Giải chi tiết 50 câu trắc nghiệm số phức chọn lọc trong các đề thi thử nguyễn thế duy

Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M ,.. Sử dụng máy tính casio hướng dẫn chi tiết ở câu 26 để tìm z.. Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG CẦN NẮM VỮNG

2

z z  z

2

1. 2 1. 2 . 1. 2

z z

z  z  z  z  z  z z1  z2  z1 z2  z1  z2  z   Re   z , Im   z   z

45 CÂU TRẮC NGHIỆM + 5 CÂU VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1 Cho số phức za bi thỏa mãn điều kiện z24 2 z Đặt  2 2

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A P   z  2 2 B  2 2

4

P z  C P   z  4 2 D  2 2

2

P z  (THPT ĐẶNG THÚC HỨA - NGHỆ AN) Lời giải

Khi đó, giả thiết 2  2 2 2 2 2  2 2

 2 2  2 2  2 22

 2 22  2 2 4 2  2 2

Cách 2 Từ giả thiết, ta có 2 2  2  2  2  2

4

za bi z a bi z z  a b

Từ     1 , 2 suy ra  2 2  2 2

P b a   z  Chọn D

Câu 2 Cho các số phức z1  0, z2   0 thỏa mãn điều kiện

z  z  z z

Tính giá trị của biểu thức 1 2

.

P

TỔNG ÔN SỐ PHỨC

LỜI GIẢI CHI TIẾT 50 CÂU TRẮC NGHIỆM SỐ

PHỨC CHỌN LỌC TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA – 2017

Tác giả - Nguyễn Thế Duy - https://www.facebook.com/theduy1995

A 1

3 2 2 (THPT ĐẶNGTHÚC HỨA - NGHỆ AN) Lời giải

2

2



2

hoặc 1

2 1

z

i

z   

Khi đó 1 2

z i



Câu 3 Cho số phức z 0 thỏa mãn  3 1  2

1

z i



 Số phức

26 9

w iz có môđun là

A 9 B 26. C 6. D 5

(THPT PHẠM HỒNG THÁI - HÀ NỘI) Lời giải

 

 

2 2

2 2



 



Lấy     1  2 , ta được   x 4 y    2 x  y   0  x  5 y

Thế x5y vào phương trình   1 , ta có 2





     



Chọn C

Câu 4 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   1 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T  z i   z   i

A max T  8 2. B maxT 4 C max T  4 2. D maxT 8

(THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI) Lời giải

Lại có T  z i z  2 i xy1i  x 2 y1i

 2  2  2

Kết hợp với    , ta được T  2 x  2 y   2 6 2  x  2 y  2  x  y   2  2 2   x  y  Đặt t x y, khi đó T  f t    2 t  2  6 2  t với t    1;1 

Ta có '   1 1 ; '   0 1  max   1 4

Câu 5 Tìm môđun của số phức z biết z   4  1  i z    4 3  z i 

A z  1. B z  4. C z  2. D 1

2

z 

(SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH) Lời giải

Cách 1 Từ giả thiết, ta có z 4 z i z 4i3ziz1 3 i z  4 z 4i  

Lấy môđun hai vế của    , ta được z1 3 i  z  4 z 4i

  2 2

Cách 2 Ta biến đối 4  1   4 3   1  4 4

1 3

i



Thử lần lượt với các đáp án, ta thấy



Câu 6 Cho số phức z 0 sao cho z không phải là số thực và 2

1

z w

z



 là số thực Tính giá trị biểu thức 2.

1

z z



A 1

1

1 3 (THPT CHUYÊN QUỐC HỌC - HUẾ) Lời giải

Cách 1 Tư duy nhanh w là số thực 1

w

 là số thực 1

z z

  là số thực

Mà dễ thấy z  z là số thực nên 1 2 2 1

2 1

z



z z z z z z z z z z z z

2

2





z z

Câu 7 Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M M , Số phức (4 3 )

z  i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn lần lượt là N N , Biết rằng , , ,

M M N N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của z  4 i  5

A 1

2

1

4 13

(THPT CHUYÊN LÀO CAI) Lời giải





Dễ thấy MM'NN' vì cùng vuông góc với Ox nên để MM N N' ' là hình chữ nhật

MN Ox











Ta có  5 2  4 2 1  2 9 2 1 1 4 5min 1

x   x   x     z  i   Chọn C

Câu 8 Tính môđun của số phức z, biết

2

0 1

iz



A 2 B 13

1

1

9 (THPT YÊN MÔ A - NINH BÌNH) Lời giải

Dễ thấy

2 2

z

z i

i





2

Đặt z   x yi x y  ,    suy ra z   x yi, do đó      3 i  1  x  yi    x yi   i 1.

0

3

x x







z  z   Chọn C

Câu 9 Xét số phức z thỏa mãn 1 2i z 10 2 i

z

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

A 3

2

2 z  B

2 z  2 C z  2 D

1 2

z  (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI) Lời giải

Cách 1 Từ giả thiết, ta có 1 2i z 10 2 i 1 2i z 2 i 10

Lấy môđun hai vế của    , ta được    z 2  2 2 z 1 2 10

z

Đặt t  z , ta có  2  2 10 2 2  4 2

t

Vậy môđun của số phức z bằng 1 3

Cách 2 Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z

Cách 3 Đặt z  a bi a b   ,    và c  z , thay vào đẳng thức đã cho thì

10 10

a bi





Suy ra

2



nên      2 2



Giải ra ta có c  1 mà c 0 nên c 1 hay z  1 Do đó 1 3

2 z  2 Chọn B

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn 1

3

z z

  Tổng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z là

A 3 B 5. C 13. D 5

(TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải

Ta có

2 2

2 2

1

.

z

Vậy

2

z    z      M  m  a   Chọn C

Câu 11.Xét số phức z thỏa mãn 2 z   1 3 z i   2 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A 3

2

2 z  B z  2. C

1 2

2 z  2 (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8) Lời giải

Cách 1 Sử dụng bất đẳng thức số phức, ta có u  v  u  v  u v 

Khi đó 2 2 2 z 1 3z i 2 z 1 z i  z i 2 z 1 z i   z i

2 i 1 z i 2 2 z i z i 0 z i z 1

Cách 2 Sử dụng hình học, giả sử điểm z   x yi x y  ,    có điểm biểu diễn là M x y  ; 

Số phức z 1 có điểm biểu diễn là A x   1; y , z i có điểm biểu diễn là B x y   ; 1 

Ta có 2 z   1 3 z i   2 2  2 OA  3 OB  2 AB   1 vì  AB   1; 1    AB  2

Mặt khác 2 OA  3 OB  2  OA OB    OB  2 AB OB    2

1

x

y









Vậy môđun của số phức z là z  i  1. Chọn D

Câu 12 Cho số phức z thỏa mãn 2   

z  z  z  i z i Tính min |w|, với số phức w  z 2 2i

min | |

2

w  B min |w | 2 C min |w | 1 D 1

min | |

2

w  (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI) Lời giải

z  z  z   z  i  z  i z  i

Khi đó, giả thiết  1 2  1 2   1 2  3 1 1 2

 



 TH1 Với z 1 2i, ta có w    z 2 2 i   1 2 i   2 2 i    1 w  1.

TH2 Với z   1 2 i  z  3 i  1    , đặt z   x yi x y  ,   , ta có

  1  2 1  3  12  22  12  32 1

2

w    z i   x i   i    x i  w  x    Chọn A

Câu 13 Cho số phức z thỏa mãn z  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A max T  2 5. B max T  2 10. C max T  3 5. D max T  3 2.

(THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ - HÀ NỘI) Lời giải

Cách 1 Gọi z   x yi x y  ,     M x y  ; 

Và A   1; 0 ,  B  1; 0  Ta có z   1 x  yi   1 x2 y2  1.

M

 thuộc đường tròn đường kính AB

4

    Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có

 2 2 2 2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức max T  2 5 Chọn A

Mặt khác z   1 x2 y2   1 x2 y2  1, khi đó

   

2 2

Câu 14 Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2 z i   2  iz , biết z1 z2  1 Tính giá trị của biểu thức P  z1 z2

A 3

2

2

(THPT THANH CHƯƠNG I - NGHỆ AN) Lời giải

Đặt z   x yi x y  ,   , ta có 2z i  2iz  2x2y1i  2 y xi

2 2

        Sử dụng công thức (chứng minh ở câu 16)

z  z  z  z  z  z  z  z  z  z  z  z  Chọn D

Câu 15 Cho ba số phức z z z1; 2; 3 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z3  1 và z1 z2 z3  0 Tính giá trị biểu thức Az12z22z32

A 1 B 0 C 1 D 1 i

(THPT CHUYÊN BIÊN HÒA - HÀ NAM) Lời giải

Az z z  z z z  z z z z z z   z z z z z z

Mặt khác z1 z2 z3   0 z1 z2 z3  0 suy ra A 0 Chọn B

Câu 16 Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1 z2   8 6 i và z1 z2  2 Tìm giá trị lớn nhất của P  z1  z2

(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

 Bổ đề Cho hai số phức z1 và z2, ta luôn có z1 z2 2 z1 z2 2  2  z12 z2 2    Chứng minh Sử dụng công thức 2    

z  z  z  z z  z và z z  z2 Khi đó

1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2

 Áp dụng    , ta được 2 2 2  2

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2 2

P  z  z  z  z  Chọn B

Câu 17 Cho P z  là một đa thức với hệ số thực Nếu số phức z thỏa mãn P z    0 thì

A P z   0 B 1

0

P z

 



 

 

C 1

0

P z

 



 

 

D P z    0.

(THPT CHUYÊN TỈNH HÀ NAM) Lời giải

Chọn hàm số   2

P z  z  z  Phương trình   2 1 2

1 2

 





Xét với số phức z 1 2i, ta có

 z   1 2 i  5 suy ra   2  2

 1 1 1 2

1 2 5 5i

z   i   suy ra 2

25 25

 

 

 

 1 1 1 2

1 2 5 5i

z   i   suy ra 2

25 25

 

 

 

 z  1 2i suy ra   2  2  

P z z  z   i   i   Chọn D

Câu 18 Cho số phức z thỏa mãn z  1 Đặt 2

2

z i A

iz





 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A A  1. B A  1. C A  1. D A  1.

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Từ giả thiết, ta có 2 2  2 2 2

2

z i

iz





2

A i

Ai



2

A i

Ai



 Đặt A   x yi x y  ,   , khi đó    2x2y1i    y 2 xi

Vậy môđun của A x2y2 1 Chọn A

Câu 19 Cho số phức z thỏa mãn 2

2

z  và điểm A trong hình

vẽ bên là điểm biểu diễn của z Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm

biểu diễn của số phức 1

w iz

 là một trong bốn điểm M , N, P,

Q Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là

A điểm Q B điểm M

C điểm N D điểm P

(THPT CHUYÊN ĐH VINH LẦN 1)

Đặt z   x yi x y  ,  0 , khi đó 2 2 2 2 2 1

z  x y   x y  và x y (hình vẽ)

1

2 2

i x yi

Vì x y , 0 nên điểm biểu diễn số phức w là   2 ; 2 y  x  đều có hoành độ, tung độ âm Đồng thời x  y   2 y   2 x  xw yw  0 và w  2 x2 y2  2  2 z

Dựa vào hình vẽ, điểm P chính là điểm cần tìm vì điểm N tuy thỏa mãn xw  yw 0

nhưng độ dài ON xấp xỉ bằng độ dài OA Chọn D

Câu 20 Cho số phức z   x yi x y  ,    thỏa mãn z   6 8 i  5 và có môđun nhỏ nhất Tính tổng xy

A xy 3 B xy 1 C xy1 D xy2

(SỞ GD&ĐT QUẢNG NAM) Lời giải

Dựa vào ví dụ, ta phát triển dạng toán Min – Max số phức như sau

Tập hợp các điểm M z   thỏa mãn điều kiện zabi R  R  0  là đường tròn   C

có tâm I a b  ;  và bán kính R

Chứng minh Gọi z   x yi,  x y   , 

Theo giả thiết zabi R  xa  y b i  R

 x a 2  y b 2 R  x a 2  y b 2 R2

Vậy tập hợp các điểm M z   là đường tròn   C có tâm I a b  ;  và bán kính R

Ví dụ 21 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z   2 4 i  5 Tìm max z

A max z  3 5 B max z  5 C max z  5 D max z  13

Hướng dẫn giải

Tập hợp các điểm M z   là đường tròn   C có tâm I  2; 4  và bán kính R  5

Vậy max z  OM  OI  R  22 42  5  3 5 Chọn A

* Hỏi thêm:

a) Tìm min z

2 2

min z  ON  OI  R  2  4  5  5

b) Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

Phương trình đường thẳng OI là y2x

Tọa độ hai điểm M , N là nghiệm của hệ phương trình







Số phức z có môđun lớn nhất là z   3 6 i tương ứng với điểm M  3; 6 

Số phức z có môđun nhỏ nhất là z   1 2 i tương ứng với điểm N  1; 2 

Ví dụ 22 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z  5 i  3 Nếu số phức z có môđun nhỏ nhất thì phần ảo bằng bao nhiêu?

A 0 B 3. C 2 D 4.

Hướng dẫn giải

Tập hợp các điểm M z   là hình tròn   C tâm I  0;5 

và bán kính R  3

Số phức z có môđun nhỏ nhất là z  2 i ứng với điểm N  0; 2 

Chọn C

Tổng quát Trong các số phức z thỏa mãn z  z1  r1  r 1 0  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z  z2

Gọi I z  1 ; N z  2 và M z   Tính IN  z1 z2  r2

Khi đó, max P  NM1 r1 r2 và min P  NM2  r1 r2

Áp dụng

Câu 1 (THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

1i z  1 7i  2 Tìm max z

A max z  4 B max z  3 C max z  7 D max z  6

Hướng dẫn giải

Ta có 1  1 7 2 1 1 7 2 3 4  1

1

i

i



Vì 3 4 i0 5 nên max z  r1 r2    1 5 6 Chọn D

Câu 2 Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3

1 1

3 2

i z i

 

 

A max z  1 B max z  2 C max z  2 D max z  3

Hướng dẫn giải

3 2

i

 

Vì  i 0 1 nên max z  r1 r2    1 1 2 Chọn B

Câu 3 Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z   2 4 i  z  2 i Biết rằng số phức

z   x yi,  x y   ,  có môđun nhỏ nhất Tính P  x2  y2

A P  10 B P  8 C P  16 D P  26

Hướng dẫn giải

Gọi z   x yi,  x y   ,  Ta có z 2 4i  z2i  x2  y4i  xy2i

4x 4y 16 0 y 4 x

Dấu "" xảy ra x2y2 Vậy 2 2

P    Chọn B

Câu 4 (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z  4  z  4  10. Giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

A 10 và 4 B 5 và 4 C 4 và 3 D 5 và 3

Hướng dẫn giải

Gọi z   x yi,  x y   ,  Theo giả thiết, ta có z4  z4 10

Gọi M x y  ; , F 1 4; 0  và F2 4; 0 

Khi đó     MF1 MF2  10 nên tập hợp các

điểm M z   là đường elip   E

Ta có c  4; 2 a  10  a  5 và b2 a2c2 9

Do đó, phương trình chính tắc của   E là

1

Vậy max z  OA  OA '  5 và min z  OB  OB '  3 Chọn D

Câu 5 Biết số phức z   x yi,  x y   ,  thỏa mãn đồng thời điều kiện z3 4 i  5

và biểu thức P z22 z i 2 đạt giá trị lớn nhất Tính z

A z  33 B z  50 C z  10 D z  5 2

Hướng dẫn giải

Tập hợp các điểm M z   là đường tròn   C có tâm I  3; 4  và bán kính R  5

Ta có P   x  2   yi2 x   y  1  i2   x  2 2 y2  x2  y  1 2

 

4 x 2 y 3 4 x 2 y 3 P 0

Ta tìm P sao cho đường thẳng  và đường tròn   C có điểm chung  d I  ;    R

12 8 3

20

P

P

  

Do đó max P  33 Dấu "" xảy ra

 2  2

5

y



 



Vậy z  52 52  5 2 Chọn D

Câu 23 Cho hai số phức z1, z2 thoả mãn điều kiện z1  z2  z1 z2  1

Tính giá trị của biểu thức

P

     

A P 1 i B P  1 i C P   1 D P 1 i

(SỞ GD&ĐT QUẢNG NINH) Lời giải

2

,

z

z

     , khi đó

2 2

2 2

1

3 2

2

x









 Khi đó

2 2

1.

w

Chọn C

Câu 24 Tính tích môđun của tất cả các số phức z thỏa mãn 2 z   1 z   1 i , đồng thời điểm biểu diễn z trên mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R  5

A 5 B 3 C 3 5 D 1

(SỞ GD&ĐT THANH HÓA) Lời giải

Đặt z   x yi x y  ,   , khi đó 2 z   1 z    1 i 2 x   1 2 y i  x   1  y  1  i

2x 1 4y x 1 y 1 3x 3y 6x 2y 1 0 1

Mà điểm biểu diễn      2  2 2 2  

z

Lấy   1  3 2  , ta được 3 x2 3 y2 6 x  2 y   1 3 x2 3 y2 6 x  6 y   9 0  y   1

Thế y  1 vào phương trình   2 , ta có

1 2

1 2 2

0

x

 



Chọn C

Câu 25 Cho các số phức z w, thỏa mãn z   2 2 i  z  4 , i w  iz  1 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức w là

A 2

3 2

2 (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2) Lời giải

Đặt z  a bi a b   ,   , khi đó z   2 2 i  a   2  b  2  i và z  4 i  a   b  4  i

Nên ta có  2  2 2  2

a  b a  b a b  b a

Dễ thấy  

2 2

a  a  a     w   

Chọn A

Câu 26.Gọi z1, z2 là hai nghiệm của phương trình z2  z 1 0

Tính giá trị của biểu thức Pz12017z22017

1

(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

i

z   z z   z  z P z  z  Chọn D

Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn  2 3  i z    1 2  i z    7 i Tìm môđun của z

A z  5 B z  1 C z  3 D z  2

(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)

Lời giải

Cách 1 Đặt z  a bi a b   ,   , khi đó giả thiết trở thành

2

1

a

b









 



Cách 2 Xử lý bằng casio giống bài toán sau: Cho số phức z   2 3  i z    1 9 i Tích phần thực và phần ảo của số phức z bằng

A 2 B 1 C 1 D 2

Đặt z  X  Yi  z  X  Yi Khi đó w  X  Yi   2 3  i  X  Yi    1 9 i  0   

Thao tác trên máy tính Màn hình hiển thị

Ấn w2 Đưa về tính số phức

Nhập vế trái của phương trình  

2 3  1 9

Sau đó, gán giá trị X 100,Y 0, 01

Ấn r100 r0

Khi đó  1010329097  101, 03 290, 97 

100 100

Mặt khác, ta có        



101, 03 100 1 0, 03 3 1

290, 97 300 9 0, 03 3 3 9

Câu 28 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện z z  z  2 và z  2?

(THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA) Lời giải

z  a bi a b     z  a bi   z z  a bi  a bi   a  b

Khi đó, giả thiết

2 2

2 2

4

.

2

a bi

