Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)

Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)Lý thuyết đồ thị (LV thạc sĩ)

Khoa CNTT-Trường ĐHSG CHƢƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ CÁC ĐỊNH NGHĨA Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Định nghĩa 1.1 Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Định nghĩa 1.2 Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 gọi cạnh lặp chúng tương ứng với cặp đỉnh Định nghĩa 1.3 Giả đồ thị vô hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e gọi khuyên có dạng e = (u, u) Định nghĩa 1.4 Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Định nghĩa 1.5 Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e 1, e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp Trong phần chủ yếu làm việc với đơn đồ thị vô hướng đơn đồ thị có hướng Vì vậy, ngắn gọn, ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng CÁC THUẬT NGỮ CƠ BẢN Định nghĩa 2.1 Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G Nếu e = (u, v) cạnh đồ thị ta nói cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG nói nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u, v) Để biết có cạnh liên thuộc với đỉnh, ta đưa vào định nghĩa sau Định nghĩa 2.2 Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướng số cạnh liên thuộc với ký hiệu deg(v) ( Hình 1-1) Đồ thị vô hướng Thí dụ 1-1: Xét đồ thị cho trong( hình 1-1), ta có deg(a) =5, deg(b) = 1, deg(c) = 3, deg(f) = 1,deg(k)=2 deg(d) =41, deg(e) = 3, deg(g) =1, deg(s)=0 Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ( Hình 1-1) đỉnh s đỉnh cô lập, đỉnh b, g, f đỉnh treo Bậc đỉnh có tính chất sau: Định lý 2.1 Giả sử G = (V, E) đồ thị vô hướng với m cạnh Khi tổng bậc tất đỉnh hai lần số cạnh Ta có công thức :  deg( v) = 2m=2 E vV Chứng minh : Rõ ràng cạnh e=(u,v) tính lần deg(u) lần trongdeg(v) Từ suy tổng tất cac bậc cac đỉnh hai lần số cạnh Thí dụ 1-2 : Đồ thị với n đỉnh có bậc có cạnh? Giải: Theo định lý ta có 2m = 6n Từ suy tổng cạnh đồ thị 3n Hệ 2.1 Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ (nghĩa đỉnh có bậc số lẻ) số chẵn Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG Chưng minh: Thật vậy, gọi O U tương ứng tập đỉnh bậc lẻ tập đỉnh bậc chẵn đồ thị ta có 2m=  deg( v) =  deg( v) +  deg( v) Do deg(v) chẵn với v đỉnh U nên tổng vV vO vU  deg( v) số chẵn Từ suy tổng  deg( v) ( tổng đỉnh bậc lẻ) vU vO số chẵn, tất số hạng lẻ, nên tổng phải gồm số chẵn số hạng Vì vậy, số đỉnh bậc lẻ phải số chẵn Định nghĩa 2.3 Nếu e = (u, v) cung đồ thị có hướng G ta nói hai đỉnh u v kề nhau, nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v Đỉnh u(v) gọi đỉnh đầu (cuối) cung (u,v) Tương tự khái niệm bậc, đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc bán bậc vào đỉnh Định nghĩa 2.4 Ta gọi bán bậc (bán bậc vào) đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) ký hiệu deg+(v) (deg -(v)) ( Hình 1-2) Đồ thị có hướng Thí dụ 1-3 Xét đồ thị cho (Hình 1-2), Ta có deg-(a)=2, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e) = 2, deg-(f) = deg+(a)=2, deg+(b)=1, deg+(c)=3, deg+(d)=1, deg+(e)=2, deg+(f)=2 Do cung (u, v) tính lần bán bậc vào đỉnh v lần bán bậc đỉnh u nên ta có: Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG Định lý 2.2 Giả sử G = (V, E) đồ thị có hướng Khi Tổng tất bán bậc tổng tất bán bậc vào số cung  deg vV  (v) =  deg  (v) = E vV Đồ thị vô hướng thu cách bỏ qua hướng cung gọi đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng cho ĐƢỜNG ĐI CHU TRÌNH ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG Định nghĩa 3.1 Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G = (V, E) dãy x0, x1,…, xn-1, xn, u = x0 , v = xn , (xi , xi+1)  E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cạnh: (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn (hay sơ cấp) cạnh bị lặp lại Thí dụ 1-4: Trên đồ thị vô hướng cho (Hình 1-1):Dãy b, a, d, f đường đơn độ dài Còn dãy a,d,k,c,e,s không đường đi, (e,s) cạnh đồ thị Dãy a,d,e,c,a chu trình độ dài Đường a, d, k, c, a, d có độ dài là đường đơn, cạnh (a, d) có mặt lần Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vô hướng, khác ta có ý đến hướng cung Định nghĩa 3.2 Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, đó, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G = (V, E) dãy x0, x1,…, xn-1, xn u = x0, v = xn, (xi, xi+1)  E, i = 0, 1, 2,…, n-1 Đường nói biểu diễn dạng dãy cung: Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG (x0, x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn( hay sơ cấp) cung bị lặp lại Thí dụ 1-5 : Trên đồ thị có hướng cho (Hình 1-2) : a, c, d, e, f đường đơn độ dài Còn b, e, c, f không đường đi, (c,f) cung đồ thị Dãy a, c, d, e, f, a chu trình độ dài Đường a, c, d, e, f, d, ecó độ dài là đường đơn, cung (d,e) có mặt lần Định nghĩa 3.3 Đồ thị vô hướng G = (V, E) gọi liên thông tìm đường hai đỉnh Định nghĩa 3.4 a.Cho hai đồ thị G= G1= ta nói G1 đồ thị G :  X1 X, E1E  Với cạnh u=(i,j)E G , uE1( nghĩa u cạnh G1) Thì i,j X1 b.Đồ thị phận Cho đồ thị G1= đồ thị G = G1 gọi phận G X1=X Trong trường hợp đồ thị không liên thông, rã thành số đồ thị liên thông đôi đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị Định nghĩa 3.5 Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh( đỉnh khớp) việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Định nghĩa 3.6 Đồ thị có hướng G = (V, E) gọi liên thông mạnh tìm đường hai đỉnh Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG Định nghĩa 3.7 Đồ thị có hướng G = (V, E) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với vô hướng liên thông MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT 4.1.Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị vô hướng mà hai đỉnh có cạnh nối Các đồ thị K3, K4, K5 cho hình (Hình 1-3) đồ thị đầy đủ K3, K4, K5 Nhận xét: Đồ thị đầy đủ Kn có tất n(n-1)/2 cạnh, đơn đồ thị có nhiều cạnh 4.2 Đồ thị vòng : Đồ thị vòng Cn (n 3) gồm n đỉnh v1,v2,…,vn cạnh (v1,v2), (v2,v3),…,(vn-1,vn),(vn,v1) ( Hình 1-4) Mô tả đồ thị vòng C6 4.3 Đồ thị bánh xe Đồ thị Wn thu từ Cn cách bổ sung vào đỉnh nối với tất đỉnh Cn ( xem hình 1-5) ( Hình 1-5) Mô tả đồ thị bánh xe W3, W4, W5, W6 Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG 4.4 Đồ thị lập phƣơng Đồ thị lập phương n đỉnh Qn đồ thị với đỉnh biểu diễn 2n xâu nhị phân độ dài n Hai đỉnh kề hai xâu nhị phân tương ứng khác bit (Hình 1-6 ) cho Qn với n=1,2,3 4.5.Đồ thị hai phía Đơn đồ thị G=(V,E) gọi hai phía tập đỉnh V phân hoạch thành hai tập X Y cho cạnh đồ thị nối đỉnh X với đỉnh Y Khi ta sử dụng ký hiệu G=(X  Y, E) để đồ thị hai phía với tập đỉnh X Y Định lý sau cho phép nhận biết đơn đồ thị có phải hai phía hay không Cho G=(V,E) mộ đồ thị hai phía , vô hướng với hai tập X Y định nghĩa G gọi đồ thị hai phía đầy đủ : G đơn cặp đỉnh (i,j) mà iX, jY có cạnh G nối i với j Nếu X = n Y=m Thì G có mn cạnh ta gọi K m,n ( Hình 1-6) Đồ thị hai phía đầy đủ Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG 4.6 Đồ thị bù   Xét đơn đồ thị G=(V,E) Bù ( complement) G đơn đồ thị G =(V, E ) định nghĩa bởi:  v,uV, vu E  vuE 4.7 Tập ổn định đồ thị 4.7.1 Tập ổn định a Cho đồ thị G=(V,E) Tập A  V gọi tập ổn định G cặp đỉnh thuộc A không kề ( cạnh cung nối chúng ) Tập ổn định cực đại : Là tập ổn định thêm đỉnh Số phần tử tập ổn định cực đại nhiều phần tử số ổn định Kí hiệu (G) Nhận xét : Mọi tập ổn định tập ổn định b.Cách tìm tập ổn định Duyệt đệ quy tìm tổ hợp chập k n ( đỉnh) Với tổ hợp kiểm tra xem có thỏa mãn định nghĩa tập ổn định hay không Cách giải cho biết số ổn định Hạn chế : duyệt với số đỉnh nhỏ 4.7.2 Tập ổn định Tập đỉnh B thuộc đồ thị G(V,E) tập ổn định với đỉnh xV\B có cạnh ( G vô hướng) cung ( G có hướng) nối với đỉnh yB Tập ổn định cực tiểu tập ổn định bớt phần tử Số phần tử tập ổn định cựa tiểu phần tử số ổn định Kí hiệu : (G) Nhận xét : Mọi tập ổn định chứa tập ổn định tập ổn định Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG 4.7.2.1 Cách tìm tập ổn định Duyệt đệ quy tìm tổ hợp chập k n ( đỉnh) Với tổ hợp kiểm tra xem có thỏa mãn định nghĩa tập ổn định hay không Cách giải cho biết số ổn định Hạn chế : duyệt với số đỉnh nhỏ Ngoài cách giải tổ chức đồ thị hai phía để tìm tập ổn định nhỏ Thí dụ 1-6 Về tập ổn định trong/ngoài Trên ( Hình 1-7) Ta có : {1,4,7} tập ổn định trong, { 1,2,8} tập ổn định (Hình1-7) Cực đại , { 1,4,7,9} tập ổn định Trong cực đại có nhiều thành phần Số ổn định { 1,2,8,3} tập ổn định , { 1,2 8} Là tập ổn định cựa tiểu, {5,8} Trong tập ổn định cực tiểu có số phần tử Số ổn định 4.7.3 Tập nhân đồ thị Nhân đồ thị tập số đỉnh vừa tập ổn định vừa tập ổn định 4.8 Đẳng cấu ( đẳng hình ) đồ thị Về mặt trực quan hai đồ thị G1 G2 gọi đẳng cấu với , Ký hiệu G1G2 vẽ lại ( Bằng cách dời hình , dời cạnh , ) cho hai đồ thị có hình vẽ 4.8.1 Đẳng cấu đồ thị vô hƣớng Cho hai đồ thị vô hướng G1= G2=< X2,E2> Hai đồ thị gọi đẳng cấu với tồn hai song ánh f1 g1 cho:  f1: X1X2 g1: E1E2 Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị Khoa CNTT-Trường ĐHSG  Nếu eE1 liên kết với cặp đỉnh (x,y)  X12 xét đồ thị G1 cạnh f1(e) liên kết với cặp đỉnh ( f1(x),f1(y))  X22 xét đồ thị G2 ( Ta gọi điều phép tương ứng cạnh) 4.8.2 Đẳng cấu đồ thị có hƣớng Cho hai đồ thị có hướng G1= G2=< X2,E2> Hai đồ thị gọi đẳng cấu với tồn hai song ánh f1 g1 thỏa mãn điều kiện sau: f1: X1X2 g1: E1E2  Nếu cung eE1 liên kết với cặp đỉnh (x,y) X12 xét đồ thị G1 cung f1(e) liên kết với cặp đỉnh ( f1(x),g1(y)) X22 xét đồ thị G2 Thí dụ 1-7: ( Hình 1-8) Hai đồ thị đẳng cấu nhờ phép tương ứng đỉnh -cạnh : f1(1)=a,f1(2)=b,f1(3)=c, f1(4)=d g1(u1)=e , g1(u2)=e2 , g1(u3)=e3 g1(u4)= e4 , g1(u5) = e5 , g(u6)=e6 Hiển nhiên, hai đồ thị đẳng hình với chúng phải có : - Cùng số đỉnh - Cùng số đỉnh bậc k , k0,kZ - Cùng số cạnh ( cung) - Cùng số thành phần liên thông Nếu hai đồ thị có ma trận liên kết ( theo thứ tự đỉnh ) đẳng hình với Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 10 Khoa CNTT-Trường ĐHSG a) Với cạnh e  p0 q cho q chưa có nhãn s(e)>0 gán nhãn cho q (q)=( p0+, (q)) , (q) =min((p0),s(e)) Bƣớc 3: Nếu đỉnh z ghi nhãn qua bước ,ngược lại qua bước Bƣớc 4: Dùng thành phần thứ nhãn để tìm dây chuyền a-zK cách ngược (backtracking) từ z a Đặt =+ (z). k Rồi quay bước Bƣớc 5: Tìm đỉnh p có nhãn chưa xét Nếu tồn đỉnh p đặt p0=p Quay bước Nếu không tồn đỉnh p Đặt P tập hợp gồm tất đỉnh có nhãn ( xét ), Ta có phép cắt a-z (P, P ) Dừng giải thuật 1.9 Định lý Áp dụng thuật toán FORD-FULKERSON vào mạng G Khi giải thuật kết thúc  hàm tải tối đại (P, P ) phép cắt a-z tối thiểu G 1.10 Định lý Trong mạng G , tải trọng hàm tải tối đại trọng số phép cắt a-z tối thiểu Thí dụ 7-2: Xét mạng G , với hàm tải G sau: ( Hình 7-2) Gán nhãn (- , (a)) cho đỉnh a với (a) =  Đặt P0=a Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 140 Khoa CNTT-Trường ĐHSG  Xét đỉnh a Thực ghi nhãn cho đỉnh a Không có cạnh tới a ,   hai cạnh a ab ac  Coi đỉnh b Vì s(ab) =0 nên không nhãn cho đỉnh b  Coi đỉnh c: (a) =  s(ac) =3 nên ta gắn nhãn cho đỉnh c ( a+,3)  Xét đỉnh c: Đặt nhãn cho đỉnh d ( c+,2)  Xét đỉnh d: Đặt nhãn cho d ( d-,2)  Xét đỉnh b : Đặt nhãn cho e ( b+,2)  Xét đỉnh e : Đạt nhãn cho z ( e+,2) Đến đỉnh z có nhãn Bằng phương lần ngược từ z , ta tìm chuyền K=acdbez ta có (z)=2 dây chuyền K hàm tải  đđược sửa thành =+ (z). k luồng mạng sau: Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 141 Khoa CNTT-Trường ĐHSG Lặp lại giải thuật Lại gắn nhãn cho đỉnh a (-, )  Xét đỉnh a Đặt nhãn cho cho c ( a+,1)  Xét đỉnh c : Ta thấy gán nhãn cho đỉnh khác Vậy hàm tải  G tối đại ( {a,c}, {b,d,e,z}) phép cắt a-z tối thiểu sau: Thí dụ 7-2: Cho mạng G sau : ( Hình 7-3) Với  hàm tải G Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 142 Khoa CNTT-Trường ĐHSG  Xét đỉnh a Không có đỉnh tới a    Thực ghi nhãn cho đỉnh a : (-, ) Có cạnh tới a : ab , ac , ad  Coi đỉnh b: Đỉnh b chưa có nhãn s(ab) = Vậy gắn nhãn cho đỉnh b ( a+,6) Tương tự gán nhãn cho đỉnh c ( a+,4) cho đỉnh d (a+,7)  Xét đỉnh b: Đặt nhãn cho e (b+,6)  Xét đỉnh c: Đặt nhãn cho f (c+,3)  Xét đỉnh e: Đặt nhãn cho cho z (e+,4).Bây đỉnh z có nhãn Ta có dây chuyền abez sửa lại hàm tải  sau : Lặp lại thủ tục Gán lại nhãn cho a (- , )  Xét đỉnh a Đặt nhãn cho b ( a+,2) , nhãn cho c (a+,4) , nhãn cho d (a+,7) Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 143 Khoa CNTT-Trường ĐHSG  Xét đỉnh b Đặt nhãn cho e ( b+,2)  Xét đỉnh c Đặt nhãn cho f (c+,3)  Xét đỉnh f : Đặt nhãn cho z (f+,3) Ta có dây chuyền acfz hàm tải  sửa lại sau : Lặp lại giải thuật  Xét đỉnh a Đặt nhãn cho a (- ,  ) , nhãn cho b (a+ , ) , nhãn cho c (a+ , ), nhãn cho d (a+ , 7)  Xét đỉnh b: Đặt nhãn cho e (b+ , )  Xét đỉnh d Đặt nhãn cho f (d+ , )  Xét đỉnh f Đặt nhãn cho z (f+ , ) Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 144 Khoa CNTT-Trường ĐHSG Ta có dây chuyền adfz hàm tải sửa lại sau Lặp lại thủ tục  Xét đỉnh a Đặt nhãn cho a (-,  ), đặt nhãn cho b (a+, ) , nhãn cho c (a+,1 )  Xét đỉnh b Đặt nhãn cho e (b+, )  Xét đỉnh c: Đặt nhãn cho d (c+, )  Xét đỉnh d: Đặt nhãn cho f (d+, )  Xét đỉnh f : Đặt nhãn cho z (f+, ) Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 145 Khoa CNTT-Trường ĐHSG Ta có dây chuyền acdfz hàm tải  sửa lại sau : Lặp lại giải thuật Đặt nhãn cho a (-,  )  Xét đỉnh a : Đặt nhãn cho b (a+,2)  Xét đỉnh b: Đặt nhãn cho e (b+,2)  Xét đỉnh e : Đặt nhãn cho c (e+,2)  Xét đỉnh c : Đặt nhãn cho d (c+,2)  Xét đỉnh d : Đặt nhãn cho f (d+,1)  Xét đỉnh f : Đặt nhãn cho cho z (f+,1) Ta có dây chuyền : abecdfz hàm tải  sửa lại sau : Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 146 Khoa CNTT-Trường ĐHSG Lặp lại giải thuật : Đặt nhãn cho a (-,  )  Xét đỉnh a : Đặt nhãn cho b (a+,1)  Xét đỉnh b : Đặt nhãn cho e (b+,1)  Xét đỉnh e : Đặt nhãn cho c (e+,1)  Xét đỉnh c : Đặt cho b (c+,1)  Xét đỉnh d : Đến ta gắn nhãn cho cho f z Nên hàm tải  G tối đại ( {a,b,e,c,d}, {f,z}) lát cắt a-z tối thiểu ( Hình 7-4) ( Hình 7-4) Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 147 Khoa CNTT-Trường ĐHSG BÀI TẬP CHƢƠNG Bài tập lý thuyết 7-1.Thực thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại mạng hình vẽ sau ( Với hàm tải mạng 0) a) b) 7-2 Thực thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại mạng hình vẽ sau ( Với hàm tải mạng khác 0) a) Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 148 Khoa CNTT-Trường ĐHSG b) 7-3 Thực thuật toán Ford-Fulkerson tìm luồng cực đại mạng hình vẽ sau ( Với hàm tải mạng khác 0) Bài tập thực hành 7-4.Có m chàng trai, n cô gái k bà mối, Mỗi bà mối p (p=1,2,…,k) có danh sách Lp số chàng trai cô gái số chàng trai cô gái nói khách hàng bà ta Bà mối p se duyên cho cặp trai gái khách hàng bà ta, không đủ sức tổ chức dp đám cưới Hãy xây dựng thuật toán vào danh sách Lp, dp, p=1,2,…,k; đưa cách tổ chức nhiều đám cưới m chàng trai n cô gái với giúp đỡ bà mối Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 149 Khoa CNTT-Trường ĐHSG 7-5.Cho hai dãy số nguyên dương {pi, i=1,2,…,m} {qj,j=1,2,…,n} Hãy xây dựng ma trận A={aij:i=1,2,…,m; j=1,2,…n} với phần tử j  {0,1} có tổng phần tử dòng i pi , tổng phần tử cột j qj Phần cài đặt thuật toán quan trọng Luồng cực đại mạng #include #include #include #define max 100 Int c[max][max],f[max][max], d[max],p[max]; int pathfound,n,m,s,t; void Nhapsolieu() { FILE *ftext; int u,v; clrscr(); ftext=fopen("DOTHI\\FM.inp","rt"); fscanf(ftext,"%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t); for (int i=1;i0) f[v][u]+=tang; else { v=-v; f[u][v]-=tang; } u=v; v=p[u]; } } void Max_flow() { int stop=0; while (stop==0) { Find_path(); if (pathfound==1) Inc_flow(); else stop=1; } } void main() { Nhapsolieu(); Max_flow(); int valf=0; Lê Ngọc Hưng – Tài liệu tham khảo Lý thuyết đồ thị 152 Khoa CNTT-Trường ĐHSG for (int u=1;u0) valf+=f[s][u]; cout