;b sao cho f  c f b b a f a

Nếu thoả mãn 3 điều kiện:

+ f x( ) và g x( ) là hai hàm liên tục trên đoạn  a b,

+ f x( ) và g x( )có đạo hàm trong khoảng  a b,

+ g/ (x)  0 tại mọi  x  a b,

thì tồn tại ít nhất một điểm c a b, sao cho  

 c g

c f a g b g

a f b f

/

/ ) ( ) (

) ( ) (

1 Định lý Lagrange là trường hợp đặt biệt của định lý Cauchy khi g x( ) x

2, Các định lý giá trị trung bình được áp dụng nhiều trong các chứng minh lýthuyết cũng như thực hành Áp dụng chúng để xét sự biến thiên của hàm số, chứngminh phương trình có nghiệm, chứng minh bất đẳng thức,…

Thí dụ 2.3.1

a Chứng minh rằng sinxsiny  x y; x,y R  .(*)

b Chứng minh rằng phương trình x n px q  0 có không quá hai nghiệm thựcnếu n chẵn, không quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ

Giải: a

- Với x y thì bất đẳng thức (*) đúng

- Với x y, không mất tính tổng quát ta giả sử y x Xét hàm số f x( ) sinx  .

Rõ ràng, hàm số này liên tục trên y;xR và có đạo hàm f x/( )cosx; x  y x,

Do đó f(x) thoả định lý Lagrange nên tồn tại c y x, sao cho:

Nếu hàm f x( )liên tục trên [a,b], có đạo hàm đến cấp n + 1 trong khoảng (a,b)

và x, x0 là 2 điểm tùy ý trong khoảng (a,b) thì tồn tại c nằm giữa x0 và x sao cho:

1 0

1 0

0 0

0 / 0

n

x x n

c f x x n

x f x

x x f x

   

2 3

1 3

k k

2.3.3 Qui tắc L’Hospitale

2.3.3.1 Định lý 2.3.6 (Định lý L’Hospitale 1)

Nếu thoả mãn 3 điều kiện:

 Hàm số f x g x( ), ( ) khả vi trong lân cận điểmx0 (có thể trừ x0)

 f x( )0 g x( ) 00  và /

0 ( ) 0 ; ( )

- Khi áp dụng định lý L’Hospitalvẫn còn dạngvô định 0

0 hoặc 

 có thể tiếptục áp dụng định lý L’Hospital

 

0

/ /

x

x x



Giải a

x x

 rồi áp dụng qui tắc L’Hospitale

+ Dạng0 : Nếu limxx0f(x).g(x) có dạng 0  thì ta biến đổi

( )( ) ( )

1( )

1 ( )

 Dễ thấy lim ( ).ln ( )x x0v x u x  có dạng 0., ta có thể biến

đổi đưa về dạng 00 hoặc 

 rồi áp dụng quy tắc L’Hospitale để tínhChú ý Đối với giới hạn    

Cách 1: Ta có

0

1 lim 1

lim ln lim

x

x e x

2.4.1 Các định lý về tính tăng, giảm và cực trị của hàm số

2.4.1.1 Chiều biến thiên

Định lý 2.4.1 (Về tính tăng, giảm của hàm số)

Giả sử hàm số f x( )liên tục trên [a,b], có đạo hàm trong (a,b) Khi đó:

y đổi dấu từ (-) sang (+) thì f x( ) đạt cực tiểu tại x0

3 Nếu y/ không đổi dấu thì f x( )không có cực trị tại x0

Chứng minh: Dựa vào định lý 2.4.1 và định nghĩa 2.3.1

Định lý 2.4.3 (Dấu hiệu tổng quát)

Giả sử hàm y f x( ) thoả mãn 2 điều kiện:

+ f x( ) có đạo hàm cấp n liên tục trong khoảng chứa x0

n

f x  Khi đó

1 Nếu n chẵn thì f(x) đạt cực trị tại x0 Hơn nữa nếu ( )

0 ( ) 0

n

f x  thì hàmf(x) đạt cực đại tại x0, nếu ( )

0 ( ) 0

n

f x  thì hàm f(x) đạt cực tiểu tại x0

2 Nếu n lẻ thì f(x) không đạt cực trị tại x0

Thí dụ 2.4.1 Tìm cực trị của hàm số y s inx

2.4.2 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn.

2.4.2.1 Nếu hàm số y  f x( )liên tục trên [a,b] thì nó đạt giá trị lớn nhất (GTLN)

và giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên đoạn đó

2.4.2.2 Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên [a,b] như sau:

+ Tìm các điểm tới hạn của hàm số trên đoạn [a,b], giả sử các điểm đó là

x1, x2, xn

+ Tìm các giá trị f x( ), ( ), , ( ), ( ), ( )1 f x2 f x n f a f b

+ So sánh các giá trị f x( )i ; i 1, 2, ,n và f a f b( ), ( ) để suy ra GTLN, GTNNcần tìm

Chú ý: Bài toán tìm GTLN, GTNN được ứng dụng rất nhiều trong các bài toán thực

Vậy thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy của hình trụ

2.4.3 Tính lồi, lõm và điểm uốn của đường cong

y  f x gọi là điểm uốn của đường cong này.

2.4.3.2 Định lý 2.4.4 Giả sử hàm số y f x( ) khả vi đến cấp 2 trong (a,b) khi đó:

- Nếu f// ( ) 0x  (hoặc f/ / ( ) 0x  ) với  x  a b, thì đường cong y f x( ) lõm(hoặc lồi) trong khoảng (a,b)

- Nếu hàm số y f x( )liên tục tại x0 và khả vi đến cấp 2 tại một lân cận của

x0 (có thể trừ x0) và f x// ( ) đổi dấu khi qua x0 thì điểm (x0; f(x0) là điểm uốn củađường cong y f x( )

Thí dụ 2.4.3Tìm khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số y  3 x

2.4.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2.4.5 Ứng dụng đạo hàm trong kinh tế

2.4.5.1Hàm cận biên (Hay còn gọi là đại lượng biên tế)

Giả sử hai đại lượng kinh tế x và y liên hệ với nhau bằng một quan hệ hàm

y = f(x) Trong kinh tế người ta định nghĩa hàm cận biên của y theo x tại x0 là lượngthay đổi của đại lượng y khi đại lượng x tăng lên một đơn vị tại x0 Kí hiệu là Mf(x)Giả sử cho x0 tăng lên x đơn vị Khi đó lượng biến đổi tương ứng của đại lượng y sẽ là  y f x( 0  x) f x( )0 Vậy trung bình khi x tăng lên một đơn vị thì

độ biến đổi của y sẽ là y