Lý thuyết đồ thị

Mô tả về lý thuyết đồ thị

Bài tập Toán học rời rạc Bài tập chơng 4 Đồ thị I. các yếu tố cơ sở 1. Có thể tồn tại một giải bóng đá tổ chức theo thể thức vòng tròn có tổng số các lợt trận đấu là một số lẻ ? 2. Vẽ các đồ thị đơn 5 đỉnh với số bậc lần lợt nh sau : a. 3, 4, 4, 4, 3 b. 0, 1, 2, 3, 3 c. 1, 1, 1, 1, 2 3. Với các giá trị nào của n các đồ thị sau là phân đôi : K n , C n , W n , Q n . 4. Gọi G là đồ thị có v đỉnh và e cạnh. M, m là bậc lớn nhất và nhỏ nhất của các đỉnh. Chứng minh rằng m 2e/v M. 5. Chứng minh rằng nếu G là đồ thị đơn phân đôi thì e v 2 /4. 6. Nêu ý nghĩa tổng các phần tử trên một hàng (cột) của ma trận kề của đồ thị có hớng (vô h- ớng). 7. Tơng tự câu 6 với ma trận liên thuộc. 8. Chứng minh rằng phép đẳng cấu của các đồ thị đơn là quan hệ tơng đơng. 9. Các đồ thị sau có đẳng cấu ? a. (001)(001)(110) và (011)(100)(100) b. (0101)(1001)(0001)(1110) và (0111)(1001)(1001)(1110) c. (0110)(1001)(1001)(0110) và (0101)(1000)(0001)(1010) 10. Hãy tìm số đờng đi độ dài 2, 3, 4, 5 giữa 2 đỉnh kề nhau bất kỳ trong đồ thị K 3,3 . II. đồ thị liên thông 11. Chứng minh rằng đồ thị liên thông với n đỉnh có ít nhất n-1 cạnh 12. Cho R là quan hệ trên tập đỉnh V của đơn đồ thị sao cho (u,v) R nếu và chỉ nếu u = v hoặc có đờng đi từ u tới v. 13. Chứng minh rằng trong một đơn đồ thị luôn luôn tồn tại đờng đi nối hai đỉnh bậc lẻ bất kỳ. 14. Giả thiết v là đỉnh mút của một cầu. Chứng minh rằng v là điểm nối nếu và chỉ nếu nó không là đỉnh treo. 15. Chứng minh rằng một cạnh trong đơn đồ thị là cầu nếu và chỉ nếu cạnh này không xuất hiện trong bất kỳ chu trình đơn nào của đồ thị. 16. Chứng minh rằng đơn đồ thị n đỉnh là liên thông nếu |E| (n-1)(n-2)/2 cạnh. 1 Bài tập Toán học rời rạc III. Đờng đi và chu trình euler, hamilton 17. Thiết kế thuật toán xây dựng đờng đi, chu trình Euler trong đồ thị có hớng. 18. Vẽ một nét các hình sau : 19. Đồ thị nào sau đây có chu trình Hamilton. Tại sao không ? IV. đờng đi ngắn nhất 20. Tìm đờng đi ngắn nhất 21. Tìm đờng đi ngắn nhất 2 a b c d e z 2 3 5 2 5 1 2 4 b 3 6 1 4 a c d e f g z 3 2 5 3 5 2 7 4 . dài 2, 3, 4, 5 giữa 2 đỉnh kề nhau bất kỳ trong đồ thị K 3,3 . II. đồ thị liên thông 11. Chứng minh rằng đồ thị liên thông với n đỉnh có ít nhất n-1 cạnh. cạnh trong đơn đồ thị là cầu nếu và chỉ nếu cạnh này không xuất hiện trong bất kỳ chu trình đơn nào của đồ thị. 16. Chứng minh rằng đơn đồ thị n đỉnh là