Về một phương pháp giải toán sơ cấ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Bùi Đức Dương VỀ MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành:Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học GS.TSKH Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2012 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn khoa học GS TSKH Hà Huy Khoái Qua đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời tác giả chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán - Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, tạo điều kiện cho tác giả tài liệu thủ tục hành để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Yên Thủy B-Yên Thủy-Hòa Bình bạn lớp Cao học K4, động viên giúp đỡ tác giả trình học tập làm luận văn 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Định nghĩa tính chất số phức 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính chất số phức 1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng 1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân 1.3 Dạng đại số số phức 1.3.1 Định nghĩa tính chất 1.3.2 Giải phương trình bậc hai 1.3.3 Ý nghĩa hình học số phức modun 1.3.4 Ý nghĩa hình học phép toán đại số 1.4 Dạng lượng giác số phức 1.4.1 Tọa độ cực mặt phẳng 1.4.2 Tọa độ cực số phức 1.4.3 Các phép toán số phức tọa độ cực 1.4.4 Ý nghĩa hình học phép nhân 1.4.5 Căn bậc n đơn vị 1.5 Bài tập Sử dụng số phức giải toán sơ cấp 2.1 Số phức toán hình học 2.1.1 Một vài khái niệm tính chất 2.1.2 Điều kiện thẳng hàng , vuông góc thuộc đường tròn 2.1.3 Tam giác đồng dạng 2.1.4 Tam giác 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 5 6 7 10 12 13 15 15 16 16 17 17 21 25 25 25 30 31 33 http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2 2.3 2.1.5 Hình học giải tích với số phức 2.1.6 Tích thực hai số phức 2.1.7 Bài tập Số phức toán đại số , lượng giác 2.2.1 Các toán lượng giác 2.2.2 Các toán đại số 2.2.3 Bài tập Số phức toán tổ hợp 35 39 43 45 45 52 54 55 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình toán học cấp THPT số phức đưa vào giảng dạy phần giải tích toán lớp 12 Toàn phần số phức đưa định nghĩa số phức vài tính chất đơn giản Ứng dụng số phức giải toán dừng lại vài tập hình học đơn giản Nhằm giúp em học sinh giỏi có nhìn toàn diện số phức, đặc biệt sử dụng số phức để giải số toán sơ cấp: hình học, đại số, tổ hợp, lượng giác nên chọn đề tài luận văn: Về phương pháp giải toán sơ cấp Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng tập hình học, đại số, tổ hợp, lượng giác giải phương pháp số phức đồng thời nắm số kĩ thuật tính toán liên quan Nhiệm vụ đề tài Đưa định nghĩa tính chất số phưc Đặc biệt sử dụng số phức để giải số dạng toán: hình học, đại số, tổ hợp, lượng giác Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu toán hình học, đại số, tổ hợp, lượng giác tập hợp số phức ứng dụng liên quan Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, kỉ yếu hội thảo chuyên toán, tủ sách chuyên toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc học dạy chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo việc dạy học toán Cấu trúc luận văn Luận văn gồm chương Chương 1: Định nghĩa tính chất số phức Chương 2: Các dạng biểu diễn số phức Chương 3: Sử dụng số phức giải toán sơ cấp 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Do thời gian khối lượng kiến thức lớn, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Định nghĩa tính chất số phức 1.1 Định nghĩa Giả thiết ta biết định nghĩa tính chất tập số thực R Ta xét tập hợp R2 = R × R = {(x, y) | x, y ∈ R } Hai phần tử (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) x1 = x2 y1 = y Các phép toán cộng nhân định nghĩa R2 sau : z1 + z2 = (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) ∈ R2 với z1 = (x1 , y1 ) ∈ R2 z2 = (x2 , y2 ) ∈ R2 Phần tử z1 + z2 gọi tổng z1 , z2 , phần tử z1 z2 ∈ R2 gọi tích z1 , z2 Nhận xét 1) Nếu z1 = (x1 , 0) ∈ R2 z2 = (x2 , 0) ∈ R2 z1 z2 = (x1 x2 , 0) 2))Nếu z1 = (0, y1 ) ∈ R2 z2 = (0, y2 ) ∈ R2 z1 z2 = (−y1 y2 , 0) Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp R2 với phép cộng nhân gọi tập số phức, kí hiệu C Mỗi phần tử z = (x, y) ∈ C gọi số phức Kí hiệu C∗ để tập hợp C\ {(0, 0)} 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.2 Tính chất số phức 1.2.1 Các tính chất liên quan đến phép cộng Phép cộng số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hoán : z1 + z2 = z2 + z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp :(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị: Có số phức = (0, 0) ∈ C để z + = + z với z = (x, y) ∈ C Phần tử đối : Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C có số phức −z = (−x, −y) ∈ C cho z + (−z) = (−z) + z = 1.2.2 Các tính chất liên quan đến phép nhân Phép nhân số phức thỏa mãn điều kiện sau Tính giao hoán: z1 z2 = z2 z1 với z1 , z2 ∈ C Tính kết hợp: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) với z1 , z2 , z3 ∈ C Phần tử đơn vị: Có số phức = (1, 0) ∈ C thỏa mãn z.1 = 1.z = z Số phức = (1, 0) gọi phần tử đơn vị với z ∈ C Phần tử nghịch đảo:Mỗi số phức z = (x, y) ∈ C,z = có số phức z −1 = (x, , y , ) ∈ C cho z.z −1 = z −1 z = số phức z −1 = (x, , y , ) gọi phần tử nghịch đảo số phức z = (x, y) ∈ C Lũy thừa với số mũ nguyên số phức z ∈ C∗ định nghĩa sau z = ; z = z ; z = z.z ,và z n = z.z z với số nguyên n > n lâ n n −1 −n z = (z ) với số nguyên n < Mọi số phức z1 , z2 , z3 ∈ C∗ số nguyên m, n ta có tính chất sau 1) z m z n = z m+n ; zm 2) n = z m−n ; z 3) (z m )n = z mn ; 4) (z1 z2 )n = z1n z2n ; z1 n z1n 5) = n; z2 z2 Khi z = ta định nghĩa 0n = với số nguyên n > 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tính phân phối : z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3 với z1 , z2 , z3 ∈ C∗ Trên tính chất phép cộng phép nhân,thấy tập hợp C số phức với phép toán lập thành trường 1.3 1.3.1 Dạng đại số số phức Định nghĩa tính chất Mỗi số phức biểu diễn cặp số thứ tự, nên thực biến đổi đại số thường không thuận lợi Đó lí để tìm dạng khác viết Ta đưa vào dạng biểu diễn đại số Xét tập hợp R × {0} với phép toán cộng nhân định nghĩa R2 Hàm số f : R → R × {0} , f (x) = (x, 0) song ánh (x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0) (x, 0).(y, 0) = (xy, 0) Người đọc không sai lầm ý phép toán đại số R × {0} đồng với phép toán R; đồng cặp số (x, 0) với số x, với x ∈ R Ta sử dụng song ánh kí hiệu (x, 0) = x Xét i = (0, 1) ta có z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0).(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1).(y, 0) Từ ta có mệnh đề Mệnh đề 1.3.1 Mỗi số phức z = (x, y) biểu diễn dạng z = x + yi Với x, y ∈ R Hệ thức i2 = −1 suy từ định nghĩa phép nhân i2 = i.i = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Biểu thức x + yi gọi biểu diễn đại số (dạng) số phức z = (x, y) Vì ta viết C = x + yi |x ∈ R, y ∈ R , i2 = −1 Từ ta kí hiệu z = (x, y) z = x + yi Số thực x = Re(z) gọi phần thực số phức z, y = Im(z) gọi phần ảo z Số phức có dạng yi , y ∈ R∗ gọi số ảo, số phưc i gọi số đơn vị ảo Từ hệ thức ta dế dàng có kết sau: a) z1 = z2 Re(z1 ) = Re(z2 ) Im(z1 ) = Im(z2 ) b) z ∈ R Im(z) = c) z ∈ C\R Im(z) = Sử dụng dạng đại số, phép toán số phức thực sau: Phép cộng z1 + z2 = (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) = (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i ∈ C Dễ thấy tổng hai số phức số phức có phần thực tổng phần thực, có phần ảo tổng phần ảo: Re(z1 + z2 ) = Re(z1 ) + Re(z2 ); Im(z1 + z2 ) = Im(z1 ) + Im(z2 ) Phép trừ z1 − z2 = (x1 + y1 i) − (x2 + y2 i) = (x1 − x2 ) + (y1 − y2 )i ∈ C Ta có Re(z1 − z2 ) = Re(z1 ) − Re(z2 ); Im(z1 − z2 ) = Im(z1 ) − Im(z2 ) Phép nhân z1 z2 = (x1 + y1 i).(x2 + y2 i) = (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 ) i ∈ C Ta có Re(z1 z2 ) = Re(z1 ) Re(z2 ) − Im(z1 ) Im(z2 ); Im(z1 z2 ) = Im(z1 ) Re(z2 ) + Im(z2 ) Re(z1 ) Mối số thực λ, số phức z = x + yi, λz = λ(x + yi) = λx + λyi ∈ C tích số thực với số phức Ta có tính chất sau 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... diện số phức, đặc biệt sử dụng số phức để giải số toán sơ cấp: hình học, đại số, tổ hợp, lượng giác nên chọn đề tài luận văn: Về phương pháp giải toán sơ cấp Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa dạng... Trong chương trình toán học cấp THPT số phức đưa vào giảng dạy phần giải tích toán lớp 12 Toàn phần số phức đưa định nghĩa số phức vài tính chất đơn giản Ứng dụng số phức giải toán dừng lại vài... Sử dụng số phức giải toán sơ cấp 2.1 Số phức toán hình học 2.1.1 Một vài khái niệm tính chất 2.1.2 Điều kiện thẳng hàng