1299 câu nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 49 CÂU LINK TẢI BỘ TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM TOÁN THPT https://goo.gl/AQweZn... Khi tính sin ax.cos bxdx.. Biến đổi nào dưới đây là đúng: A

PHẦN 3 TÍCH PHÂN CHỨA THAM SỐ (127 CÂU)

PHẦN 4 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH (198 CÂU)

PHẦN 5 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH (118 CÂU)

PHẦN 6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC (49 CÂU)

LINK TẢI BỘ TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM TOÁN THPT

https://goo.gl/AQweZn

Câu 3 Khi tính sin ax.cos bxdx. Biến đổi nào dưới đây là đúng: 

A. sin ax.cos bxdxsinaxdx cos bxdx  

B. sin ax.cos bxdxab sin x.cos xdx  



x x

C.   3 2

2 42





x x

1)

( D F(x)lnx1C

Câu 25 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=2sin5x+ x +3

5 sao cho đồ thị của hai hàm số F(x), f(x) cắt nhau tại một điểm thuộc Oy là: 

Câu 27 Hàm số y  sin xlà một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:  

A. y  s inx 1         B. y  cot x       C. ycos x      D. y  tan x 

Câu 48 Biết F x( )sin xdx F; (0)1 khi đó 

A. F x( )cosx    B. F x( ) cosx    C. F x( ) 1 cosx    D. F x( ) 2 cosx 

Câu 52 Cho F ( x) =  x dx

x 1 sin )

1(

A.  f x( )e2x        B. f x( )2xe x2    C.  

2( )2

x C

   





           D. 

3 4

2 1

x

C x

3

93

x x x

Câu 71 Kết quả của  1cot x dx2   là  

Câu 72 Chọn công thức sai trong những công thức sau đây: 

A.  cosx dx  sinx C         B.  sinx dx  cosx C  

Câu 77 J =xcosxdx có kết quả là 

Câu 78 Nguyên hàm của hàm số f x ( )  sin 3 os5 x c xlà 

Câu 79 Nguyên hàm của hàm số f(x) 3 2

2

x x

2

x

2 3

A.  f x dx( )  = x.e x – ex + C      B.  f x dx( ) = xe x + ex + C 

C.  f x dx( )  = x.e x – ex      D.  f x dx( )  = ex  -  x.e x + C 

  

Câu 86 Cho a  0, C là hằng số, kết quả nào sau đây sai : 

13

C.     2 2 23

13

13

x

Câu 95 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x( )3sin 3xcos 3x 

A.  f x dx( ) cos 3xsin 3x C         B.  f x dx( ) cos 3xsin 3x C  

3( )

     III.f (x)tan x 12   Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x)=2 tan x 

Câu 103 Nguyên hàm của hàm số  ( )

x x

ee

x x

e

f x e

Câu 104 Tìm nguyên hàm của hàm số ycos x  

A. 2 xsin x2 cos xC         B.  xsin xcos xC   

C. 2 xsin x2 cos xC         D.  xsin xcos xC 

Câu 105 Tìm nguyên hàm của hàm số y(5x1)5. Hệ số của x6 là: 

A.  2

3x 4x  B.  3 4

2x 4x   C. 

4 3

24



1(4x2)C    D. 

1(2x 1) C

A.  f x dx   ln 3cos x2 sinxC      B.  f x dx   ln 3cos x2 sinx C 

C.  f x dx  ln 3sinx2 cosx C       D.  f x dx  ln 3cosx2sinx C 

2 2

Câu 124 Nguyên hàm của  f x sin 5 x2 

A. tanxcotxC        B. tanxcotxC   

C. cotxtanxC      D. 2 tanx2 cotxC

2 31

41

Câu 131 Cho hàm số  f x( )tanx(2cotx- 2cosx+2cos2x) có nguyên hàm là F(x) và  ( )

Câu 132 Tìm nguyên hàm: I x x( 2sin 2 )x dx 

Câu 133 Tìm nguyên hàm của hàm số y f x( )sin2xcosx 

Câu 135 Một nguyên hàm của hàm số y = sin cos

2 x      D. 2cos4

 . 

x 3

x 3

x 3

Câu 138 Họ nguyên hàm của hàm số y f x( )cos 2x  là 

A.1

sin 2

sin 22

2 21

5 3

3

2 21

5 2

A. xtanxln cosx C      B. xtanxln cosx C       

C. xtanxln cosx C      D. xtanxln cosx C

 

Câu 158 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số  



1( )

x C

      D. 1arctan

x C

Câu 3 Khi tính sin ax.cos bxdx. Biến đổi nào dưới đây là đúng: 

A. sin ax.cos bxdxsinaxdx cos bxdx  

B. sin ax.cos bxdxab sin x.cos xdx  

Ta có công thức sin a.cos b 1 sin a b sin a b

e  

Hướng dẫn giải Đáp án: C



x x

Câu 14 Cho g x( )6x6 ;  F x( )x33x2 là một nguyên hàm của  f(x),  khi đó 

A. g x( ) f x( )    B. g x( ) f x( )    C. g x( ) f( )x     D. g x( ) f( )x  

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 15 Biết rằng F(x) = mx4

 +2  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x3, giá trị của m là 

A. 1        B.4        C. 1

4         D. 0 

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Câu 16 Cho F là một nguyên hàm của hàm số 

x

e y x

 

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Câu 19 Giá trị m  để hàm số F x( )mx3(3m2)x24x3 là một nguyên hàm của hàm số 

Câu 22 Họ các nguyên hàm của hàm số    1 3 2

4 22

Câu 24 Nguyên hàm của hàm số 

1

1)(





x x

1)

( D F(x)lnx1C

Hướng dẫn giải Đáp án: D

Câu 25 Một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)=2sin5x+ x +3

5 sao cho đồ thị của hai hàm số F(x), f(x) cắt nhau tại một điểm thuộc Oy là: 

Câu 27 Hàm số y  sin xlà một nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:  

A. y  s inx 1         B. y  cot x       C. ycos x      D. y  tan x 

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Câu 30 Nguyên hàm của hàm số 1

2

y x

Câu 34 Nguyên hàm của hàm số  f x( )(x1)e x  là: 

A. xe xC B. 2xe xC C. (x1)e xC D. (x2)e xC

Hướng dẫn giải Đáp án: A

+ Đặt  1 2 x   t 1 2xt2 dx t td   

+ Nguyên hàm đã cho trở thành 

3 2

d3

A. 3

1( ) (3 1) 3 1 ;

Câu 42 Nguyên hàm của hàm số   

2x x

Đáp án: C

2

dd

2

x u

 

3 2

Câu 48 Biết F x( )sin xdx F; (0)1 khi đó 

A. F x( )cosx    B. F x( ) cosx    C. F x( ) 1 cosx    D. F x( ) 2 cosx 

Hướng dẫn giải Đáp án: D 

Câu 52 Cho F ( x) =  x dx

x 1 sin )

1(

Câu 54  f(x)dx C

x

x1sin

 

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 56 Biết   f(x)dx2cosx tanxC (C là hằng số, x k

 

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Câu 57 Cho a 0 và a   Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau đây? 1

Câu 61 Nguyên hàm 

1

dx x

x C

   

Hướng dẫn giải Đáp án: D



           D. 

3 4

2 1

x

C x





 

Hướng dẫn giải Đáp án: B

93

x x x

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Câu 71 Kết quả của  1cot x dx2   là  

Hướng dẫn giải Đáp án: D

A.  cosx dx  sinx C         B.  sinx dx  cosx C  

Câu 77 J =xcosxdx có kết quả là 

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Giải:  Đặt u=x ,dv=cosxdx;   ta chọn du=dx ,v= sinx 

Câu 78 Nguyên hàm của hàm số f x ( )  sin 3 os5 x c xlà 

Câu 79 Nguyên hàm của hàm số f(x) 3 2

2

x x

2

x

2 3

2

x

x  C 

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Câu 83 Cho a 0 và a 1. C là hằng số. Phát biểu nào sau đây đúng ? 

2 2

2 2

A.  f x dx( )  = x.e x – ex + C      B.  f x dx( ) = xe x + ex + C 

C.  f x dx( )  = x.e x – ex      D.  f x dx( )  = ex  -  x.e x + C 

Hướng dẫn giải Đáp án: A

+,  f x dx( ) x e dx .x   

+, Đặt u = x => du = dx và dv = ex.dx => v = ex 

+, Vậy   

Câu 87 Nguyên hàm của hàm số f x   1x xdx2  

A   3 2 23

12

13

C.     2 2 23

13

13

Hướng dẫn giải Đáp án: B

2  + C  

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Câu 93 Giả sử  F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Giả sử G(x) cũng là một nguyên  hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Khi đó: 

Câu 94 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x( )(2x3)2  

A. 

3

(2 3)( )

Câu 95 Tìm nguyên hàm của hàm số  f x( )3sin 3xcos 3x 

A.  f x dx( ) cos 3xsin 3x C         B.  f x dx( ) cos 3xsin 3x C  

Câu 97 Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số  f x( ) 3x  4

3( )

4 3

     III.f (x)tan x 12   Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x)=2 tan x 

A. I, II, III      B. II, III      C. I, III      D  II, III

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Hướng dẫn giải Đáp án: A

ee

x x

e

f x e

Tương tự như bài toán trên, bài toán này cũng có cách thử tương tự, tuy nhiên đôi khi việc thử lại tốn thời gian hơn việc làm trực tiếp. 

Câu 104 Tìm nguyên hàm của hàm số ycos x  

A. 2 xsin x2 cos xC         B.  xsin xcos xC   

C. 2 xsin x2 cos xC         D.  xsin xcos xC 

Hướng dẫn giải

f x  x x   là   

4 3

8 Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì họ các nguyên hàm của nó là cF(x)? 

Hướng dẫn giải Đáp án: C

A. 2 2x 1      B. 2 2x  1 2    C. 2 2x  1 1    D. 2 2x  1 1 

Hướng dẫn giải Đáp án: C





1(4x2)C    D. 

1(2x 1) C





Hướng dẫn giải Đáp án: A

2 2

Hướng dẫn giải Đáp án: D

A.  f x dx   ln 3cos x2 sinxC      B.  f x dx   ln 3cos x2 sinx C 

C.  f x dx  ln 3sinx2 cosx C       D.  f x dx  ln 3cosx2sinx C 

Hướng dẫn giải Đáp án: A

2 2

x x

Phân tích: Đây không phải là bài toán tính tích phân, do đó quý độc giả không thể dùng máy tính để bấm được 

mà phải tìm ra công thức cụ thể. Hoặc quý độc giả có thể bấm máy tính, tuy nhiên cách làm duy nhất có lẽ là thêm cận vào và thử từng đáp án một. 

e

e

e e

Bình luận: Kiến thức cơ bản cần nhớ: bảng nguyên hàm

Câu 122 Tính nguyên hàmI x 2 sin 3 xdx x acos 3x 1sin 3x C

Do đó:   2 cos 3 1  2 cos 3 1

Bài toán này đòi hỏi hiểu sâu sắc lý thuyết nguyên hàm! Dễ thấy nói vắn tắt thì ta có: F(x) là nguyên hàm của f(x) khi và chỉ khi F '(x)f (x)  

Câu 124 Nguyên hàm của  f x sin 5 x2 

A. tanxcotxC        B. tanxcotxC   

C. cotxtanxC      D. 2 tanx2 cotxC

Hướng dẫn giải Đáp án: B

2 31

41

Công thức nguyên hàm: 

Sai lầm thường gặp: Học sinh hay nhầm: cos xdx sin ; 3x  x dx3 ln 3x  

Câu 129 Tìm một nguyên hàm của F x  của   

3 2

23

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 133 Tìm nguyên hàm của hàm số y f x( )sin2xcosx 

Câu 135 Một nguyên hàm của hàm số y = sin cos

2 x      D. 2cos4

 . 

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Ta có:  y = sin cos

Câu 137 Hàm số 

x 3

x 3

x 3

x 3

Hướng dẫn giải Đáp án: A

2

2( )

d x x

14

cos6cos2

1cos

12

cos12

 

4104

D. Nếu F x  và G x  cùng là nguyên hàm của hàm số  f x  thì ta có F x G x C (hằng số). 

Hướng dẫn giải Đáp án: B

x

x e C

 

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Hướng dẫn giải Đáp án: A

5 3

3

2 21

5 2

3

2 21

Câu 156 I xe dx x  bằng: 

A. e xx1C    B. e xx1C    C. e xx1C    D. e xx1C

 

Hướng dẫn giải Đáp án: C

A. xtanxln cosx C      B. xtanxln cosx C       

C. xtanxln cosx C      D. xtanxln cosx C

 

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 158 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số  



1( )

x C

      D. 1arctan

x C

  

Hướng dẫn giải Đáp án: D

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Ta có: 

Câu 165 Họ các nguyên hàm  ys in3x là: 

Câu 166 Nguyên hàm F(x) của hàm số  f x 2x e x thỏa mản F 0 1 là: 

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN (256 Câu)

1 x    D. C 1 x  

2 2

x2



3 3

2

xx3

x2

yx

5 3

dxx

x4



3 2

6

1(2x 1) C

4

A. (III)  B. (I)  C Cả 3 đều sai.  D. (II) 

3(1 2x) 1 2x2

     D. 3(1 2x) 1 2x

Câu 54: Cho f (x) là hàm số lẻ và liên tục trên . Khi đó giá trị tích phân 

2   D. ln 2 

 2

12x 1

 là 

2 4x    B.  3

1C2x 1





1C4x2   D.

1C2x 1

2

x3x+6 ln x 1

2

x3x+6 ln x 1

Câu 65: Hãy xác định hàm số f từ đẳng thức:  sin u.cos v C f (u)du 

A 2cosucosv  B -cosucosv  C cosu + cosv  D cosucosv 

       C. 2

3       D.

23

  

Câu 69:  2 1 2 dx

sin x.cos x

Câu 70:  sin 2x cos2x 2dxbằng: 

A. sin 2x cos2x3

C3

28 3    D.

x 4 4x

23 3   

Câu 72: Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số   y 12

cos x

  và  F 0   Khi đó, ta có 1 F x  là:  

A. tan x  B. tan x 1   C. tan x 1   D. tan x 1  

C.

3m4

D.

4m3

Câu 87: Một nguyên hàm của f (x)cos 3x cos 2xbằng 

Câu 93: Nguyên hàm của hàm số f x 2sin xcos xlà: 

A. 2 cos x s inx C    B. 2 cos x s inx C    C. 2 cos x s inx C    D. 2 cos x s inx C   

A. 1x 1sin 4x C

2 8    B.

3

1sin 2x C

3ln4

3ln4

Câu 119: Một nguyên hàm của     

1 x

f (x)(2x 1).e  là: 

A.

1 x

1 x

8ln9

8ln9

9ln8

Câu 141: 

 2

1dx5x3

x3   C.

1C

x 3

1C

Câu 158: Họ các nguyên hàm của hàm số ytan x3  là: 

3 2

x 1 1 x C3

Câu 176: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f (x)cos x.cos 2x2  và g(x)sin x.cos 2x2  

C. F(x)(x22x2)exC  D. F(x)(x22x2)ex C 

x sin xdx

A. 2x cos xx cos xdx2   B. x cos x2 2x cos xdx 

C. x cos x2 2x cos xdx  D. 2x cos xx cos xdx2  

xe dx

x 3

3 x3 e C  B.  

x 3

x3 e C  C.  

x 3

1

x 3

1

Câu 190: x ln xdx bằng: 

A F(x) = 11 sin 2x ln 1 sin 2x   1sin 2x C

sin x cos x



A. ln sin xcos x C  B. 1 C

1

Csin xcos x  

1C4sin x

6

cos x

C6

4 ln x

1Ce

Câu 217: 

x x

edx

eC

C2

eln

e 1 là: 

A. ln e2 x  1 C  B.

x x

A tg3x + C  B cos2x + C  C. 1cos x3 C

4

1sin x C

1 x    C.

1C

Câu 248: Nguyên hàm của hàm số: y = sin2x.cos3x là: 

2

xC

3

1sin x C

x 0

Ix 2 e dx

Câu 3 Trong các số dưới đây, số nào ghi giá trị của

x 1 2

x 2

1

x 0

2 2 1

I8



I8





5 2 0

Câu 19 Phương trình ln(x1)tcó nghiệm dương duy nhất x f t( ), t 0 thì

ln 3 2 0



Kết luận nào sau đây đúng?

Câu 23 Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới:

x y

3 2 -1

( )

f x dx

3 2

f x dx

2 1

f x dx

2 0

Câu 28 Tích phân

1ln

Câu 30 Tích phân

1 2 0

Câu 32 Trong Giải tích, với hàm số y  ( )f x liên tục trên miền D  [ , ]a b có đồ thị là một đường cong

C thì độ dài của C được xác định bằng công thức b 1 ( ) d 2

a

L f x x Với thông tin đó, hãy độ dài của

5548

Câu 33 Tích phân

1

d3

e

x I

Câu 37 Chof x liên tục trên đoạn ( ) 0 10;  thỏa mãn 10 6

x

( )

( ) x

b b

a b a

Câu 43 Tích phân

2 5 0

d 10

f x x 

2 5

2

d 3

2 3 1

2 9

Câu 50 Tính tích phân I =

2

2 0

 C. 4

7 D.

121







dx x x

Câu 56 Tính tích phân sau

π 2 4 0

Câu 57 Tính tích phân sau

1

2 0

164

dx x

Câu 61 Giá trị của

1 4

01

x dx x

Câu 65 Tích phân

2 3 0

e

I   C.

2

12

e

I   D.

2

22

e

I  

Câu 67 Kết quả của tích phân

2 4

e

2

1 4

e

2

4 4

Câu 70 Giá trị tích phân

4

1332

e

4

1316

ln 22



tdt C

dt C

2 1

tdt C

152

e

2

34

e

2

34

e

I  

Câu 91 Tính tích phân

3 3 0

sinxcos

Câu 95 Tính tích phân

2 3

x dx I

x x  dx



e 

Câu 104 Giá trị của

2 2 0

e I

e



.2

e

.2

e I e

Câu 110 Kết quả của 1 2

0

1F

x

x

e d

Câu 112 Kết quả của

2 3ln

2 3ln

Câu 125 Tính Tích Phân

2 5 1

Câu 128 Tích phân

3 8

8

dx I

dx I

Câu 143 Tính

1 2 0



C. 2 2

23

Câu 144 Đổi biến x2 sint tích phân

1

2

dx I

Câu 148 Giá trị của tích phân 4 3

Câu 150 Giá trị của tích phân 1e x1 ln 

Câu 154 Nguyên phân hàm 2 x

2 1

1

1ln

1

1

1ln

Trong các kết quả trên kết quả nào đúng ?

Câu 161 Mệnh đề nào là sai trong các mệnh đề sau:

121

Câu 167 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên 0;1 và thỏa mãn: 01x f ' x 2dx f  1 Tính giá trị của I 01f x dx 

Câu 168 Cho f x là hàm có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1, các công thức sau, công thức nào đúng?

11 2x

x dx

A. 12sin cos x dx 12cos sin x dx B. 12sinxcosx dx 12cos sin x dx

C. 12sin cos x dx 12cosxsinx dx D. Cả A, B và C đều sai

Câu 173 Đổi biến tích phân

1

2

dx I

Câu 176 Gía trị của tích phân: ln 4 

1ln

Câu 185 Tích phân

2 4

I17

I12

I e

I e

e

2

14

A I + J = 0 B I = J C.  2 

1 2

1502.2

.501501

1002

3005.2

.1003002

1001

2003.2

.501501

ln

.1

Câu 219 Tích phân  

2 2 1

I  

B HƯỚNG DẪN GIẢI

1

1 e

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Ix 2 e dx

Hướng dẫn giải Đáp án: B

x 2

Hướng dẫn giải Đáp án: A

x 1 e dx

Hướng dẫn giải Đáp án: D

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Isin tdt cos t  1 cos1

2 2 1

Câu 9 Tính tích phân

ln 3 x 0

I  xe dx

Hướng dẫn giải Đáp án: B





Hướng dẫn giải Đáp án: D

Câu 11 Tính tích phân 2 sin x

I8



I8





Hướng dẫn giải Đáp án: C

5 2 0

Câu 17 Kết quả của tích phân

1

10 0



Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 19 Phương trình ln(x1)tcó nghiệm dương duy nhất x f t( ), t 0 thì

ln 3 2 0

Câu 20

b a

Câu 21 Nếu f x( )sin 2xdx và f(0) = 1 thì f(x) bằng



Kết luận nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải Đáp án: C

Câu 23 Cho hàm số f(x) có đồ thị như hình dưới:

x y

3 2 -1

( )

f x dx

3 2

( )

f x dx



Hướng dẫn giải Đáp án: A

u dvu v  v du

Hướng dẫn giải Đáp án: A

1 0

f x dx

2 1

f x dx

2 0

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 28 Tích phân

1ln

e

A. I = 1 B. I = e C. I = e  1 D. I = 1  e

Hướng dẫn giải Đáp án: A

Hướng dẫn giải Đáp án: B

Câu 30 Tích phân

1 2 0

3



Hướng dẫn giải Đáp án: D

Câu 32 Trong Giải tích, với hàm số y  ( )f x liên tục trên miền D  [ , ]a b có đồ thị là một đường cong

C thì độ dài của C được xác định bằng công thức b 1 ( ) d 2

a

L f x x Với thông tin đó, hãy độ dài của

5548

Hướng dẫn giải Đáp án: C

e

x I

Câu 35 Tích phân

2

2 0