Toán rời rạc chương 2

Tài liệu đại cương toán gồm lý thuyết, ví dụ và bài giải mẫu dùng cho sinh viên ôn thi và tự học, nghiên cứu. Giảng viên Đại học cao đẳng dùng để nghiên cứu dạy sinh viên các trường trong cả nước. Có nhiều nội dung hay và khó bổ ích cho mọi người. Tài liệu được chia sẻ từ Bộ môn Khoa học máy tính ĐH Cần Thơ

Bộ môn Khoa học máy tính

TOÁN RỜI RẠC

(Discrete Mathematics)

Chương 2: Suy luận toán học

 Giả thiết  kết luận: phương pháp chứng minh

(PP CM)

 PP CM áp dụng trong toán học, tin học:

 …

 Phần 1: Các quy tắc suy luận

 Phần 2: Các phương pháp chứng minh

Các quy tắc suy luận

của suy diễn sau :

" Nếu hôm nay trời mưa thì cô ta không đến,

Nếu cô ta không đến thì ngày mai cô ta đến,

=> Vậy thì, nếu hôm nay trời mưa thì ngày

mai cô ta đến "

Đây là suy diễn dựa trên Quy tắc tam

Các quy tắc suy luận

 Ví dụ 2:

"Nếu hôm nay tuyết rơi thì trường đại học đóng cửa.

Hôm nay trường đại học không đóng cửa.

=>Do đó, hôm nay đã không có tuyết rơi

 Đây là suy diễn dựa trên Quy tắc phủ định

Các quy tắc suy luận

 Ví dụ 3 : Dùng các quy tắc suy luận chứng minh rằng :

 Giải:

RP

)PQ

())RQ

(P

P Q

2

) R Q

( P

1

: Khẳng định của 1 và 3 R

Q

4 

Các quy tắc suy luận

 Ngụy biện: Ngụy biện giống như Quy tắc suy luận nhưng không dựa trên một hằng đúng mà

chỉ dựa vào một tiếp liên

 Ví dụ: " Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc I này thì bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 1 này".

Xét xem suy diễn trên có cơ sở đúng không?

((P  Q)  Q)  P

Các quy tắc suy luận

 Ngụy biện: " Nếu bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 1 thì bạn nắm vững logic Bạn nắm vững logic vậy thì bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 1".

 Trong đó:

P = "Bạn đã giải hết bài tập trong sách toán rời rạc 1"

 Phần 1: Các quy tắc suy luận

 Phần 2: Các phương pháp chứng minh

Chứng minh rỗng

 Phép kéo theo: Câu “Nếu P thì Q” là một mệnh đềđược gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P, Q.Bảng chân trị

Chứng minh tầm thường

 Phép kéo theo: Câu “Nếu P thì Q” là một mệnh đềđược gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P, Q.Bảng chân trị

Chứng minh trực tiếp

 Phép kéo theo: Câu “Nếu P thì Q” là một mệnh đềđược gọi là mệnh đề kéo theo của hai mệnh đề P, Q.Bảng chân trị

Chứng minh gián tiếp

4 Chứng minh gián tiếp: (P  Q = ¬Q ¬P)

Chứng minh gián tiếp

Chứng minh gián tiếp

Ví dụ

 CMR: "Nếu n không chia hết cho 3 thì n2 không chiahết cho 3“

 Giải: Gọi P là mệnh đề "n không chia hết cho 3"

 Q là mệnh đề "n 2 không chia hết cho 3"

Chứng minh gián tiếp

 P là mệnh đề "n không chia hết cho 3"

 Q là mệnh đề "n 2 không chia hết cho 3"

Chứng minh gián tiếp

 P là mệnh đề "n không chia hết cho 3"

 Q là mệnh đề "n 2 không chia hết cho 3"

Chứng minh phản chứng

5 Chứng minh phản chứng:

 Gọi P là mệnh đề cần CM

 Giả sử P sai (nghĩa là ¬P đúng)

 Từ mệnh đề ¬P đúng dẫn đến kết luận Q sao cho:

¬PQ phải đúng

 Khi đó, chỉ ra Q là một mâu thuẫn, nghĩa là:

Q = R  ¬R (mâu thuẫn - do giả sử P sai)

 Vì ¬P Q phải đúng và Q sai  ¬P sai  P đúng

Chứng minh phản chứng

Ví dụ: Cho 7 đoạn thẳng có độ dài lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100 CMR luôn tìm được 3 đoạn để có thể ghép thành một tam giác.

Giải:

 Sắp xếp các đoạn tăng dần theo độ dài a1, a2, , a7,

 CMR luôn tìm được 3 đoạn liên tiếp có tổng của 2 đoạn đầu lớn hơn đoạn cuối.

 Giả sử điều cần CM là không xảy ra

Chứng minh qui nạp

 Ví dụ 1: n ≥ 1 là số nguyên CMR:

2

) 1 n

(

n n

3 2

1 i

: ) n ( P

n

1i

) 1 1 ( 1 2

) 1 (    

3 2

1     k k 

k

) 1

( 2

) 1 (

) 1 (

3 2

1    k  k   k k   k 

2

) 1 (

2 ) 1 (   

2

) 2 )(

1 (  

1 (

) 1 (

3 2

1       k  k 

k k

Ta có:

2

) 2 )(

1 (

) 1 (

3 2

1       k  k 

k k

V ậy:

2 (

5 3

1 )

1 i

2 (

n

1 i

n )

1 n

2 (

5 3

1 )

1 i

2 (

:

1 2

(

5 3

1     k   k

) 1 2

( )

1 2

( ) 1 2

(

5 3





Chứng minh qui nạp

CMR với mọi số nguyên dương n, P(n): 7 n +3n-1 chia hết cho 9

1- Kiểm chứng: với n=1, 7+3-1=9 chia hết cho 9 Vậy P(1) đúng

Nguyên lý Dirichlet (1)

 Có 9 cái chuồng

 10 con chim bồ cầu

 Hỏi luôn tìm thấy có ít nhất

bao nhiêu con chim trong 1

chuồng?

Nguyên lý xuất phát từ bài toán: có một đàn chim

Nguyên lý Dirichlet (2)

 Định lý 1: Nếu có (k+1) vật hoặc nhiều

hơn được đặt vào trong k hộp thì có ít

nhất một hộp chứa 2 hoặc nhiều hơn 2 vật

 Ví dụ:

Một nhóm 367 người

Có ít nhất 2 người trùng ngày sinh

Vì một năm có nhiều nhất là 366 ngày

Nguyên lý Dirichlet (3)

 Định lý 2: Nếu có N vật được đặt vào

trong k hộp thì sẽ tồn tại một hộp chứa ít

Nguyên lý Dirichlet (4)

 Định lý 3: Mọi dãy gồm n2+1 số thực phân

biệt luôn tồn tại một dãy con gồm n+1 số

tăng dần hoặc giảm dần

 Ví dụ: Dãy các số 8,11,9,1,4,6,12,10,5,7

Ta có dãy gồm 10 số: 10 = 32 + 1

Vậy ta luôn tìm được ít nhất 1 dãy con gồm

3+1=4 số tăng dần hoặc giảm dần

Cụ thể các dãy con gồm 4 số là:

 1,4,6,12; 1,4,6,10; 1,4,6,7; 1,4,5,7

Nguyên lý Dirichlet (6)

 Ví dụ: CMR trong 12 số tự nhiên bất kỳ , có thể chọn 2 số có hiệu chia hết cho 11

 Giải: Để chắc chắn có ít nhất 6 sv cùng điểm thi thì số sv

Nguyên lý Dirichlet (8)

 Ví dụ:

a Cần phải chọn bao nhiêu quân bài

trong một bộ bài chuẩn gồm 52 quân để

đảm bảo ít nhất có 3 quân bài cùng một loại (cơ, rô, chuồn, pích)?

 b Cần phải chọn bao nhiêu quân bài để

đảm bảo ít nhất 3 quân cơ đã được chọn?

Nguyên lý Dirichlet (9)

Giải: Giả sử có 4 hộp tương đương với 4 loại quân bài

từng loại

chứa ít nhất [N/4] quân bài

nếu [N/4] = 3

Nguyên lý Dirichlet (10)

Giải: b.

Trong trường hợp xấu nhất ta có thể chọn tất

cả đều là các quân rô, chuồn, pích

Tổng cộng là 3.13=39 quân bài trước khi chọn được 1 quân cơ

Khi đó, 3 quân được chọn tiếp theo sẽ phải là

3 quân cơ

 Vậy cần phải chọn tất cả 39 + 3 = 42 quân bài thì chắc chắn chọn được 3 quân cơ.

Nguyên lý Dirichlet (11)

Ví dụ: CMR trong phòng họp có n ≥ 2 người, bao giờ cũng tìm được 2 người có số người quen trong

số những người dự họp là bằng nhau

Số người quen của 1 người nhận các giá trị từ 0 đến n-1.

Nguyên lý Dirichlet (12)

 Ví dụ: CMR có 101 người có chiều cao khác

nhau đang xếp thành một hàng thì luôn tìm

được 11 người (trong hàng) xếp theo chiều cao

tăng dần hoặc giảm dần

 Giải: X em chiều cao của 101 người là một

dãy 101 số khác nhau.

Ta có : 100 = 102 + 1

Vậy ta luôn tìm được ít nhất 1 dãy con gồm

10+1=11 số tăng dần hoặc giảm dần