Không gian d

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI NGỌC DIỆP KHÔNG GIAN D(Ω) KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN BÙI NGỌC DIỆP KHÔNG GIAN D(Ω) Chuyên ngành: Toán giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI KIÊN CƯỜNG Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Lời mở đầu 1 KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 1.1 1.2 1.3 Không gian vectơ tôpô 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Cơ sở lân cận 1.1.3 Một số ví dụ 1.1.4 Phiếm hàm Minkowski Không gian lồi địa phương 10 1.2.1 Định nghĩa 10 1.2.2 Một số ví dụ 11 1.2.3 Tôpô cho họ nửa chuẩn 11 Giới hạn xạ ảnh giới hạn qui nạp 16 1.3.1 Giới hạn xạ ảnh 16 1.3.2 Giới hạn qui nạp 19 KHÔNG GIAN D(Ω) 2.1 21 Không gian D(Ω) 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Các bổ đề 22 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP 2.1.3 Một số tính chất 28 2.1.4 Một số không gian hàm khác 30 2.2 Các định lý xấp xỉ 33 2.3 Phân hoạch đơn vị hàm D(Ω) 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Lời mở đầu 1, Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm suy rộng xây dựng không gian hàm có nhiều ứng dụng lớn vật lý lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, phục vụ cho việc nghiên cứu tính kì dị hàm hàm suy rộng giải tích vi địa phương Chính thế, việc nghiên cứu không gian hàm cần thiết sinh viên Không gian hàm thử không gian quan trọng giải tích đại, công cụ để xây dựng nhiều khái niệm mở rộng khái niệm có Chính điều tạo động lực thúc em tìm hiểu định chọn đề tài: "Không gian D(Ω)" 2, Mục đích nghiên cứu - Rèn luyện tính nghiêm túc, tư logic từ có phương pháp nghiên cứu khoa học thích hợp đắn - Khắc sâu tìm hiểu kiến thức không gian D(Ω) với tính chất ứng dụng 3, Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tìm hiểu số kiến thức không gian vectơ tôpô - Nghiên cứu định nghĩa, tính chất ứng dụng không gian D(Ω) 4, Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp đánh giá tổng hợp Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP 5, Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm hai chương: Chương I: Không gian vectơ tôpô Chương II: Không gian D(Ω) LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ BÙI KIÊN CƯỜNG tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Bùi Ngọc Diệp LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực khóa luận cảm ơn thông tin thu trích dẫn khóa luận rõ nguồn gốc Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2015 Sinh viên Bùi Ngọc Diệp Chương KHÔNG GIAN VECTƠ TÔPÔ 1.1 Không gian vectơ tôpô 1.1.1 Định nghĩa Ta nói tôpô τ không gian vectơ X tương hợp với cấu trúc đại số, phép toán đại số X liên tục tôpô đó, tức nếu: 1) x + y hàm liên tục hai biến x, y; nói rõ hơn, với lân cận V điểm x + y có lân cận Ux x lân cận Uy y cho x ∈ Ux , y ∈ Uy x + y ∈ V 2) αx hàm liên tục hai biến α, x; nói rõ hơn, với lân cận V αx có số ε > lân cận U x cho |α − α| < ε, x ∈ U α x ∈ V Một không gian vectơ X có tôpô tương hợp với cấu trúc đại số gọi không gian vectơ tôpô (hay không gian tuyến tính tôpô) Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.1.2 BÙI NGỌC DIỆP Cơ sở lân cận Một tập A gọi hấp thu với x ∈ X tồn số λ > cho |α| ≥ λ x ∈ αA A gọi cân đối với x ∈ A ta có αx ∈ A |α| ≤ Bổ đề 1.1 Trong không gian vectơ tôpô, lân cận V tập hấp thu bao hàm lân cận cân đối W cho W + W ⊂ V Định lý 1.1 Trong không gian vectơ tôpô X có sở lân cận B gốc cho: (i) Mỗi V ∈ B cân đối hấp thu; (ii) Nếu V ∈ B αV ∈ B với α = 0; (iii) Mỗi V ∈ B bao hàm W ∈ B cho W + W ⊂ V ; (iv) Với cặp V1 , V2 ∈ B tồn W ∈ B cho W ⊂ V1 ∩ V2 Ngược lại, không gian vectơ X lấy họ B(= ∅) tập X thỏa mãn điều kiện có tôpô X tương hợp với cấu trúc đại số, nhận B làm sở lân cận gốc Định lý 1.2 Cho B sở lân cận không gian vectơ tôpô X Không gian X Hausdorff với x = có V ∈ B không chứa x tức là: V = {0} V ∈B Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Lp,loc (Ω) trang bị tôpô Fréchet xác định họ nửa chuẩn: pj (u) = ||1Kj u||Lp (Ω) , j = 1, 2, , đó: Kj thỏa mãn (2.4) Với K compact Ω, ta định nghĩa Lp (K) với Lp,K (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) | supp u ⊂ K} (2.22) mở rộng Ω\K, không gian đóng Lp (Ω) Các không gian đầy Lp,loc (Ω) kết luận từ tính đầy không gian Lp,Kj (Ω) Tương tự với không gian C0∞ (Ω) C ∞ (Ω) (với tôpô mạnh hơn) ta định nghĩa không gian Lp,comp (Ω) Lp,loc (Ω) (và Lp (Ω)) Lp,comp (Ω) = u ∈ Lp (Ω) | supp u compact Ω (2.23) Nó trang bị tôpô giới hạn qui nạp, biểu diễn ∞ Lp,comp (Ω) = Lp,Kj (Ω) (2.24) j=1 Nhận xét 2.1 Các tôpô lựa chọn bên đảm bảo L2,loc (Ω) L2,comp (Ω) không gian đối ngẫu 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Ta thấy rằng: C ∞ (Ω) ⊂ Lp,loc (Ω) ⊂ Lq,loc (Ω) C0∞ (Ω) (2.25) ⊂ Lp,comp (Ω) ⊂ Lq,comp (Ω) với p > q với phép nhúng liên tục 2.2 Các định lý xấp xỉ Từ hàm thử xây dựng Bổ đề 2.1, xây dựng phong phú hàm thử phép tích chập Ta nhắc lại rằng, f g hàm đo Rn tích f (y)g(x − y) hàm khả tích y với x cố định tích chập (f ∗ g)(x) định nghĩa sau: (f ∗ g)(x) = f (y)g(x − y)dy (2.26) Rn Ghi nhớ (f ∗ g)(x) = f (y)g(x − y)dy = (g ∗ f )(x) Khi f ∈ Rn L1,loc , g bị chặn chúng có giá compact (hoặc hai có giá compact tập nón, chẳng hạn {x | x1 ≥ 0, , xn ≥ 0}) 1 (2.26) xác định f ∈ Lp g ∈ Lq với + = p q Để thuận tiện sử dụng nguyên lý hội tụ tổng quát sau mà ta thấy từ định lý Lebesgue: Bổ đề 2.5 Cho M ∈ Rn đo I khoảng R Cho f (x, a) họ hàm biến x ∈ M phụ thuộc vào tham số a ∈ I, cho với a ∈ I, f (x, a) ∈ L1 (M ) Xét hàm F I xác định 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP sau: f (x, a)dx với a ∈ I F (a) = (2.27) M 1o Giả sử với x ∈ M, f (x, a) hàm liên tục a điểm a0 ∈ I tồn hàm g(x) ∈ L1 (M ) cho: |f (x, a)| ≤ g(x) với (x, a) ∈ M × I Khi F (a) liên tục điểm a0 Tương tự biến a chạy hình cầu B(a0 , r) Rk ta có khẳng định tương tự ∂ 2o Giả sử f (x, a) tồn với (x, a) ∈ M × I tồn ∂a hàm g(x) ∈ L1 (M ) cho: ∂ f (x, a) ≤ g(x) ∀(x, a) ∈ M × I ∂a (2.28) Khi F (a) hàm khả vi a ∈ I d F (a) = da M ∂ f (x, a)dx ∂a (2.29) Cho h(x) hàm khả vi với tính chất: h ∈ C0∞ (Rn ), h ≥ 0, h(x)dx = 1, supp h ⊂ B(0, 1) (2.30) Rn Với j ∈ N∗ thiết lập hj (x) = j n h(jx) (2.31) Khi ta có với j: hj ∈ C0∞ (Rn ), hj ≥ 0, hj (x)dx = 1, supp hj ⊂ B 0, 34 j (2.32) Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Dãy (hj )j∈N thường gọi xấp xỉ đơn vị Chúng ta tìm hiểu thêm phép tích chập với hàm số hj Cho u ∈ L1,loc (Rn ) xét hj ∗ u, (hj ∗ u)(x) = hj (y)u(x − y)dy = B(0, 21 ) hj (x − y)u(y)dy (2.33) B(x, 1j ) (hj ∗ u)(x) = j Như vậy, supp (hj ∗ u) chứa tập đóng: Ta thấy dist(x, supp u) > supp(hj ∗ u) ⊂ supp u + B 0, j (2.34) Đặc biệt, u có giá compact hj ∗ u có giá với độ lớn không đáng kể so với giá compact u Bổ đề 2.6 Khi u ∈ L1,loc (Rn ) hj ∗ u ∈ C ∞ (Rn ) ∂ n (hj ∗ u) = (∂ α hj ) ∗ u với α ∈ Nn (2.35) Chứng minh Cho x0 điểm thuộc Rn Ta thấy hj ∗ u thuộc C ∞ lân cận x0 thỏa mãn (2.35) Khi x ∈ B(x0 , 1) hj (x − y) = với y ∈ / B(x0 , 2), có: (hj ∗ u)(x) = hj (x − y)u(y)dy, B(x0 ,2) với x ∈ B(x0 , 1) Ghi nhớ rằng: ∂xα hj (x) = j n+|α| ∂yα h(y)|y=jx 35 (2.36) Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Vì sup |∂xα hj (x)| = j n+|α| sup |∂xα h(x)|, x x hàm phụ thuộc x hj (x − y)u(y) đạo hàm theo biến x bị chặn bội hàm |u(y)|: |hj (x − y)u(y)| ≤ Cj |u(y)|, |∂xα hj (x − y)u(y)| ≤ Cα,j |u(y)| (2.37) Vì u khả tích B(x0 , 2) nên trước hết sử dụng Bổ đề 2.8.1o (với k = n) để thấy hj ∗ u(x) liên tục điểm x ∈ B(x0 , 1) Tiếp theo, ta sử dụng Bổ đề 2.8.2o với đạo hàm riêng ∂ , k = 1, , n, x ∈ B(x0 , 1) Điều cho thấy tồn ∂xk ∂ (hj ∗ u)(x) hàm liên tục: ∂xk ∂ (hj ∗u)(x) = ∂xk hj (x−y)u(y)dy, k = 1, , n với x ∈ B(x0 , 1) B(x0 ,2) Áp dụng nguyên tắc lần nữa, ta có ∂ ∂ ∂xl ∂xk ∂ ∂ (hj ∗ u) tồn ∂xl ∂xk ∗ u (x) Bằng qui nạp, ta thu điều phải chứng minh Định lý 2.3 1o Nếu υ liên tục có giá compact Rn hj ∗ υ hội tụ υ j → ∞, hội tụ không gian Lp (Rn ) với p ∈ [1, ∞) 2o Với p ∈ [1, ∞) ta có: ||hj ∗ u||p ≤ ||u||Lp với u ∈ Lp (Rn ) (2.38) 3o Nếu p ∈ [1, ∞) u ∈ Lp (Rn ) hj ∗ u → u Lp (Rn ) với 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP j → ∞ Hơn nữa, C0∞ (Rn ) trù mật Lp (Rn ) Chứng minh 1o Khi υ liên tục với giá compact υ liên tục với x ∈ Rn ta có: |(hj ∗ υ(x) − υ(x)| = υ(x − y)hj (y)dy − υ(x)hj (y)dy B(0, 1j ) B(0, 1j ) ≤ |υ(x − y) − υ(x)| ≤ εj , (2.39) ε → với j → ∞ không phụ thuộc vào x Điều cho thấy hj ∗ υ hội tụ υ theo điểm theo chuẩn sup, cách lấy tích phân tập compact supp υ + B(0, 1), ta có hj ∗ υ → υ Lp với p ∈ [1, ∞) 2o Với < p < ∞ bất đẳng thức hệ bất đẳng thức H¨older’s, đó, ta đặt f (y) = hj (x − y) p u(y) g(y) = hj (x − y) p Sử dụng (2.32) định lí Fubini ta p ||hj ∗ u||pLp = ≤ hj (x − y)u(y)dy dx hj (x − y)(u(y))p dy p p hj (x − y)dy ) dx hj (x − y)|u(y)|p dydx = ||u||pLp (2.40) Trong trường hợp p = p = ∞, ta sử dụng lý luận khác phù hợp 3o Ở đây, sử dụng kết từ định lí lý thuyết độ đo, p < ∞ hàm số Lp (Rn ) tính xấp 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP xỉ với chuẩn Lp hàm liên tục có giá compact Cho u ∈ Lp (Rn ), ε cho ε > υ ∈ C00 (Rn ) với ||u − υ||Lp ≤ Từ 1o , j0 chọn đủ lớn để: ||hj ∗ υ − υ||Lp ≤ ε với j ≥ j0 Khi đó, từ (2.39) ta ||hj ∗ u − u||Lp ≤ ||hj ∗ (u − υ)||Lp + ||hj ∗ υ − υ||Lp + ||υ − u||Lp ≤ 2||υ − u|| + ε ≤ ε với j ≥ j0 , điều cho ta thấy hj ∗ u → u Lp với j → ∞ Khẳng định cuối ta có hj ∗ υ xấp xỉ u Định lí cho thấy dãy hàm trơn hj ∗ u xấp xỉ u số không gian khác Ta mở rộng không gian khác Bổ đề 2.7 Với p ∈ [1, ∞), C0∞ (Rn ) trù mật Lp,loc (Rn ) x Chứng minh Đầu tiên, nhớ χ u → u Lp,loc N x với N → ∞ với j Thực vậy, χ = với |x| ≤ N N với j bất kỳ: pj χ x u−u ≡ N |χ B(0,j) x u − u|p dx = với N > j, (2.41) N x x − u → với N → ∞ với j, χ u−u → N N Lp,loc (Rn ) Sự hội tụ xảy metric xác định x x tôpô Từ Định lí 2.3, với χ u ∈ Lp (Rn ) hl ∗ χ → N N pj χ 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP x x u Lp (Rn ) với hl ∗ χ u ∈ C0∞ (Rn ) có giá B 0, 2N + N N l ta tính hội tụ có Lp,loc (Rn ) Chúng ta kết luận χ hàm số Lp,loc (Rn ) xấp xỉ hàm thử với tôpô Lp,loc (Rn ) Khi xét u ∈ Lp,loc (Ω) với Ω tập mở Rn , biểu thức (hj ∗ u)(x) thường định nghĩa tốt với x gần tới biên Nhưng ta có kết sau: Bổ đề 2.8 Cho u ∈ Lp,loc (Ω), số p ∈ [1, ∞) ε > Nếu j > ε υj (x) = (hj ∗ u)(x) = hj (y)u(x − y)dy (2.42) B(0, 1j ) xác định với x tập: Ωε = {x ∈ Ω | dist (x, CΩ) > ε} , (2.43) với số R > bất kỳ, ta có p p |u(x) − υj (x)| dx → với j → (2.44) Ωε ∩B(0,R) υj (x) xác định với x ∈ Ωε Trong phép ε tính tích phân (2.45), j > sử dụng giá trị u Kε,R = ε ε Ωε ∩ B(0, R) + B(0, ) tập compact Ω Chúng ta Chứng minh Cho j > 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP thay u u1 (x) =   u(x) x ∈ Kε,R ,  0 (2.45) trường hợp khác Ở đây, u1 ∈ Lp (Rn ), theo υj = hj ∗ u1 Ωε ∩ B(0, R) kết suy từ Định lí 2.3 Một loại xấp xỉ khác Lp,loc (Ω) có việc sử dụng hàm cắt Bổ đề 2.1 Định lý 2.4 Cho M tập Rn , với ε > tập Mkε = M + B(0, kε) k > Khi tồn hàm số η ∈ C ∞ (Rn ) nhận giá trị Mε có giá M3ε thỏa mãn ≤ η(x) ≤ với x ∈ Rn Chứng minh Hàm số: ψ(x) =   1 M2ε , (2.46)  0 Rn \ M2ε , thuộc L1,loc (Rn ) với j ≥ , hàm số hj ∗ ψ không âm thuộc C ∞ ε với giá nằm M2ε + B 0, ⊂ M3ε j Khi x ∈ Mε , ta có ψ = hình cầu B(x, ε) (hj ∗ ψ)(x) = hj (y)ψ(x − y)dy = j ≥ ε B(0, 1j ) Hàm số nhận giá trị [0, 1] Vì để lấy hàm η ta sử dụng hj ∗ ψ với j ≥ ε 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Quan sát ta thấy η Định lí 2.4 có giá compact M compact Chúng ta xét trường hợp đặc biệt sau: Hệ 2.1 1o Cho Ω tập mở cho K tập compact Ω Khi tồn hàm η ∈ C0∞ (Ω) nhận giá trị [0, 1] thỏa mãn η = lân cận Kj K 2o Cho Kj , j ∈ N∗ dãy tập compact thỏa mãn (2.4) Khi tồn dãy hàm ηj ∈ C0∞ (Ω) nhận giá trị [0, 1] thỏa o mãn ηj = lân cận Kj supp ηj ⊂ Kj+1 Chứng minh Với dist(K, CΩ) > với j, dist(K, CKj+1 ) > hệ suy trực tiếp từ Định lý 2.4 Định lý 2.5 Cho Ω tập mở ⊂ Rn 1o C0∞ (Ω) trù mật C ∞ (Ω) 2o C0∞ (Ω) trù mật Lp,loc (Ω) với p ∈ [1, ∞) 3o C0∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) với p ∈ [1, ∞) Chứng minh 1o Cho u ∈ C ∞ (Ω) Chọn ηj thỏa mãn Hệ 2.1, ta có ηj u ∈ C0∞ (Ω) ηj u → u C ∞ (Ω) với j → ∞ (do ηl u = u Kj với l ≥ j) 2o Cho u ∈ Lp,loc (Ω) Khi ηl u ∈ Lp (Ω) với giá Kl+1 ηl u → u Lp,loc (Ω) với l → ∞ ηl u = u Kj với l ≥ j Từ Định lí 2.3 ta có hk ∗ ηl u → ηl u Lp (Rn ) với k → ∞ Bởi supp (hk ∗ ηl u) ⊂ Kl+2 với k đủ lớn hàm liên tục Lp,loc (Ω) 3o Cho u ∈ Lp (Ω) Từ Định lí Lebesgue ta có ηl u ∈ Lp (Ω) ηl u → u Lp (Ω) (vì ≤ ηl ≤ 1) Chứng minh tương tự mục 2o ta có điều phải chứng minh 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 BÙI NGỌC DIỆP Phân hoạch đơn vị hàm D(Ω) Từ Hệ 2.1, ta thấy hàm thử đặc biệt sử dụng để xây dựng phân hoạch đơn vị, nghĩa họ hàm trơn với giá compact có tổng tập cho Phủ tập mở Ω họ đếm tập mở bị chặn Vj mà hữu hạn địa phương Ω, nghĩa tập compact Ω giao khác rỗng với số hữu hạn tập Vj Hơn nữa, ta thấy Vj co lại nhỏ tới tập mở Vj với Vj ⊂ Vj cho hợp Vj phủ Ω Chẳng hạn, ta có tập: o V0 = K4o , Vj = Kj+4 \ Kj với j ∈ N∗ , V0 = K3o , Vj = o Kj+3 ∗ (2.47) \ Kj+1 với j ∈ N , Kj tập thỏa mãn (2.4) Họ tập hữu hạn địa phương tập compact Ω chứa tập Kj0 đó, tập Vj không giao với j ≥ j0 Định lý 2.6 Cho tập mở Ω hợp tập mở bị chặn Vj với Vj ⊂ Ω, j ∈ N, tồn tập Vj Vj ⊂ Vj ta có j∈N Vj (Ω) Hơn nữa, giả sử phủ {Vj }j∈N hữu hạn địa phương Ω Khi đó, tồn họ hàm số ψj ∈ C0∞ (Vj ) nhận giá trị [0, 1] mà: ψj (x) = với x ∈ Ω (2.48) j∈N Chứng minh Từ Hệ 2.1, Vj tập compact Vj nên với j ta chọn hàm ζj ∈ C0∞ (Vj ) nhận giá trị Vj 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP nhận giá trị [0, 1] Bây đặt: Ψ(x) = ζj (x), j∈N0 Ψ(x) hàm xác định thuộc C ∞ (Ω), với điểm x ∈ Ω, lân cận compact x Ω có có hữu hạn hàm ζj = Hơn nữa, Ψ ≥ x ∈ Ω x nằm Vj với vài j Khi đó, đặt ψj (x) = ζj (x) với x ∈ Ω, j ∈ N Ψ(x) Họ (ψj )j∈N0 có tính chất thỏa mãn nên ta có điều phải chứng minh Chúng ta nói {ψj }j∈N phân hoạch đơn vị với Ω phụ thuộc phủ {Vj }j∈N Định lý 2.7 Cho K tập compact Rn cho {Vj }N j=0 phủ mở bị chặn K (nghĩa Vj bị chặn, mở Rn K⊂ N j=0 Vj ) Khi tồn họ hàm ψ ∈ C0∞ (Vj ) nhận giá trị [0, 1] mà N ψj (x) = với x ∈ K (2.49) j=0 Chứng minh Đầu tiên, thấy tồn tập mở Vj ⊂ Vj tạo phủ mở Vj N j=0 K mà Vj tập compact Vj với j 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học BÙI NGỌC DIỆP Thật vậy, đặt x ∈ Vj | dist(x, ∂Vj ) > Vjl = , j đó, họ tập {Vjl }j=0, ,N ;l∈N∗ tạo thành phủ mở K Vì K tập compact nên có họ hữu hạn phủ K; dó Vjl ⊂ Vjl với l < l nên ta giảm họ cách với j có không l Sử dụng Vjl tương tự Vj bổ sung Vj = Vj1 với giá trị j mà mặt họ Bây giờ, ta sử dụng Hệ 2.3, với j, ta chọn ζj ∈ C0∞ (Vj ) Vj nhận giá trị [0, 1] Khi đó: N N ζj (x) ≥ với x ∈ Ψ(x) = j=0 Vì N j=0 Vj Vj ⊃ K (2.50) j=0 tập mở chứa K nên ta sử dụng Hệ 2.1 để tìm hàm ϕ ∈ C0∞ N j=0 Vj mà K nhận giá trị đoạn [0,1] Đặt   ϕ(x)  ζj (x) Ψ(x) ψj (x) =   0 N j=0 Vj , (2.51) trường hợp lại, hàm ϕ hoàn toàn xác định thuộc lớp C ∞ , có giá tập compact Vj nhận giá trị [0, 1] họ hàm ψj thỏa mãn (2.50) Trong trường hợp ta nói {ψj }N i=0 phân hoạch đơn vị K tương ứng với phủ {Vj }N i=0 44 Kết luận Khóa luận trình bày tổng quan không gian D(Ω), đề cập tới số vấn đề sau: Một số kiến thức không gian vectơ tôpô Không gian D(Ω), tính chất trù mật C0∞ (Ω) số lớp không gian hàm quan trọng; ứng dụng không gian C0∞ (Ω) việc xây dựng phân hoạch đơn vị Qua khóa luận này, thân em không lĩnh hội thêm tri thức không gian D(Ω) mà có hiểu biết định việc nghiên cứu khoa học Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tác giả mong góp ý xây dựng thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm Nhà xuất Đại học Quốc gia, 2005 [2] Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ Hà Nội, 2009 [3] Lê Mậu Hải - Tăng Văn Long, Bài tập Giải tích hàm Nhà xuất Đại học Sư phạm, 2012 [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Gerd Grubb, Distributions and Operator Springer ISBN 9780-387-84894-5 [5] A.P.Robertson – Wendy Robertson, Topological vector spaces Cambrigde at the university press, 1964 46 ... d thỏa mãn d( x + z, y + z) = d( x, y) (d bất biến với phép tịnh tiến) 1.2.2 Một số ví d Ví d 1.2.1 Không gian định chuẩn không gian lồi địa phương Cơ sở lân cận lồi tập hình cầu tâm gốc Ví d ... (0) = không gian Xλ không gian Hausdorff giới hạn xạ ảnh không gian Hausdorff Chứng minh Thật vậy, u−1 λ (Vλ ) = V = V ∈B λ∈Λ Vλ ∈Vλ u−1 λ (0) = λ∈Λ Định lý 1.9 Cho X giới hạn xạ ảnh không gian. .. liên tục 20 Chương KHÔNG GIAN D( Ω) Không gian D( Ω) 2.1 2.1.1 Định nghĩa Cho Ω tập mở Rn Định nghĩa 2.1 Không gian C0∞ (Ω) bao gồm hàm khả vi vô hạn Ω với giá compact Ω gọi không gian hàm thử (trên