TÍNH TỔNG 1

MỘT CÁCH PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN TÍNH TỔNG CÁC SỐ HẠNG CỦA MỘT DÃY SỐ ````````````````````````````````````````````````````````` Tính tổng các số hạng của một dãy số học sinh đã được làm quen từ cấp 1 và cấp 2. Tuy thế khi dạy đến phần này chỉ có thể dạy được cho một số ít học sinh giỏi hoặc bỏ qua.Lên lớp 11 HS lại được gặp lại ở cuối học kỳ 1 và rồi cũng được dạy qua quýt vì phần này thường không được hạn chế thi học kỳ. Cho nên khi gặp hoặc luyện thi đại học thì HS thường lúng tung và rất khó chịu. Bởi lẽ nó vừa khó lại vừa trừu tượng mà không thể tìm ra một phương pháp chung nào để giải quyết được. Sau đây tôi xin nêu ra một cách nhìn, một hướng phát triển nhằm giúp HS và bạn đọc phần nào giảm được sự khó chịu trong khi giải các loại toán này. 1. Từ một thí dụ đơn giản và khá quen thuộc sau, ta có thể sử dụng phương pháp giải tương tự để phát triển bài toán: • Tính tổng: nS +++= 21 1 . Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1112 11 21 11 1 1 + =⇒++++++=⇒    ++−+= +++= nn SnnnS nnS nS    . Ta có cách giải khác như sau : Ta có : ( ) 121 2 2 +=−+ kkk (*). Thay nk ;1 = rồi cộng lại ta được : ( ) ( ) 2 1 211 11 2 + =⇔+=−+ nn SnSn Với cách giải này ta có thể sử dụng để giải và phát triển các bài toán sau : • Tính tổng: 222 2 21 nS +++=  . Giải: Ta có ( ) 1331 23 3 ++=−+ kkkk (*). Thay nk ;1 = rồi cộng lại ta được ( ) ( )( ) 6 121 3311 212 3 ++ =⇔++=−+ nnn SnSSn • Tính tổng: ( ) 2 22 2 242 nS c +++=  . Giải: Ta có ( ) ( ) ( )( ) 3 1212 4214242 2 222 2 22 2 ++ ==+++=+++= nnn SnnS c  • Tính tổng: ( ) 2 22 2 1231 −+++= nS l  . Giải: Ta có ( ) [ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] ( ) 3 14 221412 3 1 3 1212 3 1412 242221 2 2 22 2 22 2 − =−−++= ++ − − ++ =+++−+++= nn nnnn nnn nnn nnS l  • Tính tổng: 333 3 21 nS +++=  . Giải: Ta có ( ) 14641 234 4 +++=−+ kkkkk (*). Thay nk ;1 = rồi cộng lại ta được : ( ) ( ) 2 1 2 3123 4 2 1 46411 S nn SnSSSn =       + =⇔+++=−+ Vậy : ( ) 2 1 2 333 3 2121 SnnS =+++=+++=  . • Tính tổng: 444 4 21 nS +++=  . Giải: Ta có ( ) 15101051 2345 5 ++++=−+ kkkkkk . Thay nk ;1 = rồi cộng lại ta được: ( ) ( ) ( ) 30 1961 51010511 23 41234 5 −+++ =⇔++++=−+ nnnnn SnSSSSn Đến đây kết quả bài toán không đẹp và cũng chẳng có quy luật gì, liệu có thể phát triển bài toán sang một hướng khác hay không ?. 2. Nếu đặt T 1 = S 1 = 1 + 2 + . + n ( ) 2 1 + = nn Ta đi xét các bài toán sau: • Tính tổng: ( ) 13.22.1 2 ++++= nnT  . Giải: Ta có ( ) kkkk +=+ 2 1 Thay nk ;1 = rồi cộng lại ta được: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) . 3 21 1 2 1 121 6 1 1 .3.22.1 122 ++ =++++=+=++++= nnn nnnnnSSnnT • Tính tổng: ( )( ) 214.3.23.2.1 3 +++++= nnnT  . Giải: Ta có ( )( ) kkkkkk 3431 23 ++=++ Thay nk ;1 = rồi cộng lại ta được ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) . 4 321 1121 3 2 2 1 34214.3.23.2.1 2 1233 +++ =+++++       + = =++=+++++= nnnn nnnnn nn SSSnnnT  Đến đây ta đã phát hiện được quy luật của bài toán và có thể phát biểu bài toán dưới dạng tổng quát: • Chứng ming rằng với ∀n, k ∈ N* ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1113.22.1 + ++ =−++++++= k knnn knnnkkT k   . Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) =−++++++= 1113.22.1 knnnkkT k  ( ) ( ) ( ) 1 1 !! 1 121 + ++ ==++++ + +−+++ k knnn CkCCCCk k kn k nk k k k k k k   Liệu có thể phát triển bài toán được nữa hay không? • Chứng ming rằng với ∀m, n, k ∈ N * ta luôn có: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 11211 + +++++ = ++++++++++++++= k knmnmnm knmnmnmkmmmkmmmT km   Giải: Ta có ( )( ) ( ) i ikm Ciikmimim 1 !11 −++ =−+++++  Thay ni ;0 = ta có : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 1 !!11 2111 1 11 + +++++ = ==+++=−++++++ ++++++−++= + ++−+++−+ k knmnmnm CkCCCkknmnmnm kmmmkmmmT k nkm k nkm k km k km km    3. Bài tập ứng dụng. Tính tổng sau: a) 555 5 21 nS +++=  b) 666 6 21 nS +++=  c) ( )( )( ) 3212127.5.35.3.1 ++−+++= nnnS  ; d) ( )( ) 12125.3 2 3.1 1 +− +++= nn n S  e) 112 1 12 1 2 4 2 44 − ++ − + − = n n S  . Mời các bạn hãy thử phát triển tiếp các bài toán trên. Nguyễn Xuân Đàn. . 2 1 111 2 11 21 11 1 1 + =⇒++++++=⇒    ++−+= +++= nn SnnnS nnS nS    . Ta có cách giải khác như sau : Ta có : ( ) 12 1 2 2 +=−+ kkk (*). Thay nk ;1. . 3 21 1 2 1 1 21 6 1 1 .3.22 .1 122 ++ =++++=+=++++= nnn nnnnnSSnnT • Tính tổng: ( )( ) 214 .3.23.2 .1 3 +++++= nnnT  . Giải: Ta có ( )( ) kkkkkk 34 31 23