Phép biến hình bảo giác và một số bài toán cơ học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN THỊ THU PHƢƠNG PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỢT SỚ BÀI TOÁN CƠ HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã sớ: 60.46.01.02 ḶN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Hà Huy Khoái THÁI NGUYÊN - 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu iii PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN .1 1.1 Khái niệm phép biến hình bảo giác .1 1.1.1 Đị nh nghĩ a 1.1.2 Phép biến hình thực hàm giải tích 1.1.3 Bổ đề Schwarz 1.1.4 Ngun lí đới xứng .2 1.2 Phép biến hình bảo giác qua sớ hàm sơ cấp .3 1.2.1 Phép biến hình tuyến tính .3 1.2.2 Phép biến hình nghịch đảo w = z 1.2.3 Phép biến hình Giucovski .6 BÀI TOÁN THẤM PHẲNG 11 2.1 Phương trình chuyển động nước thấm .11 2.1.1 Khái niệm nước thấm 11 2.1.2 Vận tốc thấm 11 2.1.3 Định luật Darcy 13 2.1.4 Phương trình thấm 14 2.2 Bài toán thấm phẳng đồng chất 15 2.2.1 Thế vị phức 15 2.2.2 Đường dòng đường 17 2.2.3 Điều kiện biên 18 2.2.3.1 Biên không thấm .18 2.2.3.2 Biên thấm 18 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 2.2.3.3 Biên rỉ .19 2.2.3.4 Đường bão hòa 20 PHƢƠNG PHÁP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ BÀI TOÁN THẤM CÓ ÁP DƢỚI CÁC CÔNG TRÌNH THỦY LỢi .21 3.1 Biến hình đa giác thành nửa mặt phẳng .21 3.1.1 Mở đầu .21 3.1.2 Công thức Schwart – Christoffel 22 3.1.3 Biến hình chữ nhật thành nửa mặt phẳng .23 3.1.4 Các hàm Jacobi 26 3.2 Thấm cơng trình thủy lợi 28 3.2.1 Hình chữ nhật sở tốn thấm có áp 28 3.2.2 Hộ đế phẳng lớp thấm sâu vô hạn .30 3.2.3 Hộ đế phẳng lớp thấm hữu hạn .33 3.2.4 Hộ đế phẳng lớp thấm hữu hạn có vách cừ .37 PHƢƠNG PHÁP BIẾN HÌ NH BẢ O GIÁC TRONG BÀI TOÁN THẤM KHÔNG ÁP 43 4.1 Hàm Giucovski 43 4.2 Vách cừ Giucovski 44 4.3 Thấm qua máng lưới có lọc đối xứng 47 Kết luận 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm ánh xạ bảo giác khái niệm quan trọng toán học phần lý thú lý thuyết hàm biến phức Bài toán khó lý thuyết ánh xạ bảo giác tìm hàm chỉnh hình thực ánh xạ bảo giác miền cho trước lên miền cho trước Bài tốn có ý nghĩa thực hành lớn, nhiên ngày người ta chưa có phương pháp đủ hiệu lực để giải nó, nhiều trường hợp đơn giản (nhưng đầy thú vị) tốn giải nhờ hàm số sơ cấp biến phức Đặc biệt năm 2005, GS Darren Crowdy đã có cơng trình đột phá việc ánh xạ bảo giác miền đa giác đa liên lên nửa mặt phẳng phức (công thức Schwart-Christoffel cho trường hợp đa liên), công cụ vô quan trọng cho tất nhà toán học, kỹ sư nhà khoa học muốn chiếu thông tin hình khới phức tạp thành hình dạng đơn giản hình trịn để dễ dàng việc phân tích Kết cịn sử dụng nhiều lĩnh vực khác, chẳng hạn mơ hình hóa trực quan hóa cấu trúc phức tạp hệ thần kinh Trong luận văn này, sử dụng công thức Schwart-Christoffel cho miền đơn liên Và trước số kỹ thuật giải tích giới sinh viên tốn ứng dụng dùng đến nhiều so với phương pháp chiếu bảo giác, ví dụ phương pháp cổ điển để giải toán học continuum, tĩnh điện, hay lĩnh vực sử dụng phương trình Laplace Poission hai chiều, với mà tính chất phép biến hình bảo giác nhờ hàm sớ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn iv sơ cấp biến phức đã giải nhiều toán ứng dụng trường tĩnh điện học chất lỏng, Xuất phát từ thực tế đó, sau tiến hành nghiên cứu vài ứng dụng phép biến hình bảo giác, đã chọn đề tài với vài tốn ứng dụng phép biến hình bảo giác đã mở rộng, mô lên phần chuyển động dòng nước học chất lỏng Phƣơng pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu từ tạp chí, giáo trình nước q́c tế có liên quan đến phép biến hình bảo giác ứng dụng phép biến hình bảo giác chuyển động học Từ đó, tìm hiểu mở rộng để nghiên cứu vấn đề đề tài Mục đích luận văn Mục đích luận văn trình bày sớ ứng dụng phép biến hình bảo giác sớ lớp tốn quan trọng học, cụ thể toán chuyển động nước ngầm cơng trình thủy lợi Từ giúp nhà nghiên cứu, làm để xây dựng cơng trình thủy lợi đạt chất lượng tốt Nội dung luận văn Luận văn gồm bốn chương Chương 1: Trình bày khái niệm phép biến hình bảo giác sớ phép biến hình bảo giác quan trọng giải tích phức Chương 2: Giới thiệu phương trình chuyển động nước thấm vấn đề liên quan vận tớc thấm, quy luật thấm Từ đưa tốn thấm phẳng đồng chất Chương 3: Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải tốn thấm có áp cơng trình thủy lợi cách tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền thấm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn v Chương 4: Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải tốn thấm khơng áp cơng trình thủy lợi Trong tốn miền thấm chưa xác định nên phải sử dụng hàm Giucớpxki cho miền giá trị xác định Sau ta tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền xác định Từ ta tìm quan hệ miền thấm hàm vị phức Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Hà Huy Khối, người thầy hướng dẫn tận tình bảo tác giả suốt trình học tập nghiên cứu đề tài Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Viện Toán học, Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả hồn thành khóa học Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, trường phổ thông Dân tộc nội trú – THPT tỉnh Tuyên Quang, bạn lớp cao học K18B, gia đình bạn đồng nghiệp tạo điều kiện mặt để giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Thái Nguyên tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thu Phương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chƣơng PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC VÀ MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN 1.1 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC 1.1.1 Đị nh nghĩ a: Một phép biến hì nh được gọi là bảo giác nếu nó có các tí nh chất sau: - Bảo tồn góc hai đường cong qua z (kể cả đợ lớn và hướng) - Có hệ sớ co dãn khơng đổi điểm đó, nghĩa đường cong qua z có hệ sớ co dãn qua phép biến hình Nếu phép biến hình bảo giác điểm miền G gọi bảo giác miền G 1.1.2 Phép biến hình thực hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích miền G Do ý nghĩa hình học f '(z) ta thấy phép biến hình thực hàm w = f(z) bảo giác điểm mà f '(z)  Nếu xét lân cận nhỏ điểm z, phép biến hình bảo giác phép đồng dạng tính chất bảo tồn góc Các góc tương ứng hai hình Mặt khác xem hệ sớ co dãn khơng đổi tỉ sớ hai cạnh tương ứng không đổi Ngược lại người ta chứng minh phép biến hình w = f(z) đơn diệp bảo giác miền G hàm w = f(z) giải tích G có đạo hàm f '(z)  Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.3 Bổ đề Schwarz: Giả sử hàm f(z) giải tích hình trịn | z | < R f(0) = Nếu | z |  M với z mà | z | < R ta có: f (z)  M z, R z R Mei z,  thực đẳng thức xảy z1 với < | z | < R f (z)  R 1.1.4 Nguyên lí đối xứng: Trước hết ta thừa nhận tính chất đặc biệt hàm biến phức mà hàm biến số thực không có, tính nhất, phát biểu sau: Giả sử hai hàm f(z) g(z) giải tích miền D thoả mãn f(z) = g(z) cung L nằm D, f(z) = g(z) tồn miền D Giả sử D1 D2 nằm kề có biên chung L x Hình 1.1 Giả sử f1(z) giải tích D1 f2(z) giải tích D2 Nếu f1(z) = f2(z) L ta gọi f2(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 Theo tính hàm giải tích f3(z) thác triển giải tích f1(z) qua L sang miền D2 ta phải có f3(z) = f2(z) D2 Cách nhanh để tìm thác triển giải tích hàm cho trước áp dụng nguyên lí đới xứng sau đây: Giả sử biên miền D1 chứa đoạn thẳng L f1(z) biến bảo giác D1 lên B1 L chuyển thành đoạn thẳng T thuộc biên B1 Khi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tồn thác triển giải tích f2(z) f1(z) qua L sang miền D2 nằm đối xứng với D1 L Hàm f2(z) biến bảo giác D2 lên B2 nằm đối xứng với B1 T hàm: D1  f1(z)  f(z)=  f1(z)= f (z) L  f (z) D2  biến bảo giác D thành B Nguyên lí đới xứng thường dùng để tìm phép biến hình bảo giác hai miền đối xứng cho trước 1.2 PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC QUA MỘT SỐ HÀM SƠ CẤP 1.2.1 Phép biến hình tuyến tính Xét hàm tuyến tính w = az + b đó a, b là các số phức, a  Nếu a  a ei w = a ei z + b Phép biến hình tuyến tính bảo giác tồn mặt phẳng phức f '  z   a  với mọi z  Hàm tuyến tính coi hợp hàm sau:   kz (k  a  0)   ei  (  Arga) w=+b Nếu biểu diễn điểm , , w mặt phẳng dựa vào ý nghĩa hình học phép nhân phép cộng số phức ta suy rằng: - Điểm  nhận từ điểm z phép co dãn với hệ sớ k Hình 1.2 - Điểm  nhận từ điểm  phép quay tâm O, góc quay  - Điểm w nhận từ điểm  phép tịnh tiến xác định vectơ biểu diễn sớ phức b Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Đến điểm     1, ta lại quay quanh điểm đấy một góc , log sẽ 1  biến thiên –i, tức là z sẽ biến thiên  Ai A (i)   2 ' 2 ' Mặt khác xét miền thấm thì z biến thiên –Ti, nên ta có  A Ai 2T  Ti hay   2 ' '  (3.50) Như vậy (3.49) sẽ thành   2 2T z arcth  ' (3.51) Giải theo  ta có    2   '2 th z 2T đó ta lấy dấu + hay – , tùy theo z bên phải hay bên trái trục ảo Thay giá trị của A từ (3.50) vào (3.48) ta sẽ có '   sin S S ,  '  cos 2T 2T (3.52) S z S th  tan 2T 2T 2T (3.53) đối với  ta có    cos Cho z  1 z   , với quy luật dấu ta sẽ có 1  cos S  S th  tan 2T 2T 2T S  S 2  cos th 2  tan 2T 2T 2T Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (3.54) http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 Theo mục 3.1 chương , toán thấm sẽ giải ta biến được hì nh chữ nhật bản của miền thế vị  lên nửa mặt phẳng  , cho các đỉ nh ứng với các điểm  , 5 ,  ,  Ta hãy viết công thức Schwart – Christoffel dưới dạng vi phân d  M d                   M d    2    1     1 Hình 3.11 Thay  ta đưa vào biến sớ mới u xác đị nh bởi sn 2u  sn  u,k    2   , k   2  1  2  1  1 1  2  (3.55) Ta có: cn u  cn  u,k    sn u   2     2 dn u  dn  u,k    k 2sn u   2   1  1   2 Lấy vi phân của sn2u, theo (3.55) ta có 2snucnudnudu   2  2 d    2 2 đó Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 du  1  1 1  2   với d    2    1     1   d (3.56) M 1  1 1  2  (3.57) 2.11,      = 0, theo miền thế vị đã chọn hì nh đồng thời theo (3.55) snu = 0, tức là u = Vậy từ (3.56) ta rút   M (3.58)   2    M   2 (3.59) u từ (3.55) sn Tại     2 mặt theo (3.55), sn      , tức là   iK ' , M M mặt khác   Qi (hình 3.11) Vậy Q M K'  Tại   5   , mặt theo (3.60) (3.55), sn    , tức là M k    K  iK ' , mặt khác   H  Qi Vậy: M M H K (3.61) Quan hệ   (3.59) trở thành sn K  2    H   2 (3.62) Đồng thời từ (3.60) (3.61) ta suy cơng thức tí nh lưu lượng: Q Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên HK ' K http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 ấy K và K' ứng với môđun k (3.55) Trong trường hợp đối xứng là: 1     (hình 3.12), ta có: 1  2    cos k  S  S th  tan 2T 2T 2T  1  Hình 3.12 Với quan hệ thế giữa k và  , ta có đẳng thức Landen K '(k) K '()  K(k) 2K() lưu lượng có thể viết Q HK '() 2K() Điều mà ta có thể thấy được bằng cách biến miền thấm lên nửa mặt phẳng dưới bằng phép biến đởi (3.53) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Chƣơng PHƢƠNG PHÁP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC TRONG BÀI TOÁN THẤM KHÔNG ÁP Đặc trưng chuyển động thấm khơng áp có mặt tự (hay còn gọi mặt bão hịa) So với chủn đợng có áp, việc nghiên cứu các bài toán thấm không áp phức tạp nhi ều trường hợp có phần biên giới miền thấm chưa biết Đó chí nh là mặt tự Phương pháp giải các bài tốn có áp tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền thấm Trong các bài toán t hấm không áp phương pháp biến hì nh bảo giác trực tiếp thế không còn dùng được nữa vì miền thấm chưa xác đị nh Để khắc phục khó khăn người ta đưa hàm phụ cho miền giá trị hồn tồn xác đị nh Sau đó ta tì m hàm biến hình bảo giác miền này lên miền thế vị phức Thông qua mối liên hệ đó ta tì m được quan hệ giữa hàm thế vị phức và miền thấm Hơn thế nữa ta xác đị nh được phương trì nh mặt tự Dưới là phương pháp hàm Giucovski cho bài toán này 4.1 Hàm Giucovski Ta thấy giữa thế vận tốc và áp suất có mối liên hệ sau:  p       y  g  Từ đó suy   p    y g Ta đặt Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 1    y (4.1) Hàm 1 sai khác áp suất sớ nhân Vì   x, y  y hàm điều hòa hàm 1 hàm điều hòa (theo các biến x , y) Rõ ràng hàm 2    x (4.2) hàm điều hòa liên hợp với 1 Do đó hàm   1  i2    iz (4.3) hàm giải tích Hàm  hàm sai khác  một hằng số nhân gọi là hàm Giucovski Ta xem xét đưa hàm Giucovski được lợi gì ? Vấn đề ta quan tâm là các mặt tự Như đã biết điều kiện biên mặt tự có dạng   y  const Bởi vậy điều kiện biên của hàm Giucovski mặt tự có dạng Re   1  const (4.4) Nhờ hệ thức (4.4) mà nhiều trường hợp miền giá trị hàm Giucovski hoàn toàn xác đị nh Dưới ta đưa một vài thí dụ về hàm Giucovski 4.2 Vách cừ Giucovski Giả sử vách bê tông thẳng đứng ngập sâu đất với chiều sâu  Phía thượng lưu có nước với chiều sâu H Nước thấm quanh cọc cừ và dâng lên sau cọc cừ đến đọ cao cách mặt đất một khoảng bằng d và tạo thành mặt tự (hình 4.1) Trước hết ta xét cụ thể điều kiện biên mặt tự Trên đó áp suất bằng áp suất không khí và thường xem bằng không Nếu có áp lực mao dẫn thì áp suất đó bằn g –ghM, với h M độ cao nước nâng đát mao dẫn Khi đó điều kiện biên mặt tự là Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 1    y  h M (4.5) Hình 4.1 Trên biên AB là biên thấm ta có   H (4.6) Trên biên BC là biên không thấm ta đặt   Trên đoạn AB ta có (4.7)   H y = 0, nên điều kiện đối với hàm Giucovski AB có dạng 1    y  H (4.8) Vì dọc theo BCD   0, x  nên đó ta có 2    x  (4.9) Nhờ các điều kiện biên (4.5), (4.8) (4.9) miền của hàm Giucovski mặt phẳng  hoàn toàn xác định Đó là nửa giải hì nh vẽ 4.2 Hình 4.2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 Phép biến hình bảo giác miền  lên nửa mặt phụ  (như hì nh vẽ 4.2) có dạng     iz   H  hM H  hM arcsin     (4.10) Miền thế vị phức  góc vng hì nh 4.2 Phép biến hình bảo giác miền nửa mặt phẳng phụ có dạng   H  H  hM  d   (4.11) Việc tì m các biểu thức (4.10) (4.11) dựa vào các phép biến hì nh bảo giác hàm sơ cấp Khử  từ (4.10) (4.11) ta có phương trì nh xác định z sau: iz  H  hM H  hM  arcsin  (4.12) H  hM  d     Lấy đạo hàm các phương trì nh (4.10) (4.11) theo  ta có d dz H  hM  i   d d   2 d   H  h M  d   d 2    1 Chia từng vế các phương trì nh ta có:  i dz 2 H  hM  d    H  h M  d (4.13) Hệ thức (4.13) cho phép ta xác đị nh được vận tốc thấm: W i  H  h M  d    d  dz   H  h M  d     2  H  h M  (4.14) Tuy nhiên biểu thức (4.14) có tham sớ d cần xác định Để xá đị nh ta ý rằn g tại điểm C là đầu mút cọc cừ thì W = , tức là Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên dz  0, d  http://www.lrc-tnu.edu.vn 47  điểm  ứng với C Thay điều kiện đó vào (4.13) ta xác đị nh được o sau:  H  hM  0       H  hM  d  (4.15) Mặt khác, điểm C ta có z  i Vì từ (4.15) (4.12) ta suy  H  hM  d  4H  hM    H  hM   2 2 2H  hM  2H  hM  arcsin   H  hM  d (4.16) Hệ thức (4.16) cho phép ta xác đị nh được d qua các đại lượng đã biết Bây giờ ta tì m phương trì nh xác đị nh mặt tự Từ (4.10) (4.11) ta có      h M       H   H  h M  d  cos  2  H  h M    (4.17) Dọc theo mặt tự ta có   y  h M ,   0,    ix  h M  ,   y  h M Thay những điều kiện vào (4.17) ta tì m được phương trì nh xác đị nh mặt tự sau: y  H  h M   H  h M  d  ch x 2H  hM  (4.18) Đó là phương trì nh của một đường dây xí ch cố đị nh tại điểm z  id 4.3 Thấm qua máng lƣới có lọc đới xƣ́ng Giả sử máng có dạng đơn giản đoạn thẳng nằm ngang dài BG Nói cách khác độ cao mực nước kênh khơng đáng kể Có hai rãnh nước nằm ngang đới xứng đới với máng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Hình 4.3 48 khoảng cách từ rãnh nước đến máng T (hình 4.3) Bây giờ ta xét các điều kiện biên Vì ABC biên thấm nên φ = const Ta đặt   ABC (4.19) Vì CD đường bão hòa (mặt tự ) nên đó có hai điều kiện   const   y  const Ta đặt  Q   y  DC (4.20) Biên DE là biên thấm nên đó   const Theo (4.20), điểm D ta có   T  Vậy ta có   T DE (4.21) Biên EF là đường bão hòa, vậy   const   y  const Vì DC ta đã đặt    Q hiệu sớ hàm dịng  giữa EF và CD phải bằng Q nên DC   Q Vì E ta có   y  (suy từ (4.21)) tồn EF ta có   y  Vậy các điều kiện biên EF là  Q   y  (4.22) Do FGH là biên thấm và đó y = theo (4.22) điểm F   Do đó ta có   FGH (4.23) Do điều kiện biên từ (4.19) đến (4.23) dễ thấy miền thế vị phức là mợt hì nh chữ nhật , cịn miền hàm Giu covski là nửa mặt phẳng (vì biên ta có 1    y  ) Các miền ,  nửa mặt phẳ ng phụ  được chỉ rõ hì nh 4.4 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 49 Hình 4.4 Trước hết ta tìm quan hệ   Đó phép biến hình nửa mặt phẳng lên nửa mặt phẳng giữ ngun điểm vơ tận Cho nên hàm biến hình có dạng   a  b (4.24) Các hệ sớ (4.24) ta sẽ xác định sau Vì miền  hình chữ nhật, theo kết đã biết chương 3, hàm biến hình có dạng quen biết  Qi   2K d 1   1  k   2  T (4.25) sớ k sẽ xác định sau Tương tự chương 3, ta có mới quan hệ sau đới với lưu lượng thấm: Q 2TK 2TK(k)  K' K '(k) (4.26) Do biểu thức hàm Giucovski ta viết (4.24) dạng   iz  a  b (4.27) Tại điểm K ta có  = z = Ti,   T Thay giá trị vào (4.27) ta có b = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 50 Tại điểm E ta có   1, z  B Qi  Ti,   T  với B chiều rộng 2 kênh Thay giá trị vào (4.27) ta có a  i  Q  B  Tóm lại ta có i  Q  B     iz  (4.28) L Q Tại điểm F ta có   , z  ,   i , với L khoảng cách C k 2 F Thay giá trị vào (4.28) ta dễ dàng tìm hệ thức Q   B  kL  1 k (4.29) So sánh (4.29) với (4.26) ta có B L K  k  2(1  k) T T K' (4.30) Từ ta xác định mơđun k đã biết B, T L (cho L tức đã định trước bề mặt rộng phải tưới) xác định Q theo (4.26) Bây từ (4.25) (4.26) ta có   sn K '    T  iT (4.31) Thay (4.31) vào (4.28) ta sẽ có quan hệ cần tìm  z: iz    K '    T  i  Q  B  sn iT (4.32) Ći để thiết kế lọc, ta hãy tính khoảng cách BG = l Tại điểm l G ta có z  ,   i , 0 cần xác định Thay giá trị vào (4.32) ta thu K '  i  T  il i  i   Q  B  sn 2 iT Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (4.33) http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Mặt khác đạo hàm hai vế (4.32) theo  ta có i K '    T  dz i d  1   Q  B  sn d d iT (4.34) Vì điểm G vận tớc vơ hạn nên từ (4.34) suy  1  K '  i  T  K '  i  T  K' dn (4.35)  Q  B  cn 2 iT iT Phương trình (4.35) xác định cho ta  , từ (4.33) ta sẽ tính l Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 52 Kết luận Luận văn đã trình bày vấn đề sau: Khái niệm phép biến hình bảo giác sớ phép biến hình bảo giác quan trọng giải tích phức Bài tốn thấm phẳng đồng chất phương trình chuyển động nước thấm Ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải tốn thấm có áp cơng trình thủy lợi cách tìm hàm biến hình bảo giác miền vị Ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải tốn thấm khơng áp cơng trình thủy lợi Trong tốn miền thấm chưa xác định nên đã sử dụng hàm Giucovski cho miền giá trị xác định Sau ta tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền xác định Từ ta tìm quan hệ miền thấm hàm vị phức Hơn ta cịn xác định phương trình mặt tự (phần biên giới miền thấm chưa biết) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 53 Tài liệu tham khảo Hà Huy Khoái, Bài giảng Giải tích phức, (Giáo trình cao học), 2012 Lê Bá Long, Sách hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành, Đại học bưu viễn thơng, 2006, 17 – 23 Hà Trần Phương, Bài giảng Hàm biến phức Mở đầu lý thuyết phân bố giá trị, (Giáo trình cao học), 2009 Lê Văn Thiêm, Các cơng trình khoa học tiêu biểu (Hà Huy Khoái sưu tầm, tuyển chọn, giới thiệu), NXB Giáo dục, 2007 Lê Văn Thiêm, Ngơ Văn Lược, Lê Văn Thành, Bài tốn thấm vấn đề rửa mặn, Tập san Toán lý, 1968 Palubarinova – Kochina, Lý thuyết chuyển động nước thấm, NXB KHKT, 1970 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... dãn qua phép biến hình Nếu phép biến hình bảo giác điểm miền G gọi bảo giác miền G 1.1.2 Phép biến hình thực hàm giải tích: Cho hàm w = f(z) đơn diệp, giải tích miền G Do ý nghĩa hình học f '(z)... Trình bày ứng dụng phép biến hình bảo giác vào giải tốn thấm có áp cơng trình thủy lợi cách tìm hàm biến hình bảo giác miền vị phức lên miền thấm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên... tiến hành nghiên cứu vài ứng dụng phép biến hình bảo giác, tơi đã chọn đề tài với vài tốn ứng dụng phép biến hình bảo giác đã mở rộng, mô lên phần chuyển động dòng nước học chất lỏng Phƣơng