Mô hình hồi quy nhiều biến thực hành bằng ngôn ngữ R

Header Page of 161 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************ VŨ THỊ HOA MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN: THỰC HÀNH BẰNG NGÔN NGỮ R KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học T.S HÀ BÌNH MINH Hà Nội - 2016 Footer Page of 161 Header Page of 161 MỤC LỤC Lời cám ơn Lời cam đoan Lời nói đầu Giới thiệu ngôn ngữ R 1.1 1.2 Khái quát chung 1.1.1 Khái niệm R 1.1.2 Ưu điểm R Làm quen với R 1.2.1 Cài đặt giao diện 1.2.2 Ngôn ngữ R 1.2.3 Cách đặt tên R 12 1.2.4 Hỗ trợ R môi trường vận hành 12 1.2.5 Nhập liệu 13 1.2.6 Các lệnh hệ thống 20 Mô hình hồi quy nhiều biến 2.1 22 Mô hình hồi quy tuyến tính ba biến 22 2.1.1 23 Dạng hàm hồi quy giả định mô hình Footer Page of 161 Header Page of 161 Mục lục 2.1.2 2.2 Ước lượng tham số hàm ba biến theo phương pháp bình phương tối thiểu thông thường 23 2.1.3 Phương sai, sai số chuẩn 27 2.1.4 Hệ số xác định, hệ số xác định có hiệu chỉnh 30 2.1.5 Kiểm định phù hợp mô hình 33 2.1.6 Ví dụ minh họa 34 Mô hình hồi quy k biến 40 2.2.1 Dạng ma trận giả định mô hình 40 2.2.2 Ước lượng tham số hồi quy 44 2.2.3 Hệ số xác định hệ số xác định có hiệu chỉnh 46 2.2.4 Ma trận hệ số tương quan 47 2.2.5 Ma trận hiệp phương sai 48 2.2.6 Kiểm định phù hợp mô hình 49 2.2.7 Dự báo 51 2.2.8 Ví dụ minh họa 52 Kết luận chung 56 Tài liệu tham khảo 57 Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo cô giáo khoa Toán Học – Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, tận tình giúp đỡ bảo suốt thời gian em theo học khoa thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới T.S Hà Bình Minh – Giảng viên Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, người trực tiếp hướng dẫn em, tận tâm bảo định hướng cho em suốt trình làm khóa luận để em có kết ngày hôm Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người thân giúp đỡ động viên em nhiều trình học tập làm khóa luận Tốt Nghiệp Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khóa luận tránh khỏi thiếu sót mong đóng góp ý kiến thầy cô giáo, bạn sinh viên bạn đọc Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Hoa Footer Page of 161 Header Page of 161 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận kết nghiên cứu thân em hướng dẫn tận tình thầy giáo T.S Hà Bình Minh Trong nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài "Mô hình hồi quy nhiều biến: thực hành ngôn ngữ R" kết việc nghiên cứu, học tập nỗ lực thân, trùng lặp với kết đề tài khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội,ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Vũ Thị Hoa Footer Page of 161 Header Page of 161 Lời nói đầu Lí chọn đề tài Toán ứng dụng môn quan trọng có nhiều ứng dụng thực tế, giúp người rút thông tin từ liệu quan sát nhằm giải vấn đề sống Trong thực tế tượng đơn giản thường chịu chi phối biến phụ thuộc biến độc lập Để thể mối quan hệ biến người ta sử dụng mô hình hồi quy nhiều biến Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mô hình hồi quy nhiều biến: thực hành ngôn ngữ R Phương pháp nghiên cứu Sử dụng R hỗ trợ, thực hành với ví dụ, so sánh với phương pháp cổ điển Phạm vi nghiên cứu Do thời gian không nhiều nên báo cáo tìm hiểu số vấn đề mô hình hồi quy nhiều biến Bố cục đề tài Đề tài bao gồm hai chương: • Chương 1: Giới thiệu ngôn ngữ R Footer Page of 161 Header Page of 161 Danh mục kí hiệu Chương giới thiệu phần mềm tính toán lập trình, cách sử dụng R • Chương 2: Mô hình hồi quy nhiều biến Chương trình bày số kiến thức mô hình hồi quy nhiều biến ví dụ thực hành mô hình ngôn ngữ R Tuy có nhiều cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề luận văn chưa trình bày sâu sắc tránh khỏi có sai sót cách trình bày Tác giả mong nhận góp ý xây dựng thầy cô bạn Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Vũ Thị Hoa Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Giới thiệu ngôn ngữ R 1.1 Khái quát chung Năm 1996, báo quan trọng tính toán thống kê, hai nhà thống kê học Ross Ihaka Robert Gentleman [lúc đó] thuộc Trường đại học Auckland, New Zealand phát hoạ ngôn ngữ cho phân tích thống kê mà họ đặt tên R [1] Sáng kiến nhiều nhà thống kê học giới tán thành tham gia vào việc phát triển R Qua chưa đầy 10 năm phát triển, ngày có nhiều nhà thống kê học, toán học, nghiên cứu lĩnh vực chuyển sang sử dụng R để phân tích liệu khoa học Trên toàn cầu, có mạng lưới triệu người sử dụng R, số tăng nhanh Footer Page of 161 Header Page of 161 Chương Giới thiệu ngôn ngữ R 1.1.1 Khái niệm R R phần mềm sử dụng cho phân tích thống kê vẽ biểu đồ R ngôn ngữ máy tính đa năng, sử dụng cho nhiều mục tiêu khác nhau, từ tính toán đơn giản, toán học giải trí (recreational mathematics), tính toán ma trận (matrix), đến phân tích thống kê phức tạp Vì ngôn ngữ người ta sử dụng R để phát triển thành phần mềm chuyên môn cho vấn đề tính toán cá biệt để phục vụ cho nhiều mục đích khác người sử dụng R cung cấp cho ngôn ngữ máy tính số hàm để làm phân tích đơn giản 1.1.2 Ưu điểm R • R có chứa nhiều loại kỹ thuật thống kê: mô hình hóa tuyến tính phi tuyến tính, kiểm thử thông kê cổ điểm, phân tích chuỗi thời gian, phân tích mô hình hôi quy, phân loại, phân nhóm, đồ họa R • R có tính mở rộng cao cách sử dụng gói cho người dùng đưa lên cho số chức lĩnh vực nghiên cứu cụ thể • Một điểm mạnh khác R tảng đồ họa tạo đồ thị chất lượng cao biểu tượng toán học Footer Page of 161 Header Page 10 of 161 Chương Giới thiệu ngôn ngữ R • Ngôn ngữ R có nhiều ưu điểm so với ngôn ngữ lập trình bậc cao C, C++, Java • R có khả điều khiển liệu lưu trữ số liệu • R cho phép sử dụng ma trận đại số • Khả biểu diễn đồ thị phong phú 1.2 1.2.1 Làm quen với R Cài đặt giao diện Để sử dụng R việc phải cài đặt phần mềm R máy tính Sau hoàn tất việc cài đặt có icon xuất desktop máy tính Đến ta sử dụng R Nhấp chuột vào icon cửa sổ sau: 1.2.2 Ngôn ngữ R R ngôn ngữ đối tượng nghĩa liệu R chứa object R ngôn ngữ tương tác, có nghĩa lệnh lệnh theo văn phạm R đáp trả kết Footer Page 10 of 161 Header Page 45 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN ¯ • Uˆi không tương quan với X1i , X2i , · · · , Xk−1,i nghĩa là, Cov(Uˆ , X) = • βˆ xác định với mẫu cụ thể • βˆ véctơ ngẫu nhiên Với mẫu khác nhau, giá trị cụ thể chúng khác Với giả thiết U có phân phối chuẩn, βˆ tuân theo luật phân phối chuẩn • βˆ ước lượng tuyến tính, không chệch, có phương sai nhở tất ước lượng tuyến tính không chệch β • Để đo mức độ mức độ dao động mức độ tương quan hệ số ước lượng được, ta sử dụng ma trận hiệp phương sai hệ số hồi quy riêng, dạng tổng quát sau:   V ar(βˆ1 ) Cov(βˆ1 , βˆ2 ) · · · Cov(βˆ1 , βˆk )     ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Cov(β2 , β1 ) V ar(β2 ) · · · Cov(β2 , βk ) ˆ = ; Cov(β)     ··· ··· ··· ···   Cov(βˆk , βˆ1 ) Cov(βˆk , βˆ2 ) · · · V ar(βˆk ) 2.2.2 Ước lượng tham số hồi quy Trong thực tế, tổng thể tích có kích thước lớn nên ta khảo sát mẫu Từ số liệu mẫu, ta ước lượng hồi quy tổng thể Hàm hồi quy mẫu biểu diễn dạng ma trận sau: ˆ i ⇔ Yˆ = X βˆ Yˆi = βˆ1 + βˆ2 X2,i + βˆ3 X3,i + · · · + βˆk Xk,i ⇔ Yˆi = (X β) Footer Page 45 of 161 44 Header Page 46 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN ˆ i : hàng thứ i ma trận X βˆ (X β) Yi = βˆ1 + βˆ2 X2,i + βˆ3 X3,i + · · · + βˆk Xk,i + Uˆi ⇔ Y = Yˆ + Uˆ = X βˆ + Uˆ Uˆi = Yi − Yˆi = Yi − βˆ1 − βˆ2 X2,i − βˆ3 X3,i − · · · − βˆk Xk,i Với βˆm ước lượng tham số βm × βˆm phải ước lượng không chệch βm ước lượng hiệu Với số giả định chặt chẽ nêu ta sử dụng phương pháp tối thiểu bình phương phần dư ( OLS ) cho ước lượng hiệu βm Chọn βˆ1 , βˆ2 , · · · , βˆk cho: n n Uˆi2 = i=1 (Yi − Yˆi = Yi − βˆ1 − βˆ2 X2,i − βˆ3 X3,i − · · · − βˆk Xk,i ) ⇒ M in i=1 Điều kiện cực trị phương trình cho ta kết quả: βˆ = (X T X)−1 X T Y Trongđó: X T ma trận chuyển vị ma trận X  n n n X2i X3i · · · Xki   n i=1 i=1 i=1  n n n n    X2i  X X X · · · X X 2i 3i 2i ki 2i  i=1 T i=1 i=1 i=1 X X=     ···  ··· ··· ···  n n n n   Xki X2i Xki X3i · · · Xki Xki i=1 i=1 i=1 i=1 ˆ = β + (X T X)−1 X T E(U ) = β Vậy: E(β) Footer Page 46 of 161 45 Header Page 47 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN 2.2.3 Hệ số xác định hệ số xác định hiệu chỉnh hồi quy bội Hệ số xác định R2 Tương tự hồi quy ba biến, ta có tổng bình phương độ lệch hệ số sau: n • T SS = yi2 = i=1 n • ESS = i=1 n • RSS = i=1 n (Yi − Y¯ )2 = i=1 yˆi2 = n n Yi2 − nY¯2 = Y T Y − nY¯2 ≥ i=1 (Yˆi − Y¯ )2 = βˆT (X T Y − nY¯2 ) ≥ i=1 Uˆi2 = U T U = Y T Y − βˆT X T Y = T SS − ESS n RSS = 1− i=1 R = 1− n T SS Uˆi2 i=1 βˆ2 = 1− n n yi x2i + βˆ3 i=1 yi x3i + · · · + βˆk i=1 yi xki i=1 n yi2 n i=1 yi2 Biểu diễn R2 hàm k biến dạng ma trận: βˆT (X T Y ) − nY¯2 R = − nY¯2 Y TY Tính chất ý nghĩa R2 hàm k biến không khác so với hàm ba biến Ngoài cần ý thêm số biến độc lập mô hình tăng lên R2 tăng theo Hệ số xác định hiệu chỉnh R¯2 Khi số biến độc lập mô hình tăng lên số bậc tự giảm đi, người ta điều chỉnh hệ số xác định cách đưa thêm bậc tự Footer Page 47 of 161 46 Header Page 48 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN tổng bình phương vào công thức: RSS 1−k n−1 R¯2 = − n − k = − (1 − R2 ) = R2 + (1 − R2 ) T SS n−k n−k n−1 R¯2 có tính chất tương tự làm hồi quy ba biến 2.2.4 Ma trận hệ số tương quan (1) Hệ số tương quan Đối với hàm k biến ta có k hệ số tương quan n yi2 i=1 r11 = n i=1 =1 yi2 n i=1 yi2 n xji yi i=1 r1j = n i=1 ; x2ji n i=1 j = 2, k yi2 n xti xji rtj = i=1 n i=1 x2ti ; n i=1 t, j = 2, k x2ji Trong đó, với xji = Xji − X¯j lấy tổng theo số i Vậy có k = + 2(k − 1) + (k − 1)2 hệ số tương quan (2) Ma trận hệ số tương quan Footer Page 48 of 161 47 Header Page 49 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN   f12   r21 R=    rk1 rk2 2.2.5   X31     X32        vdots r2k  ; X3i =   ⇒ x3i = X3i − X¯3       X    3i    X3n r1k  Ma trận hiệp phương sai Kì vọng biến ngẫu nhiên số R Kì vọng véctơ ngẫu nhiên véctơ Trong phương sai ( hiệp phương sai ) véctơ lại ma trận cấp (n ∗ n) Để kiểm định giả thiết, tìm khoảng tin cậy thực suy luận thống kê khác, ta cần tìm V ar(βˆj ) (j = 1, 2, , k) Cov(βˆi , βˆj ) Sử dụng phương pháp ma trận ta  V ar(βˆ1 ) Cov(βˆ1 , βˆ2 )   Cov(βˆ2 , βˆ1 ) V ar(βˆ2 ) ˆ  Cov(β) =   ··· ···  Cov(βˆk , βˆ1 ) Cov(βˆk , βˆ2 )   ˆ σ (β1 ) σ(βˆ1 , βˆ2 ) · · · σ(βˆ1 , βˆk )    ˆ ˆ  ˆ ˆ ˆ σ(β2 , β1 ) σ (β2 ) · · · σ(β2 , βk )      ··· ··· ··· ···    σ(βˆk , βˆ1 ) σ(βˆk , βˆ2 ) · · · σ (βˆk ) Footer Page 49 of 161 48 có: ··· ··· ··· ···  ˆ ˆ Cov(β1 , βk )   ˆ ˆ Cov(β2 , βk )    ···  V ar(βˆk ) = Header Page 50 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN ˆ ta có công thức sau: Để tính Cov(β) ˆ = σ (X T X)−1 Cov(β) Trong đó: (X T X)−1 ma trận nghịch đảo ma trận (X T X), σ phương sai sai số ngẫu nhiên Ui chưa biết nên ta thay ước lượng không chệch βˆ2 : n Uˆi2 RSS RSS βˆ2 = = = i=1 n−k n − rank(X) n−k Với n số quan sát k số tham số hàm hồi quy 2.2.6 Kiểm định phù hợp mô hình Để kiểm định phù hợp cuả mô hình ta xây dựng giả thiết: H0 : R2 = ∼ H0 : β1 = β2 = · · · = βk = 0H1 : R2 > ∼ H1 có số βj = Khi hệ số hồi quy riêng β1 , β2 , · · · , βk đồng thời tất biến độc lập lúc không ảnh hưởng đến biến phụ thuộc Khi hàm hồi quy mẫu không giải thích thay đổi biến phụ thuộc Tức hàm hồi quy mẫu không phù hợp Vì mà giả thiết Footer Page 50 of 161 49 Header Page 51 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN H0 : R2 = ∼ H0 : β1 = β2 = · · · = βk = 0còn gọi giả thiết đồng thời Khi hệ số hồi quy riêng đồng thời 0, tất biến độc lập lúc không ảnh hưởng đến biến phụ thuộc Điều nghĩa hàm hồi quy mẫu không giải thích thay đổi biến phụ thuộc Nói cách khác hàm hồi quy mẫu không phù hợp Vì vậy, giả thiết H0 : R2 = ∼ H0 : β1 = β2 = · · · = βk = gọi giả thiết đồng thời Khi R2 > có βj = 0, nghĩa có biến độc lập giải thích cho biến đổi biến phụ thuộc Hàm hồi quy gọi phù hợp Tiêu chuẩn kiểm định: ESS ESS n − k = F = k−1 = RSS RSS k − n−k ESS R2 n−k T SS n − k = RSS k − T SS − ESS k − T SS T SS R2 n − k = ∼ F (k − 1, n − k) − R2 k − Như F R2 có liên quan nhau: F lớn R2 lớn R2 = F = 0; R2 = F → ∞ • Chấp nhận H0 : Nếu F < F[α;(k−1,n−k)] Hay: P − V alue = P (Fα > F ) < α • Bác bỏ H0 : Nếu F > F[α;(k−1,n−k)] Hay: P − V alue = P (Fα > F ) > α Footer Page 51 of 161 50 Header Page 52 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN 2.2.7 Dự báo Có loại dự báo: i, Dự báo giá trị trung bình có điều kiện Y với giá trị X = X ii, Dự báo giá trị riêng Y0 Y với giá trị X = X Dự báo giá trị trung  kiện  có điều  bình   1     X  X   2i         0 0 Cho X = X1i =  X3i  = X3       · · ·  · · ·         Xk0 Xki Ta cần dự báo giá trị trung bình Y tức đánh giá: Y0 = E(Y /X = X0 ) = β1 + β2 X20 + · + βk Xk0 ∈ R indent Với độ tin cậy (1 − α) khoảng tin cậy E(Y /X ) là: Y − t[ α2 ;(n−k)] < E(Y /X ) < Y − t[ α2 ;(n−k)] Dự báo có giá trị cá biệt Y Y với giá trị X = X với độ tin cậy (1 − α) Khoảng tin cậy với độ tin cậy (1 − α): Y¯0 − t α2 ;(n−k)] se(Y0 − Y¯0 ) < Y0 < Y¯0 + t α2 ;(n−k)] se(Y0 − Y¯0 ) Footer Page 52 of 161 51 Header Page 53 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN 2.2.8 Ví dụ minh họa Ví dụ 2: Từ số liệu quan sát 81 cửa hàng khác công ty kinh doanh loại thiết bị ta có bảng số liệu Với Y: lượng hàng bán (triệu sản phẩm/tháng) X2: Giá bán loại hàng (nghìn đồng/sản phẩm) X3: Chi phí chào hàng (triệu đồng/tháng) X4: Chi phí quảng cáo (triệu đồng/tháng) Dữ liệu lưu với tên gọi Vidu2.csv thư mục "a" ổ c Thực phân tích R Nhập liệu Ta sử dụng câu lệnh > setwd("c:/a") > vidu2= read.csv("vidu2.csv", header=T) > attach(vidu2) Thực phân tích hồi quy với biến là: Y; X2 ; X3 Ta thu kết sau: Call: lm(formula = Y ~ X2 + X3) Footer Page 53 of 161 52 Header Page 54 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -13.196 -1.642 1.068 2.620 6.351 Coefficients: Estimate Std Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 88.00473 10.41807 8.447 1.28e-12 *** X2 -0.85892 0.12312 -6.976 8.75e-10 *** X3 0.36781 0.03061 12.017 < 2e-16 *** Signif codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ Residual standard error: 4.064 on 78 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.8575, Adjusted R-squared: F-statistic: 234.7 on and 78 DF, 0.8539 p-value: < 2.2e-16 > Thực phân tích hồi quy với biến là: Y; X2 ; X3 ; X4 Ta thu kết sau: Call: Footer Page 54 of 161 53 Header Page 55 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN lm(formula = Y ~ X2 + X3 + X4) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -12.1115 -2.3162 0.7542 2.2407 8.1834 Coefficients: Estimate Std Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 67.13909 12.20238 5.502 4.73e-07 *** X2 -0.68393 0.13162 -5.196 1.62e-06 *** X3 0.32380 0.03280 9.872 2.53e-15 *** X4 0.06441 0.02185 2.948 0.00423 ** Signif codes: ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ Residual standard error: 3.877 on 77 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.872, Adjusted R-squared: F-statistic: 174.8 on and 77 DF, 0.867 p-value: < 2.2e-16 > Diễn giải kết 2¯ 2¯ ¯ tăng lên đưa thêm biến R3bien = 0.867 > R2bien = 0.8539 suy R Footer Page 55 of 161 54 Header Page 56 of 161 Chương MÔ HÌNH HỒI QUY NHIỀU BIẾN X4 vào mô hình Mặt khác giá trị Pr(>|t|) biến mô hình hồi quy biến có ý nghĩa thống kê Nên việc đưa thêm biến X4 vào cần thiết Hàm hồi quy có dạng: Y = 67.13909 − 0.68393X2 + 0.32380X3 + 0.06441X4 Footer Page 56 of 161 55 Header Page 57 of 161 Kết luận chung Trong đề tài em trình bày vấn đề liên quan tới mô hình hồi quy nhiều biến việc thực hành mô hình ngôn ngữ R Nội dung báo cáo trình bày về: • Giới thiệu ngôn ngữ R • Mô hình hồi quy nhiều biến Tuy nhiền điều kiện, thời gian ngắn sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi sai sót định Vì em mong nhận đóng góp thầy cô bạn đọc để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Footer Page 57 of 161 56 Header Page 58 of 161 Tài liệu tham khảo [1] Damodar N Gujarati, and Dawn C Porter Basic Econometrics 5th Eddition [2] Đào Hữu Hồ, Xác suất thống kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội (1996) [3] ThS Huỳnh Đạt Hùng; ThS Nguyễn Khánh Bình; TS Phạm Xuân Giang Kinh tế lượng, Nhà xuất Phương Đông (2012) [4] Nguyễn Văn Tuấn Phân tích liệu với R, Nhà xuất tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh (2014) [5] Nguồn internet X2 X3 1960 27.8 397.5 42.2 1965 33.3 528.6 38.1 1970 40.4 768.2 38.6 1961 29.9 413.3 38.1 1966 35.6 560.3 39.3 1971 40.3 843.3 39.8 1962 29.8 439.2 40.3 1967 36.4 624.6 37.8 1972 41.8 911.6 39.7 1963 30.8 459.7 39.5 1968 36.7 666.4 38.4 1973 40.4 931.1 52.1 Năm Y X2 X3 Năm Y X2 X3 Năm Y 1964 31.2 492.9 37.3 1969 38.4 717.8 40.1 1974 40.7 1021.5 48.9 Footer Page 58 of 161 57 Header Page 59 of 161 TÀI LIỆU THAM KHẢO Footer Page 59 of 161 58 ... mềm tính toán lập trình, cách sử dụng R • Chương 2: Mô hình hồi quy nhiều biến Chương trình bày số kiến thức mô hình hồi quy nhiều biến ví dụ thực hành mô hình ngôn ngữ R Tuy có nhiều cố gắng thời... quan hệ biến người ta sử dụng mô hình hồi quy nhiều biến Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu mô hình hồi quy nhiều biến: thực hành ngôn ngữ R Phương pháp nghiên cứu Sử dụng R hỗ trợ, thực hành với... quan hệ biến * Mô hình hồi quy hai biến tuyến tính - Mô hình hồi quy hai biến mô hình đơn giản nhất, gọi hồi quy đơn Trong gồm biến phụ thuộc (Y) biến độc lập (X) - Dạng phương trình hồi quy Y