Tài liệu đại cương toán gồm lý thuyết, ví dụ và bài giải mẫu dùng cho sinh viên ôn thi và tự học, nghiên cứu. Giảng viên Đại học cao đẳng dùng để nghiên cứu dạy sinh viên các trường trong cả nước. Có nhiều nội dung hay và khó bổ ích cho mọi người. Tài liệu được chia sẻ từ Bộ môn Khoa học máy tính ĐH Cần Thơ
Trường đại học Cần Thơ Khoa Công nghệ thông tin truyền thông Bộ môn Khoa học máy tính TOÁN RỜI RẠC (Discrete Mathematics) Chương 2: Suy luận toán học 12/2015 Giới thiệu Giả thiết kết luận: phương pháp chứng minh (PP CM) PP CM áp dụng toán học, tin học: Kiểm tra tính đắn chương Xây dựng luật suy diễn trí trình, tuệ nhân tạo … Nội dung Phần 1: Các quy tắc suy luận Phần 2: Các phương pháp chứng minh 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Các quy tắc suy luận 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Các quy tắc suy luận Ví dụ 1: Quy tắc suy luận sở suy diễn sau : Nếu hôm trời mưa cô ta không đến, Nếu cô ta không đến ngày mai cô ta đến, " => Vậy thì, hôm trời mưa ngày mai cô ta đến." Đây suy diễn dựa Quy tắc tam đoạn luận giả định 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Các quy tắc suy luận Ví dụ 2: "Nếu hôm tuyết rơi trường đại học đóng cửa Hôm trường đại học không đóng cửa =>Do đó, hôm tuyết rơi Đây suy diễn dựa Quy tắc phủ định 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Các quy tắc suy luận Ví dụ : Dùng quy tắc suy luận chứng minh : (P (Q R)) (Q P) P R Giải: 1.P (Q R) 2.Q P 3.P 4.Q R : Khẳng định 5.Q : Tam đoạn luận tuyển : Khẳng định 6.R 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Các quy tắc suy luận Ngụy biện: Ngụy biện giống Quy tắc suy luận không dựa mà dựa vào tiếp liên Ví dụ: "Nếu bạn giải hết tập sách toán rời rạc I bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic bạn giải hết tập sách toán rời rạc này" Xét xem suy diễn có sở không? ((PQ) Q) P 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Các quy tắc suy luận Ngụy biện: "Nếu bạn giải hết tập sách toán rời rạc bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic bạn giải hết tập sách toán rời rạc 1" Trong đó: P = "Bạn giải hết tập sách toán rời rạc 1" Q = "Bạn nắm vững logic" Mệnh đề ((PQ) Q) P sai P F Q T Nội dung Phần 1: Các quy tắc suy luận Phần 2: Các phương pháp chứng minh 10 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Chứng minh qui nạp 1- Kiểm chứng với n=1 VT = VP = n2 = 12 = Vậy P(n) với n = 2- Giả sử P(n) với n: ≤ n ≤ k P(k) . (2k 1) k (2k 1) (2k 1) k (2k 1) (k 1)2 P(k+1) 3- Kết luận n ≥ P(n) công thức 31 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Chứng minh qui nạp CMR với số nguyên dương n, P(n): 7n+3n-1 chia hết cho 1- Kiểm chứng: với n=1, 7+3-1=9 chia hết cho Vậy P(1) 2- Giả sử P(n) với n: ≤ n ≤ k P(k) đúng, nghĩa với n=k: 7k+3k-1 chia hết cho Cần CM P(k+1) đúng: 7k+1+3(k+1)-1 chia hết cho Ta có: 7k+3k-1 chia hết cho (7k+3k-1).7 chia hết cho 7k+1+21k-7 chia hết cho (7k+1+3(k+1) -1) + 18k - chia hết cho 9, mà 18k, -9 chia hết (7k+1+3(k+1) -1) phải chia hết cho P(k+1) 3- Kết luận n ≥ P(n) 7n+3n-1 chia hết cho 32 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (1) Có chuồng 10 chim bồ cầu Hỏi tìm thấy có chim chuồng? Nguyên lý xuất phát từ toán: có đàn chim bồ câu bay tổ, số chuồng số chim có chuồng có nhiều chim 33 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (2) Định lý 1: Nếu có (k+1) vật nhiều đặt vào k hộp có hộp chứa nhiều vật Ví dụ: Một nhóm 367 người Có người trùng ngày sinh Vì năm có nhiều 366 ngày 34 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (3) Định lý 2: Nếu có N vật đặt vào k hộp tồn hộp chứa [N/k] vật Ví dụ: Trong 100 người có người sinh tháng vì: (người) ~ N vật 12 (tháng) ~ k hộp luôn tồn tháng có 100/12 =8,333 người Vậy có người sinh tháng) (đpcm) 100 35 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (4) Định lý 3: Mọi dãy gồm n2+1 số thực phân biệt tồn dãy gồm n+1 số tăng dần giảm dần Ví dụ: Dãy số 8,11,9,1,4,6,12,10,5,7 có dãy gồm 10 số: 10 = 32 + Vậy ta tìm dãy gồm 3+1=4 số tăng dần giảm dần Cụ thể dãy gồm số là: 1,4,6,12; 1,4,6,10; 1,4,6,7; 1,4,5,7 11,9,6,5 36 Ta 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (5) Ví dụ: Cho tập X ={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Lấy A tập hợp X gồm phần tử Khi A có hai phần tử có tổng 10 Giải Từ X lập bộ: {1,9}, {2,8}, {3,7}, {4,6}, {5} Do A có phần tử nên phần tử có phần tử Vậy, từ X ta chọn phần tử có phần tử có tổng 10 37 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (6) Ví dụ: CMR 12 số tự nhiên bất kỳ, chọn số có hiệu chia hết cho 11 Giải Ta có 12 số tự nhiên Một số tự nhiên chia cho 11 dư: 0,1,…,10 11 số dư Do theo nguyên lý Dirichlet, tồn số có số dư chia cho 11 hiệu số chia hết cho 11(đpcm) 38 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (7) Ví dụ: Cần phải có tối thiểu sinh viên ghi tên vào lớp TRR để chắn có người đạt điểm thi, thang điểm gồm bậc: A, B, C, D, F ? Giải: Để chắn có sv điểm thi số sv tối thiểu số nguyên N nhỏ cho [N/5]= Số N=5.5+1=26 Nếu có 25sv có sinh viên có điểm Vậy cần tối thiểu 26sv để chắn có người đạt điểm thi 39 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (8) Ví dụ: Cần phải chọn quân chuẩn gồm 52 quân để đảm bảo có quân loại (cơ, rô, chuồn, pích)? b Cần phải chọn quân để đảm bảo quân chọn? a 40 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (9) Giải: Giả sử có hộp tương đương với loại quân Khi quân chọn, ta đặt vào hộp dành cho loại Nếu N số quân chọn, tồn hộp chứa [N/4] quân Do đó, có quân loại chọn [N/4] = Số N nhỏ thoả điều kiện: N=2.4+1=9 Lưu ý: Nếu chọn quân có quân loạichọn nhiều quân Vậy cần phải chọn quân để đảm bảo có quân loại 41 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (10) Giải: b Trong trường hợp xấu ta chọn tất quân rô, chuồn, pích Tổng cộng 3.13=39 quân trước chọn quân Khi đó, quân chọn phải quân Vậy cần phải chọn tất 39 + = 42 quân chắn chọn quân 42 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (11) Ví dụ: CMR phòng họp có n ≥ người, tìm người có số người quen số người dự họp Số người quen người nhận giá trị từ đến n-1 Trong nhóm đồng thời có người có số người quen 0(tức không quen ai) có người có số người quen n-1(tức quen tất cả) Do đó, theo số lượng người quen, ta phân n người thành n-1 nhóm Vậy theo nguyên lý Dirichlet tồn nhóm có người, tức tuôn tìm người có số người quen 43 1.Các quy tắc suy luận 2.Các PPCM Nguyên lý Dirichlet (12) Ví dụ: CMR có 101 người có chiều cao khác xếp thành hàng tìm 11 người (trong hàng) xếp theo chiều cao tăng dần giảm dần Giải: Xem chiều cao 101 người dãy 101 số khác có: 100 = 102 + Vậy ta tìm dãy gồm 10+1=11 số tăng dần giảm dần Ta 44 45 ... mod =2" Vậy, để CM P Q đúng, CM: Đặt n = 3k + ( k số nguyên) (P P ) Q (P Q ) ( P Q) n2 = ( 3k+1 )2 = 9k2 + 6k + = 3(3k2 + 2k) + không chia chẵn cho Do đó, P1 Q 2 1 2 21 1.Các... luận 2. Các PPCM Chứng minh trực tiếp Ví dụ 1: Chứng minh F(n)={ Nếu n số lẻ n2 số lẻ } Giải: Giả sử giả thiết định lý đúng, tức n số lẻ Ta có: n = 2k + ( k=0,1 ,2, ) n2 = (2k + 1 )2 = 4k2 +... " n mod =2" Vậy, để CM P Q đúng, CM: Đặt n = 3k + ( k số nguyên) (P P ) Q (P Q ) ( P Q) n2 = ( 3k +2) 2 = 9k2+ 12k + = 3(3k2 + 4k + 1) + không chia chẵn cho Do đó, P2 Q Do