Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K.. a Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi b Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E C
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ
CẤP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 12/4/2017
Bài 1 (2,0 điểm)
a) Cho
3
10 6 3 ( 3 1) x
6 2 5 5
Tính giá trị của 2 2017
P 12x + 4x – 55
b) Cho biểu thức
2
a 1 a a 1 a a a a 1 M
với a > 0, a 1
Với những giá trị nào của a thì biểu thức N 6
M
nhận giá trị nguyên?
Bài 2 (2,0 điểm)
a) Cho phương trình: x2 2mxm2 m 6 0 (m là tham số) Với giá trị nào của
m thì phương trình có hai nghiệm x và 1 x sao cho 2 x1 x2 8?
b) Cho hệ phương trình
2 2017
x y 2x y x y 2xy 3x 3 0
y x y 3m
Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt x ; y và 1 1
x ; y2 2 thỏa mãn điều kiện x1y2x2y1 3 0
Bài 3 (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho a + b chia hết cho 2 a b 12
b) Cho ba số th c a, b, c dương Chứng minh r ng:
1
a b c b c a c a b
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định n m trên một đường thẳng d (điểm B n m giữa điểm A
và điểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O không thuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M
và N là các tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K Đường thẳng AO cắt MN tại
điểm H và cắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P n m giữa A và Q)
a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi
b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME
Bài 5 (1,0 điểm)
Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần
tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A Tìm tất cả các phần tử của tập hợp A
-Hết -
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2:
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Năm học 2016 - 2017
MÔN: Toán 9
(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)
Chú ý:
- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa
- Tổng điểm bài thi: 10 điểm
Bài 1
(2 điểm)
1a) (1,0 điểm)
Ta có :
310 6 3 3 1 3( 3 1) 3 3 1 0,25
2
3 3
2
( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 3 1
1
5 1 5 ( 5 1) 5
Thay giá trị của x vào P ta được:
2 2017 2017
P 12.2 4 2 55 1 1 0,25
1b) (1,0 điểm)
Với điều kiện a 0; a 1 thì:
a 1 a a 1 a 1 a 1 a a 1
a 1 M
a 1
a 1 a a 1 a a 1 M
0,25
Khi đó
6 6 a
M a 1
Ta thấy với 0 a 1 a a 1 0
2
2
6 a
a 1
0,25
Do 0 N 2
Để N có giá trị nguyên thì N = 1 0,25
6 a
1
a 2 a 1
2 a 3 2 a 7 4 3 ( )
a 2 3
a 3 2 a 7 4 3 ( )
tháa m·n tháa m·n
Vậy a 7 4 3.
0,25
Trang 3Bài 2
(2 điểm)
2a) (1,0 điểm)
Phương trình: 2 2
x 2mxm m 6 0 có hai nghiệm thì:
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
2
1 2
x x 2m
x x m m 6
0,25
Ta có:
2
x x 8 x x 2 x x 64
x x 2x x 2 x x 64 (1)
0,25
Trường hợp 1:
Nếux1và x2 cùng dấu thì:
m 6
x x 0
m m 6 m 2 m 3 0
6 m 2
m 3
(*)
Khi đó (1) 2 2
x x 64 4m 64 m 4
(thỏa mãn (*))
0,25
Trường hợp 2:
Nếu x1 và x2
trái dấu thì:
2
1 2
x x 0 m m 6 m 2 m 3 0 2 m 3 (**)
m 6 16 m 10
Kết luận: m 4
0,25
2b) (1,0 điểm)
2 2017
x y 2x y x y 2xy 3x 3 0 (1)
Ta có 3 2 2 2 2
(1)x y x y 2x y2xy 3x 3 0
2 2
2
(x 1) x y 2xy 3 0
x 1
xy 1 2 0
0,25
Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được 2
y y 3m 1 0 (3)
Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:
1 4 3m 1 0 12m 3 0 m
4
0,25
Theo đề bài: x1y2x2y1 3 0 4 y1 y2y y1 2 0 (4)
Với m 1
4
theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có : 0,25
Trang 41 2
1 2
y y 1
y y 1 3m
thay vào (4) ta có: 5 1 3m 0 m 2(thỏa
mãn)
Kết luận: m = 2
Bài 3
(2 điểm)
3a) (1,0 điểm)
Ta có (a + b2) (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k *
a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với m ka – b 2 *
m + b = ka2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: 2
mb m b 1 a k ka 1
(m – 1)(b – 1) = (a + 1)(k + 1 – ka) (3)
Do m, b *m –1 b –1 0
Vì thế từ (3) suy ra: (a + 1)(k + 1 – ka) 0
0,25
Lại do a > 0 nên suy ra: k + 1 – ka 0 1 k(a – 1)
Vì a – 1 0, k > 0 nên 1 k a –1 0 vµ k a –1
a 1 k(a 1) 0
a 2 k(a 1) 1
k 1
0,25
Với a = 1 Thay vào (3) ta được: (m – 1)(b – 1) = 2
m 1 2
b 1 1 b 2 k.a 5 a 1
b 3 k.a 5 a 1
m 1 1
b 1 2
Vậy, trường hợp này ta được hai cặp a = 1; b = 2 và a = 1; b = 3
0,25
Với a = 2 và k = 1 Thay vào (3) ta có: (m – 1)(b – 1) = 0 b 1
m 1
Khi b = 1, ta được: a = 2, b = 1
Khi m = 1: từ (1) suy ra a + k = b b = 3
Khi đó: a = 2, b = 3
Vậy có 4 cặp số (a; b) thỏa mãn là: (1; 2), (1; 3), (2; 3), (2; 1)
0,25
3b) (1,0 điểm)
Với x là dương áp d ng bất đ ng thức auchy ta có:
x 1 x 1 x x 1
(*)
x 1 x 2
ấu = x y ra khi x = 2
0,25
Áp d ng bất đ ng thức (*) ta được:
0,25
Trang 5Suy ra:
3
(1)
a b c
2 b c 2a
Tương t ta có:
3
(2)
a b c
b a c
3
(3)
a b c
c a b
0,25
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
1
a b c b a c c a b
ấu = x y ra khi a = b = c
0,25
Bài 4
(3 điểm)
Hình vẽ:
d E
D H
K
Q P
N
M
I
A
B
C O
4a) (1,5 điểm)
Gọi I là trung điểm của BC suy ra IO BC
ABN đồng dạng với ANC (Vì ANBACN, CAN chung)
AB AN
AN AC
AB.AC = AN2
0,50
ANO vuông tại N, đường cao NH nên AH AO = AN2
AHK đồng dạng với AIO (g.g)
Nên AH AK AI AK AH AO
AI AO (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI.AK AB.AC AK AB AC
AI
0,5
Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi
Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB
K cố định (đpcm)
0,25
4b) (1,5 điểm)
Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) ME MH
MQ DQ
Trang 6PMH đồng dạng MQH (g.g) MP MH MH
MQ QH 2DQ
MP 1 ME
MQ 2 MQ
ME = 2 MP P là trung điểm ME 0,50
Bài 5
(1 điểm)
Bài 5 (1,0 điềm)
Giả sử A =a ;a ;a ;a1 2 3; 21 với a ; a ; a ; a1 2 3; 21 và
a a a a
Theo giả thiết ta có a1 a2 a3 a11 a12a13 a21
0,25
Mặt khác với x; y Z và nếu yx thì y x 1
a a 10, a a 10, ,a a 10 (2)
Nên từ (1) suy ra a110 + 10 + +10 = 100
mà a1 nhỏ nhất và 101 A a1=101
Ta có
101 a a a a a a 100
0,25
Kết hợp với (2)
10 a a (a a ) (a a ) (a a ) 10
Ta có a1=101 mà 102 A a2 102
0,25
Kết hợp với (3) và (4) suy ra A =101;102;103; ;121 0,25
- Hết -