Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 Phòng GDĐT Phú Lộc, Thừa Thiên Huế năm học 2016 2017

VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN HUYỆN PHÚ LỘC NĂM HỌC 2016 – 2017 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán – Lớp Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,0 điểm):  3x  x  Cho biểu thức A    x  x    x 1  x2  2 :  x 1 1) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Tìm giá trị x để số tự nhiên A Câu (4,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  10 x  27   x  x  2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A  x 1 x  x 1 Câu (4,0 điểm): Cho hai đường thẳng: y = x + (d1); y = 3x + (d2) 1) Gọi A B giao điểm (d1) (d2) với trục Oy Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB 2) Gọi J giao điểm (d1) (d2) Tam giác OIJ tam giác gì? Tính diện tích tam giác Câu (6,0 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Gọi M điểm nằm A B Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M 1) Tứ giác ACED hình gì? Vì sao? 2) Gọi H K hình chiếu M AB AC Chứng minh rằng: HM MK CD   HK MC 4R 3) Gọi C’ điểm đối xứng với C qua A Chứng minh C’ nằm đường tròn cố VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí định M di chuyển đường kính AB (M khác A B) Câu (2,0 điểm) Cho a, b, c ba số dương thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: c  ab a  bc b  ac   2 ab bc ac VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Câu Ý Lời giải 1 x  Điều kiện:  x   3x  x  A   x x 2   =  = 0,5  x 1 x3 x 2 =  x  1 x  1 x  1 x 2 x 1  x 1 0,5  0,5 x  Với điều kiện:  x   Vì A =  Do đó:  A Mà  x 1   Vậy 2 x  ≥ với x ≥ nên ≤  x 1 x  > nên         x 1 x  = x  =1 Do đó: x  x  0,5 Ta có: A = 0,5  1  2 : x2  x 1   x 1   x  2  x  2 x 1 Điểm x 1 =  0,5 ≤2  x 1 = 0,5 2 1   2 0,5 số tự nhiên x  x   2 A Giải phương trình: x  10 x  27   x  x  0,5 Điều kiện: ≤ x ≤ VT  x  10 x  27   x  5   , dấu “=” xảy  x  VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí VP   x  x   Dấu “=” xảy   12  12    6 x   6 x   x    VP  ,  6 x  x4  x 5 x 1 VT  VP  x  (TMĐK) 0,5 Vậy nghiệm phương trình x  0,5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: A x 1 x  x 1 2 0,25 1  Ta có: x  x    x     0, x   2  A x 1 x2  x 1 x2 x2 x2      0, x   ) (vì x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 x2  x 1 Đẳng thức xảy x = 0, suy ra: maxA = x = x  4x    x  x  1 x 1 3x  A  3A   x  x 1 x  x 1 x2  x   x  2 = x2  x 1  x  2 1  1 (vì x2  x 1 0,25 0,5  0, x ) Suy ra: minA =  , x  2 0,5 Suy ra: A   , đẳng thức xảy x    x  2 3 0,5 0,25 0,25 Tìm A(0; 3); B(0; 7) 1,0 Suy I(0; 5) 0,5 Hoành độ giao điểm J (d1) (d2) nghiệm PT: x + = 0,5 3x + 0,5  x = –  yJ =  J(-2;1) Suy ra: OI2 = 02 + 52 = 25; OJ2 = 22 + 12 = 5; IJ2 = 22 + 42 = 20 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  OJ2 + IJ2 = OI2  tam giác OIJ tam giác vuông J 0,5 1  S OIJ  OI OJ    20  (đvdt) 2 Vì CD  AB  CM = MD 0,5 Tứ giác ACED có AE cắt CD trung điểm đường nên 0,5 hình bình hành 0,5 Mà AE  CD  tứ giác ACED hình thoi 0,5 Vì tam giác ABC có AB đường kính (O) nên ∆ABC vuông C, suy tứ giác CHMK hình chữ nhật Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ta có: MH.AC = MA.MC  MH = Tương tự ta có: MK =  MH.MK = MA.MC AC MB.MC BC MA.MB.MC AC.BC Mà MA.MB = MC2; AC.BC = MC.AB (do ∆ABC vuông C) MC MC MC3 MH.MK MC =  =  MH.MK = MC.AB AB MC AB Mà MC = MK ( CHMK hình chữ nhật) 0,5 0,5 0,5 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí  MH.MK MC 2MC CD = = = HK.MC AB 2AB 4R Vậy: 0,5 HM MK CD  = (đpcm) HK MC 4R Lấy O’ đối xứng với O qua A, suy O’ cố định 0,5 Tứ giác COC’O’ hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm A đường 0,5 Do O’C’ = OC = R không đổi 0,5 Suy C’ nằm đường tròn (O’;R’) cố định M di chuyển đường kính AB 0,5 Vì a + b + c = nên c + ab = c(a + b + c) + ab = (c + a)(c + b) a + bc = a(a + b + c) + bc = (b + a)(b + c) 0,5 b + ac = b(a + b + c) + ac = (a + b)(a + c) nên BĐT cần chứng minh tương đương với: c  ac  b  b  ab  c   a  b a  c  a b ac bc 0,5  c  a c  b   b  a b  c     a  b a  c            2 a  b a  c b  c       Mặt khác dễ thấy: x  y  z  xy  yz  zx , với x, y, z (*) 0,5 Áp dụng (*) ta có: VT  b  c  a  b  c  a  Dấu “=” xảy a = b =c =  đpcm 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm không làm theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình không vẽ hình không chấm điểm  ...   2 ab bc ac VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP Câu Ý Lời giải 1 x  Điều kiện:  x   3x  x  A   x x 2   =  =... dụng (*) ta có: VT  b  c  a  b  c  a  Dấu “=” xảy a = b =c =  đpcm 0,5 Chú ý: 1) Nếu thí sinh làm không làm theo cách nêu đáp án cho đủ số điểm phần hướng dẫn quy định 2) Bài hình không