Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Sở GDĐT Nghệ An năm học 2015 2016 bảng A

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2015 – 2016 Đề thức Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (3,0 điểm) a Chia 18 vật có khối lượng 20162; 20152; 20142; ; 19992 gam thành ba nhóm có khối lượng (không chia nhỏ vật đó) b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 3x + 171 = y2 Câu (6,0 điểm) a Giải phương trình: x  x    x  1 x  x  2 4 x   y  x b Giải hệ phương trình:  2  x  xy  y  Câu (3,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1   3 b2  c2  a  Câu (6,0 điểm) Từ điểm M nằm đường tròn tâm (O; R) Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B tiếp điểm), cát tuyến MPQ không qua O (P nằm M, Q) Gọi H giao điểm OM AB   HQO  a Chứng minh: HPO b Tìm điểm E thuộc cung lớn AB cho tổng 1  có giá trị nhỏ EA EB Câu (2,0 điểm) Tìm hình vuông có kích thước nhỏ để hình vuông xếp hình tròn có bán kính cho hai hình tròn chúng có điểm chung VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN TOÁN LỚP Câu Nội dung Điểm - Nhận xét: n2 + (n + 5)2 = 2n2 + 10n + 25 = x + 25 (n + 1)2 + (n + 4)2 = 2n2 + 10n + 17 = x + 17 0,5 (n + 2)2 + (n + 3)2 = 2n2 + 10n + 13 = x + 13 Lần thứ nhất, chia vật có khối lượng 19992, , 20042 thành ba phần: A + 25, A + 17, A + 13 a Lần thứ hai, chia vật có khối lượng 20052, , 20102 thành ba phần: B + 25, B + 17, B + 13 0,5 Lần thứ ba, chia vật có khối lượng 20112, , 20162 thành ba phần: C + 25, C + 17, C + 13 Lúc ta chia thành nhóm sau: Nhóm thứ A + 25, B + 17, C + 13; nhóm thứ hai B + 25, C + 17, A + 13; nhóm thứ ba C + 25, A + 17, B + 13 Khối lượng nhóm A 0,5 + B + C + 55 gam Viết phương trình cho dạng: 9.(3x – + 19) = y2 (x  2) Để y số nguyên điều kiện cần đủ 3x – + 19 = z2 số 0,25 phương (z số nguyên dương) Nếu x – = 2k + số lẻ 32k + + 19 = (32k + + 1) + 18 = 4.B + 18 chia hết cho không chia hết b số phương 0,5 Do x – = 2k số chẵn Ta có 3x – + 19 = z2   z  3k  z  3k   19 Vì 19 số nguyên tố k  z  10  z  10  z    k  k  z   19 k  3  z  3k  z  3k nên  0,5 Vậy x = y = 30 0,25 ĐKXĐ: R 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Vì x  1 nghiệm, nên phương trình cho tương đương với phương trình: a  x2  6x   x2  2x  2x 1 x2  6x    x2  2x   2x 1 0,5 x  x   2(2 x  1) ( x  x   2)( x  x   2)  2x 1 x2  2x    x2  2x 1  2x 1 x2  2x 1 0,25 x2  2x    1    x  x  1   0 2 x  x  x     0,5  x2  2x 1  (1)   x  x    x  (2) PT (1) có hai nghiệm x1;2  1  0,25 PT (2)  0,25 x2  2x    2x   x2  2x   2x 1   15 x    x3   x  x   (2 x  1)  Vậy phương cho có ba nghiệm: x1;2  1  2; x3  b 0,25 0,25  15 0,25  x  12  y  y  2 x   Hệ phương trình   2  x  xy  y   x  xy  y  0,5 Xét hệ:   y  x    2 2  x  xy  y   x  x  x  1   x  1  0,5  y  2x 1  x   x     y  2x 1  x       y 1 y   7 x  x   x      7 0,5  y  2x 1 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  y  2 x   2  x  xy  y   x  x  x  1   x  1  0,5  y  2 x  x   x  1  y  2 x       x     y  1 y 1 3 x  x    x  1  0,5  y  2 x  Xét hệ:  2  3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) là: (0; 1),   ;   ,  7 0,5 (0; -1), (-1; 1) Sử dụng bất đẳng thức Cô si Ta có: b  a  1 b  a  1 a 1 b  ab (1)  a    a    a 1 2 b 1 b 1 2b Tương tự: b 1 c  bc (1)  b 1 c 1 c 1 a  ca  c   (3) a 1 0,5 0,5 Từ (1); (2) (3) suy ra: a 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca    3 b 1 c 1 a 1 2 0,5 Mặt khác a  b  c  ab  bc  ca hay 3(ab  bc  ca)   a  b  c   Do đó: a 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca    3 b 1 c 1 a 1 2 = 3  Vậy a 1 b 1 c 1    Dấu xảy a = b = c = b2  c2  a  0,5 0,5 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí a  MPA đồng dạng  MAQ (g.g), suy MA2 = MP.MQ (1) 0,75  MAO vuông A, có đường cao AH nên MA2 = MH.MO (2) 0,5 Từ (1) (2) suy MP.MQ = MH.MO hay MP MO  (*) MH MQ 0,5  MPH  MOQ có góc M chung kết hợp với (*) ta suy   MQO   MPH đồng dạng  MOQ (c.g.c) suy MHP   HQO  = sdOH  Do tứ giác PQOH tứ giác nội tiếp  HPO 0,75 0,5 (đpcm) b Trên tia đối tia EA lấy điểm F cho EB = EF hay  EBF cân    BEA  Đặt  E, suy BFA nên F AEB    AFB  di chuyển cung chứa góc Ta có:  0,5 dựng BC 1 1    Như nhỏ EA + EA EB EA  EB EA EB EB lớn hay EA + EF lớn  AF lớn (**) 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Gọi O’ điểm cung lớn AB, suy  O’AB cân O’ suy O’A=O’B (3) 0,5 '  BEO '  O’EB  O’EF có EB = EF, O’E chung FEO '   O’EB =  O’EF (c.g.c) suy O’B = O’F (cùng bù với BAO 0,5 (4) Từ (3) (4) suy O’ tâm cung chứa góc  dựng đoạn thẳng BC (cung cung lớn AB thuộc nửa mặt phẳng 0,5 bờ AB) Do AF lớn đường kính (O’) E  O’ (***) 0,25 Từ (**) (***) suy E điểm cung lớn AB 1 có giá trị nhỏ  EA EB 0,25 Gọi O tâm hình vuông ABCD cạnh a > chứa hình tròn bán kính cho hai hình tròn chúng có điểm chung Suy tâm hình tròn nằm hình vuông MNPQ tâm O cạnh (a-2) MN // AB Các đường trung 0,75 bình hình vuông MNPQ chia hình vuông thành hình vuông nhỏ Theo nguyên lí Dirichle tồn hình vuông nhỏ chứa tâm hình tròn nói trên, chẳng hạn O1 O2 Do hình tròn hai hình tròn có điểm chung nên O1O2  (1) 0,5 0,5 Mặt khác O1O2 nằm hình vuông nhỏ có cạnh a2 a2 a2 (2) ( đường chéo hình vuông nên O1O2  2 0,5 nhỏ) Từ (1) (2)  a2   a   2 Do hình vuông 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí có cạnh lớn (  2 ) thỏa mãn yêu cầu toán Vậy hình vuông ABCD có cạnh (  2 ) thỏa mãn yêu cầu toán 0,25 ... 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca    3 b 1 c 1 a 1 2 0,5 Mặt khác a  b  c  ab  bc  ca hay 3(ab  bc  ca)   a  b  c   Do đó: a 1 b 1 c 1 a  b  c ab  bc  ca    3... chia vật có khối lượng 199 92, , 20042 thành ba phần: A + 25, A + 17, A + 13 a Lần thứ hai, chia vật có khối lượng 20052, , 20102 thành ba phần: B + 25, B + 17, B + 13 0,5 Lần thứ ba, chia vật... tia đối tia EA lấy điểm F cho EB = EF hay  EBF cân    BEA  Đặt  E, suy BFA nên F AEB    AFB  di chuyển cung ch a góc Ta có:  0,5 dựng BC 1 1    Như nhỏ EA + EA EB EA  EB EA EB