DAP AN TOAN BANG a 2017

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP CẤP THCS NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Đề thức Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang Câu Nội dung Điểm Câu 1(4 điểm) a Tìm hệ số b, c đa thức P ( x ) = x + bx + c biết P ( x ) có giá trị nhỏ −1 x =  x + xy − xy − y3 = b Giải hệ phương trình  2 ( x + 1) − x ( y + 1) − y = b b2 b2  Ta có P(x) =  x + ÷ + c − ≥c− 2 4   b2 a c − = −1 b = −4 (4,0) 2,0 ⇔ Suy  b  c =  − =2  1,0 1,0  x + xy − xy − y3 = ( 1) ĐK: x ≥  2 x + − x y + − y = ( ) ( ) ) b   ( 2,0  x−y=0 (1) ⇔ ( x − y ) ( x + y ) = ⇔  x + y = 0,5 TH1: x + y = , suy x = y = không thỏa mãn hệ TH2: x - y = hay y = x vào (2) ta : 0,25 ( x + 1) − x ( x + 1) − x = ⇔ 2x − 3x x − x − x + = ⇔ ( )( )( 0,5 ) x − 2 x −1 x + x +1 =  x =2 x=4  ⇔ ⇔  x=1 x =   0,5 1 1 4 4 Vậy hệ phương trình có nghiệm : ( x; y ) = ( 4;4 ) ( x; y ) =  ; ÷ 0,25 Câu 2(4 điểm) a Giải phương trình x + = − x + + x b Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức P= 2a 1+ a2 + b + b2 c + + c2 ĐK: −1 ≤ x ≤ Đặt a = + x , b = − x ( a,b ≥ ) 0,25 2 2 Ta có 2a + b − = 3ab + a ⇔ 2a − ( 3b + 1) a + b − = 0,5  a = b +1 ⇔ a = b − a  2,0 0,25 Với a = b +1 ta có + x = − x + ⇔ 2x − = − x (4,0) ) ⇔ 4x − 4x + = − 4x ⇔ x = (thỏa mãn) 2 b −1 1− x −1 Với a = ta có + x = ⇔ 1+ x +1= 1− x 2 ⇔ + x = −5x − (ĐK x ≤ − ) 24 ⇔ 25x + 24x = ⇔ x = − (thỏa mãn) 25 24 Vậy x = x = − nghiệm phương trình 25 2a b c + + Ta có P = ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a ) ( c + b) ( c + a ) 0,5 (ĐK x ≥ b 2,0 = a.2 ( a + b) ( a + c) + b.2 0,5 0,5 1 + c.2 4( b + c) ( b + a ) 4( c + b) ( c + a ) 0,5   1   1   ≤ a + + + ÷+ c  ÷= ÷+ b  b + c b + a c + b c + a ( ) ( ) a+b a+c     0,5 a 15 b = c = = 0,5 15 · Câu 3(3 điểm) Cho tam giác ABC có BAC = 1350 , BC = 5cm đường cao AH = 1cm Vậy GTLN P Tính độ dài cạnh AB AC Kẻ CK ⊥ AB ( K ∈ AB ) K · ta có CAK = 450 suy tam giác AKC vuông cân K (3,0) A 1,0 B H C Đặt AB = x, AK = y (x, y > 0) tao có: BK + KC = BC2 ⇔ x + 2xy + 2y = 25 (1) Ta có hai tam giác BHA BKC đồng dạng với ⇒ 0,5 AH AB x = ⇒ = ⇔ xy = (2) CK CB y 0,5  10  5; ( x; y ) =  10; ÷   Vậy AB = cm, AC = 10 cm AB = 10 cm, AC = cm Từ (1), (2) ta tìm ( x; y ) = ( ) 0,5 0,5 Câu 4(5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D điểm cung BC không chứa A Dựng hình bình hành ADCE Gọi H, K trực tâm tam giác ABC, ACE ; P, Q hình chiếu vuông góc K đường thẳng BC, AB I giao điểm EK với AC a Chứng minh ba điểm P, I Q thẳng hàng b Chứng minh đường thẳng PQ qua trung điểm đoạn HK · · Ta có ADC E = AEC N K trực tâm tam (5,0) giác ACE nên Q · · AKC + AEC = 1800 A K I a 3, H 1,0 O P B C M D · · Suy AKC + ADK = 1800 tứ giác ADCK nội tiếp Vậy K ∈ (O) · = CKP · Các tứ giác KIPC, KIAQ nội tiếp suy CIP · · (1) AIQ = AKQ · · · Từ tứ giác nội tiếp ABCK, BPKQ ta có AKC = 1800 − ABC = QKP b 0,5 0,5 · · suy CKP (2) = AKQ 0,5 · = AIQ · Từ (1) (2) ta có CIP ⇒ P,I,Q thẳng hàng Gọi M giao điểm AH với (O) (M không trùng với A) N giao điểm AH PQ 0,5 0,5 2,0 suy MN // KP · · Bốn điểm B, Q, K, P thuộc đường tròn (vì KQB = KPB = 900 ) · · · A, B, M, K thuộc (O) ⇒ QBK = AMK = QPK Suy MNKP tứ giác nội tiếp Do MNKP hình thang cân suy KN = PM · · · Mặt khác PH = PM suy PHM = PMH = KNM ⇒ KN / /PH suy HPKN hình bình hành Vậy PQ qua trung điểm HK 0,5 0,5 0,5 Ghi chú: Nếu thí sinh vẽ hình trường hợp trực tâm K tam giác ACE nằm nằm tam giác ACE câu a chứng minh bốn điểm A, D, C, K thuộc đường tròn Câu 5(4 điểm) a Tìm tất số nguyên tố khác m, n, p, q thỏa mãn 1 1 + + + + = m n p q mnpq b Trên bảng có ghi hai số Ta ghi số lên bảng theo quy tắc: Nếu có hai số x,y phân biệt bảng ghi thêm số z = x + y + xy Chứng minh số viết bảng (trừ số 1) có dạng 3k + (với k số tự nhiên) a Không tính tổng quát giả sử m < n < p < q 2,0 Nếu m ≥ (4,0) 1 1 1 1 1 + + + + ≤ + + + + < m n p q mnpq 11 3.5.7.11 1 1 = (2) Vậy m = (1) trở thành + + + n p q 2npq 1 1 1 1 ≤ + + + < Nếu n ≥ ta có + + + n p q 2npq 11 2.5.7.11 1 1 = ⇔ ( p − ) ( q − ) = 37 Vậy n = (2) trở thành + + p q 6pq suy p = q = 43 Vậy ( m;n;p;q ) ( 2;3;7;43) hoán vị b Các số viết bảng 1; 5; 11;… 2,0 số bảng có dạng 3m + (trừ số 1) với m ∈ N Nếu sử dụng số để viết số có dạng 3m + + + (3m + 2).1 = 6m + = 3k + ( k ∈ N ) Nếu không sử dụng số để viết số có dạng 3m + +3n + 2+(3m+2)(3n + 2) = 9mn +9m + 9n + = 3k + ( k ∈ N ) Suy điều phải chứng minh Lưu ý: Nếu học sinh giải cách khác cho điểm tối đa tương ứng cho câu 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0, 1,0 20.00 ... 2a 1+ a2 + b + b2 c + + c2 ĐK: −1 ≤ x ≤ Đặt a = + x , b = − x ( a, b ≥ ) 0,25 2 2 Ta có 2a + b − = 3ab + a ⇔ 2a − ( 3b + 1) a + b − = 0,5  a = b +1 ⇔ a = b − a  2,0 0,25 Với a = b +1 ta... + a c + b c + a ( ) ( ) a+ b a+ c     0,5 a 15 b = c = = 0,5 15 · Câu 3(3 điểm) Cho tam giác ABC có BAC = 1350 , BC = 5cm đường cao AH = 1cm Vậy GTLN P Tính độ dài cạnh AB AC Kẻ CK ⊥ AB... ⊥ AB ( K ∈ AB ) K · ta có CAK = 450 suy tam giác AKC vuông cân K (3,0) A 1,0 B H C Đặt AB = x, AK = y (x, y > 0) tao có: BK + KC = BC2 ⇔ x + 2xy + 2y = 25 (1) Ta có hai tam giác BHA BKC đồng