Độ đo Jensen và ứng dụng

I HC THI NGUYấN TRNG I HC S PHM ========== MNH HNG O JENSEN V NG DNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60.46.01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC GS TSKH NGUYN VN KHUấ Thỏi Nguyờn - 2010 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn MC LC M U Chng 1: CC KIN THC V Lí THUYT TH V 1.1 Hm iu ho di 1.2 Hm Green 1.3 Tp cc 1.4 Dung lng 1.5 Bi toỏn Dirichlet 16 1.6 Chớnh quy hoỏ na liờn tc trờn 18 1.7 nh lý biu din Riesz 20 Chng 2: O JENSEN V P DNG 24 2.1 Cỏc nh ngha 24 2.2 nh lý i ngu tru tng 25 2.3 nh lý i ngu ca hm iu ho di v hm a iu ho di 28 2.4 ng dng vo hm nguyờn 31 2.5 o iu ho 34 2.6 o a gii tớch 36 2.7 o cc tr v xp x 38 2.8 Hm iu ho di khụng na liờn tc trờn 43 TI LIU THAM KHO 47 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M U o Jensen l o phn ỏnh mt s tớnh cht c bn ca hm iu ho di, c bit ca hm a iu ho di Vỡ vy, o ny úng vai trũ quan trng gii tớch phc v lý thuyt a th v Lun gm hai chng Chng I trỡnh by mt s kin thc c bn v gii tớch phc v lý thuyt a th v Chng II trỡnh by chi tit v cú phn no phỏt trin cụng trỡnh Jensen measure gn õy ca Thomas J.Ransford (2002) v o Jensen hon thnh c lun ny, tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v bit n GS - TSKH Nguyn Vn Khuờ ngi thy ó tn tỡnh giỳp sut quỏ trỡnh hc v nghiờn cu Tỏc gi xin trõn trng cm n cỏc thy cụ giỏo trng i hc s phm thuc i hc Thỏi Nguyờn, cỏc thy cụ giỏo trng i hc s phm H Ni v cỏc thy cụ giỏo vin Toỏn hc Vit Nam ó ging dy v giỳp tỏc gi hon thnh khúa hc ng thi tỏc gi xin chõn thnh cm n trng THPT Hip Ho s tnh Bc Giang, gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, giỳp v to iu kin v mi mt quỏ trỡnh tỏc gi hc Thỏi Nguyờn, thỏng 10 nm 2009 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chng CC KIN THC V Lí THUYT TH V 1.1 Hm iu ho di Trong mc ny, d ( x) luụn kớ hiu l din tớch mt cu B( x0 , r ) t L(u, a, r ) cd r d bd r d A(u, a, r ) B ( x ,r ) u ( z ) d ( z ) u ( z )dl ( z ) B ( x ,r ) gi l cỏc trung bỡnh tớch phõn ca u trờn mt cu B( x0 , r ) v trờn hỡnh cu B( x0 , r ) Trong ú, Cd (B(0,1)) l din tớch mt cu n v v bd l ( B(0,1)) l th tớch hỡnh cu n v R d 1.1.1 nh Ngha Mt hm u xỏc nh trờn m ca R d vo Ơ ,Ơ c gi l iu ho di trờn nu cỏc iu kin sau tho món: (i) u l hm na liờn tc trờn (ii) Nu x l mt im tu ý thỡ vi r tu ý, nh ta cú u ( x) L(u , a, r ) Mt vớ d in hỡnh trng hp d l hm log f (z ) vi f l hm chnh hỡnh bt kỡ R xem nh mt phng phc Ta xột mt vớ d v hm iu ho di khỏc trng hp d l hm K ( x) x d Hm ny iu ho R d v bng - Ơ ti Ta kớ hiu tt c cỏc hm iu ho di trờn l S H () Chỳ ý rng, vi nh ngha ny, hm ng nht - Ơ trờn cng l hm iu ho di Tớnh cht ni bt ca hm iu ho di l nguyờn lý cc i, nờu nh lý di õy S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 nh lý (Nguyờn lý moun cc i) Gi s l mt b chn R d v u S H () Khi ú (i) Nu u t giỏ tr cc trờn thỡ u l hm hng (ii) Nu lim supx vi mi im trờn thỡ u trờn Chng minh (i) Gi s u t giỏ tr cc i M t A x : u( x) M , B=x : u( x) M Khi ú, A, B l hai ri v A ẩ B Do u l na liờn tc trờn nờn A l m S dng bt ng thc di trung bỡnh i vi hm iu ho di ta cú B l m Do liờn thụng, B nờn B Vy u l hm hng (ii) Thỏc trin u ti biờn ca bng cỏch t u( ) limsup x u( x) vi mi Khi ú, u l na liờn tc trờn trờn compact nờn nú t cc i ti mt im y Nu y thỡ theo gi thit u ( y ) , suy u Nu y thỡ (i), ta cú u l hm hng trờn Khi ú hin nhiờn u 1.1.3 nh lý (Dỏn cỏc hm iu ho di) Cho l mt m ca R d , v l thc s, m Nu u S H () , v S H ( ) v limsup x y v( x) u( y) vi mi y ầ , ú nu t ỡ y ẻ ùù u ( y ) ợ y ẻ ù max {u ( y ), v( y )} ( y ) = ùớ thỡ S H ( ) Chng minh Bi iu kin limsup x y v( x) u( y) ta cú l hm na liờn tc trờn trờn Ta ch cn chng minh bt ng thc di trung bỡnh a phng Tc l S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn vi mi x tn ti R cho vi mi r R ta cú ( x) L( ; x, r ) iu ny l hin nhiờn nu x Trong trng hp x tn ti R cho r R ta cú u ( x) L(u , x, r ) Khi ú x u x L(u, x, r ) L(, x, r ) vi mi r R vy SH () Cho l m ca R d , bi toỏn Dirichlet c in trờn l: Cho trc hm f C , tỡm hm iu ho h trờn , liờn tc trờn cho h f trờn Trng hp l hỡnh cu bi toỏn ó c gii quyt trn x y bi cụng thc tớch phõn poisson t P( x; y ) x y d vi mi x, y R d cho x y Hm ( x, y) P( x, y)/ (cd x ) gi l nhõn posson R d Ta cú nh lý sau õy 1.1.4 nh lý Cho f C B a, r vi a R d v r Khi ú nu t f ( y) v( y ) d r L(P( x a, y a) f ( x); a, r ) y B(a, r ) y B(a, r ) thỡ v l nghim nht ca bi toỏn Dirichlet trờn B ( a, r ) vi hm biờn f Vi cỏc kớ hiu nh trờn thỡ PI ( f , B(a, r )) r d L( P( x a, y a) f ( x); a, r ) (1.1) c gi l tớch phõn poisson ca f trờn B 1.1.5 nh lý (Poisson Modification) Gi s l mt m R d v B l mt hỡnh cu Cho u l mt hm iu ho di trờn khụng ng nht bng - Ơ t S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn y B y B PI (u, B)( y) u( y) u ( y) Khi ú u iu ho di trờn v iu ho B Hn na u u trờn 1.2 Hm Green Trong phn ny l mt s kt qu c bn ca hm Green, mt i tng quan trng lý thuyt th v 1.2.1 nh ngha Gi s l mt m ca R d Mt hm Green (nu tn ti) cho m l mt hm G : - Ơ ,Ơ vi cỏc tớnh cht sau: (i) G ( x, ) ux hx ú vi mi x , hx l hm iu ho (ii) G (iii) Nu vi x , vx l mt hm iu hũa di v l tng ca u x v mt hm iu ho di, thỡ vx G ( x, ) Núi cỏch khỏc, vi mi x , G ( x, ) l cc i lp cỏc hm m cú th vit di dng ux x ú x SH 1.2.2 nh lý Hm Green G ca m nu tn ti l nht Chng minh Gi s G l mt hm Green th hai ca Bi iu kin (iii) nh ngha, G ' G v G G ' Do ú G G ' Chỳng ta cú hai nh lý sau núi v s tn ti ca hm Green 1.2.3 nh lý Gi s è R d l mt m vi d Khi ú l hm Green 1.2.4 nh lý (Myrberg, 1933) Nu l mt m ca R , ú cỏc iu kin sau l tng ng: S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn (i) R khụng l cc (ii) Tn ti hm iu hũa di õm xỏc nh trờn (iii) cú hm Green Chng minh (Xem nh lớ 8.33, [14]) 1.3 Tp cc Chỳng ta s nghiờn cu nhng im m ú mt hm iu ho di ly giỏ tr - Ơ Chỳng cú vai trũ nh nhng cú o khụng lý thuyt o 1.3.1 nh ngha Mt hp Z è R d c gi l mt cc nu cú mt m U ẫ Z v mt hm u S H (U ) cho u Ơ trờn Z v u Ơ trờn mi thnh phn liờn thụng ca U 1.3.2 nh lý Gi s u l mt hm iu ho di trờn m Khi ú E y : u( y) Ơ l mt G Nu Z l mt cc thỡ nú l ca mt G cc Hn na, mi ca mt cc l mt cc Chng minh Vỡ u na liờn tc trờn nờn vi mi j hp x : u( x) j l m Mt khỏc E ầ j x : u ( x) j Do ú E l G - cc Khng nh th hai ca nh lý suy t kt lun trờn v nh ngha Bi tớnh kh tớch a phng ca hm iu ho di ta cú nh lý sau 1.3.3 nh lý Nu E l mt cc thỡ giao ca nú vi mi mt cu cú din tớch mt khụng S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn nh lý di õy cho thy, hm xỏc nh ca mt cc cú th chn l hm iu ho di trờn ton khụng gian 1.3.4 nh lý Gi s Z è R d l mt cc Khi ú tn ti hm iu ho di trờn R d cho u Ơ trờn Z Chng minh (Xem nh lý 7.3, 7.4, [14]) 1.3.5 nh lý Nu Z j dóy cỏc cc thỡ ẩ j Z j l cc Chng minh Gi s u j S H (R d ) cho u j Ơ trờn Z j Vỡ u j hu hn hu khp ni nờn tn ti y B 0,1 cho u j y Ơ vi mi j Xem u j ch l hm trờn B 0, j Vỡ u j l hm na liờn tc trờn nờn sup x j u j x l hu hn Vy ta cú th chn dóy cỏc s dng b j cho chui di õy hi t b u ( y) sup u ( x) j j j x j j u b j u j ( y ) sup u j ( x) x j j t Xột mt hỡnh cu c nh B 0, k Mi s hng chui tr k s hng u l hm iu ho di khụng dng Do vy u iu ho di trờn mi hỡnh cu B 0, k v ú iu ho di trờn R d Rừ rng u Ơ trờn ẩ j Z j 1.4 Dung lng Phn ny nhc li mt s khỏi nim v kt qu c bn ca lớ thuyt dung lng Chi tit v ny, (xem [14]) S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.4.1 nh ngha Gi s l mt khụng gian tụpụ Mt dung lng l mt hm hp : E ( E ) c xỏc nh trờn mi E è vi giỏ tr 0,Ơ , tho cỏc tiờn di õy (i) Nu E è F è , thỡ ( E ) ( F ) (n iu tng) (ii) Nu E j l mt dóy tng cỏc ca thỡ (ẩ j E j ) lim ( E j ) j (iii) Nu K j l dóy gim cỏc compact ca thỡ (ầ j K j ) lim ( K j ) j Dung lng c gi l di cng tớnh nu (ặ) v tho (iv) Nu E1, E2 , l cỏc ca thỡ (ẩ j E j ) j ( E j ) 1.4.2 nh ngha Mt tin dung lng l mt hm hp c : E c E c xỏc nh trờn mi Borel ca vi giỏ tr 0,Ơ , tho cỏc tiờn 1.4.1(i),(ii) Tin dung lng c gi l chớnh quy nu mi Borel E ca tho món: c( E) supc( K ) : K è E, K compact (1.2) Tng t, c gi l chớnh quy ngoi nu mi Borel E ca tho món: c( E) inf c(G) : G ẫ E, G mở (1.3) Khi c l mt tin dung lng v E è l mt bt kỡ, dung lng c* ( E ) v dung lng ngoi c* ( E) c nh ngha nh sau S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... thuyt a th v Chng II trỡnh by chi tit v cú phn no phỏt trin cụng trỡnh Jensen measure gn õy ca Thomas J.Ransford (2002) v o Jensen hon thnh c lun ny, tỏc gi xin by t lũng kớnh trng v bit n GS... THAM KHO 47 S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn M U o Jensen l o phn ỏnh mt s tớnh cht c bn ca hm iu ho di, c bit ca hm a iu ho di Vỡ vy, o ny úng vai... 16 1.6 Chớnh quy hoỏ na liờn tc trờn 18 1.7 nh lý biu din Riesz 20 Chng 2: O JENSEN V P DNG 24 2.1 Cỏc nh ngha 24 2.2 nh lý i ngu tru tng 25 2.3 nh