TÍNH TỔNG 2

SỬ DỤNG KHAI TRIỂN NEWTON VÀ CẤP SỐ NHÂN ĐỂ TÍNH TỔNG I. Các bước chuẩn bị 1a) Hệ số (HS) chứa x 0 trong / f (x) bằng HS x 1 trong f(x), HS x 0 trong // f (x) bằng 2! lần HS x 2 trong f(x), …, HS x 0 trong (k) f (x) bằng k! lần HS x k trong f(x). b) Hệ số (HS) chứa x 1 trong / f (x) bằng 2! Lần HS x 2 trong f(x), HS x 1 trong // f (x) bằng 3! lần HS x 3 trong f(x),…, HS x 1 trong (k) f (x) bằng (k + 1)! lần HS x k+1 trong f(x). 2) Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là: n n 1 2 n 1 1 q S u u . u u 1 q - = + + + = - . Đặt tổng k k k k S 1 2 n= + + +L với n, k + Î ¢ . Với x 1¹ - , xét hàm số: 2 n f(x) (1 x) (1 x) . (1 x)= + + + + + + (1). Áp dụng công thức cấp số nhân ta có: n n 1 1 (1 x) (1 x) (1 x) f(x) (1 x) 1 (1 x) x + - + + - + = + = - + Suy ra hệ số số hạng chứa x k sau khi rút gọn của f(x) là k 1 n 1 C + + . II. Tính tổng 1) Cân bằng hệ số số hạng chứa x 1 trong hai vế của (1), ta được: S 1 = 2 n 1 C + 2) Đạo hàm hai vế (1), rồi nhân với (1 + x), ta được: 2 n / (1 x) 2(1 x) . n(1 x) (1 x)f (x)+ + + + + + = + (2). Hệ số x 1 trong vế trái là S 2 , trong vế phải bằng tổng hệ số x 1 và x 0 của / f (x) , ta được: 2 3 2 n 1 n 1 S C 2C + + = + Đặt / 2 (1 x)f (x) S (x)+ = . 3) Đạo hàm hai vế (2), rồi nhân với (1 + x), ta được: 2 2 2 n / 2 / / (1 x) 2 (1 x) . n (1 x) (1 x)f (x) (1 x) f (x)+ + + + + + = + + + [ ] // 2 // 2 S (x) (1 2x)f (x) x f (x)= + + + (3). Tương tự, cân bằng hệ số số hạng chứa x 1 trong hai vế của (3), ta được: 3 4 3 2 n 1 n 1 S S 4C 6C + + = + + Đặt / 2 / / 3 S (x) (1 x)f (x) (1 x) f (x)= + + + (bậc của 2 / / x f (x) > 1 ta bỏ). 4) Đạo hàm hai vế (3), rồi nhân với (1 + x), ta được: 3 2 3 n / 2 / / 3 / / / (1 x) 2 (1 x) . n (1 x) (1 x)f (x) 3(1 x) f (x) (1 x) f (x)+ + + + + + = + + + + + [ ] / / / / / 3 4 S (x) 2(1 2x)f (x) (1 3x)f (x) P (x)= + + + + + (4). Tương tự, cân bằng hệ số số hạng chứa x 1 trong hai vế của (4), ta được: 3 4 5 4 3 n 1 n 1 n 1 S S 8C 30C 24C + + + = + + + Đặt / 2 // 3 / // 3 S (x) (1 x)f (x) 3(1 x) f (x) (1 x) f (x)= + + + + + (bậc của P 4 (x) > 1 ta bỏ). Đến đây tôi thấy quá phức tạp và không có quy luật, nhưng đã lỡ làm nên cũng đưa lên cho mọi người đọc đỡ buồn vậy. . 2 3 2 n 1 n 1 S C 2C + + = + Đặt / 2 (1 x)f (x) S (x)+ = . 3) Đạo hàm hai vế (2) , rồi nhân với (1 + x), ta được: 2 2 2 n / 2 / / (1 x) 2 (1 x) . n (1. 2( 1 x) . n(1 x) (1 x)f (x)+ + + + + + = + (2) . Hệ số x 1 trong vế trái là S 2 , trong vế phải bằng tổng hệ số x 1 và x 0 của / f (x) , ta được: 2 3 2