Bài toán chấp nhận phân rã

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ VĂN HẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN PHÂN RÃ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60 46 0112 Người hướng dẫn khoa học: GIÁO SƯ - TIẾN SỸ : NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN, 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên năm - 2012 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Một số khái niệm 1.1 Tập lồi - Hàm lồi 1.2 Không gian Hilbert 13 1.3 Một số ánh xạ 23 Thuật toán CQ thuật toán CQ nới lỏng 27 2.1 Thuật toán CQ 27 2.2 Thuật toán CQ nới lỏng 31 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Cho N, M số nguyên dương tập C, Q hai tập lồi khác rỗng không gian Ơcơlit RN RM Bài toán chấp nhận phân rã giới thiệu [3] toán tìm điểm x∗ thỏa mãn tính chất: x∗ ∈ C, Ax∗ ∈ Q, (0.1) A ma trận thực M × N Một trường hợp đặc biệt (0.1) toán tuyến tính có ràng buộc Ax = b, x ∈ C Bài toán nghiên cứu rộng rãi tài liệu Landweber giới thiệu phương pháp lặp gọi phương pháp chiếu lặp Landweber đề xuất năm 1951 Bài toán chấp nhận phân rã Elfving Censor [3] ứng dụng việc tìm phương pháp để phục hồi ảnh, tìm phương pháp giải toán thu thành công Để giải toán chấp nhận phân rã Byrne [1] giới thiệu thuật toán lặp CQ với việc xác định dãy lặp theo công thức: xn+1 = PC xn − γAT I − PQ Axn , n = 0, 1, , AT ma trận chuyển vị A, xo ∈ C giá trị ban đầu γ > tham số chọn cách thích hợp Nhưng cách giải thuật toán CQ phức tạp không thông dụng đòi hỏi cách giải đơn giản thông dụng 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày số kết chứng minh đơn giản thuật toán CQ đồng thời thuật toán CQ nới lỏng để đưa thuật toán trở nên thông dụng Nội dung luận văn trình bày hai chương Chương Giới thiệu số kiến tập hợp, khái niệm không gian Hilbert, tính chất không gian Hilbert ví dụ không gian Hilbert, giới thiệu hàm lồi vi phân Chương Trình bày thuật toán CQ, thuật toán CQ nới lỏng Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình Giáo sư - Tiến sỹ Nguyễn Bường Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm chân thành thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giáo sư công tác trường Đại học Khoa học Tự nhiên -Đại học Quốc gia Hà nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ thông tin -Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối cùng, xin cám ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn vượt qua khó khăn sống để có điều kiện tốt học tập nghiên cứu Do điều kiện thời gian trình độ hạn chế, chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tôi hy vọng tiếp tục nghiên cứu đề tài thời gian tới Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, năm 2012 Tác giả Lê văn Hải 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số khái niệm 1.1 Tập lồi - Hàm lồi Định nghĩa 1.1 Tập hợp C ⊂ H (H không gian Hilbert) gọi lồi nếu: x, y ∈ C, ≤ λ ≤ ⇒ λx + (1 − λ) y ∈ C Tức C chứa điểm chứa đoạn thẳng nối điểm Ví dụ Toàn không gian H, hình vuông hình tròn, nửa không gian đóng {x : a, x ≤ α} {x : a, x ≥ α} , hay nửa không gian mở {x : a, x < α} , {x : a, x > α} α = 0, α ∈ H tập lồi k Định nghĩa 1.2 Điểm x ∈ H có dạng x = λi với ∈ H, λi ≥ i=1 k 0, λi = gọi tổ hợp lồi a1 , a2 , , ak ∈ H i=1 Mệnh đề 1.1 Giao họ tập lồi lồi Nếu C, D tập lồi C + D = {x + y : x ∈ C, y ∈ D}, αC = {αx : x ∈ C} (do C-D =C+(-1) D) tập lồi Chứng minh Nếu {Cα } họ tập lồi a, b ∈ ∩ Cα với α ta α có a ∈ Cα , b ∈ Cα , [a, b] ⊂ Cα [a, b] ⊂ ∩ Cα α Nếu C, D tập lồi a = x + y, b = u + v với x, u ∈ C, y, v ∈ D (1 − λ) a + λb = [(1 − λ) x + λu] + [(1 − λ) y + λv] ∈ C + D với λ ∈ [0, 1] C+D lồi Tính lồi λC chứng minh tương tự 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3 Tập M H gọi nón (mũi gốc) x ∈ M, λ > ⇒ λx ∈ M Nón M gọi nón lồi tập M tập lồi Định nghĩa 1.4 Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E kí hiệu convE Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.5 Điểm a gọi điểm C tồn hình cầu tâm a {x ∈ H : x − a ≤ r} , {x ∈ H : x − a < r} nằm hoàn toàn C Hệ 1.1 Điểm a tập lồi C ⊂ H điểm C với x ∈ H tồn số α > cho a + α (x − a) ∈ C Định nghĩa 1.6 Tập C compac dãy vô hạn xk ⊂ C chứa dãy xkn hội tụ tới phần tử C Tập C ⊂ H compac ⇔ C đóng giới nội Định nghĩa 1.7 Hàm f : S → H xác định tập lồi thuộc H gọi lồi S với ∀x, y ∈ S , ∀λ ∈ [0; 1] ta có: f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) Định nghĩa 1.8 Hàm f (x) xác định tập lồi C ⊂ H gọi lồi mạnh, tồn số ρ > đủ nhỏ (hằng số lồi mạnh) cho với x, y ∈ C λ ∈ [0, 1] ta có bất đẳng thức: f [λx + (1 − λ) y] ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) − λ (1 − λ) ρ x − y Mệnh đề 1.2 a ) Mọi tổ hợp tuyến tính dương hàm lồi lồi hàm lồi chặt hàm cho lồi chặt b ) Nếu f (x) , x ∈ H , hàm lồi f (Ax + b) hàm lồi, A ma trận vuông cấp n b ∈ H c) Cận họ tùy ý hàm lồi hàm lồi 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mệnh đề 1.3 Cho D tập lồi H, G tập lồi H ϕ (x, y) hàm lồi giá trị thực D × G Khi hàm: f (x) = inf ϕ (x, y) y∈G lồi D Chứng minh Giả sử x1 , x2 ∈ D x = (1 − λ) x1 + λx2 với λ ∈ [0, 1] với i=1,2 lấy dãy y i,k ⊂ G cho: ϕ xi , y i,k → inf ϕ xi , y y∈G Do ϕ lồi nên f (x) ≤ ϕ x, (1 − λ) y 1,k + λy 2,k ≤ (1 − λ) ϕ x1 , y 1,k + λϕ x2 , y 2,k Cho k → +∞ ta nhận được: f (x) ≤ (1 − λ) f x1 + λf x2 Định nghĩa 1.9 Hàm f : H → H gọi Lipschitz địa phương x¯ ∈ H tồn lân cận U x¯ K>0 cho: |f (x) − f (y) | ≤ K||x − y|| (∀x, y ∈ U ) (1.1) hàm f gọi Lipschitz địa phương tập C ∈ H f Lipschitz địa phương điểm x ∈ C f gọi Lipschitz với số Lipschitz K tập C ∈ H (1.1) với ∀x, y ∈ C Định nghĩa 1.10 Cho hàm lồi thường f H, véc tơ p ∈ H gọi grandient f x0 nếu: p, x − x0 + f x0 ≤ f (x) , ∀x ∈ H Tập tất grandient f x0 gọi vi phân f x0 Kí hiệu ∂f x0 Hàm f gọi khả vi phân x0 ∂f x0 = ∅ Định lý 1.1 Một hàm lồi thường f H có vi phân khác rỗng điểm x0 ∈ int (domf) ∂f x0 tập lồi đóng 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Do x0 ∈ int (domf) nên int (epif ) = ∅ Dĩ nhiên x0 , f (xo ) ∈ / int (epif ) , nên ta có siêu phẳng tách điểm với int (epif ) , tức ta có véc tơ (t, tn+1 ) ∈ H\ {0} Sao cho t, x0 + tn+1 f x0 ≥ t, x + αtn+1 , ∀ (x, α) ∈ epif (x, α) ∈ epif Kéo theo (x, β) ∈ epif, ∀β ≥ α ta có t, x0 + tn+1 f (xo ) ≥ t, x + tn+1 β, ∀β ≥ α cho β → +∞ ⇒ tn+1 ≤ Nếu tn+1 = bất đẳng thức trở thành t, x0 ≥ t, x ∀x ∈ domf , tức x0 đạt cực đại hàm tuyến tính t, x domf, mà x0 ∈ int (domf) Điều xảy t = mâu thuẫn với (t, tn+1 ) = tn+1 < Đặt p = t−t , α = f (x) ta nhận n+1 0 p, x − x + f x ≤ f (x) , ∀x ∈ H Chứng minh ∂f x0 lồi, lấy p1 , p2 ∈ ∂f x0 , λ ∈ [0, 1] với ∀x ∈ H Ta xét: λp1 , x − x0 ≤ λ f (x) − f x0 (1 − λ) p2 , x − x0 ≤ (1 − λ) f (x) − f x0 ⇒ λp1 + (1 − λ) p2 , x − x0 ≤ f (x) − f x0 Vậy ⇒ λp1 + (1 − λ) p2 ∈ ∂f (xo ) ⇒ ∂f x0 lồi nên ∂f x0 tập đóng, lấy pk ∈ ∂f x0 , pk → p Từ pk , x − x0 + f x0 ≤ f (x) , ∀x ∈ H ⇒ p, x − x0 + f x0 ≤ f (x) , ∀x ∈ H , chứng tỏ p ∈ ∂f x0 nên suy λp1 + (1 − λ) p2 ∈ ∂f x0 lồi Chứng tỏ p ∈ ∂f x0 Mệnh đề 1.4 Nếu f hàm lồi thường, khả vi điểm x0 ∈ domf ∂f x0 = ∇f x0 , nghĩa ∇f x0 véc tơ grandiet f x0 Nếu f khả vi x0 f x0 , d = ∇f x0 , d véc tơ p grandient f x0 p, d ≤ ∇f x0 , d với d từ đó⇒ p = ∇f x0 Nếu f có x0 véc tơ grandient f khả vi x0 Định lý 1.2 Giả sử A : H → H toán tử tuyến tính g hàm lồi thường H Khi với x ∈ H AT ∂g (Ax) ⊂ ∂ (g ◦ A) (x) 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Hơn g liên tục điểm thuộc Im (A) (ảnh A) thì: AT ∂g (Ax) = ∂ (g ◦ A) (x) ∀x ∈ H Định nghĩa 1.11 Cho tập lồi C ⊂ H y ∈ H Ta gọi hình chiếu y C điểm x0 ∈ C : x0 − y = infx∈C x − y = dC (y) Kí hiệu: x0 = p (y) dC (y) gọi khoảng cách từ y tới C Bổ đề 1.1 Muốn cho điểm x∗ ∈ C hình chiếu điểm y tập lồi đóng C điều kiện cần đủ là: x − x∗ , y − x∗ ≤ ∀x ∈ C (1.2) Chứng minh Giả sử x∗ hình chiếu y C lấy điểm tùy ý x ∈ C xét điểm z = λx + (1 − λ) x∗ C lồi nên với λ ∈ [0, 1] z ∈ C ta có: z − y = λ2 x − x∗ + 2λ x − x∗ , x∗ − y + x∗ − y Do z − y ≥ x∗ − y nên λ2 x − x∗ + 2λ x − x∗ , x∗ − y ≥ Do đẳng thức với λ ∈ [0, 1] nên x − x∗ , x∗ − y ≥ từ suy (1.2) Ngược lại giả sử có (1.2) với x ∈ C ta có: x−y = (x − x∗ ) + (x∗ − y) = x − x∗ 2 + x − x∗ , x∗ − y + x∗ − y ≥ x∗ − y Điều chứng tỏ x∗ hình chiếu y C Mệnh đề 1.5 Muốn cho điểm x∗ tập lồi đóng C điểm cực tiểu hàm lồi khả vi f (x) C, điều kiện cần đủ x∗ = p (y ∗ ) y ∗ = x∗ − α∇f (x∗ ) với α > số Chứng minh Đủ: Giả sử x∗ = p (y ∗ ) Do p (y ∗ ) hình chiếu điểm y ∗ C nên ta có: x − x∗ , y ∗ − x∗ ≤ ∀x ∈ C Vì y ∗ = x∗ − α∇f (x∗ ) α > ta suy ∇f (x∗ ) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C nên x∗ điểm cực tiểu hàm f (x) C 10Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... buộc Ax = b, x ∈ C Bài toán nghiên cứu rộng rãi tài liệu Landweber giới thiệu phương pháp lặp gọi phương pháp chiếu lặp Landweber đề xuất năm 1951 Bài toán chấp nhận phân rã Elfving Censor [3]... gian Ơcơlit RN RM Bài toán chấp nhận phân rã giới thiệu [3] toán tìm điểm x∗ thỏa mãn tính chất: x∗ ∈ C, Ax∗ ∈ Q, (0.1) A ma trận thực M × N Một trường hợp đặc biệt (0.1) toán tuyến tính có... việc tìm phương pháp để phục hồi ảnh, tìm phương pháp giải toán thu thành công Để giải toán chấp nhận phân rã Byrne [1] giới thiệu thuật toán lặp CQ với việc xác định dãy lặp theo công thức: xn+1