Toán cao cấp cho khối kinh tế dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng

Toán cao cấp cho khối kinh tế dành cho sinh viên Đại học, Cao đẳng là bộ tài liệu hay và rất hữu ích cho các bạn sinh viên và quý bạn đọc quan tâm. Đây là tài liệu hay trong Bộ tài liệu sưu tập gồm nhiều Bài tập THCS, THPT, luyện thi THPT Quốc gia, Giáo án, Luận văn, Khoá luận, Tiểu luận…và nhiều Giáo trình Đại học, cao đẳng của nhiều lĩnh vực: Toán, Lý, Hoá, Sinh…. Đây là nguồn tài liệu quý giá đầy đủ và rất cần thiết đối với các bạn sinh viên, học sinh, quý phụ huynh, quý đồng nghiệp và các giáo sinh tham khảo học tập. Xuất phát từ quá trình tìm tòi, trao đổi tài liệu, chúng tôi nhận thấy rằng để có được tài liệu mình cần và đủ là một điều không dễ, tốn nhiều thời gian, vì vậy, với mong muốn giúp bạn, giúp mình tôi tổng hợp và chuyển tải lên để quý vị tham khảo. Qua đây cũng gởi lời cảm ơn đến tác giả các bài viết liên quan đã tạo điều kiện cho chúng tôi có bộ sưu tập này. Trên tinh thần tôn trọng tác giả, chúng tôi vẫn giữ nguyên bản gốc. Trân trọng. ĐỊA CHỈ DANH MỤC TẠI LIỆU CẦN THAM KHẢO http:123doc.vntrangcanhan348169nguyenductrung.htm hoặc Đường dẫn: google > 123doc > Nguyễn Đức Trung > Tất cả (chọn mục Thành viên)

UBND TỈNH QUẢNG NGÃI TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG  BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP C NGƯỜI BIÊN SOẠN: NGUYỄN VIẾT TRÍ ĐƠN VỊ: KHOA CƠ BẢN QuảngNgãi, tháng 04 - 2016 GIỚI THIỆU HỌC PHẦN Toán cao cấp C chương trình Toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Nội dung toán cao cấp C gồm phần: Giải tích Đại số Phần giải tích gồm kiến thức hàm số, giới hạn liên tục, đạo hàm vi phân, nguyên hàm tích phân hàm biến số Các khái niệm hàm số nhiều biến số thực Phương trình vi phân Phần đại số gồm ma trận, định thức, hệ phương tuyến tính Đặc biệt ứng dụng nội dung nêu chuyên ngành kinh tế Tập giảng biên soạn theo chương trình qui định năm 2014 Trường Đại học Phạm Văn Đồng cho khối ngành kinh tế theo học chế tín Chương trình có chương ứng với tín (45 tiết lên lớp, 90 tiết tự học) Chương I: Hàm số, giới hạn liên tục hàm số biến Sinh viên cần nắm khái niệm hàm số, hàm số thường dùng ngành kinh tế, giới hạn hàm số hàm số liên tục, Chương II: Đạo hàm vi phân hàm số biến Sinh viên nắm khái niệm, cách tính ý nghĩa đạo hàm, vi phân cấp hàm số Áp dụng đạo hàm vi phân chuyên ngành kinh tế Chương III: Tích phân hàm số biến Sinh viên nắm vững định nghĩa, phương pháp tính nguyên hàm, tích phân xác định hàm số (Hàm hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm vô tỷ ) Nắm biết khai thác ứng dụng tích phân ngành kinh tế cuối nắm tích phân suy rộng Chương IV: Hàm số nhiều biến số Sinh viên nắm vững khái niệm hàm nhiều biến số, vấn đề tính liên tục, vi phân, cực trị, giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số nhiều biến số Áp dụng kinh tế Chương V: Phương trình vi phân Sinh viên nắm vững định nghĩa, cách giải phương trình vi phân cấp 1, thường gặp Chương VI: Định thức - Ma trận Sinh viên nắm định nghĩa, tính chất, cách tính định thức, phép toán tìm hạng ma trận Chương VII: Hệ phương trình tuyến tính Sinh viên nắm khái niệm hệ phương trình tuyến tính, điều kiện tồn nghiệm phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính Các mô hình tuyến tính phân tích kinh tế, Trong chương sau việc trình bày lý thuyết có nêu lên thí dụ để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý thuật toán để giúp sinh viên dễ dàng tiếp thu học, tự học Cuối chương có câu hỏi tập luyện tập, giúp sinh viên nắm lý thuyết kiểm tra mức độ tiếp thu học Sinh viên cần trả lời câu hỏi làm đầy đủ tập sau chương Để học tốt học phần này, sinh viên cần ý vấn đề sau: + Thu thập đầy đủ tài liệu tham khảo - Tài liệu bắt buộc: [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông, Giáo trình toán cao cấp B C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM [2] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân - Tài liệu tham khảo: [3] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp 1, ĐHQG Tp HCM [4] Nguyễn Đình Trí nhiều tác giả khác (2003), Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD + Nắm vững lịch trình giảng dạy, nghiên cứu nắm kiến thức cốt lõi giảng trước lên lớp học + Khi kết thúc chương sinh viên phải hoàn thành tập giảng viên yêu cầu chương vào tuần tiếp theo, cuối phần lớn có tập tổng hợp MỤC LỤC GIỚI THIỆU MÔN HỌC Chương HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số .6 1.3 Các hàm số đặc biệt 1.4 Các hàm số sơ cấp 10 1.5 Giới hạn hàm số 11 1.6 Sự liên tục hàm số .19 Chương ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN .24 2.1 Đạo hàm 24 2.2 Sự khả vi vi phân hàm số 29 2.3 Các định lý hàm số khả vi .31 2.4 Ứng dụng đạo hàm 37 Chương TÍCH PHÂN 46 3.1 Nguyên hàm tích phân không xác định 46 3.2 Các phương pháp tính tích phân 47 3.3 Tích phân hàm số thường gặp .49 3.4 Tích phân xác định 53 3.6 Ứng dụng tích phân kinh tế 61 Chương HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ .68 4.1 Các khái niệm 68 4.2 Giới hạn tính liên tục hàm số nhiều biến 69 4.3 Đạo hàm riêng 71 4.4 Sự khả vi vi phân toàn phần 73 4.5 Cực trị hàm số hai biến .75 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 85 5.1 Các khái niệm 85 5.2 Phương trình vi phân cấp .86 5.3 Phương trình vi phân cấp .92 CHƯƠNG 6: MA TRẬN- ĐỊNH THỨC 99 6.1 Ma trận .99 6.2 Định thức 103 CHƯƠNG 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 113 7.1 Hệ phương trình tuyến tính .113 7.2 Các mô hình tuyến tính phân tích kinh tế 117 TÀI LIỆU THAM KHẢO 126 HÀM SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1 Cho tập X  R Hàm số biến xác định tập X ( X  R ) một quy tắc cho ứng với giá trị biến x thuộc X có giá trị thực biến y Kí hiệu y = f(x) · x gọi biến số độc lập, y gọi biến số phụ thuộc · X gọi miền xác định hàm số, kí hiệu Df Tập Y  f ( X )   y  R x  X ; y  f ( x ) gọi tập giá trị hàm số Nếu x  x0  X y0  f ( x0 ) gọi giá trị hàm số x0 1.1.2 Các phương pháp cho hàm số 1.1.2.1 Phương pháp giải tích Cho hàm số đẳng thức mà vế thứ giá trị y hàm x, vế thứ hai nhiều biểu thức giải tích x Tập xác định hàm số tập giá trị đối số x để biểu thức có nghĩa Thí dụ 1.2.1 a Hàm số y   x có tập xác định tập giá trị x cho  x   2  x    x  sinx     b y  3x  x 2    x  cosx  có tập xác định R 1.1.2.2 Phương pháp bảng Phương pháp giải tích thường dùng nghiên cứu lý thuyết, nhiều không tiện lợi thực hành phải tính đủ phép toán tính giá trị hàm số Để tránh điều đó, người ta thường dùng phương pháp cho theo bảng Phương pháp thường dùng vật lý, kỹ thuật x Thí dụ 1.2.2 Người ta lập bảng giá trị hàm số y  x , , lg x, x , s inx, t anx, 1.1.2.3 Phương pháp đồ thị Tập G   ( x, y )  R x  X , y  f ( x) gọi đồ thị hàm số y = f(x) xác định X biểu diễn đường mặt phẳng Oxy Đồ thị hàm số cho ta có hình ảnh hình học nhận biết dễ dàng nhiều tính chất hàm số Vì thế, kinh tế kỹ thuật người ta cho hàm số cách cho đồ thị Chẳng hạn đồ thị biểu biễn chứng khoán, đồ thị biểu diễn điện áp lưới điện, đồ thị biểu diễn nhịp tim Nhược điểm phương pháp cho hàm số đồ thị không thật xác 1.1.3 Các phép toán hàm số 1.1.3.1 Cộng trừ nhân chia hàm số Định nghĩa 1.2.2 Cho hai hàm số f, g có tập xác định tương ứng tập D G Khi f + g, f – g, f.g, Hàm số y  x    x tổng hàm số f ( x)  x  hàm Thí dụ 1.2.3 số f ( g ( x )  ) hàm số xác định X  D  G g  x có tập xác định  1,     , 3   1,3 1.1.3.2 Hàm số hợp Định nghĩa 1.2.3 Cho hàm số y = f(x) xác định tập X, nhận giá trị tập Y hàm z = g(y) xác định tập Y Khi z hàm x xác định tập X z  g  f ( x)  z gọi hàm số hợp hai hàm số f g Ký hiệu: go f Vậy z ( x )   g f  ( x)  g  f ( x)  Thí dụ 1.2.4 Cho hai hàm số f ( x) 2 x g ( x)  x Khi đó:   go f  ( x)  g  f  x    g  x     fo g  ( x)  f  g  x    f 2x  x  x 1.1.3.3 Hàm số ngược Định nghĩa 1.2.4 Cho hàm số: f : X  Y x a y  f ( x) Nếu tồn hàm số  : Y  X y a x   ( y ) cho f ( x )  y hàm số  gọi hàm số ngược hàm số f Ký hiệu:   f 1 1 1 Ta có:  ( y )  f ( y )  f  f  x    x Chú ý: Người ta thường viết lại hàm số ngược hàm số y  f ( x) y  f 1 ( x) thay cho hàm x  f 1 ( y ) Đồ thị hai hàm số ngược đối xứng qua đường phân giác thứ Thí dụ 1.1.5 Hàm số y = 3x có hàm số ngược y  1.3 Các hàm số đặc biệt 1.3.1 Hàm số đơn điệu Định nghĩa 1.3.1 Hàm số y  f ( x) gọi là: x - Tăng (hoặc giảm) khoảng  a, b  x1 , x2  ( a, b) : x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) ( f ( x1 )  f ( x2 ) ) - Tăng nghiêm ngặt (hoặc giảm nghiêm ngặt) khoảng  a, b  x1 , x2  (a, b) : x1  x2 f ( x1 )  f ( x2 ) (hoặc f ( x1 )  f ( x2 ) ) Hàm tăng giảm gọi hàm số đơn điệu Thí dụ 1.3.1 - Hàm số y  x hàm giảm nghiêm ngặt khoảng  ,  tăng nghiêm ngặt khoảng  0,   - Hàm số y  x3 hàm tăng nghiêm ngặt khoảng  ,   1.3.2 Hàm số bị chặn Định nghĩa 1.3.2 Hàm số f ( x) gọi bị chặn (hoặc dưới) tập D  X (X miền xác định), tồn M  R cho ta có: f ( x )  M (hoặc f ( x)  M ) với x  D Hàm số y  f ( x) gọi bị chặn tập D vừa bị chặn trên, vừa bị chặn tập D Nghĩa tồn M R:M 0 cho f ( x)  M ; x  D Thí dụ 1.3.2 Hàm số y  s inx hàm số bị chặn R sin x  1; x  R 1.3.3 Hàm số chẵn lẻ 1.3.3.1 Định nghĩa 1.3.3 Cho hàm số y  f ( x ) xác định tập đối xứng D Hàm số y  f ( x) gọi hàm số chẵn (hoặc hàm số lẻ) tập D x  D có:  x  D f (  x )  f ( x ) f (  x )  f ( x ) (hoặc f (  x)   f ( x) ) Thí dụ 1.3.3 Hàm số y  x hàm số chẵn R x  R   x  R f ( x)  f ( x) Hàm số y  x3 hàm số lẻ R x  R   x  R f ( x)   x   f ( x) 1.3.3.2 Tính chất - Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng - Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng 1.3.4 Hàm số tuần hoàn 1.3.4.1 Định nghĩa 1.3.4 Cho hàm số y  f ( x) xác định tập D Hàm số y  f ( x) gọi hàm số tuần hoàn D  [x  D, L  R : L   x  L  D cho f ( x  L)  f ( x) ] 1.3.4.2 Chu kỳ hàm tuần hoàn Định nghĩa 1.3.5 Giả sử y  f ( x) hàm số tuần hoàn tập D Nếu tồn số dương T nhỏ cho: f ( x  kT )  f ( x); x  D; k  Z T gọi chu kỳ hàm tuần hoàn y  f ( x) Thí dụ 1.3.4 Hàm số y  tan x hàm số tuần hoàn với chu kỳ T   1.3.5 Một số hàm số thường dùng kinh tế Trong thực tiễn ngành kinh tế người ta thường xét đến nhiều hàm số hàm cung, hàm cầu, hàm sản xuất, hàm tiêu dùng, hàm thu nhập, hàm lợi nhuận, 1.3.5.1 Hàm cung hàm cầu - Hàm cung hàm biểu thị phụ thuộc lượng hàng cung loại hàng hóa vào giá hàng hóa Hàm cung có dạng: Qs  S  p  Khi giá cao người bán thi bán hàng, nên hàm cung hàm đồng biến - Hàm cầu hàm biểu thị phụ thuộc lượng hàng mua loại hàng hóa vào giá hàng hóa Hàm cầu có dạng: Qd  D  p  Khi giá cao người mua mua hàng, nên hàm cầu hàm nghịch biến - Đồ thị hàm cung hàm cầu (đường cung đường cầu) cắt điểm điểm cân thị trường: Điểm cân thị trường điểm  Q, p  Q lượng hàng hóa cân p giá cân 1.3.5.2 Hàm sản xuất ngắn hạn Trong kinh tế “Ngắn hạn khoảng thời gian mà yếu tố sản xuất thay đổi Dài hạn khoảng thời gian mà tất yếu tổ sản xuất thay đổi” Khi phân tích sản xuất, người ta thường quan tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng vốn lao động ký hiệu tương ứng K L Trong ngắn hạn K không đổi, hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q  f  L  1.3.5.3 Hàm doanh thu, hàm chi phí hàm lợi nhuận Tổng doanh thu, tổng chi phí tổng lợi nhuận nhà sản xuất phụ thuộc vào sản lượng hàng hóa Khi phân tích sản xuất nhà kinh tế học sử dụng hàm số:  Hàm doanh thu hàm số biểu thị phụ thuộc tổng doanh thu (ký hiệu TR) vào sản lượng (ký hiệu Q): TR  TR  Q  Chẳng hạn, tổng doanh thu nhà sản xuất cạnh tranh hàm bậc nhất: TR  p.Q  Hàm chi phí hàm biểu diễn phụ thuộc tổng chi phí sản xuất (ký hiệu TC) vào sản lượng (ký hiệu Q): TC  TC  Q   Hàm lợi nhuận hàm số biểu thị phụ thuộc tổng lợi nhuận (ký hiệu  ) vào sản lượng (ký hiệu Q):     Q  Hàm lợi nhuận xác định thông qua hàm doanh thu hàm chi phí (Chưa tính thuế):   TR (Q)  TC (Q ) 1.4 Các hàm số sơ cấp 1.4.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4.1 Các hàm số sau gọi hàm số sơ cấp + y = C ( C số) + Hàm số luỹ thừa y  x ,   R + Hàm số mũ y  a x ; (0  a  1) + Hàm số lôgarit y  log a x; (0  a  1) + Các hàm số lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx + Các hàm số lượng giác ngược: Có bốn hàm số ngược hàm số lượng giác sau đây: 1.4.1.1 Hàm số y = arcsinx hàm số ngược y = sinx sin y  x  arc sinx = y       y    ,       Hàm số y = arc sinx có tập xác định [-1,1] có miền giá trị  ,   2 1.4.1.2 Hàm số y = arccosx cosy  x arc cosx = y    y   0,   Hàm số y = arccosx có tập xác định [-1,1] có miền giá trị  0,   1.4.1.3 Hàm số y =arctanx hàm số ngược hàm số y= tan x    arc tanx=y  x = tan y với y    ;   2 Hàm số y = arc tanx có tập xác định (, ) có miền giá trị     ;   2 1.4.1.4 Hàm số y = arccotx hàm số ngược hàm số y = cotx arc cot x = y  cot y = x với y   0;  Hàm số y = arccotx có tập xác định ( , ) có miền giá trị  0,   1.4.2 Hàm số sơ cấp Định nghĩa 1.4.2 Hàm số sơ cấp hàm số tạo thành từ hàm số sơ cấp nhờ phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phép lập hàm số hợp, phép lập hàm số ngược 10 a b c a b c a x x x b x c a b x x c Bài Chứng minh 1 1 a b 2 c = (b - a)(c - a)(c - b) c2 a b a x x x a x x = (a + 2x)(a - x)2 x a x a a a a x a a  ( x  3a)( x  a )3 a a x a a a a x 114 x a a a x a a a x CHƯƠNG 7: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 7.1 Hệ phương trình tuyêến tính 7.1.1 Định nghĩa khái niẹm Hệ phương trình tuyến tính tổng quát R gồm m phương trình n ẩn hệ có dạng  a11 x1  a12 x   a1n x n b1  a x  a x   a x b  21 22 2n n (I)    a m1 x1  a m x   a mn x n bm x1 , x2 , , xn ẩn số; aij , bi  R (i = 1, 2, , m; j =1, 2, , n) hệ số Các hệ số bi gọi hệ số tự Các ma trận:  a11 a12 a1n   a11 a12 a1n b1   b1   x1  a a b  x  a 22 a n  a 22 a n b2  21 21 2    A ; A ; B ; X                   bm   xn   a m1 a m a mn   a m1 a m a mn bm  gọi ma trận hệ số; ma trận hệ số bổ sung; ma trận hệ số tự do; ma trận ẩn số hệ phương trình (I) Hệ phương trình (I) viết dạng ma trận AX = B ( II ) - Nghiệm hệ phương trình tuyến tính ( I ) n số thực thứ tự x * = ( c1, c2, , cn) cho thay xj = cj (j = 1, 2, , n) vào tất phương trình hệ (I) ta nhận đồng thức R - Giải hệ phương trình tìm tất nghiệm hệ - Khi b1 = b2 = = bm = hệ ( I ) gọi hệ phương trình tuyến tính nhất, có dạng AX = Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm X = (0, 0, ,0)  n R gọi nghiệm tầm thường hệ Các nghiệm khác với nghiệm (nếu có) gọi nghiệm không tầm thường 7.1.2 Hệ phương trình Cramer 7.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình n ẩn (m = n) gọi hệ Cramer định thức ma trận vuông cấp n hệ số khác (detA  0) 7.1.4.2 Định lý 7.1 (Định lý Cramer) Hệ Cramer có nghiệm x j  115 Dj D ; j  1, 2, , n , D = detA, Dj định thức có từ định thứ D cách thay cột thứ j cột hệ số tự  x1  x  x3   Thí dụ 7.1.1 a) Giải hệ phương trình  x1  x  x3   3x  x  x   1 2 Hệ có số ẩn số phương trình định thức D  1 4  8   Hệ 4 1 cho hệ Cramer có nghiệm Ta có  D1   1 1   28 ;  1 D2  1     16 ; D3  1    20   x1   Do hệ cho có nghiệm  x2    x3   7.1.3 Điều kiện tồn nghiệm Định lý 7.2 (Định lý Kronecker-Capelli) a Hệ ( I ) vô nghiệm rankA < rank A b Hệ ( I ) có nghiệm rankA = rank A = n c Hệ ( I ) có nghiệm phụ thuộc k tham số rankA = rank A = n - k (n - k ẩn chính) Thí dụ 7.1.2 1 1   x1  x  x3 1  1 1  2 , hệ vô  1 ; rank  Hệ  có rank    1 1 1 1   x1  x  x3 2 nghiệm 7.1.4 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 7.1.4.1 Nếu hệ phương trình Cramer áp dụng định lý Cramer Xem thí dụ 7.1.1 7.1.4.2 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp Gauss + Lập ma trận bổ sung A + Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận A , đưa ma trận A ma trận bậc thang dòng + Căn vào hạng A A để kết luận số nghiệm phương trình Cụ thể: - Nếu rankA < rank A : Hệ (I) vô nghiệm; - Nếu rankA = rank A = n : Hệ (I) có nghiệm nhất; 116 - Nếu rankA = rank A = k < n : Hệ (I) có vô số nghiệm phụ thuộc vào n – k tham số Trường hợp này, dạng bậc thang dòng A tồn định thức cấp k, Dk Định thức Dk gọi định thức sở Các ẩn số có hệ số nằm Dk gọi ẩn số (có k ẩn chính), ẩn số lại gọi tham số (hay ẩn tự do) Tính ẩn theo tham số ta hệ nghiệm tổng quát phương trình cho  Chú ý: Trong trình biến đổi sơ cấp dòng ma trận bổ sung A , ta cần lưu ý điểm sau: + Nếu xuất dòng xoá bớt dòng + Nếu xuất hai dòng tỉ lệ xoá bớt dòng + Nếu xuất dòng dạng [ 0 | a ] với a  kết luận hệ phương trình vô nghiệm + Trong vài trường hợp, thấy hệ giải dễ dàng không thiết phải đưa A dạng bậc thang dòng Thí dụ 7.1.3  x1  x  x3  x  a) Giải hệ phương trình   x1  x  x3  x   x1  x 1  x3  x Hệ viết dạng   x1  x 2  x3  x  x3  x  1 1 2 0 ; D1  3  x3 ; Ta có D  1  x3  x D1  1  x3  x  x3  x 1  x3  x   x3  x  x  , , x3 , x  , x3, x4 tùy ý Vậy hệ Vậy hệ có nghiệm    phương trình cho có vô số nghiệm phụ thuộc tham số  x1  x  x3   b) Giải hệ phương trình  x1  x  x3 6   x  4x  2x  2  Ta có [A|B] =  1  d  2d  d  1 1  1   d32 d1 1 d1   d 2 d  d1            4            2   3   0 11 Suy x3 = 11, x2 = + 1.11 = 15; x1 = - 2.15 -1.11 = -40 117 Vậy hệ cho có nghiệm x* = (-40, 15, 11)  x1  x  x3 3  c) Giải hệ phương trình  x1  x  x3 1  x  x  x 2  Ta có [A|B] = 1   d  d  d    1  3   d 32  d11 d12   d  d  d1            11        11 4   2      0  Suy phương trình cuối hệ (0x3 = 7) vô nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm 2  x1  x  x3  x  c) Giải hệ phương trình  3x1  x  x3  x 4   x  2x  2x 0  Ta có [A|B] = 1   1 2 d  3d  d 1   1    d32 d1 1 d1   xoa' d 1     4      0            0    0 0  1  1 2  2 Suy x1 = +2x2 - 2x4 , x3 = - x4 Vậy hệ có nghiệm (4 +2x2 - 2x4 , x2, - x4 , x4) với x2 x4 tùy ý 7.1.4.3 Giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp ma trận nghịch đảo Viết hệ phương trình dạng ma trận AX = B Nếu A ma trận vuông khả nghịch ta có X = A-1B  x1  x2  x3   Thí dụ 7.1.4 Giải hệ phương trình  x1  x2  x3  x  x  2x  3  Đặt 1  A = 1 2  , B = (1 3)T , X = (x1 x2 x3)T ta có AX = B   1   3  Vì A-1 =  1 nên X = A-1B =    1  1          =  1 3      Vậy hệ có nghiệm x* = (2, -1 1) 7.2 Các mô hình tuyêến tính phân tích kinh têế 7.2.1 Mô hình cân thị trường 118 7.2.1.1 Thị trường hàng hóa Khi phân tích hoạt động thị trường hàng hóa, nhà kinh tế học sử dụng công cụ hàm cung hàm cầu để biểu đạt phụ thuộc lượng cung lượng cầu vào giá hàng hóa Dạng tuyến tính hàm cung hàm cầu sau Hàm cung : QS   a0  a1 p Hàm cầu : Qd  b0  b1 p Trong a0 , a1 , b0 , b1 số dương ; p giá hàng hóa ; QS lượng cung, tức lượng hàng hóa mà người bán muốn bán ; Qd lượng cầu, tức lượng hàng hóa mà người mua lòng mua Thị trường cân  QS  Qd  a0  a1 p  b0  b1 p Giải phương trình ta : p Giá cân a0  b0 a1  b1 Lượng cân Q  QS  Qd  7.2.1.2 a1.b0  a0 b1 a1  b1 Thị trường nhiều hàng hóa a Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá mặt hàng ảnh hưởng đến lượng cung lượng cầu mặt hàng khác Hàm cung hàm cầu tuyến tính thị trường n hàng hóa liên quan có dạng sau : Qsi   p1  p2   ain pn Qdi  bi  bi1 p1  bi p2   bin pn Trong QSi , Qdi pi lượng cung, lượng cầu gía hàng hóa thứ i Mô hình cân thị trường n hàng hóa biểu diễn dạng hệ phương trình tuyến tính QSi  Qdi  i  1, 2, , n  a10  a11 p1  a12 p2   a1n pn  b10  b11 p1  b12 p2   b1n pn  a  a p  a p   a p  b  b p  b p   b p  21 22 2n n 20 21 22 2n n   20   an  an1 p1  an p2   ann pn  bn  bn1 p1  bn p2   bnn pn 119 c10  c11 p1  c12 p2   c1n pn  c10 c  c p  c p   c p  c  21 22 2n n 20   20   cn  cn1 p1  cn p2   cnn pn  cn (1) Giải hệ phương trình (1) ta xác định giá cân n hàng hóa, sau thay vào hàm cung (hoặc hàm cầu) ta xác định lượng cân b Thí dụ 7.2.1 Cho biết hàm cung hàm cầu thị trường ba loại hàng hóa Hàng hóa 1: QS  p1  p2  3; Qd   p1  p2  p3  48 Hàng hóa 2: QS  p2  5; Qd  50  p3 Hàng hóa 3: QS  p1  40; Qd  p2  p3  Xác định giá lượng cân mặt hàng ? Giải Thị trường cân QS1  Qd1  QS2  Qd   QS2  Qd3  p1  p2    p1  p2  p3  48    p2   50  p3  p  40  p  p    p1  p2  p3  45  p1  10   p2  p3  45   p2  20   p  p  p  35  p  25   Suy lượng hàng cân là: Q1  p1  p2  p3  27  p1  10   p2  p3  25  p  20 Q2     p  25 Q3  p1  p2  p3  50 7.2.2 Mô hình cân kinh tế vĩ mô Gọi Y tổng thu nhập quốc dân E tổng mức chi tiêu kế hoạch kinh tế Trạng thái cân biểu diễn dạng phương trình Y=E 120 Trong kinh tế khép kín, tổng chi tiêu kế hoạch toàn kinh tế gồm thành phần sau : C : Tiêu dùng hộ gia đình G : Chi tiêu Nhà nước hay kế hoạch phủ I : Chi tiêu cho đầu tư nhà sản xuất Ta giả sử đầu tư theo kế hoạch cố định I = I0 sách tài khóa phủ cố định G = G0 , tiêu dùng hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập dạng hàm bậc C=a.Y+b , (0  a  1, b  0) Hệ số a biểu diễn tỷ phần dành cho tiêu dùng có thêm $1 thu nhập, gọi xu hướng tiêu dùng cận biên, b mức tiêu dùng tự định, tức mức chi tiêu thu nhập Mô hình cân kinh tế vĩ mô có dạng hệ phương trình tuyến tính Y  C  I  G0 Y  C  I  G0   C  aY  b  aY  C  b Giải hệ phương trình này, ta xác định mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân kinh tế : Y b  I  G0 b  a ( I  G0 ) , C 1 a 1 a Trên mô hình cân kinh tế vĩ mô đơn giản Độ phức tạp mô hình kinh tế se tăng lên, ta tính đến yếu tố khác, chẳng hạn thuế, xuất nhập … Nếu ta tính thuế thu nhập hàng tiêu dùng thay đổi sau C  aYd  b Trong Yd thu nhập sau thuế khả chi Gọi thuế suất thu nhập t ta có Yd=Y-tY=(1-t)Y C=a(1-t)+b Mức thu nhập quốc dân tiêu dùng cân : Y b  I  G0 b  a (1  t )( I  G0 ) , C  a (1  t )  a(1  t ) Thí dụ 7.2.2 Nếu C= 200+0,75 , I0 = 300 , G0 = 400 ta xác định mức thu nhập cân mức tiêu dùng cân ( tính theo triệu USD) : Y 200  300  400 200  0, 75(300  400)  3600, C   2900  0, 75  0, 75 Nếu Nhà nước thu thuế thu nhập 20% (t = 20%) mức cân sau 121 Y 200  300  400 200  0, 75(1  0, 2)(300  400)  2250, C   1550  0, 75(1  0, 2)  0, 75(1  0, 2) 7.2.3 Mô hình I/O (Input/Output) Lêontief Mô hình I/O (Input/Output) Lêontief (còn gọi mô hình cân đối liên ngành) đề cập đến việc xác định mức tổng cân đối sản phẩm ngành sản xuất tổng thể kinh tế Trong khuôn khổ mô hình, khái niệm ngành xem xét theo nghĩa túy sản xuất Các giả thiết đặt sau Mỗi ngành sản xuất loại sản phẩm hàng hóa sản xuất số sản phẩm phối hợp theo tỷ lệ định Trong trường hợp thứ hai, ta coi tổ hợp hàng hóa theo tỷ lệ cố định mặt hàng Các yếu tố đầu vào sản xuất phạm vi ngành sử dụng theo tỷ lệ cố định (Công nghệ chưa thay đổi) Trong kinh tế đại, việc sản xuất loại sản phẩm phải sử dụng loại hàng hóa khác cấu yếu tố sản xuất (chẳng hạn, việc sản xuất thép đòi hỏi phải sử dụng quặng sắt, điện, than,…) Do tổng cân đối ngành bao gồm : Cầu trung gian từ phía nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm cho trình sản xuất Cầu cuối từ người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng xuất khấu, bao gồm hộ gia đình, nhà nước, hãng xuất khấu, … Xét kinh tế có n ngành sản xuất, gọi qui ước ngành 1, ngành 2, …, ngành n Để thuận tiện cho việc tính chi phí cho yếu tố sản xuất, ta biểu diễn lượng cầu tất loại hàng hóa dạng giá trị, tức đo tiền (với giá thị trường ổn định).Tổng cầu sản phẩm hàng hóa ngành i tính theo công thức xi  xi1  xi   xin  bi (1) Trong :  xi tổng cân hàng hóa ngành i  xik giá trị hàng hóa ngành i mà ngành k cần sử dụng cho việc sản xuất (Cầu trung gian)  bi giá trị hàng hóa ngành i cần cho tiêu dùng xuất (Cầu cuối cùng) Công thức viết dạng 122 xi  x xi1 x x x1  i x2   in xn  bi Đặt aik  ik x1 x2 xn xk ,  i, k  1, 2, , n  (2) Ta hệ phương trình tuyến tính  x1  a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  x  a x  a x   a x  b  21 22 2n n    xn  an1 x1  an x2   ann xn  bn (1  a11 ) x1  a12 x2   a1n xn  b1   a x  (1  a ) x   a x  b  21 22 2n n      an1 x1  an x2   (1  ann ) xn  bn Hệ phương trình (3) viết dạng ma trận (E-A)X=B (3) (4) Trong  a11 a A   21    an1 a12 a22 an a1n  a2 n  gọi ma trận đầu vào hay ma trận hệ số kỹ thuật   ann  Ma trân (E-A) gọi ma trận Lêontief  x1  x  X    gọi ma trận tổng cầu      xn  b1  b  B    gọi ma trận cuối E ma trận đơn vị cấp n     bn  Chú ý : Ở dạng giá trị phần tử aik nằm dòng i cột k ma trận A tỷ phần chi phí ngành k trả cho việc mua hàng hóa ngành i tính đơn vị giá trị hàng hóa ngành k (chi phí cho yếu tố đầu vào sản xuất) Chẳng hạn aik=0,2 có nghĩa để sản xuất $1 giá trị hàng hóa (tính theo bình quân), ngành k phải mua $0,2 hàng hóa ngành i Theo giả thiết thứ hai nêu phần tử aik không đổi gọi hệ số chi phí cho yếu tố sản xuất hay hệ số kỹ thuật Theo ý nghĩa nêu  aik  Phương trình (E-A)X = B (4) cho phép xác định mức tổng cầu hàng hóa tất ngành sản xuất X   E  A B 1 Điều có ý nghĩa quan trọng việc lập kế hoạch sản xuất, bảo đảm cho kinh tế vận hành trôi chảy, tránh tình trạng dư thừa thiếu hụt hàng hóa 123 Thí dụ 7.2.3 Quan hệ trao đổi ngành sản xuất cầu hàng hóa cho bảng sau (Đơn vị triệu USD) 7.4.1 Ngành cung ứng 7.4.2 Sản phẩm (Output) 7.4.3 7.4.6 Ngành sử dụng sản phẩm (Inputs) 7.4.7 7.4.8 7.4.4 Cầu cuối 7.4.10 7.4.11 20 7.4.12 60 7.4.13 10 7.4.14 50 7.4.15 7.4.16 50 7.4.17 10 7.4.18 80 7.4.19 10 7.4.20 7.4.21 40 7.4.22 30 7.4.23 20 7.4.24 40 Trên bảng số liệu trên, dòng đứng tên ngành sản xuất (Ouput), cột đứng tên ngành với danh nghĩa người mua sản phẩm (Inputs) Hãy tính tổng cầu sản phẩm ngành lập ma trận hệ số kỹ thuật Giải Tổng cầu hàng hóa : x1  20  60  10  50  140  Ngành : x2  50  10  80  10  150  Ngành : x3  40  30  20  40  130  Ngành : Ma trận hệ số kỹ thuật :  20 60 10  140 150 130  0,143 0, 400 0, 077    50 10 80   A  0,375 0, 067 0, 615 140 150 130    0, 286 0, 200 0,154   40 30 20  140 150 130  Thí dụ 7.2.4 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật ngành kinh tế có ngành sản xuất : ngành 1, ngành 2, ngành 0, 0,3 0,  A  0, 0,1 0,  0,1 0,3 0,  a Giải thích số 0,4 ma trận A b Cho biết tỉ phần giá trị gia tăng (giá trị lao động) hàng hóa ngành tổng giá trị sản phẩm ngành c Cho biết mức cầu cuối s ngành 1,2,3 10,5,6 (triệu USD), xác định mức tổng cầu ngành Giải a Số 0,4 dòng cột ma trận A có ý nghĩa là: để sản xuất $1 hàng hóa mình, ngành cần $0,4 hàng hóa ngành để sử dụng trình sản xuất b Tỉ phần chi phí ngành tổng phần tử cột ma trận A: 124 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,6 Vậy tỉ phần giá trị gia tăng tổng giá trị hàng hóa ngành là: 1– 0,4 = 0,6 hay 40% c Ta có ma trận Lêontief 1 0   0, 0,3 0, 2 E  A      0, 0,1 0,    0 1  0,1 0,3 0,   0,8  0,3  0,   0, 0,9  0,     0,1  0,3 0,8  Theo phương pháp tìm ma trận nghịch đảo, ta tìm  E  A 1 0, 66 0,30 0, 24    0,34 0, 62 0, 24   0,384 0, 21 0, 27 0, 60  Do ma trận tổng cầu : X   E  A 1  0, 66 0,30 0, 24 10   24,84   B 0,34 0, 62 0, 24 5    20, 68  0,384  0, 21 0, 27 0, 60  6  18,36  BÀI TẬP CHƯƠNG VII Bài Giải phương trình ma trận sau:  1  1 2  X     2  3 4  1    X      2    Bài Giải hệ phương trình sau:  x  y  z  1  2 x  y  z  4 4 x  y  z  2  3 x  y  20 z  31  9 x  y  z  10 15 x  y  10 z  29   x1  x2  x3  3x4  3 x  x  x  x  4   2 x1  x2  x3  x4  6  x1  x2  3x3  x4  4 3 x  y  z    x  y  z   x  y  3z  11  45 x  26 y  16 z   30 x  65 y  48 z  45 x  52 y  32 z    x1  3x2  5x3  x4  12 3 x  x  x  x    5 x1  x2  x3  x4  7 x1  x2  3x3  x4  16 125 2 x1  x2  x3  x4  x5  x  2x  x  x  x    x1  x2  3x3  x4  x5   x  x  x  x  x  2   x1  x2  x3  x4  x5   x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4  1  x  2x  x  5x   12 x1  x2  x3  10 x4  13 4 x  3x  x  x   11  8 x1  x2  x3  x4  16 x1  x2  3x3  x4   x1  x2  3x3  x4  x5  13 2 x  x  x  x  x  10  2 x1  x2  x3  x4  3x5  11 2 x  x  x  x  x   2 x1  x2  x3  x4  x5  9 x1  3x2  x3  x4   10 6 x1  x2  3x3  x4  3x  x  3x  14 x  8  2 x1  x2  x3  x4  x5  x  x  x  x  2x   12  4 x1  x2  x3  x4  x5  3 x1  x2  x3  x4  x5  Bài Cho biết hàm cung hàm cầu thị trường hai hàng hóa Qd  18  p1  p2 , Qd  12  p1  p2 Qs1  2  p1 Qs  2  p2 Hãy xác định giá lượng cân hai mặt hàng Bài Xét mô hình kinh tế vĩ mô: Y  C  I  G0 ; C  60  0, 7Y1; Y1  (1  T )Y Hãy xác định mức thu nhập quốc dân cân bằng, cho biết I0 = 90, G0 =140 (triệu dollar) thuế xuất nhập t = 40% ĐS: Y=500 Bài Quan hệ trao đổi ngành sản xuất cầu hàng hóa cho bảng sau (Đơn vị triệu USD) Ngành cung Cầu ứng sản phẩm Ngành ứng dụng sản phẩm cuối (Out put) (Out put) 80 20 110 320 160 200 50 90 120 140 220 110 30 40 60 140 160 240 400 Hãy tính tổng cầu sản phẩm ngành lập ma trận hệ số kỹ thuật (tính xấp xỉ đến chữ số thập phân) ĐS: x1= 600, x2 =600, x3 = 400, x4 = 1000  0,133 0, 033 0, 275 0, 230   0,333 0, 083 0, 225 0,120   A 0,367 0,183 0, 075 0, 040     0,100 0, 233 0, 400 0, 240  126 Bài Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A véc tơ cầu cuối B, xác định mức tổng cầu tổng chi phí cho hàng hóa sử dụng làm đầu vào sản xuất ngành  0,1 0,3  ,  0,5 0,  A    0, 0,3 0,    A   0, 0,1 0,3   0,3 0,5 0,     170  B    280   150    B  200     210  ĐS: a) x1 = 358,96; x2 = 591,21 Chi phí đầu vào: c1 = 231,58; c2 = 295,61 3.x1 = 879,50; x2 = 1023,85; x3 = 1232,22 Chi phí đầu vào: c1 = 791,55; c2 = 921,465; c3 = 862,554 Bài Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật A véc tơ cầu cuối B,hãy xác định mức tổng cầu tổng chi phí cho hàng hóa sử dụng làm đầu vào sản xuất ngành  0, 0,3 0,1    A   0, 0, 0, ,  0, 0, 0,     140    B 220     180  Tính mức tổng cầu cầu cuối ngành tăng thêm 30, ngành thi giảm tương ứng 15 35 ĐS: x1 = 743,24; x2 = 756,76; x3 = 789,19 Chi phí đầu vào: c1 = 584,592; c2 = 681,084; c3 = 473,514 Tổng cầu mới: x1 = 767,79; x2 = 723,88; x3 = 735.14 127 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Ngọc Hội- Nguyễn Chính Thắng- Nguyễn Viết Đông (2005), Giáo trình toán cao cấp B C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM [2] Đỗ Công Khanh (2003), Toán cao cấp , ĐHQG Tp HCM [3] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân [4] Nguyễn Đình Trí nhiều tác giả khác Bài tập toán cao cấp tập II , NXBGD [5] Nguyễn Văn Khuê (1998), Bài tập, Toán cao cấp, NXN khoa học kỹ thuật [6] Nguyễn Mạnh Quý (2007), Giáo trình phương trình vi phân, NXB ĐHSP [7] Lê Văn Hốt (2005), Hướng dẫn giải tập toán cao cấp, ĐH Kinh tế Tp HCM 128 ...GIỚI THIỆU HỌC PHẦN Toán cao cấp C chương trình Toán dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Nội dung toán cao cấp C gồm phần: Giải tích Đại số Phần giải tích gồm kiến thức hàm... Đông, Giáo trình toán cao cấp B C, Trường ĐH Quốc gia Tp HCM [2] Lê Đình Thúy, Giáo trình toán cao cấp, Trường ĐH Kinh tế Quốc dân - Tài liệu tham khảo: [3] Đỗ Công Khanh, Toán cao cấp 1, ĐHQG Tp... cụ nghiên cứu chương toán cao cấp Song vấn đề học phổ thông thời lượng học lớp hạn chế, sinh viên cần tự đọc kỹ nội dung phần, liên hệ với toán phổ thông, vận dụng kinh tế, làm đầy đủ tập Tham