Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyến tính

Mục đích nghiên cứuNghiên cứu mô hình hồi quy tuyến tính bội, phương pháp ước lượngOLS, bài toán suy diễn thống kê về giá trị của các hệ số hồi quy tổngthể và bài toán dự báo cho giá trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Mai Thị Tuyết

SUY DIỄN THỐNG KÊ VÀ DỰ BÁO

TỪ MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Mai Thị Tuyết

SUY DIỄN THỐNG KÊ VÀ DỰ BÁO

TỪ MÔ HÌNH HỒI QUY TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Trần Trọng Nguyên

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

1.1 Khái niệm và các giả thiết cơ bản 3

1.1.1 Khái niệm 3

1.1.2 Các giả thiết cơ bản 4

1.2 Ước lượng các tham số bằng OLS cho mô hình hồi quy bội 6

1.2.1 Phương pháp OLS 6

1.2.2 Định lý Gauss- Markov 7

1.2.3 Các tính chất của ước lượng OLS 10

1.2.4 Tính vững của ước lượng OLS 11 1.3 Hệ số xác định bội R2 và hệ số xác định hiệu chỉnh ¯R2 13

2 SUY DIỄN THỐNG KÊ VÀ DỰ BÁO TỪ MÔ HÌNH

2.1 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA MỘT SỐTHỐNG KÊ MẪU 182.2 BÀI TOÁN XÂY DỰNG KHOẢNG TIN CẬY CHO

CÁC HỆ SỐ HỒI QUY 202.2.1 Khoảng tin cậy cho một hệ số hồi quy: đánh giá

tác động khi một biến độc lập thay đổi 202.2.2 Khoảng tin cậy cho biểu thức của hai hệ số hồi

quy; đánh giá tác động khi hai biến độc lập cùngthay đổi 222.2.3 Ý nghĩa của khoảng tin cậy 242.2.4 Các yếu tố ảnh hưởng đến độ đài khoảng tin cậy 252.3 BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

VỀ HỆ SỐ HỒI QUY 262.3.1 Kiểm định giả thuyết về một hệ số hồi quy 262.3.2 Kiểm định giả thuyết về một ràng buộc giữa các

hệ số hồi quy - kiểm định T 302.3.3 Giá trị xác suất P của các thống kê kiểm định 312.3.4 Kiểm định giả thuyết về nhiều ràng buộc của

các hệ số hồi quy-kiểm định F 332.3.5 Kiểm định về sự phù hợp của hàm hồi quy 372.3.6 So sánh kiểm định T và kiểm định F 392.4 DỰ BÁO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN PHỤ THUỘC VÀ SAI

SỐ DỰ BÁO 412.4.1 Dự báo giá trị của biến phụ thuộc 412.4.2 Đánh giá sai số dự báo 42

Kết luận chung 45

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Suy diễn thống kê và dự báo

từ mô hình hồi quy tuyến tính” với sự cố gắng của bản thân và sự giúp

đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ Toán ứng dụng, các bạn sinh viênkhoa Toán em đã hoàn thành khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong

tổ Toán ứng dụng, trường đại học sư phạm Hà Nội 2 và các bạn sinhviên đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫnPGS.TS Trần Trọng Nguyên, người đã tận tình và đóng góp ý kiến quýbáu cho em trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênMai Thị Tuyết

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài này là do em thực hiện Trong quá trìnhnghiên cứu em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhàkhoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng biết ơn Đề tài này khôngtrùng với các kết quả của tác giả khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2016

Sinh viênMai Thị Tuyết

Danh sách bảng

1.1 Bảng số liệu 142.1 Các cặp giả thuyết và điều kiện để bác bỏ H0 tương ứng 282.2 Các cặp giả thuyết và điều kiện để bác bỏ H0 tương ứng 30

Danh sách hình vẽ

1.1 Kết quả EVIEWS cho ví dụ 1.3.1 151.2 Kết quả hồi quy cho ví dụ 1.3.1 162.1 Khoảng tin cậy với độ tin cậy 95% từ các mẫu khác nhau 252.2 Giá trị tqs và xác suất P tương ứng 322.3 Kết quả ước lượng 432.4 Kết quả sai số dự báo 44

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tàiSuy diễn thống kê là việc nghiên cứu mối quan hệ giữa một tổng thể

và một mẫu được lấy ra từ tổng thể đó Suy diễn thống kê và dự báo từ

mô hình hồi quy tuyến tính là một phần quan trọng trong phân tích hồiquy Nó giúp cho người nghiên cứu kiểm chứng nhiều giả thuyết quantrọng và đưa ra các dự báo trên cở sở phân tích khoa học về các dữ liệu

đã thu thập được để có thêm thông tin chắc chắn cho việc ra quyết định

về chính sách hay giải pháp nào đó

Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, cùng sự giúp đỡ tận tình củaPGS.TS Trần Trọng Nguyên, tôi đã chọn nghiên cứu đề tài khóaluận tốt nghiệp: “Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồiquy tuyến tính”

2 Mục đích nghiên cứuNghiên cứu mô hình hồi quy tuyến tính (bội), phương pháp ước lượngOLS, bài toán suy diễn thống kê về giá trị của các hệ số hồi quy tổngthể và bài toán dự báo cho giá trị của biến phụ thuộc tại các giá trị cụthể của biến độc lập với sự hỗ trợ của phần mềm Eviews

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồiquy tuyến tính

- Phạm vi nghiên cứu: mô hình hồi quy tuyến tính (bội), các phươngpháp ước lượng và kiểm định giả thuyết về các hệ số của mô hình hồiquy ứng dụng trong việc trình bày bài toán suy diễn thống kê và bàitoán dự báo trong phân tích hồi quy

4 Phương pháp và công cụ nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tổng hợp tài liệu

- Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm với dữ liệu thực tế.

- Sử dụng phần mềm Eviews 4.0

5 Cấu trúc khóa luậnNội dung khóa luận gồm hai chương:

Chương 1 Mô hình hồi quy tuyến tính bội: chương này trình bày một

số khái niệm và kiến thức cơ bản sẽ được sử dụng trong chương sau.Chương 2 Suy diễn thống kê và dự báo từ mô hình hồi quy tuyếntính: chương này trình bày bài toán suy diễn thống kê và trình bày bàitoán dự báo sử dụng mô hình hồi quy

1.1 Khái niệm và các giả thiết cơ bản

ta hoặc không có quan sát của chúng, hoặc không thể và cũng khôngmuốn đưa vào mô hình như là các biến s, do đó với mô hình k biếnvẫn tồn tại sai số ngẫu nhiên u, đại diện cho các yếu tố ngoài các biến

Xj(j = 2 − k),có tác động đến Y nhưng không đưa vào mô hình như làbiến số

Sai số ngẫu nhiên u trong mô hình hồi quy bội là yếu tố đại diện chocác yếu tố có tác động đến Y nhưng không đưa vào mô hình như cácbiến số

1.1.2 Các giả thiết cơ bản

Với mô hình (1.1), xét ra các giả thiết sau:

Giả thiết 1 : Việc ước lượng được dựa trên cơ sở mẫu ngẫu nhiên

Giả thiết này tương tự như trong mô hình hồi quy hai biến: các cáthể được chọn một cách ngẫu nhiên, rồi từ đó thu thập các chỉ tiêu củacác cá thể này Chẳng hạn khi xem xét vấn đề năng suất lao động thìngười lao động được lựa chọn một cách ngẫu nhiên từ tổng thể, sau đóthu thập các số liệu từ những người được chọn trong mẫu về năng suất,trình độ học vấn, tuổi

Giả thiết 2 : Kỳ vọng của sai số ngẫu nhiên tại mỗi giá trị(X2i, , Xki)

Giả thiết 4 : Giữa các biến độc lập Xj(j = 2, , k) không có mốiquan hệ đa cộng tuyến hoàn hảo, nghĩa là không tồn tại các hằng số

λ2, , λk không đồng thời bằng 0 sao cho: λ2X2 + + λkXk = 0

Ý nghĩa của các hệ số hồi quyCác hệ số hồi quy trong mô hình hồi quy bội còn được gọi là hệ sốhồi quy bội

Với giả thiết 2 ta có:

X2, ,X k)

∂Xj = βj, (j = 2, , k).

Hệ số góc βj(j = 2 − k) thể hiện tác động riêng phần của biến Xj

lên giá trị trung bình của biến phụ thuộc, là tác động của biến Xj lêngiá trị trung bình của biến phụ thuộc khi các yếu tố Xs(s 6= j) là khôngđổi Do đó trong mô hình hồi quy bội, các hệ số góc còn được gọi là hệ

số hồi quy riêng (partial coefficient)

Mô hình hồi quy bội cho phép đánh giá tác động của một biến độclập lên biến phụ thuộc khi các biến số khác trong mô hình hồi là khôngđổi Điều này cho thấy sự ưu việt quan trọng của mô hình hồi quy bộitrong phân tích kinh tế xã hội: mặc dù trong thực tế, chúng ta khôngcần (và không thể) “giữ nguyên các yếu tố khác không đổi”, nhưng vẫn

có thể ước lượng được tác động riêng phần của một biến số như trongđiều kiện “giữ nguyên một số các yếu tố khác không đổi”

1.2 Ước lượng các tham số bằng OLS cho mô hình

hồi quy bội

Trong đó Yˆi là giá trị ước lượng cho Yi và sai lệch giữa hai giá trị này

được gọi là phần dư: ei = Yi− ˆYi

Phương pháp OLS nhằm xác định các giá trị βˆj(j = 1, 2, , k) sao

cho tổng bình phương các phần dư là bé nhất:

Khi đó dễ thấy rằng các giá trị là nghiệm của hệ k phương trình sau:

Ước lượng tuyến tính: β˜j được gọi là ước lượng tuyến tính cho hệ số

hồi quy nếu nó được biểu diễn dưới dạng là tổ hợp tuyến tính của cácgiá trị của biến phụ thuộc: β˜j = w1Y1 + + wnYn.

Trong đó wi là các hằng số nào đó và Yi là các giá trị trong mẫu củabiến phụ thuộc Như vậy định lý Gauss- Markov khẳng định rằng cácước lượng OLS là ước lượng tuyến tính

Ước lượng không chệch: Ước lượng β˜j được gọi là ước lượng không

chệch của nếu βj E( ˜βj) = βj Như vậy định lý Gauss- Markov khẳngđịnh rằng: E( ˆβj) = βj, j = 2, 3, , k

Phương sai nhỏ nhất: Như đã chỉ ra phần trên, khi βˆj là ước lượng

không chệch của βj, thì var( ˆβj) thể hiện độ chính xác của ước lượng,

var( ˆβj) càng nhỏ có nghĩa là độ chính xác càng lớn Vì vậy trong cácước lượng không chệch, ước lượng có phương sai nhỏ hơn sẽ được ưathích hơn.

Định lý Gauss- Markov khẳng định rằng khi các giả thiết 1 − 4 thỏamãn thì ước lượng thu được từ phương pháp OLS là có phương sai bénhất trong số các ước lượng tuyến tính không chệch:

var( ˆβj

OLS ≤ var( ˜βj)

với β˜j là ước lượng tuyến tính không chệch bất kỳ.

Như vậy nếu các giả thiết 1 − 4 được thỏa mãn thì ước lượng OLS

là ước lượng tốt nhất trong số các ước lượng có dạng tuyến tính và takhông cần tìm đến bất kỳ ước lượng tuyến tính nào khác Điều này cũng

có nghĩa là khi một trong các giả thiết này không được thỏa mãn thìcác ước lượng OLS sẽ không còn là ước lượng tôt nhất nữa

Độ chính xác của các ước lượngKhi các giả thiết 1 − 4thỏa mãn thì βˆj là các ước lượng không chệch

của βj và var( ˆβj) chính là thước đo độ chính xác của các ước lượng này.Bây giờ xem xét công thức để ước lượng var( ˆβj) Phương sai của các hệ

số ước lượng được tính theo công thức:

α1 + α2X3 + + αkXk + v

Trong đó v là sai số ngẫu nhiên trong mô hình hồi quy phụ này

Trong công thức R2 = r2(Y, ˆY ), do σ2 là tham số chưa biết nên khitính toán được thay bởi ước lượng (không chệch) của nó là σˆ2, trong đó:

x2ji, j = (2, 3, , k). (1.5)

Các yếu tố xác định độ chính xác của ước lượng

Từ công thức (1.3) ta thấy độ chính xác của các βˆ

j phụ thuộc vào

ba thành phần sau đây:

Thứ nhất, nó phụ thuộc vào phương sai của yếu tố ngẫu nhiên σ2,phương sai này càng bé thì độ chính xác của các ước ượng càng lớn Tabiết rằng u thể hiện cho các yếu tố có tác động đến biến phụ thuộc Y

nhưng không được đưa vào mô hình như là các biến số, vậy ta kỳ vọngrằng việc giảm bớt các thành phần trong u sẽ giúp giảm phương sai của

nó Điều này có nghĩa là việc đưa thêm các biến số thích hợp vào môhình sẽ có khả năng giúp làm giảm σ2 và do đó giúp làm tăng độ chínhxác của các βˆj.

Thành phần thứ hai trong (1.3) là (1−R1 2

j ): khi R2j càng lớn thì giá trịnày càng lớn và khi xấp R2j xỉ 1 thì giá trị này sẽ lớn rất nhanh, làm chophương sai rất lớn và tiến dần đến +∞ một cách nhanh chóng, do đóthành phần này còn được gọi là nhân tử phóng đại phương sai ( VIF:

variance inflation factor)

Thành phần còn lại trong công thức (1.3) là

n

P

i=1

x2ji, giá trị này cànglớn thì độ chính xác của ước lượng càng lớn Do đó nếu giá trị của biến

Xj trong mẫu càng khác biệt thì phương sai của hệ số ước lượng càngnhỏ

Như vậy việc đưa thêm một biến độc lập bất kỳ vào mô hình thìthông thường sẽ làm thay đổi không chỉ vào giá trị ước lượng của các hệ

số hồi quy mà còn vào phương sai của các ước lượng, thông qua cả bathành phần trong công thức (1.3) Tuy nhiên cũng sẽ có một số trườnghợp khi mà việc đưa thêm biến số vào không làm thay đổi kết quả ướclượng

1.2.3 Các tính chất của ước lượng OLS

Xét mô hình hồi quy bội: Y = β1 + β2X2i+ β3X3i + + βkXki + ui

Mô hình hồi quy bội có các tính chất sau:

• Đường hồi quy bội đi qua điểm ( ¯Y , ¯X2, ¯X3, , ¯Xk)

• ui không tương quan với Xpi, (p = 2, 3, , k),

1.2.4 Tính vững của ước lượng OLS

Định lý 1.2 Định lý Gauss – Markov cho ta biết rằng khi các giả thiết

1 − 4 thỏa mãn thì ước lượng OLS là các ước lượng tốt nhất trong lớp cácước lượng tuyến tính không chệch Tính chất vững của ước lượng phảnánh chất lượng của ước lượng khi mẫu lớn, vì vậy tính chất này còn gọi

là tính chất với mẫu lớn của ước lượng

Để làm rõ ý nghĩa ứng dụng của khái niệm này, hãy xem xét trườnghợp khi mà θˆkhông phải là ước lượng vững của θ Khi đó dù kích thước

mẫu có lớn đến đâu thì chúng ta cũng không kỳ vọng rằng ước lượng θˆ

thu được từ mẫu đó là xấp xỉ với giá trị chưa biết θ

Về mặt lý thuyết, trong trường hợp ước lượng là không chệch thì vẫn

có thể thu được giá trị gần đúng choθ kể cả khi ước lượng là không vững,bằng cách lấy ngẫu nhiên nhiều mẫu cùng kích thước và lấy giá trị trungbình của các ước lượng θ thu được từ mẫu này: θˆ∗ = ˆ(1) +ˆ θ(2)+ +ˆ θ(m)

m

Trong đó θˆ

(j) là ước lượng không chệch cho thu được từ mẫu thứ j(j = 1, 2, , m) Khi m khá lớn thì theo định lý giới hạn trung tâm, θˆ∗

sẽ là một ước lượng tốt của θ Tuy nhiên trong thực hành, các nhà kinh

tế lượng thường chỉ có một mẫu, do đó tính vững của ước lượng vẫn làmột yêu cầu cơ bản

Trong trường hợp ước lượng là chệch mà lại không vững thì θˆ∗ nóitrên sẽ cũng không phải là ước lượng tốt, do đó yêu cầu về tính vững lại

càng quan trọng đối với các ước lượng chệch (Granger, một nhà kinh

tế lượng nổi tiếng, cho rằng nếu một ước lượng là không vững thì ướclượng này là không nên sử dụng).Ta có kết quả sau đây:

Định lý 1.3 Khi các giả thiết 1-4 thỏa mãn thì các ước lượng OLSkhông chỉ là các ước lượng BLUE, mà còn là ước lượng vững, nghĩa là:Với mọi ε > 0 tùy ý thì:

lim

n→∞P (

ˆ

βj(n) − βj| > ε) = 0 (1.7)

Trong đó βˆ(n)

j là ước lượng βˆ

j với kích thước mẫu n

Chứng minh: Để đơn giản cho việc trình bày, chúng ta chỉ chứngminh cho trường hợp mô hình hồi quy hai biến, với trường hợp mô hìnhhồi quy nhiều biến, việc chứng minh là hoàn toàn tương tự nhưng phảidựa trên ngôn ngữ ma trận

Với hàm hồi quy hai biến ta có: βˆ2 = β2 +

1 n

n

P

i=1

x i u i 1 n

n

P

i=1

x 2 i

n

P

i=1

x2 i

(1.8)

Khi n lớn, tử số của vế phải trong (1.8) hội tụ về cov(X, u) và mẫu

số hội tụ về var(X) Với giả thiết var(X) hữu hạn, vế phải của (1.8)

sẽ hội tụ về 0 khi n lớn ra vô cùng, là điều cần chứng minh Việc chứngminh cho tính vững của βˆ

1 được thực hiện hoàn toàn tương tự

Định lý 1.4 nếu trong định lý 1.3, giả thiết 2 được thay bởi giả thiếtsau:

• cov(Xj, u) = 0 với j = 2, 3, , k.

• E(u) = 0

Thì ước ước lượng OLS vẫn là ước lượng vững Như đã chỉ ra ở cácphần trên, khi giả thiết 2 thỏa mãn thì hai giả thiết kia cũng thỏa mãnnhưng không có điều ngược lại: khiX tuy không tương quan vớiunhưngkhông độc lập với u thì giả thiết 2 là không thỏa mãn Định lý ngụ ýrằng với kích thước mẫu lớn thì giả thiết về sự bằng 0 của kỳ vọng củasai số ngẫu nhiên có thể được thay thế bởi điều kiện yếu hơn mà vẫnđảm bảo được tính vững của ước lượng OLS

lượng biến giải thích vừa đủ sao cho vẫn có được mô hình phù hợp màkhông quá tốn kém thì phải thu thập thông tin của quá nhiều biến giảithích Hơn nữa, nhiều khi đưa thêm một số biến độc lập vào mô hìnhthì tác động riêng phần của các biến độc lập đó tới biến phụ thuộc lạikhông thực sự có ý nghĩa thống kê Vậy cần có tiêu chuẩn đánh giá sựphù hợp của mô hình, trong đó có cân nhắc đến số lượng biến giải thíchcủa mô hình Một trong số các tiêu chuẩn như vậy là hệ số xác địnhhiệu chỉnh R¯2 của R2 cho bằng biểu thức: R¯2 = 1 −

Trong đó n là số quan sát, k − 1 là số biến độc lập trong mô hình

Dễ thấy mối quan hệ giữa R¯2 và R2 là: R¯2 = 1 − (1 − R2)(n−K)(n−1)

Chọn File → New: [workfile Range]

Frequency: Undate or irregular → start date: 1 → End date: 15

mở cửa sổ [workfile]

Chọn Quick → Empty Group (Edit Series) mở cửa sổ [Group]

→ chọn ô đầu tiên bên phải ô obs, nhập tên biến X2, các ô bên dưới

tự động chuyển thành NA, nhập các giá trị của biến X2 ứng với các sốliệu đã có Tiếp tục với cột biến X3 và biến và biến Y

[Cửa sổ lệnh] LS Y C X2 X3 được kết quả ở cửa sổ [Equation]

Hình 1.1: Kết quả EVIEWS cho ví dụ 1.3.1

Dựa vào kết quả báo cáo trong EVIEWS ta có:

Coeffiuent (ước lượng hệ số):

ˆ

β1 = 6, 202980

ˆ

β2 = −0, 376164ˆ

β3 = 0, 452514

Std Error (sai số chuẩn):

se( ˆβ1) = 1, 862253se( ˆβ2) = 0, 132724se( ˆβ3) = 0, 119511

R-squared (hệ số xác định bội): R2 = 0, 693203

Adjusted R-squared (hệ số xác định điều chỉnh): R¯2 = 0, 642070

Từ [Equation] View → Representations: Khi đó ta có kết quả ướclượng phương trình hồi quy

Hình 1.2: Kết quả hồi quy cho ví dụ 1.3.1

ˆ

Y = 6, 202980 − 0, 376264.X2 + 0, 452514.X3

Trong đó:

β1 = 6, 202980: khi tỉ lệ lao động của nông nghiệp và số năm trungbình đào tạo với những người lớn hơn 25 tuổi bằng 0 thì thu nhập bìnhquân đầu người/năm là 6, 202980 USD

ˆ

β2 = −0, 376164: khi số năm trung bình đào tạo với những người lớnhơn 25 tuổi, tỉ lệ lao động nông nghiệp tăng 1% thì thu nhập bình quânđầu người/năm giảm 0,376164%

ˆ

β3 = 0, 452514: khi tỉ lệ lao động nông nghiệp và số năm trung bìnhđào tạo đối với người trên 25 tuổi tăng 1% thì thu nhập bình quân đầungười/năm tăng 0,452514%

Chương này tiếp tục trình bày bài toán suy diễn thống kê về các hệ

số hồi quy tổng thể sử dụng các thông tin thu được từ kết quả ước lượng.Tất cả các suy diễn này được đưa ra dựa trên điều kiện là các giả thiếtcủa mô hình phải được thỏa mãn và được áp dụng cho các mô hình hồiquy hai biến cũng như mô hình hồi quy nhiều biến

MỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU

Xét mô hình hồi quy tuyến tính k biến:

Y = β1 + β2X2 + + βkXk + u (2.1)Với hàm hồi quy mẫu thu được từ mẫu ngẫu nhiên kích thước n:

... bày tốn suy diễn thống kê hệ

số hồi quy tổng thể sử dụng thông tin thu từ kết ước lượng.Tất suy diễn đưa dựa điều kiện giả thiếtcủa mơ hình phải thỏa mãn áp dụng cho mơ hình hồiquy hai... phải thỏa mãn áp dụng cho mơ hình hồiquy hai biến mơ hình hồi quy nhiều biến

MỘT SỐ THỐNG KÊ MẪU

Xét mơ hình hồi quy tuyến tính k biến:

Y = β1 + β2X2... chứngminh cho trường hợp mơ hình hồi quy hai biến, với trường hợp mơ hìnhhồi quy nhiều biến, việc chứng minh hồn tồn tương tự phảidựa ngơn ngữ ma trận

Với hàm hồi quy hai biến ta có: βˆ2