Phép biến hình bảo giác và một số bài toán cơ học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu iii PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN .1 1.1 Khái niệm phép biến hình bảo giác .1 1.1.1 Đị nh nghĩ a 1.1.2 Phép biến hình thực hàm giải tích 1.1.3 Bổ đề Schwarz 1.1.4 Nguyên lí đối xứng .2 1.2 Phép biến hình bảo giác qua số hàm sơ cấp .3 1.2.1 Phép biến hình tuyến tính .3 1.2.2 Phép biến hình nghịch đảo w = z 1.2.3 Phép biến hình Giucovski .6 BÀI TOÁN THẤM PHẲNG 11 2.1 Phương trình chuyển động nước thấm .11 2.1.1 Khái niệm nước thấm 11 2.1.2 Vận tốc thấm 11 2.1.3 Định luật Darcy 13 2.1.4 Phương trình thấm 14 2.2 Bài toán thấm phẳng đồng chất 15 2.2.1 Thế vị phức 15 2.2.2 Đường dòng đường 17 2.2.3 Điều kiện biên 18 2.2.3.1 Biên không thấm .18 2.2.3.2 Biên thấm 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2.3.3 Biên rỉ .19 2.2.3.4 Đường bão hòa 20 PHƢƠNG PHÁP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ BÀI TOÁN THẤM CÓ ÁP DƢỚI CÁC CÔNG TRÌNH THỦY LỢi .21 3.1 Biến hình đa giác thành nửa mặt phẳng .21 3.1.1 Mở đầu .21 3.1.2 Công thức Schwart – Christoffel 22 3.1.3 Biến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng .23 3.1.4 Các hàm Jacobi 26 3.2 Thấm công trình thủy lợi 28 3.2.1 Hình chữ nhật sở toán thấm có áp 28 3.2.2 Hộ đế phẳng lớp thấm sâu vô hạn .30 3.2.3 Hộ đế phẳng lớp thấm hữu hạn .33 3.2.4 Hộ đế phẳng lớp thấm hữu hạn có vách cừ .37 PHƢƠNG PHÁP BIẾN HÌ NH BẢ O GIÁC TRONG BÀI TOÁN THẤM KHÔNG ÁP 43 4.1 Hàm Giucovski 43 4.2 Vách cừ Giucovski 44 4.3 Thấm qua máng lưới có lọc đối xứng 47 Kết luận 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm ánh xạ bảo giác khái niệm quan trọng toán học phần lý thú lý thuyết hàm biến phức Bài toán khó lý thuyết ánh xạ bảo giác tìm hàm chỉnh hình thực ánh xạ bảo giác miền cho trước lên miền cho trước Bài toán có ý nghĩa thực hành lớn, nhiên ngày người ta chưa có phương pháp đủ hiệu lực để giải nó, nhiều trường hợp đơn giản (nhưng đầy thú vị) toán giải nhờ hàm số sơ cấp biến phức Đặc biệt năm 2005, GS Darren Crowdy đã có công trình đột phá việc ánh xạ bảo giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng phức (công thức Schwart-Christoffel cho trường hợp đa liên), công cụ vô quan trọng cho tất nhà toán học, kỹ sư nhà khoa học muốn chiếu thông tin hình khối phức tạp thành hình dạng đơn giản hình tròn để dễ dàng việc phân tích Kết sử dụng nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn mô hình hóa trực quan hóa cấu trúc phức tạp hệ thần kinh Trong luận văn này, sử dụng công thức Schwart-Christoffel cho miền đơn liên Và trước số kỹ thuật giải tích giới sinh viên toán ứng dụng dùng đến nhiều so với phương pháp chiếu bảo giác, ví dụ phương pháp cổ điển để giải toán học continuum, tĩnh điện, hay lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace Poission hai chiều, với mà tính chất phép biến hình bảo giác nhờ hàm số Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv sơ cấp biến phức đã giải nhiều toán ứng dụng trường tĩnh điện học chất lỏng, Xuất phát từ thực tế đó, sau tiến hành nghiên cứu vài ứng dụng phép biến hình bảo giác, đã chọn đề tài với vài toán ứng dụng phép biến hình bảo giác đã mở rộng, mô lên phần chuyển động dòng nước học chất lỏng Phƣơng pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí, giáo trình nước quốc tế có liên quan đến phép biến hình bảo giác ứng dụng phép biến hình bảo giác chuyển động học Từ đó, tìm hiểu mở rộng để nghiên cứu vấn đề đề tài Mục đích luận văn Mục đích luận văn trình bày số ứng dụng phép biến hình bảo giác số lớp toán quan trọng học, cụ thể toán chuyển động nước ngầm công trình thủy lợi Từ giúp nhà nghiên cứu, làm để xây dựng công trình thủy lợi đạt chất lượng tốt Nội dung luận văn Luận văn gồm bốn chương Chương 1: Trình bày khái niệm phép biến hình bảo giác số phép biến hình bảo giác quan trọng giải tích phức Chương 2: Giới thiệu phương trình chuyển động nước thấm vấn đề liên quan vận tốc thấm, quy luật thấm Từ đưa toán thấm phẳng đồng chất Chương 3: Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải toán thấm có áp công trình thủy lợi cách tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền thấm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v Chương 4: Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải toán thấm không áp công trình thủy lợi Trong toán miền thấm chưa xác định nên phải sử dụng hàm Giucốpxki cho miền giá trị xác định Sau ta tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền xác định Từ ta tìm quan hệ miền thấm hàm vị phức Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Hà Huy Khoái, người thầy hướng dẫn tận tình bảo tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả hoàn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường phổ thông Dân tộc nội trú – THPT tỉnh Tuyên Quang, bạn lớp cao học K18B, gia đình bạn đồng nghiệp tạo điều kiện mặt để giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1.1 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC 1.1.1 Đị nh nghĩ a: Một phép biến hì nh được gọi là bảo giác nếu nó có các tí nh chất sau: - Bảo toàn góc hai đường cong qua z (kể cả độ lớn và hướng) - Có hệ số co dãn không đổi điểm đó, nghĩa đường cong qua z có hệ số co dãn qua phép biến hình Nếu phép biến hình bảo giác điểm miền G gọi bảo giác miền G 1.1.2 Phép biến hình thực hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích miền G Do ý nghĩa hình học f '(z) ta thấy phép biến hình thực hàm w = f(z) bảo giác điểm mà f '(z)  Nếu xét lân cận nhỏ điểm z, phép biến hình bảo giác phép đồng dạng tính chất bảo toàn góc Các góc tương ứng hai hình Mặt khác xem hệ số co dãn không đổi tỉ số hai cạnh tương ứng không đổi Ngược lại người ta chứng minh phép biến hình w = f(z) đơn diệp bảo giác miền G hàm w = f(z) giải tích G có đạo hàm f '(z)  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f(z) giải tích hình tròn | z | < R f(0) = Nếu | z |  M với z mà | z | < R ta có: f (z)  M z, R z R Mei z,  thực đẳng thức xảy z1 với < | z | < R f (z)  R 1.1.4 Nguyên lí đối xứng: Trước hết ta thừa nhận tính chất đặc biệt hàm biến phức mà hàm biến số thực không có, tính nhất, phát biểu sau: Giả sử hai hàm f(z) g(z) giải tích miền D thoả mãn f(z) = g(z) cung L nằm D, f(z) = g(z) toàn miền D Giả sử D1 D2 nằm kề có biên chung L x Hình 1.1 Giả sử f1(z) giải tích D1 f2(z) giải tích D2 Nếu f1(z) = f2(z) L ta gọi f2(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính hàm giải tích f3(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 ta phải có f3(z) = f2(z) D2 Cách nhanh để tìm thác triển giải tích hàm cho trước áp dụng nguyên lí đối xứng sau đây: Giả sử biên miền D1 chứa đoạn thẳng L f1(z) biến bảo giác D1 lên B1 L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên B1 Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn thác triển giải tích f2(z) f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với D1 L Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2 nằm đối xứng với B1 T hàm: D1  f1(z)  f(z)=  f1(z)= f (z) L  f (z) D2  biến bảo giác D thành B Nguyên lí đối xứng thường dùng để tìm phép biến hình bảo giác hai miền đối xứng cho trước 1.2 PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC QUA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP 1.2.1 Phép biến hình tuyến tính Xét hàm tuyến tính w = az + b đó a, b là các số phức, a  Nếu a  a ei w = a ei z + b Phép biến hình tuyến tính bảo giác toàn mặt phẳng phức f '  z   a  với mọi z  Hàm tuyến tính coi hợp hàm sau:   kz (k  a  0)   ei  (  Arga) w=+b Nếu biểu diễn điểm , , w mặt phẳng dựa vào ý nghĩa hình học phép nhân phép cộng số phức ta suy rằng: - Điểm  nhận từ điểm z phép co dãn với hệ số k Hình 1.2 - Điểm  nhận từ điểm  phép quay tâm O, góc quay  - Điểm w nhận từ điểm  phép tịnh tiến xác định vectơ biểu diễn số phức b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... dãn qua phép biến hình Nếu phép biến hình bảo giác điểm miền G gọi bảo giác miền G 1.1.2 Phép biến hình thực hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích miền G Do ý nghĩa hình học f '(z)... Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải toán thấm có áp công trình thủy lợi cách tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền thấm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên... sau tiến hành nghiên cứu vài ứng dụng phép biến hình bảo giác, đã chọn đề tài với vài toán ứng dụng phép biến hình bảo giác đã mở rộng, mô lên phần chuyển động dòng nước học chất lỏng Phƣơng pháp