BÀI TẬP TỐN 12 GIẢI TÍCH GIẢI TÍCH - HÌNH HỌC I øng dơng ®¹o hµm ®Ĩ kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè Bµi Sù ®ång biÕn, nghÞch biÕn cđa hµm sè _1_ Bµi Cùc trÞ cđa hµm sè _6_ Bµi Gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa hµm sè _11_ Bµi §-êng tiƯm cËn _15_ Bµi Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cđa hµm sè _17_ II Hµm sè l thõa, hµm sè mò vµ hµm sè l«garit Bµi L thõa _18_ Bµi Hµm sè l thõa _22_ Bµi L«garit _24_ Bµi Hµm sè mò Hµm sè l«garit _27_ Bµi Ph-¬ng tr×nh mò vµ ph-¬ng tr×nh l«garit _30_ Bµi BÊt ph-¬ng tr×nh mò vµ l«garit _36_ III Nguyªn hµm, TÝch ph©n vµ øng dơng Bµi Nguyªn hµm _41_ Bµi TÝch ph©n _47_ Bµi øng dơng cđa tÝch ph©n h×nh häc _59_ IV Sè phøc Bµi Sè phøc _63_ Bµi Céng, trõ vµ nh©n sè phøc _63_ Bµi PhÐp chia sè phøc _63_ Bµi Ph-¬ng tr×nh bËc hai víi hƯ sè thùc _64_ Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ FB: www.facebook.com/VanLuc168 Giải tích 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Đinh nghóa: Hàm số f đồng biến K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) < f(x2) Hàm số f nghòch biến K (x1, x2 K, x1 < x2 f(x1) > f(x2) Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x) 0, x I b) Nếu f nghòch biến khoảng I f(x) 0, x I Điều kiện đủ Giả sử f có đạo hàm khoảng I a) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x) 0, x I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghòch biến I c) Nếu f(x) = 0, x I f không đổi I Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác đònh hàm số – Tính y Tìm điểm mà y = y không tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghòch biến hàm số Câu Xét chiều biến thiên hàm số sau: x2 x 4 a) y x x b) y d) y x x x e) y (4 x )( x 1)2 f) y x x x i) y g) y x 2x2 1 h) y x x k) y 2x 1 x 5 l) y n) y x x 26 x2 o) y x www.facebook.com/VanLuc168 x 1 2 x c) y x x x x 2 10 10 m) y 1 x VanLucNN p) y 1 x x 15 x 3x www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 Câu Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y 6 x x x d) y 2x 1 b) y e) y x2 x2 1 x2 x x 3x g) y x x h) y x x k) y sin x x 2 l) y sin x x x 2 c) y x2 x x2 x f) y x 2 x i) y x x VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số đồng biến nghòch biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) Cho hàm số y f ( x , m) , m tham số, có tập xác đònh D Hàm số f đồng biến D y 0, x D Hàm số f nghòch biến D y 0, x D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' ax bx c thì: a b c y ' 0, x R a a b c y ' 0, x R a 3) Đònh lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c : Nếu < g(x) dấu với a b ) 2a Nếu > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a Nếu = g(x) dấu với a (trừ x = 4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g( x ) ax bx c với số 0: x1 x2 P S x1 x2 P S x1 x2 P 5) Để hàm số y ax bx cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) (x1; x2) d ta thực bước sau: Tính y Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghòch biến: a Biến đổi x1 x2 d thành ( x1 x2 )2 x1 x2 d (1) (2) Sử dụng đònh lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 Câu Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) nó: a) y x x 13 b) y x3 3x2 9x c) y 2x 1 x2 x2 2x x 2mx e) y x sin(3 x 1) f) y x 1 xm Câu Chứng minh hàm số sau nghòch biến khoảng xác đònh (hoặc tập xác đònh) nó: d) y a) y 5 x cot( x 1) b) y cos x x c) y sin x cos x 2 x Câu Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác đònh (hoặc khoảng xác đònh) nó: a) y x 3mx (m 2) x m b) y mx xm Câu Tìm m để hàm số: d) y e) y x mx 2x c) y xm xm x 2mx xm f) y x 2mx 3m x 2m a) y x x mx m nghòch biến khoảng có độ dài b) y x mx 2mx 3m nghòch biến khoảng có độ dài 3 c) y x (m 1) x (m 3) x đồng biến khoảng có độ dài Câu Tìm m để hàm số: a) y x3 (m 1) x (m 1) x đồng biến khoảng (1; +) b) y x 3(2m 1) x (12m 5) x đồng biến khoảng (2; +) mx (m 2) đồng biến khoảng (1; +) xm xm d) y đồng biến khoảng (–1; +) xm c) y e) y x 2mx 3m đồng biến khoảng (1; +) x 2m f) y 2 x 3x m nghòch biến khoảng 2x ; VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau: Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau: Chọn nghiệm x0 phương trình Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng biến hàm số nghòch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có hoành độ x0 Đó nghiệm phương trình (*) Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận Câu 13 Giải phương trình sau: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 a) x x5 b) x x x c) x x x x 16 14 d) x 15 x x Câu 14 Giải phương trình sau: a) x 1 x x b) ln( x 4) x c) x x 5x Câu 15 Giải bất phương trình sau: a) d) x 3x 5x 38 x x x 13 x b) x x x x x 35 Câu 16 Giải hệ phương trình sau: 2 x y y y a) 2 y z3 z2 z 2 z x x x x y3 y y b) y z3 z2 z z x3 x x tan x tan y y x 5 d) 2 x 3y x, y 2 cot x cot y x y g) 5x y 2 0 x , y sin x sin y x 3y e) x y x , y HD: a, b) Xét hàm số f (t ) t t t y x 12 x c) z3 y 12 y x z2 12 z sin x y sin y x f) 2 x 3y 0 x, y c) Xét hàm số f (t ) 6t 12t d) Xét hàm số f(t) = tant + t www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I Khái niệm cực trò hàm số Giả sử hàm số f xác đònh tập D (D R) x0 D a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b) D x0 (a; b) cho f(x) < f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trò cực đại (cực đại) f b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b) D x0 (a; b) cho f(x) > f(x0), với x (a; b) \ {x0} Khi f(x0) đgl giá trò cực tiểu (cực tiểu) f c) Nếu x0 điểm cực trò f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trò đồ thò hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trò Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trò điểm f (x0) = Chú ý: Hàm số f đạt cực trò điểm mà đạo hàm đạo hàm III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trò Đònh lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0} a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0 Đònh lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0 VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò hàm số Qui tắc 1: Dùng đònh lí Tìm f (x) Tìm điểm xi (i =1,2 ,…) mà đạo hàm đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trò xi Qui tắc 2: Dùng đònh lí Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 Câu Tìm cực trò hàm số sau: a) y x x b) y x x x 1 c) y x x 15 x f) y d) y x4 x2 e) y x x g) y x 3x x2 h) y 3x x x 1 i) y x4 x2 2 x x 15 x 3 Câu Tìm cực trò hàm số sau: 4x2 2x a) y ( x 2)3 ( x 1)4 b) y d) y x x e) y x x 2x2 x c) y 3x x x2 x f) y x x x Câu Tìm cực trò hàm số sau: 3 x2 2x 1 a) y x b) y d) y x x ln x e) y x sin2 x c) y e x 4e x f) y x ln(1 x ) VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trò điểm x0 f x0 x0 đạo hàm Để hàm số y = f(x) đạt cực trò điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0 Chú ý: Hàm số bậc ba y ax bx cx d có cực trò Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x0) hai cách: + y( x0 ) ax03 bx02 cx0 d + y( x0 ) Ax0 B , Ax + B phần dư phép chia y cho y Hàm số y ax bx c P( x ) = (aa 0) có cực trò Phương trình y = có hai a' x b' Q( x ) b' a' Khi x0 điểm cực trò ta tính giá trò cực trò y(x0) hai cách: P( x0 ) P '( x0 ) y( x0 ) y( x0 ) Q( x ) Q '( x0 ) nghiệm phân biệt khác Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, đònh lí Vi–et www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 ln g) e x xe dx h) i) ln( x x)dx e k) e x sin xdx l) e cos x sin xdx m) ln xdx e e o) x ln xdx x ln xdx p) ln x dx x q) x (e 2x x 1)dx 1 e VẤN ĐỀ 4: Tính tích phân hàm số có chứa giá trò tuyệt đối Để tính tích phân hàm số f(x) có chứa dấu GTTĐ, ta cần xét dấu f(x) sử dụng công thức phân đoạn để tính tích phân đoạn nhỏ Câu Tính tích phân sau: a) b) x dx d) 3 g) x x dx c) x dx ( x x )dx f) 2 x x 9dx x x x dx 2 x dx h) x dx e) x i) x dx 1 Câu Tính tích phân sau: 2 a) d) b) sin x dx 0 2 sin xdx e) tan x cot x 2dx h) c) g) cos x dx sin x dx cos xdx f) cos 2xdx cos x cos x cos3 xdx i) 2 sin xdx VẤN ĐỀ 5: Tính tích phân hàm số hữu tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số hữu tỉ Câu 10 Tính tích phân sau: a) d) dx 1 x x b) dx 0 x 5x x 1 x dx www.facebook.com/VanLuc168 e) c) x dx 0 x 2x x dx 1 x VanLucNN f) x dx (1 x) www.TOANTUYENSINH.com 51 Giải tích 12 dx g) x(x 1) k) h) x 3x 1 x 2 x3 6x2 9x dx l) x3 x dx i) x 1 5x 3x 3x 4 x 11dx x 3x 2 dx m) x2 (3 x 1) dx Câu 11 Tính tích phân sau: dx a) x 2x d) g) ( x 2) ( x 3) x3 x dx x 1 f) dx e) dx h) dx 4 x l) x 2008 2008 ) x (1 x c) x (1 x ) 2 2 dx x 1 k) b) 3x x2 1 x x3 2x 4x dx 0 x2 dx i) x 1 x x dx 2 ( x 1) dx dx m) x4 1 x dx VẤN ĐỀ 6: Tính tích phân hàm số vô tỉ Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số vô tỉ Câu 12 Tính tích phân sau: 2 a) x x 1dx b) 0 d) 1 x 1 10 2 n) 2x 1 h) 3x dx x 1 x 4x 1 f) x4 x5 1 x x 1dx i) l) dx x 1 dx x 1 e) c) dx x x 1 k) dx dx x g) x x3 4x 2 dx m) x x2 dx 3x x x3 x2 dx dx 1 x dx 1 x o) dx x x2 x2 p) dx x x3 Câu 13 Tính tích phân sau: a) x x dx b) d) g) x 2008dx x2 x2 1 dx c) e) x 10 x dx f) 0 1 dx x x2 www.facebook.com/VanLuc168 h) dx x 2008 VanLucNN i) dx (1 x )3 x dx x 3dx x x2 www.TOANTUYENSINH.com 52 Giải tích 12 2 k) 2 dx l) (1 x ) x dx 1 x m) 12 x x 8dx Câu 14 Tính tích phân sau: a) 2 cos xdx cos x c) 2 cos3 x sin x cos5 xdx e) 0 cos xdx h) cos2 x sin x sin x cos x cos xdx g) sin x cos x cos xdx 0 d) b) cos2 x dx tan x cos x cos2 x f) cos xdx cos x dx i) sin x sin x cos x dx Câu 15 Tính tích phân sau: ln3 a) ln3 d) ln b) ex x ln x dx e) x c) ex x(e 2x dx h) (e 1) e 3ln x ln x dx x ln x 1)dx f) e x dx 1 (e x 1)3 ex e e2 x dx ln x x ln3 g) ln dx ln ex x e e x dx i) e x 1dx VẤN ĐỀ 7: Tính tích phân hàm số lượng giác Xem lại cách tìm nguyên hàm hàm số lượng giác Câu 16 Tính tích phân sau: 4 a) sin x cos xdx b) tan xdx c) sin x cos x dx 0 d) sin xdx g) 2 sin x cos xdx 0 www.facebook.com/VanLuc168 i) l) sin x cos5 xdx 0 3 (sin x cos x )dx f) cos x h) sin x cos xdx k) e) sin xdx cos x cos x dx VanLucNN m) sin x cos x dx cos x www.TOANTUYENSINH.com 53 Giải tích 12 n) tan 3 xdx o) tan xdx p) sin3 x cos x /3 cos3 x cos x dx dx r) sin x.cos3 x 4 q) dx s) dx /6 sin x.cos x Câu 17 Tính tích phân sau: a) 2 cos x sin x cos xdx sin x cos x dx b) sin x cos x c) cos x dx 4 cos x(sin x cos x )dx e) g) cos x d) tan x (tan x e sin x cos x)dx h) 1 sin x sin xdx 3 sin x sin x.ln(cos x )dx f) 2 (tan x 1) cos x dx i) 2 sin x cos x dx Câu 18 Tính tích phân sau: a) 2 dx sin x b) dx cos x sin x dx c) d) 2 cos x cos x dx e) h) 0 sin x cos x dx (1 sin x ) cos x (1 sin x )(2 cos2 x ) dx l) sin x sin x dx f) k) cos x dx cos x g) sin x cos x dx sin x cos x i) dx cos x cos( x ) dx m) sin x cos( x ) 4 dx sin x sin( x ) Câu 19 Tính tích phân sau: xdx 0 cos x 2 a) (2 x 1) cos xdx d) sin xdx b) e) g) cos(ln x )dx www.facebook.com/VanLuc168 h) c) x dx x cos xdx f) sin x.e 0 x cos ln(sin x ) cos x x 1 dx VanLucNN i) (2 x 1) cos dx xdx www.TOANTUYENSINH.com 54 Giải tích 12 k) 2x e sin xdx l) sin e x sin x cos3 xdx o) xdx 2 x sin x cos m) n) x tan xdx ln(1 tan x )dx p) dx cos x VẤN ĐỀ 8: Tính tích phân hàm số mũ logarit Sử dụng phép toán luỹ thừa logarit Xem lại phương pháp tìm nguyên hàm Câu 20 Tính tích phân sau: ln e x dx a) x 1 e ln d) e x 1 e e k) dx dx ln x dx x (ln x 1) e) h) l) e x 1.e x dx ln e dx e2 x 0e x 1 i) 1 ex dx 1 ex e x x 1 0e ln3 dx dx x 0e 4 f) 2x x e 1 c) ln ln x ex 1 ln g) b) dx x e 5 m) dx ex dx Câu 21 Tính tích phân sau: 2 x a) e sin xdx b) xe 2x c) dx xe x dx e) e2 g) e e d) (e x cos x) cos xdx ln x ln(ln x ) dx x x ln1 x dx f) ln x ln h) x ln x e ln2 x dx x x dx e3 i) ln(ln x ) dx x e k) ln x x2 dx l) ln(sin x ) cos2 x dx m) ln( x 1) dx x VẤN ĐỀ 9: Một số tích phân đặc biệt Dạng Tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ a Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số lẻ [-a; a] f ( x )dx a a Nếu hàm số f(x) liên tục hàm số chẵn [-a; a] a www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN a f ( x )dx f ( x )dx www.TOANTUYENSINH.com 55 Giải tích 12 Vì tính chất phần lý thuyết SGK nên tính tích phân có dạng ta chứng minh sau: a a a J f ( x )dx; K f ( x )dx Bước 1: Phân tích I f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx a a a Bước 2: Tính tích phân J f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a – Nếu f(x) hàm số lẻ J = –K I = J + K = – Nếu f(x) hàm số chẵn J = K I = J + K = 2K Dạng Nếu f(x) liên tục hàm chẵn R thì: f ( x) dx ax (với R+ a > 0) f ( x )dx Để chứng minh tính chất này, ta làm tương tự f ( x) f (x) f (x) f ( x) f ( x) J dx; K dx I dx dx dx x x x x x a a 1 a a a 1 Để tính J ta đặt: t = –x Dạng Nếu f(x) liên tục 0; 2 f (sin x )dx Để chứng minh tính chất ta đặt: t f (cos x )dx x Dạng Nếu f(x) liên tục f (a b x ) f ( x ) f (a b x ) f ( x ) đặt: t = a + b – x Đặc biệt, a + b = đặt t=–x a + b = 2 đặt t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) ta cần tìm hàm g(x) cho nguyên hàm hàm số f(x) g(x) dễ xác đònh so với f(x) Từ suy nguyên hàm f(x) Ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàm g(x) Bước 2: Xác đònh nguyên hàm hàm số f(x) g(x), tức là: F ( x ) G( x ) A( x ) C1 (*) F ( x ) G( x ) B( x ) C2 Bước 3: Từ hệ (*), ta suy F ( x ) A( x ) B( x ) C nguyên hàm f(x) Câu 22 Tính tích phân sau (dạng 1): a) cos4 x dx b) d) x x x x 1 ln x x dx 1 www.facebook.com/VanLuc168 c) e) cos x ln( x x )dx x dx 1 x x VanLucNN 1 x cos x.ln dx 1 x f) 1 x sin x x2 dx www.TOANTUYENSINH.com 56 Giải tích 12 g) sin x cos x dx h) xdx 2 i) sin x x cos x sin2 x dx Câu 23 Tính tích phân sau (dạng 2): a) x4 x dx 1 2x c) e) sin x sin x cos x 1 (e ex h) f) 1)( x 1) dx 1 (4 x 1)( x 1) 6 sin x cos x x x2 1 31 x dx dx dx dx dx 3x g) 1 x2 1 sin2 x d) b) 6x dx i) x sin2 x 2x dx Câu 24 Tính tích phân sau (dạng 3): a) n cos x cosn x sin n x dx (n N*) b) 2009 x cos2009 x sin dx sin x dx 7 sin x cos x sin 2009 x d) e) cos4 x c) 4 cos x sin x dx f) sin x sin x cos x sin x 4 cos x sin x dx dx Câu 25 Tính tích phân sau (dạng 4): a) x.sin x cos2 x dx b) x cos x sin2 x dx sin x ln cos x dx c) 2 d) ln(1 tan x )dx e) g) x.sin f) 0 x.cos3 xdx x sin x dx h) xdx x sin x cos x dx i) x sin x cos x dx k) sin x ln(1 tan x )dx l) 0 x sin x cos x dx x sin x cos m) xdx Câu 26 Tính tích phân sau (dạng 5): a) sin x sin x cos x dx b) c) 0 e) 4 sin x cos x dx f) sin x cos x sin x cos x dx 6 sin x cos x dx www.facebook.com/VanLuc168 h) cos4 x 4 sin x cos x dx sin x sin x sin x cos x dx g) cos x sin x cos x dx d) cos x 6 sin x cos x VanLucNN dx i) sin x.sin xdx www.TOANTUYENSINH.com 57 Giải tích 12 k) cos x.sin xdx n) 1 e dx e x o) ex x x 1 e e ex x l) dx e x 1 e x e x m) e x x x 1 e e dx dx VẤN ĐỀ 10: Thiết lập công thức truy hồi b Giả sử cần tính tích phân I n f ( x , n)dx (n N) phụ thuộc vào số nguyên dương n Ta thường a gặp số yêu cầu sau: Thiết lập công thức truy hồi, tức biểu diễn In theo In-k (1 k n) Chứng minh công thức truy hồi cho trước Tính giá trò I n cụ thể Câu 27 Lập công thức truy hồi cho tích phân sau: 2 n 1 Đặt u sin x dv sin x.dx a) I n sin n xdx n1 Đặt u cos x dv cos x.dx b) I n cosn xdx c) I n tan n xdx u x n n x cos x dx Đặ t dv cos x.dx d) I n Phân tích: tan n x tan n 2 x tan2 x 1 tan n2 x e n Đặt u x x e) I n x n e x dx Đặt x cos t 2n Đặt u sin t dv sin t.dt h) I n dx (1 x )n Phân tích dv dx 1 g) I n (1 x )n dx n Đặt u ln x f) I n ln n x.dx dv e dx u x n n x sin x dx Đặ t dv sin x.dx Jn (1 x )n x2 (1 x )n x2 (1 x )n u x x dx Đặt Tính Jn dv dx n n (1 x ) (1 x ) x2 i) I n x n x dx n Đặt u x dv x dx k) I n dx cosn x dx www.facebook.com/VanLuc168 Phân tích cosn x cos x cosn 1 x VanLucNN Đặt t cosn1 x www.TOANTUYENSINH.com 58 Giải tích 12 §3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC Diện tích hình phẳng Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò (C) hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] – Trục hoành – Hai đường thẳng x = a, x = b b S f ( x ) dx là: (1) a Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục đoạn [a; b] b – Hai đường thẳng x = a, x = b là: S f ( x ) g( x ) dx (2) a Chú ý: b Nếu đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì: a b f ( x ) dx f ( x )dx a Trong công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trò tuyệt đối hàm số dấu tích phân Ta làm sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b a c d b f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx a c c = d f ( x )dx a d b f ( x )dx c f ( x )dx d (vì đoạn [a; c], [c; d], [d; b] hàm số f(x) không đổi dấu) Diện tích S hình phẳng giới hạn đường: – Đồ thò x = g(y), x = h(y) (g h hai hàm số liên tục đoạn [c; d]) – Hai đường thẳng x = c, x = d d S g( y ) h( y) dy c Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 59 Giải tích 12 điểm a b S(x) diện tích thiết diện vật thể bò cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (a x b) Giả sử S(x) liên tục đoạn [a; b] b Thể tích B là: V S( x )dx a Thể tích khối tròn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường: (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox: b V f ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Oy: (C): x = g(y), trục tung, y = c, y = d d V g2 ( y)dy là: c VẤN ĐỀ 1: Tính diện tích hình phẳng Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: ln x a) y x x 6, y 0, x 2, x b) y , y 0, x , x e x e c) y ln x , y 0, x 1, x e x d) y ln x x , y 0, x e, x 1 e) y ln x , y 0, x , x e f) y x , y 0, x 2, x e x 1 g) y , y 0, x 0, x h) y lg x , y 0, x , x 10 10 1 x4 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: 3 x a) y , y 0, x b) y x , y x , y x 1 c) y e x , y 2, x d) y x , x y 0, y e) y x , y x x 1, y f) y x x 5, y 2 x 4, y x 11 g) y x , y x2 27 ,y 27 x h) y x , y x x 4, y i) y x, x y 0, y k) y x x 5, y x x 3, y x 15 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , y , y 0, x e b) y sin x cos x , y 3, x 0, x x c) y x 2 , y 0, y x , x www.facebook.com/VanLuc168 d) y x x , y x x 6, x 0, x VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 60 Giải tích 12 e) y x , y 0, y x f) y x x 2, y x x 5, y g) y x , y x, y h) y a) y x , y x x b) y x x , y x 2 x , y e x , x e Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: c) y x , y x2 e) y x , y x g) y x2 ,y x2 d) y 1 x2 ,y x2 f) y x x , y x x h) y x , y x i) y x x, y x k) y x 2, y x Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x , x y b) y x 0, x y c) y y x 0, x y d) y x 1, y x e) y x, y x , y 0, y f) y ( x 1)2 , x sin y g) y x, x y 16 h) y (4 x )3 , y x i) x y3 0, x y k) x y 8, y x Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) y x.e x ; y 0; x 1; x b) y x.ln2 x; y 0; x 1; x e c) y e x ; y e x ; x d) y 5x 2 ; y 0; x 0; y x e) y ( x 1)5 ; y e x ; x 1 f) y ln x , y 0, x , x e e g) y sin x cos2 x, y 0, x 0, x h) y x sin x; y x; x 0; x i) y x sin x; y ; x 0; x k) y sin2 x sin x 1, y 0, x 0, x Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau: a) (C ) : y x , tiệm cận xiên (C), x = x = 2x2 x2 2x , y , tiệm cận xiên (C), x = –1 x = b) (C ) : y x 2 c) (C ) : y x x x 3, y tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C ) : y x x 2, x 1 tiếp tuyến cới (C) điểm có hoành độ x = –2 e) (C ) : y x x tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) A(3; 3) (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: a) y sin x, y 0, x 0, x b) y x x , y 0, x 0, x www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 61 Giải tích 12 c) y sin6 x cos6 x , y 0, x 0, x e) y x 1, y 0, x 1, x g) y d) y x , x f) y x , y x x2 x3 ,y h) y x x , y x i) y sin x, y cos x , x ,x k) ( x 2)2 y 9, y l) y x x 6, y x x m) y ln x , y 0, x Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: a) x , y 1, y b) y x , y y c) y e x , x 0, y e d) y x , y 1, y Câu 10 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn đường sau quay quanh: i) trục Ox ii) trục Oy a) y ( x 2)2 , y c) y x 1 , y 0, x 0, x b) y x , y x , y d) y x x , y e) y x.ln x , y 0, x 1, x e f) y x ( x 0), y 3 x 10, y g) y x , y x h) x – y 1 i) x2 y2 1 l) x y 0, y 2, x www.facebook.com/VanLuc168 k) y x 1, y 2, y 0, x m) y x , y 0, x VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 62 Giải tích 12 CHƯƠNG IV SỐ PHỨC §1 SỐ PHỨC §2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1 b) i 2i 3 3 e) i i 4 a) (4 – i) (2 3i) –(5 i) 1 d) i 2i i 2 c) 3i i 3 f) (2 3i )(3 i) §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC Câu Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 3 i i a) b) 2i 1 i i m ai a d) e) i m ai a 1 i ai b g) h) 2i i a Câu Thực phép toán sau: a) (1 i )2 (1 – i)2 1 d) 3i 2 b) (2 i)3 (3 i )3 e) (1 2i ) (1 i ) (3 2i ) (2 i ) c) 1 i 1 i f) 3i (1 2i )(1 i ) i) 3i 5i c) (3 4i )2 f) (2 i )6 g) (1 i )3 (2i )3 h) (1 i)100 i) (3 3i )5 Câu Cho số phức z x yi Tìm phần thực phần ảo số phức sau: z i iz Câu Phân tích thành nhân tử, với a, b, c R: a) z2 z 4i b) a) a2 b) 2a2 c) 4a 9b2 d) 3a2 5b2 e) a 16 f) a3 27 g) a3 h) a a2 www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com 63 Giải tích 12 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Câu Tìm bậc hai số phức: a) 1 3i b) 5i e) i f) 24i 2 i i) k) 5 12i Câu Tìm bậc hai số phức sau: a) 6i b) 4i 1 i e) 1 i i i) 1 i f) i k) c) 1 6i d) 5 12i g) 40 42i h) 11 3.i l) 6i m) 33 56i c) i d) 24i g) i 2 h) i, –i l) 2 1 i i m) 1 i 2 Câu Tìm bậc ba số phức sau: a) i b) –27 c) 2i Câu Tìm bậc bốn số phức sau: a) i 12 b) i Câu Giải phương trình sau (ẩn z): a) z z b) z z d) z z z i g) 1 z i k) (3 2i)2 (z i) 3i m) z i i d) 18 6i c) 2i e) z z 1 8i d) 7 24i c) z z 4i f) (4 5i )z i 2i 3i z i) z 3z 12i 1 i 2i 1 l) (2 i) z i iz 2i 5i 4i o) p) (z 3i)(z2 z 5) z h) q) ( z2 9)(z2 z 1) Câu Giải phương trình sau (ẩn x): a) x 3.x r) z3 3z2 5z 3i b) x 3.x c) x (3 i) x 3i e) x x g) x 24 d) 3i.x x i f) i.x 2i.x h) x 16 i) ( x 2)5 k) x l) x 2(1 i ) x 2i m) x 2(2 i) x 18 4i o) ix x i Câu Giải phương trình sau: a) z3 125 www.facebook.com/VanLuc168 1 1 i 1 i p) x (2 3i) x b) z4 16 VanLucNN c) z3 64i d) z3 27i www.TOANTUYENSINH.com 64 Giải tích 12 e) z7 2iz iz3 f) z6 iz3 i g) z10 (2 i )z5 2i Câu Gọi u1; u2 hai bậc hai z1 4i v1; v2 hai bậc hai z2 4i Tính u1 u2 v1 v2 ? Câu Giải phương trình sau tập số phức: a) z2 b) z2 z c) z2 z 10 d) z2 5z e) 2 z2 3z f) 3z2 z g) ( z z )( z z ) h) z2 z i) z2 z k) z 3z 3i l) z 2i +2 z 2i m) z3 z n) z2 z o) iz2 (1 2i)z Câu 10 Giải phương trình sau tập số phức: p) (1 i)z2 11i 4z i 4z i 6 a) 5 zi zi b) z 5i z 3 z2 z 3 c) z2 z z2 z 16 d) z3 1 i z2 i z 3i e) z i z2 z f) z2 2iz 2i g) z2 (5 14i)z 2(12 5i) h) z2 80 z 4099 100i i) ( z i)2 6( z i) 13 k) z2 (cos i sin )z i cos sin Câu 11 Giải phương trình sau tập số phức: a) x (3 4i) x 5i c) x x b) x (1 i) x i d) x x e) x Câu 12 Giải phương trình sau biết chúng có nghiệm ảo: a) z3 iz2 2iz b) z3 (i 3)z2 (4 4i)z 4i Câu 13 Tìm m để phương trình sau: z i z2 2mz m 2m a) Chỉ có nghiệm phức b) Chỉ có nghiệm thực c) Có ba nghiệm phức Câu 14 thực Câu 15 Câu 16 Tìm m để phương trình sau: z3 (3 i)z2 3z (m i) có nghiệm Tìm tất số phức z cho ( z 2)( z i) số thực Giải phương trình trùng phương: a) z4 8(1 i)z2 63 16i b) z4 24(1 i )z2 308 144i c) z4 6(1 i)z2 6i Câu 17 Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình: z2 1 i z 3i Tính giá trò biểu thức sau: a) z12 z22 b) z12 z2 z1z22 c) z13 z23 1 1 2 2 d) z1 z2 z2 z1 z1 z2 e) z2 z13 z1z23 f) www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN z1 z2 z2 z1 www.TOANTUYENSINH.com 65 ... www.TOANTUYENSINH.com 20 Giải tích 12 Câu Giải phương trình sau: x a) 1024 d) 3 2x 1 9 2 5 b) x 2 0,25 g) 322 x 8 0 ,125 2 e) 9 x x1 27 125 x 27... 13 Giải phương trình sau: www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 a) x x5 b) x x x c) x x x x 16 14 d) x 15 x x Câu 14 Giải. .. loại bỏ nghiệm ngoại lai Khi giải tập loại thường ta sử dụng kiến thức khác nữa, đònh lí Vi–et www.facebook.com/VanLuc168 VanLucNN www.TOANTUYENSINH.com Giải tích 12 Câu Chứng minh hàm số sau